Teoría de Conjuntos

 

Evidencia de aprendizaje: Teoría de Conjuntos I. Contesta lo que se te pide:

En una encuesta realizada a 125 personas respecto a su género de película favorito se obtuvieron los siguientes datos: a 40 les gusta el drama, a 47 las de comedia y a 56 las de acción. Adicionalmente, se sabe que a 18 les gustan las de drama y comedia, a 20 las de comedia y acción, a 22 el drama y acción y   finalmente a 12 les gustan los tres géneros. a) ¿A cuántas personas les gusta un solo género? b) ¿A cuánt cuántas as personas no les gusta ninguno de los géner géneros os encuesta encuestados? dos?

Solución :

Sean: D  el conjunto de personas que les gusta las películas de drama, C  el conjunto de personas que les gusta las películas de comedia y A  el

conjunto de personas que les gusta las películas de acción.

Se sabe que a 18 personas les gustan las de drama y comedia, esto es   D ∩ C , también se sabe que a 20 personas les gustan las comedia y acción, es decir   C   ∩ A, tambien a 22 personas les gustan las de drama y acción, que se puede representar como   D ∩ A, y   finalmente a 12 personas les gustan los tres géneros, es decir D ∩ C   ∩ A. Ahora bien, el conjunto universal   U  contiene a 125 personas, esto es: |U | = 125, 125, las cardinalidades de los otros conjuntos son: D

||C || =  = 47 40 |A|  = 56 |D ∩ C |  = 18 |C   ∩ A|  = 20 |D ∩ A|  = 22 22 y  y   finalmente |D ∩ C   ∩ A|  = 12 a) ¿A cuántas personas les gusta un solo género? Es decir ¿a cuántas personas les gusta el drama pero no la comedia ni la acción? |D| − |D ∩ C | − |D ∩ A| +  + | |D ∩ C   ∩ A|  = 40 − 18 − 22 + 12 = 12 ¿a cuántas personas les gusta la comedia pero no el drama ni la acción? |C | − |C   ∩ D| − |C   ∩ A| +  + | |D ∩ C   ∩ A|  = 47 − 18 − 20 + 12 = 21 ¿a cuántas personas les gusta la acción pero no el drama ni la comedia? 1

 

|A| − |A ∩ D| − |A ∩ C | +  + | |D ∩ C   ∩ A|  = 56 − 22 − 20 + 12 = 26 Por lo tanto la suma de estos es la cantidad de personas a las que les gusta un sólo género, es decir a 26 personas. b) ¿A cuánt cuántas as personas no les gusta ninguno de los géner géneros os encuesta encuestados? dos? El total de personas a las que les gusta al menos un género de los encuestados es: (D ∪ C   ∪ A) Puesto que |D ∪ C   ∪ D|  = |  =  |D| +  + | |C | +  + | |A| − |D ∩ C | − |D ∩ A| − |C   ∩ A| + |  + |D ∩ C   ∩ A| es la cardinalidad de la unión de tres conjuntos, entonces la diferencia con la cardinalidad del conjunto universal nos da el total de personas a las que no les gusta ninguno de los tres géneros: |U | − |D ∪ C   ∪ D|  = 125 − (40 + 47 + 56 − 18 − 22 − 20 + 12) = 125 − 95 = 30 c

2

 

Bibliografía Ayres, F. (1991).  Algebra moderna . McGraw Hill. Bailey, C. (1971a).  Conjuntos y logica, 1. Editorial Vicens. Bailey, C. (1971b).  Conjuntos y logica, 2 . Editorial Vicens. Hernadez, F. (1998).  Teoria de conjuntos . Socied Sociedad ad Mate Matemátic máticaa Mexi Mexicana. cana. Leithold, L. (1998).   El calculo. Oxford University Press.

3