Teoria de Conjuntos

 

CWH]NÈ]HFC W C N H W K M K N H O J Y I R J K O R C E I V

  rkd.

WCNHWK MKNHOJYIR JKORCEIV

Cmifucfhöo mie nctirhce mie mie rkd. 2 Wugèo Cevc Fcgrirc Fcgrirc

www.mjrcnhrk.gekjspkt.fkn  

FKOBYO]KV W

 

Io nctinãthfcs ie fkofiptk mi fkobuotk is fkoshmircmk

C N H W K

prhnhthvk y ok si mc uoc midhohfhöo mi isti, pkr ek tcotk ec pcecgrc FKOBYO]K migi cfiptcrsi eöjhfcnioti fknk uo tèrnhok ok midhohmk.

M K N H O J Y

Yo fkobuotk si puimi iotiomir fknk uoc fkeiffhöo k cjrupcfhöo ghio midhohmc mi kgbitks mi fucequhir

I R J K O

fecsi. Ekssko kgbitks qui nhingrks dkrnco uo fkobuotk eecncmks k ieiniotks mie fkobuotk.

R C E I V

Io ec dhjurc cmbuotc thiois uo Fkobuotk mi \irskocs Ibinpek2

 

FKOBYO]KV W C N H W K M K

OK]CFHÖO ]kmk fkobuotk si isfrhgi iotri eecvis { }  y si ei mioktc nimhcoti eitrcs eitrcs ncyòsfuecs ncyòsfuecs C, G, F, ...,sus iein ieiniotks iotks si sipcrco nimhcoti puotk y fknc.

N H O J Y I R J

Ibinpek2 Ie fkobuotk mi ecs eitrcs mie cedcgitk0 c, g, f, ..., x, y, y, z. si puimi isfrhghr csî2

K O R C E I V

z }  E>{ c0 g0 f0 ...0 x0 y0 z} E>{

 

FKOBYO]KV W C N H W K

  Io tikrîc mi fkobuotks ok si cfkstungrc ripithr eks ieiniotks pkr ibinpek2 Ie fkobuotk {x0 x0 x0 y0 y0 z } shnpeinioti sirã { x0 y0 z }.

M K N H O J

Ce oònirk mi ieiniotks qui thioi uo fkobuotk S si ei eecnc FCWMHOCE MIE FKOBYO]K y si ei riprisiotc pkr o(S).

Y I R J K O

Ibinpek2 C> {c0g0f0m0i} su fcrmhoce o(C)> 9

R C E I V

G> {x0x0x0y0y0z} su fcrmhoce o(G)> 6

 

W C N H W K M K N H O J Y

MI]IWNHOCFHÖO MI FKOBYO]KV Acy mks dkrncs mi mitirnhocr uo fkobuotk2 H) \KW IQ]IOVHÖO Is cquieec dkrnc nimhcoti ec fuce si homhfc fcmc uok mi eks ieiniotks mie fkobuotk. Ibinpeks2 C) Ie fkobuotk mi eks oònirks oònirks pcris ncykris qui 9 y niokris niokris qui 7 { 40103 { eks oònirks oònirks mîjhtks } fkobuotk \ istc dkrncmk pkr eks oònirks { x / x > mîjhtk }}   si eii ― \ is ie fkobuotk dkrncmk pkr eks ieiniotks x tce qui x is uo mîjhtk ―

R J K O R C

Ibinpek2

Ixpriscr pkr ixtioshöo y pkr fknprioshöo ie fkobuotk mi mîcs mi ec sincoc.

\kr Ixtioshöo2 M > { euois0 ncrtis0 nhèrfkeis0 buivis0 vhirois0 sãgcmk0 mknhojk }

E I V

\kr Fknprioshöo2 M > { x / x > mîc mi ec sincoc }

 

MI]IWNHOCFHÖO MI FKOBYO]KV W C N H W

•  \KW IQ]IOVHÖO

 

\KW FKN\WIOVHÖO

K M K N H O J Y I R

(Vi eii ―tce qui„)

J K O R

C>

....................

....................

C E I V

Wijec mi Fkrrispkomiofhc k dkrnc jioirce mie ieiniotk

Wistrhffhöo y/k fcrcftirîsthfc (prkphimcm fknòo)

 

W C N H

FECVIV MI FKOBYO]KV 3.- FKOBYO]K DHOH]K Is ie fkobuotk fko ehnhtcmk oònirk mi ieiniotks.

W K M K N H O J Y I R J K O R C E I V

Ibinpeks2 I > { x / x is uo oònirk hnpcr pkshthvk niokr qui 3< } 7

O>{x/x >=}

 

W C N H

FECVIV MI FKOBYO]KV 7.- FKOBYO]K HODHOH]K Is ie fkobuotk fko hehnhtcmk oònirk mi ieiniotks.

W K M K N H O J Y I R J K O R

Ibinpeks2 W>{x/x54}

C E I V

V > { x / x is uo oònirk pcr }

 

W C N H W K M

FKOBYO]KV IV\IFHCEIV 3.- FKOBYO]K TCFÎK Is uo fkobuotk qui ok thioi ieiniotks, tcnghèo si ei eecnc fkobuotk ouek. Jioircenioti si ei riprisiotc pkr eks sîngkeks2  k { }

K N H O J Y I

C >  k C > { }  si eii2 ―C is ie fkobuotk vcfîk„ k ―C is ie fkobuot fkobuotk k ouek ―

R J K O R C E I V

Ibinpeks2 N > { oònirks ncykris qui 8 y niokris qui 9 } 3

\>{x/Q < }

 

W C N H W K M

FKOBYO]KV IV\IFHCEIV 7.- FKOBYO]K YOH]CWHK K VHOJEI]KO Is ie fkobuotk qui thioi uo skek ieiniotk. Ibinpeks2 J >  x / x  =  x  { x / 7x + 4 > < }  

7

K N H O J Y I R J K O R C E I V

6.- FKOBYO]K YOHTIWVCE Is uo fkobuotk ridiriofhce qui fkothioi c tkmks eks ieiniotks mi uoc shtucfhöo pcrthfuecr, jioircenioti si ei riprisiotc pkr ec eitrc Y

Ibinpek2 Ie uohvirsk k fkobuotk uohvirsce mi tkmks eks oònirks is ie fkobuotk mi eks OÒNIWKV FKN\EIBKV.

 

W C N H W K M

FKOBYO]KV IV\IFHCEIV =.- FKOBYO]K MI FKOBYO]KV Is uo fkobuotk fuyks ieiniotks sko fkobuotks. Ibinpek2 D > { {c}0{g}0{c0 g}0{c0g0f} }

K N H O J Y

Kgsirvc qui eks ieiniotks mie fkobuotk D tcnghèo sko fkobuotk fkobuotks. s. {c} is uo ieiniotk mie fkobuotk D iotkofis {c}  D

I R J K O R C E I V

» Is fkrriftk mifhr qui {g}  D ; OK \krqui {g} is uo ieiniotk mie fkobuotk D ,ek fkrriftk is {g}  D

 

W C N H W K M K N H O J Y I

FKOBYO]KV IV\IFHCEIV 9.- FKOBYO]K \K]IOFHC Ie fkobuotk pktiofhc mi uo fkobuotk C mioktcmk pkr \(C) k \kt(C) is ie fkobuotk dkrncmk pkr tkmks eks sugfkobuotks mi C. Ibinpek2 Vic C > { n0o0p } Eks sugfkobuotks mi C sko {n},{o},{p},{n0o}, {n0p}, {o0p}, {n0o0p}, Τ Iotkofis ie fkobuotk pktiofhc mi C is2

R J K O R

\(C) > { {n}0{o}0{p}0{n0o}0{n0p}0{o0p}0{n2o0p}0Τ } » FYÃO]KV IEINIO]KV ]HIOI IE FKOBYO]K \K]IOFHC MI C ;

C E I V

Kgsirvc iefhc fkobuotk C thioi y su fkobuotk qui pktio pktiofhc ksic \(C) thioi6 1ieiniotks ieiniotks.

 

FKOBYO]KV IV\IFHCEIV W C N H W K M K N H O J Y

\WK\HIMCM2 Mcmk uo fkobuotk C fuyk oònirk mi ieiniotks is oo , iotkofis ie oònirk mi ieiniotks mi su fkobuotk pktiofhc pktiofhc is 7 . Ibinpek2 Mcmk ie fkobuotk G >{x / x is uo oònirk pcr y 95 x 539 }. Mitirnhocr ie fcrmhoce mi \(G). Vkeufhöo

I R J K O R

Vh 95x539qui y isieuo oònirkGpcr iotkofis G> {40103 o\(G) > 79 > 67

C E I V

Wptc2 79 >67 

 

MHCJWCNC MI TIOO W C N H W K

 

Eks mhcjrcncs mhcjrcnc s mi Tioo qui si migio ce dheöskdk hojeès Bkao

Tioo (316=-3116) shrvio pcrc riprisiotcr fkobuotks mi ncoirc jrãdhfc nimhcoti mhgubks ö mhcjrcncs qui puimio sir fîrfueks, riftãojueks, trhãojueks trhãojueks k fucequhir furvc firrcmc.

M K N H O

C

:

4 =

J

1

N

]

I R

3 J K O R C E I V

8

(70=)

k

Y

  6

9

i

c h

7

(901)

u

(306) (:04)

 

MHCJWCNC (EIZHV‖FCWWKEE) N

W C N H W K M K N H O J Y I

  Vu virmcmirk okngri is FacreisMkjstko cutkr mi ―Cehfhc io ie pcîs mi ecs Ncrcvheecs„ uthehzcomk uo eiojucbi eöjhfk ‖ nctinãthfk

A D

V

R J K O R C E I V

uthehzc ie Mhcjrcnc io fkobuotks mhsbuotks acfhiomk pcrthfhöo mie uohvirsk.

F

 

WIECFHKOIV IO]WI FKOBYO]KV W C N H W K

\crc homhfcr qui uo ieiniotk pirtioifi c uo



M K N H

fkobuotk si usc ie sîngkek2

O J Y I R J K O R C

Vh uo ieiniotk ok pirtioifi c uo fkobuotk

 

si usc ie sîngkek2



Ibinpek2 Vic N > {70=040103{307060=09} y G>{70=}

J Y I R J

C 3

9 =

K O R C E I V

6

7 G

Kgsirvc qui G istã is tã hofeuhmk io C ,pkr ek tcotk Cy G sko FKN\CWCGEIV

 

FKOBYO]KV FKOBYO]KV MHVBYO]KV

W C N H

Mks fkobuotks sko mhsbuotks fucomk ok thioio ieiniotks fknuois.

W K

WI\WIVIO]CFHÖO CFHÖO JWÃDHFC 2 WI\WIVIO]

M K N H O J Y

C

:

G 8

4

I R J K O R C E I V



=

9

3 6

7 1



Fknk puimis kgsirvcr eks fkobuotks C y G ok thioio ieiniotks fknuois, pkr ek tcotk sko FKOBYO]KV MHVBYO]KV 

 

FKOBYO]KV W C N H W K M K N H O J Y I

HJYCEMCM MI FKOBYO]KV Mks fkobuotks sko hjuceis sh thioio eks nhsnks ieiniotks. Ibinpek2 C > { x / x7 > 8 } y G > { x / (x ‖ 6)(x + 6) >< } Wiskevhiomk ec ifucfhöo mi fcmc fkobuotk si kgthioi io cngks fcsks qui qui x is hjuce c 6 k -6, is mifhr 2 C > {-606} y

R J

G > {-606} ,pkr ek tcotk C>G

K O R C E I V

Vhngöehfcnioti 2  C  G  ( C  G)  (G  C )

 

FKOBYO]KV W C N H W K

FKOBYO]K MI VYGFKOBYO]KV \WK\HKV. Is hmèothfk ce fkobuotk pktiofhc, skek qui ok si fkoshmirc ce prhnhthvk.

M K N H O J Y

Ibinpek2 Vic ie fkobuotk C > {x,y} Ie sugfkobuotk prkphk mi C is2 VC>{{}0{x}0{y}} Cpehfcomk ec prkphimcm2

I R J

o (V C ) > 7 o -3

K O R C

Iotkofis tioinks2

7

o ( V C ) > 7 -3

E I V

o( V ) > 6

C  

K\IWCFHKOIV IO]WI FKOBYO]KV W C N H W K

Ie fkobuotk ―C uohöo G„ qui si riprisiotc csh C  G is ie fkobuotk dkrncmk pkr tkmks eks ieiniotks qui pirtioifio c C,c G k c cngks fkobuotks.

Ibinpek2

M K N H O J Y

C   30 70 60 =0 90 40 : C

3 7

:

I R J

6 =

y 

4

9

K O R C E I V

C  G   30 70 60 =0 90 40 :0 10 8

G   90 40 :0 10 8

: 9

4

1

8

G

C G

 x / x  C  x  G

 

K\IWCFHKOIV IO]WI FKOBYO]KV W C N H W K

WI\WIVIO]CFHKOIV JWÃDHFCV MI EC YOHÖO MI FKOBYO]KV Vh C y G sko ok fknpcrcgeis

Y

Vh C y G sko fknpcrcgeis

Y

G

C

M K N H O

G

C

J Y I

CYG

R

Y

J K O R C E I V

Vh C y G sko fkobuotks mhsbuotks

C

G

CYG

 

K\IWCFHKOIV IO]WI FKOBYO]KV W C N H W K M

Ie fkobuotk ―C hotirsiffhöo G„ qui si riprisiotc C  G is ie fkobuotk dkrncmk pkr tkmks eks ieiniotks qui qui pirtioifio c C y pirtioifio c G. Ibinpek2 C  30 70 60 =0 90 40 :  y G  90 40 :0 10 8





K N H O J Y

C

3 7

:

I R J

6 =

:

4

9

9

K O R C E I V

C  G  90 40 :



4

1 8

G

C  G   x / x  C  x  G  

K\IWCFHKOIV IO]WI FKOBYO]KV WI\WIVIO]CFHKOIV JWÃDHFCV MI EC HO]IWVIFFHÖO MI FKOBYO]KV W C N H W K

Vh C y G sko ok fknpcrcgeis

Y

Vh C y G sko fknpcrcgeis

Y

G

C

M K N H O

 

G

C

C∨G>G

J Y I

C ∨ G

R

Y

J K O R C E I V

Vh C y G sko fkobuotks mhsbuotks C ∨ G>Τ

C

G

 

K\IWCFHKOIV IO]WI FKOBYO]KV W C N H W K

Ie fkobuotk ―C nioks G„ qui si riprisiotc C  G is ie fkobuotk dkrncmk pkr tkmks eks ieiniotks qui qui pirtioifio c C y ok pirtioifio c G.

Ibinpek2

M K N H O J Y

C

C   30 70 60 =0 90 40 : y   G   90 40 :0 10 8

3 7

:

I R J

6 =

:

4

9

9

K O R C E I V

C  G  30 70 60 =



4

1

8

G

C  G   x / x  C  x  G  

K\IWCFHKOIV IO]WI FKOBYO]KV W C N H W K

Ie fkobuotk ―G nioks C„ qui si riprisiotc G  C is ie fkobuotk dkrncmk pkr tkmks eks ieiniotks ie iniotks qui pirtioifio c G y ok pirtioifio c C.

Ibinpek2

M K N H O J Y

C   30 70 60 =0 90 40 :

C

3 7

:

I R J

6 =

y 

:

4

9

9

K O R C E I V

G   90 40 :0 10 8

G  C  10 8



4

1

8

G

G  C   x / x  G  x  C  

K\IWCFHKOIV IO]WI FKOBYO]KV WI\WIVIO]CFHKOIV JWÃDHFCV MI EC MHDIWIOFHC MI FKOBYO]KV W C N H W K

Vh C y G sko ok fknpcrcgeis

Y

Vh C y G sko fknpcrcgeis

Y

G

C

M K N H O

G

C

C-G

J Y I

C-G

R J K O R C

Vh C y G sko fkobuotks mhsbuotks

E I V

C - G>C

Y

C

G

V

 

K\IWCFHKOIV IO]WI FKOBYO]KV W C N H W K

Ie fkobuotk ―C mhdiriofhc shnètrhfc G „ qui si riprisiotc CG is ie fkobuotk dkrncmk pkr tkmks eks ieiniotks qui pirtioifio c (C-G) k(G-C).

Ibinpek2

M K N H O J Y

C

C   30 70 60 =0 90 40 :

3 7

:

I R J K

6 =

y  

G   90 40 :0 10 8

:

4

9

9

O R C E I

CG  30 70 60 =   10 8





4

1 8

G

CG   x / x  ( C  G)  x  (G  C )

V

 

K\IWCFHKOIV IO]WI FKOBYO]KV ]cnghèo is fkrriftk cdhrncr qui2

W

CG  ( C  G)  (G  C )

C N H W K

C

G

M K N H

C-G

G-C

O J Y I

CG  ( C  G)  ( C  G)

R J K O R C E I

C

G

V

 

W C N H W K M K N H

FKN\EINIO]K MI YO FKOBYO]K Mcmk uo fkobuotk uohvirsce Y y uo fkobuotk C, si eecnc fknpeiniotk mi C ce fkobuotk dkrncmk pkr tkmks eks ieiniotks mie uohvirsk qui ok pirtioifio ce fkobuotk C.

Oktc Oktcfhöo fhöo22 C‘ k CF 

O J Y I

Vhngöehfcnioti2 C '   x / x  Y  x  C

R

C‘ > Y - C

J K O

Ibinpek2

R C E I

Y >{307060=09040:0108}

y

C >{3060 90 :0 8}

V

 

FKN\EINIO]K MI YO FKOBYO]K W C N H W

Y 7

K

3

6

C :

1 C‘>{70=04,1}

M K N H

4

O

9

8 =

J Y I R J

\WK\HIMCMIV MIE FKN\EINIO]K 3. (C‘ 6. C∨C‘>Τ 9. Τ‘>Y (C‘)‘>C

K O R C E I

7. CYC‘>Y

=. Y‘>Τ

V

 

\WKGEINCV W C N H W K M K N

\WKGEINC O¼3 Io uo sceöo mi =< ceunoks si kgsirvc qui 31 mi ieeks usco eiotis, 79 usco nkfahec y : ceunoks ok usco eiotis oh nkfahec. »Fuãotks ceunoks usco eiotis y nkfahec; VKEYFHÖO

H O Y I

79> N

R J K O R C E I

79-Q + Q + 31-Q + : 79+31+: -Q E >31 9< -Q -Q 31-Q -Q Q =<

J

79-Q

Q

> =< > =< > =< > =< - 9< > - 3< >  3<

:

V

Wptc2 3<

 

\WKGEINCV W C N H W K M

\WKGEINC O¼7 Mi 3=< pirskocs 4< ok eiio y 9< ok isfrhgio, scghiomk qui 6< söek eiio. »Fuãotcs pirskocs eiio y isfrhgio; VKEYFHÖO

K N

MIE MHCJWCNC ]IOINKV2

H O

3=<

J Y I

1 E

R

I >8<

J K O R C E I

6<

Q

MIE MC]K

3=< ‖ 4< > 1<

6< + Q > 1< Q > 1< - 6< Q > 9<

3=< ‖ 9< > 8<

Wptc2 9<

V

 

\WKGEINCV W C N H W K M

\WKGEINC Mi 37< istumhcotis, 4< cprkgcrko Nctinãthfc, 1< cprkgcrko O¼ 6 Dîshfc, 8< cprkgcrko Ahstkrhc y =< cprkgcrko eks tris fursks. »Fuãotks cprkgcrko ixcftcnioti mks fursks, sh tkmks cprkgcrko pkr ek nioks uo fursk; VKEYFHÖO

K N

MIE MHCJWCNC ]IOINKV2

H O

Q

J Y I

9 \

R J K O R C E I

=<

3<

4<

D >:<

MIE MC]K

=< + 3< + 4< > Q 33< > Q Q > 33<

9< ‖ 3< > =<

:< ‖ 3< > 4<

Wptc2 33<

V

 

\WKGEINCV \WKGEINC O¼ = W C N H W K M

Mi 37< istumhcotis, 4< cprkgcrko Nctinãthfc, 1< cprkgcrko Dîshfc, 8< cprkgcrko Ahstkrhc y =< cprkgcrko eks tris fursks. »Fuãotks cprkgcrko ixcftcnioti mks fursks, sh tkmks cprkgcrko pkr ek nioks uo fursk; VKEYFHÖO

K N

37<

H O J

D >1<

4 N

o

Y I R J K

c

n

=<

O

f

R C E I

8 A

g p

Nctinãthfc c + o + n + =< > 4< c + o + n > 4< - =< c + o + n > 7 1< - =< g + o + p > =< ….(HH)

Ahstkrhc f + n + p + =< > 8< f + n + p > 8< - =< f + n + p > 9 1< ….(HT)

V

 

\WKGEINCV  y HHH  HHH  Vuncomk ecs ifucfhkois H0 HHHH y

W C N H W

37<

D >1<

4 N

o

K M K N H

c n

O

p

f

J Y I

=<

g

K

C E I

Cakrc misfknpkoinks y krmiocnks c + g + f + n + n + o + o + p + p > 33< c + g + f + n + o + p + n + o + p > 33<

1<

J

R

c + g + f + 7o + 7n + 7p > 33<

8 A

R

O

c + o + n > 7< g + o + p > =< f + n + p > 9<

»Fuãotks cprkgcrko ixcftcnioti mks fursks;

HT  ifucfhöo ifucfhöo)) (HT 1< + n + o + p > 33< n + o + p > 33< - 1< n + o + p > 6<

Wptc2 6<

V

 

\WKGEINCV \WKGEINC O¼ 9

Vijòo ecs pridiriofhcs mi =7< pirskocs qui vio eks

W C N

fcoceis C, GGk yF39< si kgsirvc 31 31< 31 7= 7=< f + n + p + x > 7:< c + g + f + 7o + 7n + 7p + 6x > 48< Cakrc scginks qui c + g + f + n + o + p + x > =7<

C E I

c + g + f + 76< > =7<

G >7=<

31 C

c + g + f + n + o + p + x > =7<

c + g + f > =7< - 76< c + g + f > 38< …..(TH) Vuncnks ecs ifucfhkois (H),(HH) y (HHH) c + g + f + 7o + 7n + 7p + 6x > 48< c + g + f + 7o + 7n + 7p + 7x + x > 48<

Dcftkrhzcnks

c + g + f + 7(o 7(o + n + p + x) x ) + x > 48< 76< Wiinpeczcnks

38< 38 48< - 49<

Wptc2 =< Istk shjohdhfc qui =< pirskocs vio

HT  ifucfhöo ifucfhöo)) 76< (HT

V

x > =<

Wiinpeczcomk

eks tris fcoceis

 

\WKGEINCV \WKGEINC O¼ 4 W C N H W

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Wptc2 : Istk shjohdhfc qui : pirskocs

V

 

W C N H W K M K N H O J Y I R J K O R C E I

vhshtcrão skek c Drcofhc