Teoria de Conjuntos

Teoría de Conjuntos. Esta teoría fue creada por el alemán Georg Cantor, tardo 23 años en formularla formalmente. Fue desde 1872 a 1895. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos. Por ejemplo: La definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos. Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos. Pero tambaleo con el surgimiento de las Paradojas 1901, encontraras por Russell en primer momento, pero después fue descubierta por mucha, incluso el mismo Cantor. Paradoja: Enunciado o razonamiento que lleva a dos conclusiones contradictorias entre sí, pero validas. (La Policía). El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras o aplicadas. En su forma explicita, los principios terminologías de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas mas mas claras y precisas, y para explicar conceptos abstractos como el infinito. Surgió de la necesidad de darle rigurosidad lógica a las discusiones matemáticas matemáticas con el fin de eliminar la ambigüedad del lenguaje cotidiano. Definición de Conjunto. Es una agrupación, colección o asociación de objetos, seres o cosas bien definidos mediante una regla o características en común. Definición de Elementos. Son los objetos, seres o cosas que pertenecen a un conjunto.

Los Conjuntos se denotan siempre con una letra Mayúscula y los elementos con minúscula. Ejemplo: A= {a,e,i,o,u} Los conjuntos se pueden expresar por los siguientes métodos: Método por Extensión: Se lista todos los elementos. Se separa por comas y se encierra por • llaves. Se conoce también como como método de enumeración y de tabulación. Ejemplo: A= {a,e,i,o,u} •

Método por Comprensión: Es cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos, Es decir se encierra entre llaves una propiedad definitoria que exprese específicamente cuáles son los requisitos que debe satisfacer un elemento para pertenecer a l conjunto. Se conoce también como método descriptivo. Ejemplo: {x | x es una vocal}

Los Conjuntos se pueden Representar por: • Extensión • Comprensión • Diagramas de Venn

Clasificación en base a la cantidad de Elementos. Conjunto Finito: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados

por su longitud o cantidad. Ejemplo: El conjunto conjunto de los números naturales naturales menores que 6 puede ser escrito A={0,1,2,3,4,5}. Conjunto Infinito: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud. Es decir, no es posible listar todos sus elementos. Ejemplo: el conjunto de todos los números naturales, que se vería de esta manera N = {0, 1, 2, 3,…, 3,…, n}

Clasificación por Tipo de Conjunto. Conjunto Vacío: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por Ø ó { } Ejemplo: A = {x2 + 1 = 0 | x ∈ R}, El conjunto A, es un conjunto vacío por que no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0. Conjunto Universal: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U ó . Conjunto No Vacío: Es aquel que posee elementos.

Clasificación por Relaciones entre Conjuntos. Igualdad de Conjuntos: Son aquellos conjuntos que poseen exactamente los mismos elementos. Ejemplo: tenemos A = {1, 2, 3} y B = {2, 1, 3}, se dice que A es igual B (A= B), ya que posee los mismos elementos. Subconjunto: Es aquel conjunto R en el cual todos sus elementos pertenecen también al conjunto S. Ejemplo: Tenemos Tenemos R = {a,b,c} y S = {a,b,d,e,c}. Entonces se dice que R es un subconjunto subconjunto de S

(R ⊂ S) Subconjunto Propio: Se dice que es un subconjunto propio de R sí todos los elementos de un conjunto S se encuentran incluidos en él R, Ejemplo: R = {a,b,c,d} y S = {a,b,d,c}. Se simboliza (R ⊆

S). Como podemos ver R = S.

Super Conjunto: Es aquel conjunto que posee un Subconjunto. Ejemplo: Tenemos R = {a,b,c} y S

= {a,b,d,e,c}. Entonces se dice que S es un Super Conjunto de R (S ⊇ R). Se dice que todo conjunto es a la vez S ubconjunto y Super Conjunto de si mismo. Conjunto Potencia: La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si un conjunto es finito con n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2 n subconjuntos. Ejemplo: Tenemos A = {1, 2}, el total de subconjunto es 2 2 = 4. Es decir que tenemos P(A) = { {1,2}, {1}, {2}, {} }

Conjunto Disjunto: Son aquellos que no tienen elementos en común. Es decir, cuando no existen elementos que pertenezcan a ambos. Ejemplo: Tenemos F = {1, 2, 3, 4, 5} y G = {a, b, c, d, e}, no existe elementos comunes. Partición de Conjunto: Cuando un conjunto es dividido en subconjuntos mutuamente excluyentes y exhaustivos.

Relación entre Elemento y Conjunto. Pertenencia: Se dice que un elemento pertenece a un conjunto, cuando esta dentro de ese conjunto. Ejemplo: tenemos tenemos el conjunto A = {1, 2}, decimo que 1 pertenece a A (1 ∈ A). No Pertenencia: Se dice que un elemento no pertenece a un conjunto, cuando no esta dentro de ese conjunto. Ejemplo: tenemos tenemos el conjunto A = {1, 2}, decimo que 3 no pertenece a A (1 ∉ A). Operaciones de Conjuntos. Unión de Conjunto: Es aquel conjunto de todos los elementos de A con los elementos de B. La unión se expresa: (A ∪ B). Ejemplo: Tenemos A = {1,2} y B = {3,4}, la unión seria A ∪ B = {1,2,3,4}. Intersección de Conjunto: Es aquel conjunto de todos los elementos que pertenecen a los conjuntos A y B simultáneamente. La intersección se expresa (A ∩ B). Ejemplo: Tenemos A = {1,2,3,4} y B = {3,4,5,6}, la intersección seria A ∩ B = {3,4}. Diferencia de Conjunto (Complemento Relativo): Es aquel conjunto de aquellos elementos que pertenecen al conjunto A pero que no pertenecen al B o viceversa. La diferencia se expresa (A – B) o (A \ B). Ejemplo: Tenemos Tenemos A = {1,2,3} y B = {1,2,4}, la diferencia seria A – B = {3} y B – A = {4}. Complemento de Conjunto: Es aquel conjunto de elementos que pertenecen al Conjunto Universal o al Super conjunto, pero no pertenecen al subconjunto A. El complemento se expresa C (A ) o (A’). Ejemplo: Tenemos U = {1,2,3,4,5} y su subconjunto A = {1,2,3}, el complemento de A en c este caso seria A = {4,5}. Producto Cartesiano: Es un conjunto producto formado por parejas de elementos, un elemento de esa pareja pertenece al conjunto A y el otro pertenece al B. El producto cartesiano se expresa (A × B). Ejemplo: Tenemos A = {1,2} y B = {3,4}, el producto cartesiano seria A × B = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}. Leyes de Conjuntos. Idempotencia (Igual Potencia): •

A∪A=A

•

A∩B=A

Asociativa: •

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

•

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Conmutativa:

•

A∪B=B∪A

•

A∩B=B∩A

Distributiva: •

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

•

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)

Identidad:

A∪℧=℧ • A∪∅=A Involutiva:

A∩℧=A A∩∅=∅

•

•

C C

(A ) = A

Complementariedad: C

C

•

A∪A =℧

A∩A =∅

•

℧C = ∅

∅C = ℧

D’Morgan: C

C

C

•

(A ∪ B) = A ∩ B

•

(A ∩ B) = A ∪ B

C

C

C

Principio de Conteo: •

n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) Para cualquier conjunto A y B: •

•

A∩B=∅ A∩B≠∅

C

A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B )

Investigación realizada por Lic. Jorge Gálvez. UNAB.