Teoria de Conjuntos Por Regiones
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Matemáticas
LEONAR EULER : matemát ico su izo izo (1707 – (1707 – 1783) 1783) JHON VENN: mate mático inglés (1834 (183 4 – 1923) 1923)
Diagrama de Venn Euler
Consiste en dibujar un rectángulo para representar el conjunto universal y círculos para representar los subconjuntos del mis mis mo, en cuyo interior interior estarán to dos los elementos elementos . Los círculos círculos s e dibujarán dibujarán de forma que pued an representarse todas todas las pos ibles operaciones y relaciones entre ent re ellos ellos .
Todos Todos los conjuntos conjuntos considerados c onsiderados en un diagrama son subconjuntos d el Ω Ω
A
Ω (El conjunto conjunto A es subconjunto del Conjunto Conjunto Universal)
3, 4, 4, 5, 6, 6, 7} 7} Ω = {1, 2, 3,
A
A = {1, 3, 5, 7} 7}
Ω A
B
A =
R 1 + R 2
B =
R 1 + R 3
A’ =
R 3 + R 4
B’ =
R 2 + R 4
A’ ∩ B’ =
R 4
A ∩ B
R 1
A – B B
R 2
B – A A
R 3 R 4
A’∩ B’
A – B B =
elementos entos de A que no no están en B ( R 2 ) R 2 Todos los elem
A ∩ B’ =
elementos que están simu simu ltáneamente ltáneamente en A y fuera de B ( R 2 ) R 2 Todos los elementos
Ω
A – B – B = A ∩ B’
A A ∩ B’ B’
B A ∩ B
A’ ∩ B
A’∩ B ’
Complemento de la Diferencia A∩ A’
B’
Todos los elementos elementos que están en Ω pero fuera fuera de A – B B ( R 2 ) Todos los elementos elementos que están fuera de A.
A’= R 3 + R 4 B = R 1 + R 3
A’U B = R 1 + R 3 + R 4
A’=
(A – (A – B)’ = B)’ = R 1 +
R 3 + R 4
A = R 1 + R 2 A’= R 3 + R 4 B = R 1 + R 3 B’= R 2 + R 4
R 3 + R 4 (A – (A – B)’ B)’ = A’U A ’U B
Ω
A
B R 2
R 4
R 1 R 3
C
R 6
A = R 1 + R 2 + R 3 + R 4 A’= R 5 + R 6 + R 7 + R 8
C = R 1 + R 3 + R 5 + R 7 C’= R 2 + R 4 + R 6 + R 8
B = R 1 + R 2 + R 5 + R 6 B’= R 3 + R 4 + R 7 + R 8
R 5
R 7 R 8
R 1 = A ∩ B ∩ C R 2 = A ∩ B ∩ C’ C’ R 3 = A ∩ B’∩ B’∩ C Bernardina Acevedo Noz
R 4 = A ∩ B’∩ B’∩ C’ R 5 = A’∩ B ∩ C R 6 = A’∩ B ∩ C’
R 7 = A’∩ B’∩ C R 8 = A’∩ B’∩ C’ C’ 1
Matemáticas
NÚMERO DE R EGIONES EN LOS DIAGRAMAS DE VENN n
Un diagrama de “n” conjunto s tiene 2 regiones.
R EGIONES EN LOS DIAGRAMAS DE VENN En los diagramas de V ENN se conocen varias regiones. Las regiones se simbolizan por la letra “R” y son utilizadas para identificar las relaciones de pertenencia y las operaciones combinadas entre conjuntos. Las regiones que pueden definirse en los diagramas más utilizados son:
2 1 = 2 regiones
DIAGRAMA PARA UN CONJUNTO “A” Ω
R 1 = Elementos exc lusivamente de A
A R 1
R 2 = Elementos solamente de A’ A’
R 2 = Elementos que pertenecen a Ω pero que están fuera de A
R 2
DIAGRAMA PARA DOS CONJUNTOS Ω A
B
R 1
R 2
R 3 R 4
DIAGRAMA PARA TRES CONJUNTOS
“A
2 2 = 4 regiones
y B”
R 1 = Elementos de A y ele mentos de B.
R 1 = A∩ B
A = R 1 + R 2
R 2 = Elementos de A exclus ivamente.
R 2 = A ∩ B’
A’=
R 3 = Elementos de B so lamente.
R 3 = A’∩ B
B = R 1 + R 3
R 4 = Elementos fuera de A y fuera de B.
R 4 = A’∩ B’
B’=
“A, B
y C”
A
B R 2
R 4
R 1 R 3
C
R 2 + R 4
2 3 = 8 regiones
R 1 = A ∩ B ∩ C =
Ω
R 3 + R 4
Elementos de A, B y c si mu ltáneamente.
R 2 = A ∩ B ∩ C’ = Elementos de A y B so lamente. R 3 = A ∩ B’∩ C = Elementos de A y C so lamente.
R 6
R 4 = A ∩ B’∩ C’ = Elementos exc lusivos de A.
R 5
R 5 = A’ ∩ B ∩ C = Elementos de B y C so lamente. R 6 = A’∩ B ∩ C’ = Elementos de exc lusivos de B.
R 7 R 8
R 7 = A’∩ B’∩ C = Elementos de exc lusivos de C. R 8 = A’∩ B’∩ C’ = Ele mentos que está n fuera de A, B y C si mu ltáneamente.
Bernardina Acevedo Noz
2
Matemáticas
PARA 3 CONJUNTOS Ω
B
A
1 3 C
6
2
4
7
5 8
CONCEPTO
REGIONES
1)
Cuando menos uno
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
2)
Cuando menos dos
1, 2, 3, 5
3)
Exactamente uno
4, 6, 7
4)
Exactamente dos
2, 3, 5
5)
Sólo A y B
2
6)
Sólo A y C
3
7)
Sólo B y C
5
8)
Sólo A o B
2, 4, 6
9)
Sólo A o C
3, 4, 7
10)
Sólo B o C
5, 6, 7
Bernardina Acevedo Noz
3
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