Teoria De Conjuntos: Conteúdos 1. Teoria de Conjuntos 1.1. Revisão sobre noções básicas: Objectivos

TEORIA DE CONJUNTOS Sxw >z

Objectivos

12WEDF Usar os símbolos para 







relacionar conjuntos entre si e seus elementos; Representar um conjunto por extensão e  por compreensão, através de diagramas de venn, chavetas e/ou intervalos e na recta graduada; Efectuar operações de reunião, intersecção e diferença de conjuntos; Resolver problemas concretos da vida real, aplicando as  propriedades das operações sobre conjuntos.

Conteúdos 1. Teoria de Conjuntos 1.1. Revisão sobre noções básicas: Conjunto e elemento de  um conjunto; Representação de  conjunto; Relação de pertença;  Definição de conjuntos   por extensão e por compreensão; Conjunto vazio e  conjunto singular 1.2. Relações entre conjuntos 1.2.1. Subconjuntos. Relação de inclusão (contém e está contido) 1.2.2. Igualdade de conjuntos 1.2.3. Conjunto universal. 1.3. Operações com conjuntos 1.3.1. Reunião de conjuntos 1.3.2. Intersecção de conjuntos 1.3.3. Diferença de conjuntos 1.3.4. Complementar de conjunto 1.3.5. Propriedades das operações de conjuntos 1.3.6. Resolução de problemas concretos da vida real

Teoria de Conjuntos 1.1 Introdução

Uma boa parte da linguagem utilizada nos vários ramos da Matemática foi influenciada durante o século XX pela Teoria de Conjuntos, criada por Cantor . Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)  –   Notável matemático russo que, antes dos 30 anos, publicou seus trabalhos sobre a Teoria de Conjuntos. Vamos introduzir o conceito de conjunto na linguagem do dia a dia. Conceito de conjunto Conjunto é uma colecção ou agrupamento não ordenado de pessoas, objectos, números, letras, cidades, etc. Um conjunto é bem definido quando se pode estabelecer com certeza, se um determinado elemento pertence ou não ao conjunto. Por exemplo, podemos dizer com toda a certeza que um determinado aluno é elemento do conjunto “dos alunos da 10ª classe da Escola Secundaria de Tete”, e também que 3 é elemento do conjunto “dos números impares” e que 6 não é.

Mas seria impossível definir, com toda a certeza, que um certo aluno pertence ao conjunto “das pessoas altas” ou se um determinado problema de Matemática faz parte “dos problemas fáceis”.

Exemplos 1. Os números naturais 2. As letras a,e,i,o,u Alguns conjuntos padrão são nomeados para facilitar seu uso e referência, tais como: = conjunto de todos os números os números inteiros não negativos (o zero também é  número natural) = conjunto de todos os números inteiros  = conjunto de todos os números racionais  = conjunto de todos os números reais  Elemento

São elementos do conjunto, os objectos, números, letras, etc. que fazem parte da formação de um conjunto. Nos exemplos anteriores os números naturais são elementos do conjunto dos números naturais, e as letras a,e,i,o,u são elementos do conjunto das vogais.

Representação de conjuntos

Os conjuntos são designados por letras maiúsculas: A,B,...........L,M.......X,Z E os elementos dos conjuntos por letras minúsculas: a, b,....., l,m,.........x,z , dentro de chavetas e separados por vírgulas. Exemplo  A 

a,

b , c , d  

Relação de pertença

Quando, por exemplo um objecto é elemento de um conjunto, diz-se que ele pertence a esse conjunto. De um modo geral, se um elemento qualquer  x faz parte de um conjunto A, diz-se que ele  pertence ao conjunto A e indica-se simbolicamente da seguinte maneira:  x  A   e lê-se “ x  pertence ao conjunto A”.  No caso do exemplo anterior, “b” pertence ao conjunto A. Simbolicamente escreve-se da seguinte maneira: b  A Por outro lado a letra “e” não pertence ao conjunto A, ou “e” não é elemento do conjunto A Simbolicamente escreve-se da seguinte maneira: e  A. Sendo o símbolo   a negação de  Formas de designar os conjuntos 1. Extensão ou enumeração

Consiste em indicar todos os elementos do conjunto, em qualquer ordem, sem repetição e dentro de chavetas. Este método é utilizado quando o número de elementos não é grande. Exemplos. Ilustração do método a) A, conjunto dos números ímpares menores que 12  A  1, 2, 3, 5, 7, 9,1 1  .  b) B, conjunto dos múltiplos de 3 menores que 10.  B   3, 6, 9 

c) P, conjunto das províncias de Moçambique  P   M a p u t o , G a z a , I n h a m b a n e , S o f a l a , M a n i c a , T e t e , Z a m b e z i a , N a m p u l a, N i a s s a, C a b o D e lg a d o,



2. Por compreensão ou por uma característica comum a todos os elementos do conjunto

Consiste na definição do conjunto através da propriedade comum a todos os elementos desse conjunto.  Não é sempre que se pode representar um conjunto como no caso anterior, por Extensão. Por exemplo não se pode designar os nomes de todos os elementos do conjunto dos números fraccionários entre 1 e 2. Então recorre-se à representação simbólica do conjunto, através de uma propriedade que é comum a todos os elementos do conjunto e que não é valida para os elementos doutros conjuntos. Então, se considerarmos o conjunto A como sendo “dos números fraccionários entre 1 e 2”,

cada elemento de A deve ser um número fraccionário compreendido entre 1 e 2. Para representar um elemento qualquer do conjunto A, usamos a variável,  x,  por exemplo. Esta variável, pode ser substituída por qualquer elemento do conjunto. Portanto, A pode-se representar da seguinte maneira:

Considerando

, como conjunto dos números fraccionários e usando o símbolo “:” ou “|” cujo significado é “ tal que” ter -se-á

Exemplos. Ilustração do método a) A, conjunto dos meses cuja primeira letra é J.  A   x :  x é um mês

que começa

 por   J  

 b) B, conjunto dos números naturais maiores que 100.  B   x  N : x  1 0 0 

c) C, Conjunto dos múltiplos de 2. C   x : x  2 n  n  N  

Exercícios

E1. Dado o conjunto

 A   a , e , i , o , u  ,

indique quais das seguintes afirmações são

verdadeiras: a)

a A

,

b)

cA

,

c)

u  A

,

d)

h A

,

e)

 j  A

E2. Represente pelo método de enumeração dos elementos, os seguintes conjuntos:

a) A, conjunto dos números primos menores que 12  b) B, conjunto dos pólos geográficos c) C, conjunto dos divisores de 6 E3. Represente os seguintes conjuntos usando uma propriedade comum aos elementos a)

 A  1, 3, 5, 7 

 b)  B  1 , 2 , 4 , 8 , 1 6  Conjunto vazio

Considere o seguinte conjunto: M = {Cidadão moçambicano com 150 anos de vida} Este conjunto não possui nenhum elemento. Conjunto vazio é um conjunto que não possui elementos. Usa-se a notação {}ou para representar o conjunto vazio. Observe-se que o conjunto  0  é um conjunto com um só elemento que é 0, e não um conjunto vazio. Exemplos. a)  N u m e r o s  b)  x  N

p r i m o s d i v i s i v e i s p o r 1 0    

2



:x  2  0 



Conjunto singular

É todo o conjunto que tem apenas um só elemento Exemplos. a)  A   x : x  N

 2  x  4 

 3

 b) Exercícios

E4. Verifique se é singular ou vazio cada um dos seguintes conjuntos: a)  b)

 A   x : x  3  0 

c) Conjunto Universal ou Universo

O conjunto universal ou universo, é o conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual se está a trabalhar. O conjunto universo é designado é representado pela letra “U” Diagrama de Venn

 Nem sempre interessa saber quais são os elementos que fazem parte do conjunto, mas sim as suas características. Um conjunto pode representar-se por uma região do plano delimitada  por uma curva fechada. Essa figura chama-se Diagrama de Venn.

a A

e

b A

 No diagrama de Venn, o conjunto universal “U”, representa-se por um rectângulo, o

conjunto pela curva fechada e o elemento por um ponto Cardinal de um conjunto

O cardinal de um conjunto, é o número de elementos desse conjunto e designa-se pelo símbolo n(A) ou , se o conjunto é A. Exemplos a) Se

 A   0,1, 2, 3, 4 

 , então n(A) = 5

 b) Se  B   1, 3, 5, 7 , 9, 1 1,.......  , então n(B) é infinito

1.2 Relações entre conjuntos Subconjuntos

Consideremos os seguintes conjuntos:

Todos os elementos de B fazem parte de A, e no diagrama de Venn, o conjunto B está no interior do conjunto A. Diz-se que B está contido em A ou B é subconjunto de A ou A contém B.

Definição: Um conjunto

A está contido no conjunto B, se e somente se, todos os elementos do conjunto A são elementos do conjunto B. Diz-se que A está contido em B ou que A é subconjunto de B.   Notação:  A  B , onde “  “ é o símbolo de inclusão, e lê-se A está contido em B. Ou, alternativamente que B contém A.   Notação: B  A , e lê-se B contém A. Havendo pelo menos um elemento do conjunto A que não pertence ao conjunto B,  diz-se que  A  B Exemplos a) Dados os conjuntos:  A    1, 0 , 1 e B    2 ,  1, 0 , 1, 2 

 b)

, então

 A  B

 ou

 B  A

, então A não é subconjunto de B, ou  A  B  uma vez que 2 é um número primo mas não é um número ímpar, isto é; 2   A m a s 2  B .  A   n u m e r o s p r i m o s  e B   n u m e r o s i m p a r e s 

O símbolo de pertença “  “ é usado para relacionar elemento e conjunto e o símbolo de inclusão “  “ é usado para relacionar dois conjuntos.

Exemplos a) 2   2 , 4  e n ã o

2

 2 , 4 ,

m a s  2 

 2 , 4 .

 b) O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A, pois se não estivesse contido em qualquer conjunto A, existiria pelo menos um elemento do conjunto vazio que não estaria contido em A, o que é absurdo, uma vez que o conjunto vazio não contém nenhum elemento.

Igualdade de conjuntos

Os conjuntos A e B são iguais, se e somente se, possuem exactamente os mesmos elementos, isto é se A é subconjunto de B e B é subconjunto de A.  Notação A = B Exercícios

E5. Determine o valor de x de modo que os conjuntos abaixo sejam iguais a) 1,  x  2 , 5   1, 1 2 , 5  , E6. Dado o conjunto a)

a A

,

b)

b)  2 , 4 , 8 , 1 6    2 , 4 , 8 ,

 A   a , b , c , d  

b A

,

c)

c A

2

 x



, assinala as afirmações correctas: ,

d)

d  A

E7. Das afirmações que se seguem, assinala as que estão correctas a)  0 ,1, 2    2 ,1, 0  , b)  3 , 5   1, 3 , 5 , 7  , c)  2    2 , 4 , 6  , d)

 

 2, 6, 8

1.3 Operações com conjuntos Reunião de conjuntos

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B, ou a ambos. Designação:  A  B   x : x  A o u x  B  Do ponto de vista gráfico, a reunião de dois conjuntos A e B pode ser vista como:

Exemplos a) Se  A   a , e , i , o , u  e  No diagrama de venn

B   b , c  , e n ta o A  B   a , b , c , e , i, o , u 

 b) Se S e A   0 ,1, 3  e B   0 ,1  No diagrama de venn

e n tã o A  B   0 , 1, 3 

Intersecção de conjuntos

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B Designação:  A  B   x : x  A e x  B  Graficamente, a intersecção entre dois conjuntos A e B , é dado por:

Quando a intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, diz-se que os conjuntos são disjuntos. Exemplos a) Se  A   a , e , i , o , u  e B   c , i , n , u  , e n t a o A  B   i, u   No diagrama de venn

 b)

 A   2 , 4 , 6 , 8, 1 0  e B  1, 3 , 5  , e n t a o A  B  

 No diagrama de venn

Diferença de conjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Designação:  A \ B   x : x  A e x  B  Do ponto de vista gráfico, a diferença entre dois conjuntos A e B pode ser vista como:

Exemplo: S e A   2 , 4 , 6 , 8 , 1 0  e B   4 , 6  e n t ã o A \ B   2 , 8 ,1 0 

Complementar de um conjunto

O complementar de um conjunto A contido no Universo, é o conjunto dos elementos do Universo, que não pertencem ao conjunto A. Designação:  A   x : x  U e x  A  Graficamente, o complementar do conjunto A , é dado por:

Exemplo S e U  1, 3, 5 ,7 , 9 , 1 1 e A   5 ,1 1 , e n tã o A   1, 3, 7 , 9

1.4 Propriedades das operações de conjuntos 1. Reflexiva

Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:  A  A  A e

2. Inclusão

A A  A

Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:  A  A  B , B  A  B , A  B  A , A  B  B

3. Inclusão relacionada Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:  A  B e q u i v a l e a A  B  B  A  B e q u i v a l e a A  B  A

4. Associativa Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:  A  ( B  C )  ( A  B )  C   A  ( B  C )  ( A  B )  C 

5. Comutativa Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:  A  B  B  A  A  B  B  A

6. Elemento neutro para a reunião: O conjunto



  é o elemento neutro para a reunião de

conjuntos, tal para todos conjunto A, se tem:  A    A

7. Elemento nulo para a intersecção: A intersecção do conjunto vazio   com qualquer outro conjunto A, é o próprio conjunto vazio.  A     

8. Elemento neutro para a intersecção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a intersecção de conjuntos, tal que para todo o conjunto A, se tem:  A  U  A

9. Distributiva: quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

 A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C  )  A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C  )

10. Leis de Morgan: Dados os conjuntos A, B e o universo U, tem-se que:  A   B   A   B  A   B   A   B

Exercícios

E8. Dados os conjuntos  A  1, 2 , 3 , 9  a)

 A \ B

,

b)

 A  B

,

c)

e B  1, 2 , 4 , 5 

, determine:

 A  B

E9. Dados os conjuntos U  1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9  , A  1, 3, 5 , 7 , 9  , B   2 , 4 , 6 , 8  e C  1, 2 ,  3 , 4 , 5 

a)

 A  B

, b)  B  C  , c)

C \ A

, d)  A , e)  A \ B , f)

 A  B

, g)

, determine:

 A  C 

, h)

(  A \ B )  C 

1.5 Aplicações de conjuntos

A teoria de conjuntos pode ser usada para a resolução de certo tipo de problemas. Vejamos o seguinte exemplo: Dos 40 alunos da 10ª classe, turma A, duma Escola Secundária, 24 alunos praticam futebol de onze e 18 basquetebol. Se 12 praticam futebol e basquetebol, quantos alunos não praticam nenhuma das duas modalidades? Resolução:

U   a l u n o s d a 1 0 ªc l a s s e   F 

 a lu n o s q u e

p r a t i c a m f u te b o l 

 B   a lu n o s q u e p r a ti c a m b a s q u e t e b o l 

a..........alunos que só praticam futebol  b.........alunos que só praticam basquetebol c..........alunos que não praticam nenhuma das duas modalidades n(F )  24  a  12  a  24 12 12 n(B ) 18  b  12  b 18 12  6 n (U )  4 0  a  b  c  1 2  4 0  1 2  6  1 2  c  c  4 0  3 0  1 0

Resposta: 10 alunos não praticam nenhuma das modalidades

Exercícios Propostos P1 Enumere os elementos de cada um dos seguintes conjuntos: a) A, conjunto dos números pares, positivos, menores que 16  b) B, conjunto dos múltiplos de 3, c) C, conjunto das capitais provinciais de Moçambique d) D, conjunto das vogais do alfabeto português e)  E   x  N : x  4 e x  1 2  f)  F   x  N g)

2

: x  2 x  15  0



G   N ú m e r o s p r im o s d i v is í v ei s p o r  6



P2 Escreva os seguintes conjuntos usando o método da propriedade característica a) A, conjunto dos números fraccionários entre1 e 2  b) B, conjunto dos números naturais maiores que 500 c) C, conjunto dos múltiplos de 2 P3 Dado o conjunto  A  1, 3, 5, 7, 9,1 1,13  , diga se as proposições abaixo indicadas são verdadeiras (V) ou falsas (F): a) 3  A b) 1 1  A c) 9  A d) 7  A e)    A f) 1 5  A P4 Considerando os diagramas onde A, B e C são conjuntos não vazios: Indique as afirmações verdadeiras: a)  B  C   b)  A  B c) C  A d)  B  C 

P5  Sendo a)  A  B

 A   3 , 4 , 5 , 6 , 7  e B   5 , 6 , 7 , 8 , 9 , ...... 

b)

 A  B

c)

, determine:

 A \ B

P6 Observe o diagrama e indique os elementos dos seguintes conjuntos: a) A  b) B c) C d)  A  B  C 

P7  Seja U  1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8  , seguintes conjuntos: a)  B  C  , b)  A  C  , c)  A 

A  1, 2 , 3 , 4 , 5  , B  1, 2  e C   5 , 6  

B  C 

,

d)  A ,

e)

,

determine

os

 A \ B

P8 Dados os conjuntos  A   0 ,1 , B   0 , 1, 2  , C    2 , 3  e o conjunto universo U    0, 1, 2, 3  , determine os seguintes conjuntos: a) (  A  B )  ( B  C  ) f) (  A  B )  C   b) (  A  B )  ( B  C  ) g)  A  B  C  c) (  A  B )  ( B  C  ) h)  A \ C  d) (  A  B )  ( B  C  ) i)  B  C  e)  A  B  C  j) C  B P9 Uma escola com 415 alunos, 221 estudam Inglês, 163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas. Quantos alunos não estudam nenhuma das duas línguas? P10 Numa festa estão presentes 60 membros de uma organização juvenil e 40 mulheres não  pertencem a esta organização. Um quinto dos membros desta organização juvenil presentes é estudantes. Se 63 não estudam, quantos estudantes não são membros desta organização?

Auto- avaliação Tenta resolver as questões a seguir formuladas para controlares tu próprio, se já és capaz de resolver o seguinte teste sem fazer alguma consulta com a finalidade de avaliar o seu desempenho. TESTE

T1 Dado conjunto A = {a, b, c, d } então: A. {a} A B. a A C. {a} A T2 Qual das seguintes afirmações são verdadeiras: A. B. T3

é igual a: B.

A.

D. A {a, b, c, e}

C.

D.

C.

D.

T4 Se A = {1, 3, 5, 7, 19} e B = { x  | x -5 = 2} e C = { x  | 5