Teoría de Conjunto

a

b

d g e

f

TEORÍA DE CONJUNTOS AUTOR:

JUAN ALFREDO HUAMANCHAQUI QUISPE

Índi e General 1. Teoría de onjuntos

3

Rela ión de pertenen ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

lasi a ión de onjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Conjuntos espe iales

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rela ión entre onjuntos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Ejer i ios de onjuntos espe iales y tipos . . . . . . . . .

8

Cuanti adores

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejer i ios de uanti adores

. . . . . . . . . . . . . . .

18

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Opera iones entre onjuntos Conjunto poten ia

P (A)

Ejer i ios de Demostra ión de Conjuntos

. . . . . . . .

30

Cardinal de onjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Ejer i ios de ardinal de onjuntos . . . . . . . . . . . .

39

Ejer i ios omplementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Bibliografía

P

13

[email protected]

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Li : Juan A. Huaman haqui

Cap´ıtulo

1

Teoría de onjuntos Deni ión:

Un onjunto es la agrupa ión o ole

ión de ualquier

tipo de entidades u objetos que tienen propiedades omunes.

Observa ión Para que el onjunto este bien denido se debe basar en los siguiente. 1. La ole

ión de objetos debe de estar bien denida. 2. Ningún objeto del onjunto se debe ontar mas de una vez. 3. El orden en que se en uentra estos objetos are en de importan ia

Nota ión: 1. A los onjuntos los representaremos on las letras mayús ulas, esto es,

A, B, C, . . ..

elementos,

y ada ele-

mento es representado por la letra minús ula, esto es,

a, b, c, d, . . .

2. los objetos de un onjunto son llamados

y estos elemento serán en errado por llaves

{. . .}.

Rela ión de pertenen ia La rela ión de pertenen ia (se en uentra, esta, letra griega

∈,

. . .),

se indi a por la

de modo que:

a es un elemento del onjunto A, enton es denotaremos la pertenen ia

on el símbolo griego ∈, se es ribe omo a ∈ A y se lee a pertene e al

onjunto A. Si

3

CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS CAPÍTULO 1.

Si

b

no es un elemento del onjunto

nen ia on el símbolo al onjunto

A.

∈ /,

A,

TEORÍA DE CONJUNTOS

enton es denotaremos la perte-

se es ribe omo

b∈ /A

y se lee

b

no pertene e

lasi a ión de onjuntos Los onjuntos de pueden lasi ar en nito e innito. 1.

Conjunto Finito: Tiene un número nito de elementos, es de ir, se en uentran determinados por su longitud o antidad

Unos ejemplo sen illos: en onjunto onformado de las abe edario, el

onjunto onformado de las vo ales, el onjunto onformado de los diez primeros números primos, el onjunto onformado de los departamentos del Perú, El onjunto onformado de los distritos de Huamanga, et 2.

Conjunto Innito: Son aquellos onjuntos que no se pueden ontar o determinar su longitud.

a ) Conjunto innito numerable:

Es innito numerable si a-

da uno de sus elementos puede ser indexada por los números naturales.

b ) Conjunto innito no numerable: Es innito no numerable si sus elementos no puede ser indexada por los números naturales. Unos ejemplo sen illos: En onjunto de los números naturales, el onjunto de los números enteros, el onjunto de los números ra ionales, en

onjunto de los números reales, el onjunto de los números omplejos, el

onjunto onformado por las estrellas del universo, et .

Notemos que: Cada onjunto puede ser expresado por omprensión y por extensión:

1.

Un onjunto es expresado por extensión si se des ribe ada uno de sus elementos.

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Li : Juan A. Huaman haqui

CONJUNTOS ESPECIALES

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Sean los onjuntos:

A = {a, b, c, d, e, f, g}, B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 16}, C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . .} 2.

Un onjunto es expresado por omprensión

si ada uno de

sus elementos tiene una propiedad en omún (Una fórmula de orresponden ia). Sean los onjuntos:

A = {x/x es un número par}, B = {x/x > 100}, C = {x/x es una vo al}

Conjuntos espe iales Conjunto va ió: por

∅

Es aquel que no tiene elementos, y se simboliza

y es denido por

∅ = {x/x 6= x}.

Conjunto unitario: Es el onjunto que tiene uno y sólo un elemento. Conjunto universal: Es un onjunto jo del ual se toman otros onjuntos y es representado por

U

Ejemplo 1.0.1. De ir si los onjuntos on va íos, unitarios 1. A = {x ∈ N/x2 − 1 = 0} Solu ión: A es un onjunto un onjunto unitario pues x = 1 tal que umpla x2 − 1 = 0 2. B = {{x}}

Solu ión: B es un onjunto unitario porque tiene un sólo elemento y es {x}.

3. C = {∅}

Solu ión: C es un onjunto unitario porque tiene un sólo elemento y es ∅.

4. A = {x ∈ R/x2 + 1 = 0} Solu ión: A es un onjunto va ió pues no existe un x ∈ R tal que

umpla x2 + 1 = 0 5. B = {x ∈ R/x = ∞} Solu ión: B es va ió porque ∞ no es un número. P

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RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

6. C = {x ∈ Z/5 < x < 6} Solu ión: C es un onjunto va ió, porque no existe un entero entre 5 y 6. 7. A = {−2, 0, 1, 2}, B = {1, 3, 5, 6}, C = {0, 2, 4} Solu ión: El onjunto universo es U = {−2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

8. B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, . . .}, C = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, . . .}, A = {10, 20, 30, 40, 50, 60, . . .}

Solu ión: El onjunto universo es U = B . 9. A = {x ∈ N/0 < x < 8}, B = {x ∈ Z/ − 1 < x < 7} y C = {x ∈ N/ − 5 < x < 0}

Solu ión: El onjunto universo es U = {x ∈ Z/ − 1 < x < 8}.

Rela ión entre onjuntos 1.

Conjunto iguales:

Dos onjuntos

A

B

y

son iguales si y sólo si

tiene exa tamente los mismos elementos.

Ejemplo 1.0.2.

) Los onjuntos A = {x + 3} y B = {2x + 5} son onjuntos iguales, Halle el valor de x. Solu ión: hallando la igualdad tenemos que x = −2 n b) Los onjuntos A = {x } y B = {2} son onjuntos iguales, Halle el valor de x. √ Solu ión: hallando la igualdad tenemos que x = n 2

2.

a

Sub onjuntos: Un otro onjunto

B,

onjunto

esta ontenido o esta in luido en

si y sólo si todos los elemento del onjunto

pertene en al onjunto

3.

A

B,

y será denotado por

A

A⊂B

Conjunto disjuntos: Se di e que los onjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos en omún.

Ejemplo 1.0.3. Diga si los siguiente onjuntos son disjuntos. ) A = {a, b, c} y B = {{a}, {b}, {c}}.

a

P

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RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

) A = {x ∈ N/x es par} y B = {x ∈ N/x es impar}

b 4.

Conjunto de onjuntos: También llamado familia de onjuntos, es el onjunto que tiene omo elementos otros onjuntos.

Ejemplo 1.0.4. Las familias de onjuntos son de la forma: ) B = {{1}, {2}, {3}, {4}} b) C = {{5}, {2}, {3}, {4}} a

5.

Conjunto poten ia:

Sea el onjunto

A.

Se denomina onjunto

poten ia al onjunto de todos los sub onjuntos del onjunto será denotado por

A,

es

P (A).

Observa ión: El número de elementos del onjunto poten ia P (A)

2n , siendo n el número de elementos del onjunto A. El onjunto va io ∅ y el onjunto A son elementos del onjunto poten ias P (A). es

Ejemplo 1.0.5. Halle el onjunto poten ia de A = {1, 2, 3, 4}. Solu ión: el onjunto tiene 4 elementos, enton es nuestro onjun-

to poten ia tendrá 24 elementos y el onjuntos es

P (A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 4, 3}, {4, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}

Ejemplo 1.0.6. 1. Cuantos de los siguientes onjuntos son va íos.

) A = {x ∈ R/x = x ∧ x 6= x} Solu ión: Por deni ión de los números reales no puede o urrir que x = x ∧ x 6= x, por lo tanto A es un onjunto va ío. 2 b) A = {x ∈ N/x + 3x + 2 = 0} Solu ión: hallemos las solu iones de la e ua ión: a

x2 + 3x + 2 = 0 ⇒ (x + 2)(x + 1) = 0 ⇒ x+2=0∨x+1=0 ⇒ x = −2 ∨ x = −1

enton es el onjunto es A = {x ∈ N/x = −2 ∨ x = −1}, por lo tanto A es un onjunto va ío. ) A = {x ∈ Q/3 < x < 4} Solu ión: A no es un onjunto va ió pues basta tomar que 3+4 x= .

2

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RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

) A = {x ∈ I/x2 − 1 = 0} Solu ión: hallando la e ua ión.

d

x2 − 1 = 0 ⇒ (x − 1)(x + 1) = 0 ⇒ x−1=0∨x+1=0 ⇒ x = −1 ∨ x = 1

enton es el onjunto es A = {x ∈ I/x = −1 ∨ x = 1}, por lo tanto A es un onjunto va ío. 2. Demuestre que el onjunto A es un onjunto va ió. A = {x ∈ R/x8 + 10x6 + 35x4 + 50x2 + 24 = 0}

Solu ión: Basta demostrar que la e ua ión

x8 + 10x6 + 35x4 + 50x2 + 24 = 0 no tiene solu ión real.

Apli ando la fa toriza ión de Runi se tiene:

(x2 + 1)(x2 + 2)(x2 + 3)(x2 + 4) = 0 de esto se on luye que el onjunto A es va ió. 5 x 3. El onjunto A = {x ∈ N/ x−3 + 12 < 12 + 2x + 3} es un onjunto 3 unitario? Solu ión: Expresemos el onjunto A es forma de extensión.

A = {x ∈ N/ − A=N

33 21

< x}

7 4. Exprese el onjunto B = {x ∈ Z/ 23 < x−1 x+3 < 9 } en forma extensa. Solu ión: EL onjunto B es equivalente a x−15 B = {x ∈ Z/0 < x−9 x+3 ∧ x+3 < 0} enton es B = {10, 11, 12, 13, 14}

Ejer i ios de onjuntos espe iales y tipos Ejemplo 1.0.7. Sea el mapa del perú 1. Denir los siguientes onjuntos por extensión, de los nombres del mapa. ) Sea A el onjunto de rela ión de nombres del departamento del Perú que ini ia on la letra a, m, n, h

a

P

[email protected]

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RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

) Sea B el onjunto de rela ión de nombres del departamento del Perú que ini ia on la letra p, n, j, l

) Sea C el onjunto de rela ión de nombres del departamento del Perú que ini ia on la letra t, u, a, s, c d) Sea D el onjunto de rela ión de nombres del departamento del Perú que ini ia on la letra l, i, j, m, h e) Sea E el onjunto de los departamentos que están junto a los países ve inos. f) Sea F el onjunto de los departamentos que están juntos on Aya u ho. g) Sea G el onjunto de los departamentos que tienes vista al b

P

[email protected]

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RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

o éano. 2. Hallar las interse

iones de A y G. 3. Hallar las interse

iones de E y G. 4. Hallar las interse

iones de E , D y G. 5. Hallar las interse

iones de C , D y G. 6. Hallar la unión de E , D y G. 7. Hallar la unión de A y G. 8. Hallar la unión de E y G. 9. Hallar la unión de A y C . 10. Hallar la unión de D y B . 11. Hallar E − B .

12. Hallar B − A.

13. Hallar C − (A ∪ B).

14. Hallar D − (B ∩ G).

15. Hallar D − (B ∩ G).

16. Hallar (A ∪ G) − (B ∩ G).

17. Hallar (A − G) △ (C − F ).

Ejer i ios de apli a ión:

1. Expresa por extensión los siguientes onjuntos: a)

A={

b)

B = {x/x ∈ N, 18 < x < 27}

)

C = {x/x2 − 25 = 0}

d)

D = {2x + 1/x ∈ N, 2 < x < 6} n o 1 E = 2x+5 /x ∈ N, 1 < x < 9

e)

P

Las letras de la palabra R U F F I N I

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10

R

}

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RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

2. Expresar pon omprensión los siguientes onjuntos

a) b)

) d)

A = {3, 5, 7, 9, 11} B = {+9, −9}

C = {x/x3 − 7x + 6 = 0} D = {1, 2, 23, 25, 27, . . .}

A = {7, 10, 15, 22, 31, 42, 55, 70}. Determinar por omprensión, un sub onjunto de A, uyos elementos sean los números: 10, 22, 42, 70

3. Dado el onjunto:

4. Determinar por omprensión el siguiente onjunto

{36, 45, 54, 63, 72}

5. Demostrar que el onjunto va ió está ontenido en todo onjunto (Sug: suponga lo ontrario). 6. ¾P (∅) es va ío? 7.

A = {m + n, 8, 2m − 2n + 4} un onjunto B = {x/x = mk, k ∈ Z}, C = {x/x = nk, k ∈ Z}. Halle (B p ∪ C p)p .

unitario,

8. Estable er la validez de ada una de las siguientes arma iones a) b)

)

{x ∈ Q/10x2 − 13x − 3 = 0} {x ∈ N/6 < x < 7} {x/x

es un onjunto unitario.

es un onjunto va ió

es múltiplo de 3}, es un onjunto innito

9. Para ada uno de los siguientes pares de onjuntos A y B denir por extensión A y B y de ir si anteriores

a ) A = {x ∈ N|x

es par y

b ) A = {x ∈ N|x

es impar y

) A = {x ∈ N|x

es impar y

d ) A = {x ∈ N|x

es par y

B = {x ∈ N|x + 1 B = {x ∈ N|x + 1 B = {x ∈ N|x − 1 B = {x ∈ N|x − 1

P

[email protected]

es

o ninguna de las

x2 ≤ 143} y par y x ≤ 10}

es par

es par

es

A ⊂ B, B ⊂ A

x2 ≤ 130} y x ≤ 12}

y

x2 ≥ 4 y x2 ≤ 141} y x ≤ 9}

y

x2 ≤ 150} y impar y x ≤ 11} 11

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RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

e ) A = {x|x es un número entero positivo y x2 B = {x|x

es un número entero positivo y

B = {x|x

es un número y

f ) A = {x|x es un número y x

x

x

es par} y

es par}

es múltiplo de 6} y es múltiplo de 3}

10. Des ribe por omprensión el onjunto que resulta de las siguientes opera iones y grá a en la re ta real. Indi a si el onjunto obtenido es un intervalo, y en tal aso represéntalo en la nota ión de intervalos

a) b)

) d) e)

[−1, ∞] ∧ (−3, 2) (−∞, 2) ∨ [0, ∞) (−3, 1] → [2, ∞)

(−2, 3) ↔ (−∞, 1) [−3, 0] ↔ (−2, 3)

11. Indi ar uáles de las siguientes expresiones son falsas: a)

A = {A},

{a, b} = {{a}, {b}}

b)

12. Muestre que los onjuntos tintos 13. Demuestre que

∅, {∅}, {{∅}},

{a} = {b, c}

14. En uentre un onjunto

A

si y solo si

...,

{. . . {∅} . . .}

a=b=c

tal que umpla la rela ión

15. Justique que no existe un onjunto

X

16. Dé un ejemplo que umpla tal rela ión

A ⊂ {A}.

tal que umpla

P (X) ⊂ X

A0 ∈ A1 ∈ A2 ∈ . . . ∈ An .

17. Habrá algún onjunto que umpla tal rela ión

. . . ∈ An ∈ A0 ?.

A0 ∈ A1 ∈ A2 ∈

18. Dé un ejemplo de un onjunto innito numerable sub onjunto innito numerable de

son dis-

A

y también un

A?

19. Indexar el onjunto de los números pares y los onjuntos de los números impares on el onjunto de los números naturales. 20. Demuestre on ejemplos que la unión de dos onjuntos innitos numerables es también un onjunto innito numerable.

P

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CUANTIFICADORES

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

21. Dé un ejemplo de un onjunto innito numerable que si

x ∈ A,

enton es el onjunto

22. ¾existe un onjunto

A

tal que

A − {x}

P (A)

A

y demuestre

es también numerable.

sea innito numerable?. Si es

posible dé un ejemplo.

Cuanti adores Fun ión proposi ional: Una fun ión proposi ional es todo enun iP (x) que tiene la propiedad de onvertir en una proposi ión al ser sustituida la variable x por una onstante c espe i a. ado abierto de la forma

Ejemplo 1.0.8. enun iemos algunas fun iones proposi ionales:

P (x) : x + 5 > 3, Q(x) : 2x + 5 = 0, R(x) : x es la apital de Perú, et .

Cada uno de estos ejemplos son fun iones proposi ionales, porque se

onvierten en una proposi ión uando ponemos valores a la variable x.

Deni ión 1.0.1. 1. Cuanti ar Se reere a uántos individuos que integran el universo es apli able la fun ión proposi ional.

2. Ejempli ar, se reere a enun iar el sujeto de la expresión.

Tipos de uanti adores: Existen dos tipos de uanti adores universal y la existen ial. 1.

Cuanti ador universal (∀): Se llama uanti a ión universal a

la lo u ión "para todo

El uanti ador "para todo

x

x

y se símboliza omo "∀x

indi a a la fun ión proposi ional

que debe umplir para ualquier elemento o para ualquier

x

P (x)

para que

satisfa e las ondi iones de la fun ión proposi ional, y la fun ión proposi ional

P (x)

unido on el uanti ador "para todo se onvierte es una

proposi ión y es representado por

∀x : P (x).

Ejemplo 1.0.9. Sea la fun ión proposi ional P (x) : x ≥ 0,

enton es on el uanti ador para todo x se onvierte en: ∀x ∈ N : P (x) = ∀x ∈ N : x ≥ 0, esto quiere de ir que tomado ualquier número x en N que debe umplir la fun ión proposi ional. Enton es la proposi ión es verdadera. P

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CUANTIFICADORES

2.

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Cuanti ador existen ia (∃): Se llama uanti a ión existen ial a la lo u ión  existe un

El uanti ador .existe un

x

x

y se simboliza omo "∃x

indi a a la fun ión proposi ional

que debe umplir para algún elemento o basta en ontrar un

x

P (x) para

que satisfa e las ondi iones de la fun ión proposi ional, y esta fun ión proposi ional

P (x)

unido on el uanti ador

una proposi ión y es representado por

existe un

se onvierte en

∃x : P (x).

Ejemplo 1.0.10. Sea la fun ión proposi ional P (x) : x ≥ 0,

enton es on el uanti ador existe un x se onvertida en: ∃x ∈ N : P (x) = ∃x ∈ N : x ≥ 0, esto quiere de ir que en ontremos un número x en N que umpla la fun ión proposi ional. Enton es la proposi ión es verdadera.

Observa ión: on los uanti adores y las lógi a proposi iones podemos denir on símbolos las rela iones entre onjuntos. 1. 2.

Igualdad de onjuntos A = B ⇔ ∀x : x ∈ A ↔ x ∈ B . Sub onjuntos A ⊂ B ⇔ ∀x : x ∈ A → x ∈ B . Propiedades:

a ) Reexividad: A ⊂ A b ) Antisimétri a: A ⊂ B ∧ B ⊂ A → A = B

) transitiva: A ⊂ B ∧ B ⊂ C → A ⊂ C

3. 4.

Conjunto Disjunto A 6= B ⇔ ∄x : x ∈ A ∧ x ∈ B .

Igualdad de onjuntos A = B ⇔ (A ⊂ B) ∧ (A ⊃ B)

Nega ión de proposi iones on uanti adores Sea

P (x)

un fun ión proposi ional on extensión

1.

∼ [∀x ∈ A : P (x)] ≡ ∃x ∈ A :∼ P (x)

2.

∼ [∃x ∈ A : P (x)] ≡ ∀x ∈ A :∼ P (x)

Cuasi-proposi ión:

A,

enton es.

Es un enun iado, una ora ión de larativa, o una

expresión simbóli a que debe ejempli arse o uanti arse para que sea una proposi ión.

P

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CUANTIFICADORES

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Ejemplo 1.0.11. Tenemos una uasi-proposi ión

P (x) : Los x son seres vivos, que na en, re en, se reprodu en y mueren. En este aso podemos ver que no sabemos quien es el x, enton es podemos denir al x omo un valor ono ito que puede ser x = hombres de la tierra (este a to se llama ejempli ar).

Apli ando los uanti adores, podemos onvertir el uasi-proposi ión a una proposi ión, que es: Todos los hombres de la tierra son seres vivos, que na en, re en, se reprodu en y mueren. Algunos hombres de la tierra son seres vivos, que na en, re en, se reprodu en y mueren. Hagamos un ejemplo muy sen illo.

Ejemplo 1.0.12. 1. Sea el onjunto A{1, 2, 3, 4, 5} y las proposi iones. p : ∃x ∈ A/(x + 2 = 6) → (x − 5 = 8). q : ∀x ∈ A/(x + 2 > 2) ∨ (x + 2 < 2). r : ∀x ∈ A, ∃y ∈ A/x + y > 2. Hallar el valor de verdad de s =∼ [(p → q) ∧ (q∨ ∼ r)].

2. De ir si la proposi iones son verdaderas y luego negar la proposi ión. ) ∃x ∈ R/x2 > 0.Solu ión: ∀x ∈ R/x2 ≤ 0 2 2 b) ∀x ∈ N/x ≥ x. Solu ión: ∃x ∈ N/x < x 2

) ∀x ∈ Z/x > 1 → x > x. a

3. Sean los onjuntos A = {−2, −1, 0, 1, 2} y U = {x ∈ A/x > 2 → x < 2}. Se dene las proposi iones: p : ∀x ∈ U/x > 3 ∨ x < 2, q : ∃x ∈ U/x2 = 2 → x > 1, 2 −4 s : ∀x ∈ U/ xx+2 = x − 2. Hallar los valores de verdad de m, n, t, si sabemos que: [(∼ p ∧ n) ∧ (t → s)] → (q ∧ m) ≡ F

P

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CUANTIFICADORES

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Solu ión: hallemos el onjunto U en forma de extensión: U = = = = =

{x ∈ A/x > 2 → x < 2} {x ∈ A/ ∼ (x > 2) ∨ x < 2} {x ∈ A/x ≤ 2 ∨ x < 2} {x ∈ A/x ≤ 2} {−2, −1, 0, 1, 2}

enton es los valores de verdad de las proposi iones son: p : ∀x ∈ U/x > 3 ∨ x < 2 ≡ F q : : : ≡

∃x ∈ U/x2 = 2 → x > 1 ∃x ∈ U/ ∼ (x2 = 2) ∨ x > 1 ∃x ∈ U/x2 6= 2 ∨ x > 1 V

x2 − 4 s : ∀x ∈ U/ =x−2 x+2 : ∀x ∈ U/x − 2 = x − 2 para x 6= −2 ≡ F

Finalmente hallemos los valores de verdad de las proposi iones m, n, t: [(∼ p ∧ n) ∧ (t → s)] → (q ∧ m) ≡ F enton es ∼ p ∧ n ≡ V y t → s ≡ V y (q ∧ m) ≡ F nalmente: m ≡ F , t ≡ F y n ≡ V

4. Simbolizar ada uno de las proposi iones y luego negar oralmente: ) Para todo número real r existe un entero n tal que n ≤ r < n + 1.

a

Solu ión: p : ∀r ∈ Q, ∃n ∈ Z/n ≤ r < n + 1

) Para todo número real x, existe un número entero N tal que x2 < M + 1 siempre que x < M . Solu ión: p : ∀x ∈ R, ∃M ∈ Z/x < M → x2 < M + 1.

) Para todo número x pertene iente al onjunto de los números reales, existe un úni o y pertene iente a los números reales, tal que la diferen ia de x menos y es positiva. Solu ión: p : ∀x ∈ R, ∃!y ∈ R/x − y > 0.

b

P

[email protected]

16

R

Li : Juan A. Huaman haqui

CUANTIFICADORES

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

5. Formalizar las uasi-proposi iones omo proposi iones, representar su nega ión simbóli amente, y para ada aso es ribirla en lenguaje verbal. ) No es ierto para algunos x que, si les gusta antar y les gusta bailar, se quedan sentados en las estas. Solu ión: Pondremos un valor a x: x = joven 1) Convirtiendo a una proposi ión No es ierto para algunos jóvenes que, si les gusta antar y les gusta bailar, se quedan sentados en las estas. 2) simbolizando la proposi ión: Las proposi iones: Simbolisando p : A un joven le gusta antar en la esta q : A un joven le gusta bailar en la esta r : A un joven se queda sentado en la esta luego: No es ierto para algunos, si (p y q ), r. No es ierto para algunos, (p ∧ q) → r. No es ierto para ∃, (p ∧ q) → r. ∄ : (p ∧ q) → r (apli ando simpli a ión lógi a) ∄ :∼ p∨ ∼ q ∨ r.

a

3) negando la proposi ión: ∃ : (p ∧ q)∧ ∼ r 4) ahora la nega ión de la proposi ión en letras: Hay algunos jóvenes que, les gusta antar, bailar y no esta sentado en la esta. b) Todos los y , o no son arrogantes o son ongeniales. Solu ión: Pondremos un valor a y: y = hombres 1) Convirtiendo a una proposi ión Todos los hombre, o no son arrogantes o son ongeniales. 2) simbolizando la proposi ión: Las proposi iones: Simbolisando P : los hombres son arrogantes P

[email protected]

17

R

Li : Juan A. Huaman haqui

CUANTIFICADORES

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Q : Los hombres son ongéniales

luego: Todos, o no P o Q. Todos, P △ Q. ∀ : P △ Q.

∀ :∼ [(P ∧ Q) ∨ (∼ P ∧ ∼ Q)].

3) negando la proposi ión:

∃ : (P ∧ Q) ∨ (∼ P ∧ ∼ Q).

4) ahora la nega ión de la proposi ión en letras: hay algunos hombres, arrogantes y ongeniales, o no son arrogantes y no ongeniales.

) Para todos los x se umple que si se puede es u har, se puede

antar u to ar.

Ejer i ios de uanti adores 1. Si

A) = {1, 2, 3, 4, 5}

y

B = {−2, −1, 0, 5, 6, }, estable er

el valor

de verdad o falsedad de ada una de las siguientes proposi iones:

∀x ∈ A, ∃y ∈ B : x + y < 3 b) ∃!y ∈ B, ∀x ∈ A : x − y > 1 2 2

) ∀x ∈ B, ∀y ∈ A : x < y → x < y d) ∃x ∈ A, ∀y ∈ B : (x − y) ∈ A

a)

2. Dadas las proposi iones:

p = ∀x ∈ A, ∃y ∈ A : (x2 > xy − 52), q = ∃x ∈ A, ∀y ∈ A :∼  2(x 2+ y 6= 0)  −y r = ∀x ∈ A, ∀ ∈ A : xx−y =x+y , y el onjunto A = {x ∈ Z : −50 ≤ x < 50}. verdad de: (p ∧ q) ↔∼ (r →∼ p)

Hallar el valor de

3. Hallar la nega ión de las siguientes proposi iones: a) "Para todos los números enteros b) "Para todo número real

a,

a

y

b,

si

a n0 enton es n > a

) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : ab = 0 ↔ (a = 0 ∨ b = 0) d) "Para todo número real x existe un número b

n,

b  a tal que

si

P

[email protected]

18

R

tal que, si

br

es

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CUANTIFICADORES

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

(b + 1)r es par. e) ∀ ∈ A, ∃y ∈ A : [P (x, y) → Q(y)] f ) ∃x ∈ A : ∃y ∈ B : P (x) ∧ Q(y) g) ∃x ∈ C : ∀y ∈ B, P (x) ∨ [∼ Q(y)] par, enton es

4. Demuestre que:

∼ [∀x ∈ A : P (x) → Q(x)] ≡ ∃x ∈ A : P (x)∨ ∼ Q(x) 5. Indi ar la verdad o falsedad de:

∀x ∈ R, ∀y ∈ R : (−x)(−y) = xy → xy > 0. 6. Dada la proposi ión:

[∃x ∈ N : x + 2 = 5] ∧ [∀x ∈ N; x2 > x].

¾Cuál es valor de verdad de la nega ión?.

Si algunos números son impares, todos los triángulos son equilátero.

7. dada la proposi ión:

a) Exprese simbóli amente la proposi ión. b) Negar oralmente la proposi ión. 8. Simbolizar ada una de las proposi iones, y luego negarla:

x e y, que x.

a) Para ada mayor

si

x

es mayor que

y

enton es no o urre que

y

sea

b) Cada número que no es igual a ero es mayor que ero o menor que

ero. Seis dividido por dos no es ero y seis dividido por dos no es menor que ero. Por tanto, seis dividido por dos es mayor que ero.

) Un número es par si y solo si es divisible por dos. Tres por in o no es par, pero tres más in o es divisible por dos. Por tanto, tres por

in o no es divisible por dos pero tres más in o es par. d) Para todo x, x más uno es par o x no es impar. Si uno más tres no es par, enton es tres más uno no es par.Por tanto, si tres es impar, enton es tres más uno es par. e) Tres sumado a ualquier número impar da un número par. (indi a ión: Si un número es impar, enton es ese número más tres es par). Dos más tres es impar. Si el resultado de sumar tres a dos más tres es par, enton es o ho es par. Por tanto o ho es par.

P

[email protected]

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R

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CUANTIFICADORES

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

f ) Para ada x, si x es un número par, enton es x+2 es par. Para ada x, si x es un número par, enton es x no es un número impar. Dos es un número par. Por tanto, 2+2 no es un número impar. g) Para ada y, si y es menor que 9 enton es y es menor que 10. 4+4 es menor que 9. Por tanto, 4+4 s menor que 10. h) Para ada x, si x es mayor que uatro, enton es x es mayor que tres. Uno mas uno no es mayor que tres. Por tanto, uno mas uno no es mayor que uatro. i) Cada número positivo es mayor que ero. Uno es un número positivo. Tres es un número positivo. Por tanto, uno y tres son mayores que

ero. 9. Formalizar las uasi- proposi iones omo proposi iones, representar su nega ión simbóli amente, y para ada aso es ribirla en lenguaje verbal. a) No existen

M

tales que son amigables y les gusta pelear

b) Para todo

x,

si le quitan un órgano vital, enton es vive una vida

normal o sufre toda la vida.

) Para algunos

y , no se vana vivir al polo norte, a menos que su prome-

dio de vida disminuya. d) Nos e umple en ningún aso que los

x,

no sean mamíferos, si sean

uadrúpedos e) No existen

x

que a la vez sean vegetarianos, y no se alimentan de:

soya o ereales.

Representa ión grá a de onjuntos: El diagrama de Venn Euler, sirve para poder visualizar los objetos y/o elementos de los onjuntos.

P

[email protected]

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R

Li : Juan A. Huaman haqui

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

U

B A C

En el diagrama se puede ver que: junto

B

U

es el onjunto Universo, en on-

es un sub onjunto del onjunto

on le onjunto

A

y

A,

el onjunto

C

es disjunto

B.

Opera iones entre onjuntos Como hemos visto en lógi a proposi ional, también existe algunas símbolos que rela iones dos o mas onjuntos.

1.

Unión de dos onjuntos (A ∪ B ): Es un onjunto formado por

la reunión de todos los elementos del onjunto

A y del onjunto B .

Simbóli amente:

A ∪ B = {x ∈ U/x ∈ A ∨ x ∈ B} Y en grá a se puede representar omo

U A

2.

B

Interse

ión de dos onjuntos (A∩B ): Es un onjunto formado por los elementos que están en el onjunto

P

[email protected]

21

R

A

y en el onjunto

B.

Li : Juan A. Huaman haqui

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Simbóli amente:

A ∩ B = {x ∈ U/x ∈ A ∧ x ∈ B} Y en grá a se puede representar omo

U A

3.

B

Diferen ia de dos onjuntos (A−B ): Esta onstituido por aquellos elementos de

A

que no pertene en al onjunto

B.

Simbóli amente:

A − B = {x ∈ U/x ∈ A ∧ x ∈ / B} Y en grá a se puede representar omo

U A

4.

B

Diferen ia simétri a de dos onjuntos (A

△ B ):

Es el on-

junto formado por la reunion de aquellos elementos que pertene en ex lusivamente los elementos de

A−B

y

B−A

Simbóli amente:

A △ B = {x ∈ U/(x ∈ A ∧ x ∈ / B) ∨ (x ∈ / A ∧ x ∈ B)} Y en grá a se puede representar omo

P

[email protected]

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R

Li : Juan A. Huaman haqui

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

U A

5.

B

Complemento de un onjunto (CA, Ap, AC ):

Es aquel onjun-

to formado por todos aquellos elementos del universo pertene e al onjunto

A.

U

que no

Simbóli amente:

CA = {x ∈ U/x ∈ / A} Y en grá a se puede representar omo

U A

Veamos algunos ejemplos de opera iones de onjuntos.

Ejemplo 1.0.13. 1. Sea Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9} y A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 4, 5} y D = {1, 6, 7}. Determine y

exprese en diagrama de Venn los siguientes onjuntos. ) b)

) d) a

A∪B A∩B

(C p ∩ B) ∪ B A ∩ C ∩ Dp

Solu ión: Para la solu ión basta representarlo en el diagrama de Venn.

2. Si A ⊂ B ompletar las siguientes igualdades. ) A ∪B = ...

a

P

[email protected]

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R

Li : Juan A. Huaman haqui

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

) A ∩B = ...

) A − B = . . .

b

3. Si el onjunto A es denido por A = {x ∈ N/x es un número primo y 1 < x < 10}, si U = N, enton es Ap =?. Solu ión: El onjunto A expresado por extensión es A = {2, 3, 5, 7}, enton es Ap = N − {2, 3, 5, 7}. 4. Sean los onjuntos:

A = {x  ∈ Z/x = 3n − 1, on n ∈ N ∧ n 2 ∧ 6x−2 ≥ 2} 5 y C = {x ∈ N/x es un número perfe to , x < 10}. Hallar (A ∪ B) ∩ (C − A), (A − B) ∪ (B ∩ C), (A △ B) ∩ (B ∩ C)

20. Sean los onjuntos

21. Sean los onjuntos 2

A = {x ∈ N/x = k 2−1 , k ∈ N}, B = {x ∈ N/x2 = 8x}, C = {x ∈ N/x2 − 32x + 192 = 0}. Hallar el resultado de (B − A) ∩ C 22. Sea una familia de onjuntos para ada

i ∈ N.

A = {Ai /i ∈ N}

siendo

Ai

onjuntos

Se dene la unión y la interse

ión de la familia

de onjuntos omo

B=

n [

Ai

y

C=

i=1

n \

Ai .

i=1

Hallar la unión e interse

ión de las siguientes familias de onjuntos:

   1 1 a) A = − , / para n ∈ N n n b ) A = {(−n, n) / para n ∈ N}

) A = {(0, n) /

23.

para n ∈ N}    1 d) A = −n, / para n ∈ N n    1 1 1 1 e) A = , , , . . . , n / para n ∈ N 2 22 23 2 S Pruebe que ∅=∅

24. Demuestre por medio de ejemplos que las siguientes proposi iones son falsas.

a) A − B = B − A b ) A ⊂ (B ∪ C) impli a A ⊂ B oA ⊂ C

) (B ∩ C) ⊂ A impli a B ⊂ A o C ⊂ A P

[email protected]

33

R

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CARDINAL DE CONJUNTOS

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Cardinal de onjuntos El número de elementos de un onjunto

A

es representado por

n(A)

a la antidad exa ta de elementos que tiene un onjunto.

Proposi ión 1.0.2. 1. Si A ∩ B = ∅, enton es n(A ∪ B) = n(A) + n(B).

2. Si A, B ualesquiera, enton es n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)

3. Si A, B ualesquiera, enton es n(A∪B) = n(A)+n(B)−n(A∩B)

Ejemplo 1.0.20. 1. Una ompañía tiene 350 empleados, de los uales 160 obtuvieron un aumento de salario, 100 fueron promovidos y 60 fueron promovidos y obtuvieron un aumento de salario.

) Cuántos empleados obtuvieron un aumento pero no fueron promovidos?. b) Cuántos empleados fueron promovidos pero no obtuvieron un aumento?.

) Cuántos empleados no fueron promovidos ni obtuvieron un aumento?. a

2. En una en uesta a 150 personas a er a de tres bebidas gaseosas Cola Cola, In a Cola, Kola real, resulta que 46 bebían la gaseosa Cola Cola, 36 bebían In a Cola, 28 bebían Kola real, 20 bebían Cola Cola e In a Cola, 18 bebían Cola Cola y Kola Real, 16 bebían In a Cola y Kola Real, y 10 bebían los tres tipos de gaseosa. ¾Cuántos ) b)

) d) a

P

No beben ningún tipo de gaseosa?. Beben sólo Co a ola? Beben sólo In a ola? Beben sólo Kola real?

[email protected]

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R

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CARDINAL DE CONJUNTOS

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Solu ión: Jóvenes C.C

I.C 18

10

10 8

10

6

4

K.R

84

3. El 65 % de la pobla ión de una iudad no ve el anal A de T.V. y el 45 % no ve el anal B . Si el 50 % ve el anal A o el anal B , pero no ambos ¾Cuál es el por entaje de la pobla ión que ve ambos

anales?. Solu ión: Toda la pobla ión es el 100 %. Sea A las personas que ven el anal A, y B las personas que ven el anal B . Enton es ∼ A = 65 % si y sólo si A = 35 %

∼ B = 45 % si y sólo si B = 55 %

y

B ↔ A = 50 % A a

B c

U

b

de la grá a, se tiene a + c = 35 %, b + c = 55 % y a + b = 50 % enton es c = 20 %. 4. Una en uesta de 1000 personas determinó los siguientes resultados, a er a de sus hábitos de es u har la radió: P

[email protected]

35

R

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CARDINAL DE CONJUNTOS

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Temprano en la mañana, entre las 5:00 y 7:00A.M., 620 personas es u han la radio. En la no he, entre las 7:00 y 9:00P.M., 640 personas es u han la radio. Durante el día, entre las 7:00 A.M. y 7:00P.M., 450 personas lo han e.Durante los tres periodos, 210 personas lo ha en. Temprano por la mañana y por la no he solamente, lo ha en 220 personas. Solamente durante el día y temprano en la mañana, es u han 70 personas. Solamente durante el día y por la no he, es u han la radio 130 personas. ) ¾Cuántas personas es u han la radio solamente temprano en la mañana? b) ¾Cuántas personas es u han la radio solamente durante el día?

) ¾Cuántas personas es u han la radio solamente en la no he? a

Solu ión: Sea los onjuntos:

T : las personas que es u han la radio temprano por la mañana. D: las personas que es u han la radio durante el día. N : las personas que es u han la radio por la no he. T D a d

c b e

f

g N

de los datos tenemos: T : a + b + e + d = 620 N : d + e + f + g = 640 D : b + c + e + f = 450 : e = 210 : d = 220 : b = 70 : f = 130

Nos piden hallar los valores de a, c y g . a = 620 − 70 − 210 − 220 = 120 P

[email protected]

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R

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CARDINAL DE CONJUNTOS

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

g = 640 − 220 − 210 − 130 = 80 c = 450 − 70 − 210 − 130 = 40

En el siguiente diagrama hallar el onjunto donde esta los elementos. 1. Hallar el onjunto donde esta los elementos. Universo Z

Y

X

1

2

3

4

Solu ión: El onjunto donde esta los elementos es: [(X ∩ Y ) ∪ (Y ∩ Z)] − [X ∩ Y ∩ Z] = {1, 2, 3, 4}.

2. Hallar el onjunto donde esta los elementos. Universo Y

X

7 9

Z

Solu ión: El onjunto donde esta los elementos es: [Z − (X ∪ Y )] ∪ [X ∩ Y ∩ Z].

3. Sombrear en el diagrama adjunto:

[(X ∪ Y ) − (Z ∩ W )] ∪ [(Z − W )p ∩ (Y − X)]

P

[email protected]

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R

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CARDINAL DE CONJUNTOS

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Universo W

X

Y

Z

4. Un lub onsta de 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 basket y 23 Voley, Además 6 guran en los tres deportes y 10 no pra ti an ningún. Si x es el total de personas que pra ti an exa tamente un deporte, y el total de personas que pra ti an exa tamente dos deportes, hallar x − y . Solu ión: Ha iendo el diagrama de Venn. Universo Fut

Bas

n

m q

p

o r

s

10 Vol

Por datos sabemos que: x=m+o+s y =n+q+r p=6

También

50 = m + n + p + q enton es m + n + q = 44 32 = n + o + p + r enton es n + o + r = 26 23 = p + q + r + s enton es q + r + s = 17 Sumando las tres e ua iones tenemos: x + 2y = 87. además m + n + o + p + q + r + s = 78 − 10 enton es x + y = 62. Hallando las e ua iones se tiene x = 37 y y = 25. P

[email protected]

38

R

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CARDINAL DE CONJUNTOS

CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Ejer i ios de ardinal de onjuntos Demostar Las igualdades siguientes: 1. Si

A, B

y

C

son onjunto ni-

2. Si

A, B

y

C

son onjunto ni-

tos, demostrar que

tos no disjuntos dos a dos, de-

n(A △ B) = n(A)+n(B)− 2n(A ∩ B) b) n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(A ∩ C) + n(B ∩ C ∩ B)

mostrar que

a)

n[(A △ B) △ C] = n(A) + n(B) + n(C) − 2n(A ∩ B) − 2n(B ∩ C) − 2n(A ∩ C) + 3n(B ∩ C ∩ B)

Hallar las siguientes problemas 1. El ajero de una Panaderia grande

presentó

un

al Iquitos, 1500 a Trujillo y al

reporto

Cus o y 500 están dispuestos

on la nalidad de justi ar

a realizar las tres ex ursiones.

su ontinuidad en el puesto.

¾Cuántas personas:

Le dijo al propietario: "de los 500 lientes que tuvimos el día

a)

b)

praron pan integral pan tolete,

pan integral y 36 ompraron

)

ias en maria de viajes al

o, Iquitos

P

y

Trujillo:

desean ha er dos ex urdistintas

siempre

que ninguno sea al Cus o? están dispuestos a realizar sólo dos viajes distintos?

2. Una agen ia de Turismo re-

personas para ver las preferen-

no mostraron interés por

siones

d)

aliza una en uesta entre 5000

re-

el viaje a Iquitos?

de estos tres tipos de pan. Lo despiden al ajero?

no

tres viajes?

fran és, 196 ompraron pan

143 ompraron pan fran es y

que

alizarían nínguno de estos

de ayer, 281 ompraron pan

fran es y pan tolete, 87 om-

indi aron

e)

viajrian al Cus o si y sólo si no lo harian a Iquitos ni

Cus-

a Trujillo?

2400

personas desean viajar por lo

3. En una es uesta realizada so-

menos al Cus o, 3000 por lo

bre un determinado número

menos a Trujillo 2100 por lo

de

menos a Iquitos, 1000 a Iqui-

que: El

tos y Trujillo, 800 al Cus o y

os, el

[email protected]

39

profesionalesde

R

observa

72 % son Matemáti52 % Físi os, el 37 %

Li : Juan A. Huaman haqui

CARDINAL DE CONJUNTOS

CAPÍTULO 1.

32 % Físi oMatemáti os, el 12 % Físi oQuími o, el 22 % Matemáti oQuími o y el 2 % Físi oQuími a,

el

Matemáti o. Hallar:

a)

b ) 1/5

de los que onsumen

solamente el produ to

) 1/3

e ) 1/3

rera

tados

que

tienen

f ) 1/3

otras

A

y

B

de los que onsumen

los produ tos

El por entaje de en ues-

C

de los que onsumen

los produ tos

El por entaje de en ues-

B

de los que onsumen

solamente el produ to

d ) 1/2

tados que siguen una ar-

b)

TEORÍA DE CONJUNTOS

B

y

C

de los que onsumen

los produ tos

A

y

C

arreras. Si 40 amas de asa de lararon 4. El registro entral de una Universidad propor ionó los siguientes

datos

grupo

de

respe to

300

a

un

personas

del

no onsumir ninguno de los 3 produ tos hallar:

a)

B

A,

170 es le urso

C . 85 están ins ritos en A y B , 70 es B y C , 50 en A y C , y 35 en y 110 en el urso

los tres ursos. Determinar el número de ins ritos en:

de

asa

to.

b)

Cuántas

amas

de

asa

sonsumen al menos dos produ to. 6. En una en uesta realizada a 290 estudiantes de una Uni-

a)

El urso

b)

Ninguno de lños tres ur-

A

amas

sonsumen sólo un produ -

primer i lo. 155 están ins rito en el urso

Cuántas

pero no en

versidad sibre las mar as de

C

sos.

igarrillos que gustan fumar, se obtuvo el siguiente resultado: 140 estudiantes gustan

5. En una en uesta realizada en un Super Mer ado a 400 amas de asa sobre sus preferen ias de 3 produ tos

A, B

y

C,

se

obtuvo el siguiente resulto: El número de amas de asa que

funar Du al, 90 gustan fumar Premier y 115 gustan fumar Winston. El número de estudiantes qye fuman llas tres mar as de igarrillo es que fuman Du al

1/5 de y 1/3

los de

los qye fuman sólo Premier.

onsumen los produ tos es:

El número de estudiantes que

a ) 1/4

de los que onsumen

solamente el produ to

P

[email protected]

A

sólo fuma Du al y es

40

1/4 R

Premier

de los que fuman sólo

Li : Juan A. Huaman haqui

CARDINAL DE CONJUNTOS

CAPÍTULO 1.

Winston. El número de estu-

mentos rotos, 5 tenían onex-

diantes que sólo fuma Premier

iones defe tuosas y 4 tenían

y Winston es 1/2 de los que

alambres rotos. Uno de ellos

sólo fuman Du al y Winston.

tenía el lamento roto y la

Determinar:

onexión defe tuosa, pero los

a)

Cuántos estudiantes gustan fumar una sola mar a de igarrillos

b)

)

alambres

estaban

uno

tenía la onexión defe tuosa y un alambre roto, pero los lamentos estaban bien; 2 tenían lamentos

sólo Du al y Winston y

rotos, pero las onexiones es-

sólo Premier y Winston.

tamban bien y 3 tenían sola-

Cuántos

mente los lamentos rotos.

estudiantes

no

las tres mar as de igar-

a)

rotos

Cuántos ir uitos eran de-

b)

Cuántos ir uitos tenían

personas para estable er pref-

alambres

eren ias de le tura de las riv-

mente?

A, B , C

se

obtienen

los siguientes resultado. Todos leen alguna de las tres revistas; todos menos 40, leen

A; 15

A y B pero no C ; 6 leen B y C pero no A; 10 leen sólo C . El número de los que leen A y C es el doble del número de leen

los que leen las tres revistas. El número de los que leen sólo e sel mismo que el total de

los que leen

alambres

fallas.

7. De una en uesta he ha a 135

istas

y

fe tuosos debido a las tres

rillos.

B

bien;

Cuántos preeron fumar

gustan fumar ninguan de

A

y

C.

Según to-

dos esto, hallar el número que los que leen sólo

P

TEORÍA DE CONJUNTOS

A.

9. Cierta jóvenes

rotos

ompañía que

sola-

soli itó

hubieran

segui-

do ursos en Ingeniería Civil, Me áni a o Industrial para realizar trabajos rela ionados son esas espe ialidades. El riterio utilizado para la sele

ión fue de que hubieran llevado

mas

de

un

uros

en

di has espe ialidades, treinta de los postulantes habían llevado urso en Ingeniería Civil, 35 en Ingeniería Industrial, 50 en Ingeniería Me áni a y 3

8. En una prueba de algunos ir-

fueron a eptado por haber lle-

uitos de alumbramiento elé -

bado ursos en todas las ar-

tri o se en ontraron 10 defe -

reras, mientras que 26 fueron

tuosos. De estos 7 tenían la-

desertados porque sólo sigu-

[email protected]

41

R

Li : Juan A. Huaman haqui

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOSCAPÍTULO 1.

ieron Ingeniería Me áni a, 10

TEORÍA DE CONJUNTOS

a)

¾Cuántos se presentaron?

b)

¾Cuántos

por sólo seguir Ingeniería Industrial y 14 por sólo seguier Ingeniería Civil.

fueron

sele -

ionados?

Ejer i ios omplementarios 1. Dado los onjuntos

X

A y B , sea

un onjunto on las sigu-

ientes propiedades:

A⊂X yB⊂X b) si A ⊂ Y y B ⊂ Y enton es X⊂Y demuestre que: X = A ∪ B a)

A, B ⊂ E . Demuestre que A ∩ B = ∅ si, y sólo si A ⊂ B p . También pruebe que A ∪ B = E si y solo si Ap ⊂ B

2. Sean

3. Sean

P

A, B ⊂ E .

[email protected]

Demuestre

42

A ⊂ B B = ∅. que

si, y sólo si

p

A∩

A, X ⊂ E son tales que A ∩ X = ∅ y A ∪ X = E, p demuestre que X = A .

4. Si

A = B si y só(A ∩ B ) ∪ (Ap ∩ B) = ∅.

5. Demuestre que lo si

p

(A−B)∪(B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B).

6. Demuestre que

A △ B = B=C

7. Demuestre que: si

A△C

R

enton es

Li : Juan A. Huaman haqui

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43

Edi iones