&NIVER#I'A' CIENTÍ(ICA 'EL )ER* + (AC<A' 'E CIENCIA# E INGENIERÍA
INGENIERÍA CIVIL Curso:
Mecánica de Materiales II
Ingeniero:
,-./
Gilberto Aliaga Atalaya Tema:
Teoría Teoría de Columnas
Alumno:
Reyood Gue!ara Ta"ur
Ciclo:
#$%timo
&NIVER#I'A' CIENTÍ(ICA 'EL )ER* + (AC<A' 'E CIENCIA# E INGENIERÍA
Contenido I.
INTRODUCCIÓN0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,
II.
0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 000000000000000000 00000000000000000 000000000000000000000000000000000000001 0000000000000000000000000000001 OBJETIVOS0000000000000000 2.1.
00000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000001 000000000000000000000000000000001 OBJETIVO G GE ENERAL RAL:00000000000000000
2. 2.2. 2.
00000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000001 0000000000000000000000000000000001 OBJ BJET ETIV IVOS OS ESPE ESPECÍ CÍFI FICO COS: S:00000000000000000 MARCO TEÓRICO00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002
III.
0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000000000000000000000002 00000000000000000000000000002 3.1. Definii!n "e C#$%&n' 0000000000000000 3.1.1 C#$%&n'( L')*'(:000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002
00000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000003 000000000000000000000000000000000000003 3.1.2 C#$%&n'( In+e)&e"i'(:00000000000000000 3.2. COMPORTAMIENTO00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000003
00000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000/ 000000000000000000000000000000000000/ 3.3. CARGA CRÍTICA00000000000000000 3.,. E-CENTRICIDAD0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000004 3.. LONGITUD EFECTIVA00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000005 FORM RMUL ULA A DE DE EUL EULER ER PARA COLUM OLUMNA NAS S0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.-
IV. IV.
,.1. F!)&%$' "e E%$e) /')' #+)'( #n"ii#ne( en $#( e0+)e&#( 000000000000000000000000000000000.. ,.2. FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O MU ESBELTAS 000000000000000.1
0000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000.2 0000000000000000000000000000.2 ,.3. LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER 0000000000000000 V. COLUMNAS COLUMNAS DE LONGITU LONGITUD D INTERM INTERMEDIA EDIA FORMUL FORMULAS AS EMPÍRICA EMPÍRICAS S0000000000000000000000./
00000000000000000000000000 00000000000000000000000.6 00000000000000.6 .1. OTROS MTODOS PARA COLUMNAS INTERMEDIAS 00000000000000000 00000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000000000,6 000000000000000,6 COLU COLUMN MNA AS CA CARGA RGADAS DAS E-CE E-CENT NTRI RICA CAME MENT NTE E00000000000000000
VI. VI.
0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000,4 00000000000000000000000000000000,4 4.1. L' f!)&%$' "e $' Se'n+e0000000000000000 0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 000000000000000000000000000001. 0000000000000000000001. PRED PREDIM IMEN ENSI SION ONA ADO DE COLU COLUMN MNA AS00000000000000000
VII. VII.
A. C#$% #$%&n' &n' "e "e &'" &'"ee)'000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. B. C#$% #$%&n' &n' "e 'e e)# )#0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011
0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000000000000000000000000001/ 000000000000000000000000000000001/ C. C#$% C#$%&n &n'' "e "e #n #n) )e+ e+# # ')& ')&'" '"# #00000000000000000 VIII VIII..
0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 0000000000000000000000000000000000016 0000000000000000000000000016 TIPOS POS DE COLUMN LUMNA AS0000000000000000
I-. I-.
TIPOS POS DE FALLAS LAS EN COL COLUM UMNA NAS S000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000014
-. EJER EJERCI CICI CIOS OS DE APREND PRENDIS ISAJ AJE E00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000021 LINCOGRAFÍA000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000026
-I.
.
&NIVER#I'A' CIENTÍ(ICA 'EL )ER* + (AC<A' 'E CIENCIA# E INGENIERÍA
Contenido I.
INTRODUCCIÓN0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,
II.
0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 000000000000000000 00000000000000000 000000000000000000000000000000000000001 0000000000000000000000000000001 OBJETIVOS0000000000000000 2.1.
00000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000001 000000000000000000000000000000001 OBJETIVO G GE ENERAL RAL:00000000000000000
2. 2.2. 2.
00000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000001 0000000000000000000000000000000001 OBJ BJET ETIV IVOS OS ESPE ESPECÍ CÍFI FICO COS: S:00000000000000000 MARCO TEÓRICO00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002
III.
0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000000000000000000000002 00000000000000000000000000002 3.1. Definii!n "e C#$%&n' 0000000000000000 3.1.1 C#$%&n'( L')*'(:000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002
00000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000003 000000000000000000000000000000000000003 3.1.2 C#$%&n'( In+e)&e"i'(:00000000000000000 3.2. COMPORTAMIENTO00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000003
00000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000/ 000000000000000000000000000000000000/ 3.3. CARGA CRÍTICA00000000000000000 3.,. E-CENTRICIDAD0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000004 3.. LONGITUD EFECTIVA00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000005 FORM RMUL ULA A DE DE EUL EULER ER PARA COLUM OLUMNA NAS S0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.-
IV. IV.
,.1. F!)&%$' "e E%$e) /')' #+)'( #n"ii#ne( en $#( e0+)e&#( 000000000000000000000000000000000.. ,.2. FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O MU ESBELTAS 000000000000000.1
0000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000.2 0000000000000000000000000000.2 ,.3. LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER 0000000000000000 V. COLUMNAS COLUMNAS DE LONGITU LONGITUD D INTERM INTERMEDIA EDIA FORMUL FORMULAS AS EMPÍRICA EMPÍRICAS S0000000000000000000000./
00000000000000000000000000 00000000000000000000000.6 00000000000000.6 .1. OTROS MTODOS PARA COLUMNAS INTERMEDIAS 00000000000000000 00000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000000000,6 000000000000000,6 COLU COLUMN MNA AS CA CARGA RGADAS DAS E-CE E-CENT NTRI RICA CAME MENT NTE E00000000000000000
VI. VI.
0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000,4 00000000000000000000000000000000,4 4.1. L' f!)&%$' "e $' Se'n+e0000000000000000 0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 000000000000000000000000000001. 0000000000000000000001. PRED PREDIM IMEN ENSI SION ONA ADO DE COLU COLUMN MNA AS00000000000000000
VII. VII.
A. C#$% #$%&n' &n' "e "e &'" &'"ee)'000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. B. C#$% #$%&n' &n' "e 'e e)# )#0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011
0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000000000000000000000000001/ 000000000000000000000000000000001/ C. C#$% C#$%&n &n'' "e "e #n #n) )e+ e+# # ')& ')&'" '"# #00000000000000000 VIII VIII..
0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 0000000000000000000000000000000000016 0000000000000000000000000016 TIPOS POS DE COLUMN LUMNA AS0000000000000000
I-. I-.
TIPOS POS DE FALLAS LAS EN COL COLUM UMNA NAS S000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000014
-. EJER EJERCI CICI CIOS OS DE APREND PRENDIS ISAJ AJE E00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000021 LINCOGRAFÍA000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000026
-I.
.
&NIVER#I'A' CIENTÍ(ICA 'EL )ER* + (AC<A' 'E CIENCIA# E INGENIERÍA
I.
INTRODUCCIÓN
La columna es el elemento estructural vertical empleado para sostener la carga de la edif edific icac ació ión. n. Es util utiliz izad ado o ampl amplia iamen mente te en arqui arquite tect ctura ura por la libe libert rtad ad que que proporciona para distribuir espacios al tiempo que cumple con la función de soportar el peso de la construcción; es un elemento fundamental en el esquema de una estructura estructura y la adecuada selección selección de su tamaño, forma, espaciamiento espaciamiento y composición influyen de manera directa en su capacidad de carga. Para la columna columna se indica las características características que la definen, así como el comportamient comportamiento o para definir los aspectos a tomar en cuenta en el diseño de las columnas de madera, acero y concreto armado. Estas pueden ser diseñadas para resistir las fuerzas laterales del viento o de los movimientos sísmicos. Las columnas son frecuentemente usadas para soportar vigas o arcos sobre los cuales las partes superiores de las paredes o tecos descansan. descansan. Las primeras primeras columnas columnas eran construidas construidas de piedras, piedras, sacadas de una pieza simple de roca, usualmente rot!ndolas sobre un aparato parecido a un torno. "tras fueron creadas de m#ltiples secciones de roca, pegadas con mortero o en seco. Las Las col columna umnass mode modern rnas as son son cons constr trui uida dass de acer acero, o, conc concre reto to vert vertid ido o o pref prefab abri rica cado do,, o de ladr ladrilillo lo.. Lueg Luego o pued pueden en ser ser reve revest stid idas as en una una cubi cubier erta ta arquitectónica o de$adas sin cubrir.
,
&NIVER#I'A' CIENTÍ(ICA 'EL )ER* + (AC<A' 'E CIENCIA# E INGENIERÍA
II. II.1.
OBJETIVOS
OBJETIVO GEN GENERAL RAL:
%eterminar
fuerzas rzas
inte nterna rnas
&a'i a'iales,
cor cortantes,
momentos(
y
deformaciones de una columna.
II.2. I.2.
OBJE OBJETI TIVO VOS S ESPE ESPECÍ CÍFI FICO COS: S:
)onocer la importancia de la fórmula de Euler. *nalizar y verificar resultados de la solución de un problema sobre columnas. +dentificar el comportamiento de una columna ante una carga aplicada sobre esta.
III. 3.1. Definii!n "e C#$%&n'
1
MARCO TEÓRICO
&NIVER#I'A' CIENTÍ(ICA 'EL )ER* + (AC<A' 'E CIENCIA# E INGENIERÍA
Los miem miembr bros os larg largos os y esbe esbeltltos os some sometitido doss a una una fuer fuerza za a'ia a'iall de Los compresión se llaman columnas, y la defle'ión lateral que sucede se llama pandeo-. 5i66e$e) na columna es una pieza estructural que soporta una carga a'ial por compresión y tiende a fallar como resultado de una inestabilidad el!stica, o pandeo, m!s que por trituración del material-. M#++ El t/rm t/rmin ino o colu column mna a se apli aplica ca a todo todoss los los elem elemen ento toss some sometitido doss a El compresión, e'cepto en los que la falla sería por compresión simple o pura-. S7i*$e8 El efec efecto to geom geom/t /tri rico co de la colu column mna a se deno denomi mina nan n esbel esbelte tezz y es un fact factor or importante, ya que la forma de fallar depende de la esbeltez, para la columna poco esbelta la falla es por aplastamiento y este tipo se denomina columna corta, los elementos m!s esbeltos se denominan columna larga y la falla es por pandeo. La columna intermedia es donde la falla es por una combinación de aplastamiento y pandeo. *dem!s, los momentos flectores que forman parte del diseño de columna disminuyen la resistencia del elemento tipo columna 9G'$'&6#( Lin 8 J#7n(+#n
1; Sin*e) 8 P8+e$ 1 el factor de longitud efectiva %e manera general, la ecuación de Euler se e'presa0 &6(
R'"i# "e *i)#. El radio de giro es otra definición matem!tica que es enteramente #til en la solución de ciertos problemas de mec!nica. Es muy com#n la aplicación de esta cantidad, particularmente con respecto al diseño de columnas. El radio de giro se define como0 &4(
%onde0 r = radio mínimo de giro &m, plg( + = momento de inercia de la sección &m, plg( * = !rea de la sección &m6, plg6( El radio de giro se determina con respecto a un e$e, aquel con respecto al cual se toma el momento de inercia. El radio de giro con respecto a e$es particulares se describe como0
Ecuación para el esfuerzo crítico en función de la ecuación de Euler
.,
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,.2. FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O MU ESBELTAS La fórmula de Euler es v!lida solamente para columnas largas y calcula lo que se conoce como Icarga critica de pandeoI, esta es la #ltima carga que puede soportar por columnas largas, es decir, la carga presente en el instante del colapso. La columna articulada en sus e'tremos, inicialmente recta omog/nea, de sección transversal constante en toda su longitud se comporta el!sticamente. Puede tener dos posiciones de equilibrio0 recta o ligeramente deformada. 1e aplica una fuerza orizontal J para y de esto podemos inferir lo siguiente0
%e la ecuación de la el!stica0 1e obtiene0
7aciendo que0
Es una ecuación diferencial de segundo "rden cuya solución es
*plicando las condiciones de frontera tenemos que, '=3, y=3 que sustituyendo en la ecuación
Para '=L, y=3 por lo tanto 3 = sen &3( no puede ser 3 así que, sen >L = 3
.1
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La solución general seria0
%onde n describe todos los modos de pandeo, pero generalmente se toma n = 2, resultando la fórmula0
,.3. LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER na columna tiende a pandearse siempre en la dirección en la cual es m!s fle'ible. )omo la resistencia a la fle'ión varia con el momento de inercia, el valor de l en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al e$e principal de momento de inercia mínimo de la sección recta. La fórmula de Euler tambi/n demuestra que la carga crítica que puede producir el pandeo no depende dc la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del módulo el!stico. Por este motivo. %os barras de id/nticas dimensiones, una de acero de alta resistencia y otra de acero suave, se pandear!n ba$o la misma carga crítica, ya que, aunque sus resistencias son muy diferentes tienen pr!cticamente el mismo módulo el!stico. *sí, pues, para aumentar la resistencia al pandeo, interesa aumentar lo m!s posible el momento dc inercia de la sección. Para un !rea dada, el material debe distribuirse tan le$os como sea posible del centro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los e$es principales sean iguales, o lo m!s parecidos posible. &:ecu/rdese el e$emplo cl!sico de la columna ueca de sección circular.(
.2
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Para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produzca en el pandeo no debe e'ceder al límite de proporcionalidad. Para determinar este esfuerzo, se sustituye en la fórmula el momento de inercia &por *r6, donde * es el !rea dc la sección recta y r el radio de giro mínimoK. Para el caso fundamental se tiene0
El valor PH* es el esfuerzo medio en la columna cargada con su carga crítica, y se llama esfuerzo crítico. 1u límite superior es el esfuerzo en el límite de proporcionalidad. La relación LHr se llama esbeltez mec!nica, o simplemente esbeltez, de la columna. )omo una columna cargada a'ialmente tiende a pandearse respecto del e$e + mínimo, para allar la esbeltez de una columna se divide la longitud equivalente o efectiva entre el radio de giro mínimo de la sección recta. Por conveniencia, se definen como columnas largas o muy esbeltas aquellas a las que se puede aplicar la fórmula de Euler. La esbeltez mínima, que fi$a el límite inferior de aplicación de La fórmula dc Euler, se obtiene sustituyendo en la ecuación los valores conocidos de límite de proporcionalidad y del módulo el!stico de cada material. *sí, pues, el límite mínimo de La esbeltez varía con el material y tambi/n con los diferentes tipos dentro de cada material.
5igura B0 El esfuerzo crítico o admisible es representado por la línea continua. La parte punteada de la curva de Euler no es aplicable.
.3
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Por deba$o de este valor, como se indica en la figura B, en la parte punteada de La curva de Euler el esfuerzo que daría la carga de Euler e'cederla al límite de proporcionalidad, por Lo que para LHr 233 la fórmula de Euler no es aplicable, y ay que considerar corno esfuerzo crítico el Mimite de proporcionalidad. La curva muestra tambi/n que el esfuerzo critico en una columna disminuye r!pidamente cuando aumenta la esbeltez, por lo que, al proyectar una pieza de este tipo, conviene que la esbeltez sea la menor posible. 5inalmente se debe observar que la fórmula de Euler da la carga crítica y no la carga de traba$o. Por ello es preciso dividir la carga crítica entre el correspondiente factor de seguridad, que suele ser de 6 a 4 seg#n el material y las circunstancias, para obtener el valor de la carga admisible.
V.
COLUMNAS DE LONGITUD INTERMEDIA FORMULAS EMPÍRICAS
Lo visto anteriormente es aplicable para columnas del cual la esbeltez mec!nica sea mayor que el valor para el que el esfuerzo medio alcance el límite de proporcionalidad. * continuación, veremos un gr!fico para ver la zona de las columnas intermedios en relación a las columnas largas y cortas 1e an desarrollado mucas fórmulas empíricas para las columnas intermedias de acero, por ser un material muy empleado en las estructuras. 1e e'aminan en primer lugar, y luego se ver! la aplicación a otros materiales. En uno de los m/todos propuestos el de la teoría del doble módulo- se generaliza la aplicación de la fórmula de Euler a las columnas intermedias, con esfuerzos sobre el límite de proporcionalidad, sustituyendo el módulo el!stico constante E por un módulo reducido E, es decir,
./
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El módulo reducido E, que tambi/n se llama módulo de tangente o tangencial, es la pendiente de la tangente al diagrama de esfuerzoAdeformación en el punto que corresponde al esfuerzo medio en la columna. Esta fórmula proporciona una curva que empalma las dos gr!ficas representativas dc las columnas cortas y largas. *unque este m/todo es empírico, ya que la fórmula de Euler se basa en la proporcionalidad esfuerzoAdeformación, los ensayos reales demuestran una gran concordancia con la curva teórica.
.1. OTROS MTODOS PARA COLUMNAS INTERMEDIAS .1.1 M+#"# "e T.5. J#7n(#n Este m/todo consiste en a$ustar una recta a los valores medios de la serie de numerosos ensayos graficando los valores de PH* así poder encontrar el valor de rotura por pandeo, generando una ecuación de la siguiente forma0
En donde σ es el valor para LHr = 3 *sí Te+&'e) 8 B'%(7in*e) ensayaron en acero estructural encontrando la e'presión0 P L =330−1.45 A r
P L =110 −0.483 A r
*fectado con un factor de seguridad de 4
.6
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.1.2. M+#"# "e R'n?ineG#)"#n. Nordon sugirió una fórmula empírica para los elementos comprimidos basada en datos e'perimentales. :an8ine modificó la fórmula de Nordon. La demostración siguiente desarrolla el razonamiento para esta fórmula. 2
π EI
P=¿ L
2
¿
5E = )arga crítica de Euler y se aplica a los puntales 5 =Oltima carga compresiva = &Q*( y se aplica a las columnas. = #ltima tensión de compresión. * = !rea de la sección. :an8ine sugirió que una columna cargada falla en su parte intermedia debido a la compresión y al pandeo en m!s o menos grados. %e acuerdo con datos e'perimentales, se encuentra que una predicción razonable de la carga crítica es dada por la fórmula siguiente. F R=
1
+
1
F E F U
Jue arregl!ndola queda
F R=
F E + F U F E + F U
F R=¿
.4
)arga crítica de :an8ine
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1abemos que0 2
π EI
F E=¿ L
F U =σ U A
2
¿
Entonces0 2
F R=
σ u A π EA 2
[( ) ] 2
L π EA + σ U A 2 r L r
%e esta manera aciendo acomodos0 P =¿σ A 1+ u
( ) 2
∅
¿
L r
%onde la forma muy utilizada de esta e'presión, que se a llamado :an8ineA Nordon, es0 P 124 =¿ A 1+
18∗10
( ) 2
1 3
L r
¿
%onde detallaremos a continuación un gr!fico de comparación entre Euler y :an8ine.
.5
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GraSpplein le incorporó el an!lisis t/rmico. La base de c!lculo es la misma que el anterior sobre la carga crítica de Euler, pero en sus c!lculos tiene en cuenta adem!s la e'centricidad. Tsta tiene en cuenta la provocada por la desviación entre la pared interna y e'terna de la columna y adem!s la e'centricidad del centro de la columna respecto a los e'tremos &pandeo inicial(. * partir de aí elaboró una serie de gr!ficos adimensionales para el c!lculo de las columnas.
,-
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La figura anterior muestra un e$emplo de uno de los gr!ficos de :osArunner. Uienen en cuenta los siguientes par!metros0 2. la relación entre el espesor de la columna y su di!metro e'terior. El e$emplo de la figura anterior tmHda= 3.2 6. la esbeltez reducida
γ´ =
√
γ R D π E 0 donde los par!metro son0
γ´ =¿ esbeltez mec!nica de la columna y se calcula mediante la
a(
fórmula0 γ´ =
b(
R D
L i %onde L es la longitud física de la columna e i &radio de giro(
es la capacidad #ltima a compresión del material.
c( E0 es el módulo de elasticidad del material. 4. 8r es el valor de la tensión admisible, es el valor que buscamos a partir de :% teniendo en cuenta las disminuciones por esbeltez reducida y por e'centricidades referidas. . m es el valor de la e'centricidad referida de la columna. 1e calcula mediante la siguiente e'presión0
m =
K E donde
1=¿
De + Di 2
−t siendo D e y Di
1+¿ e2 y e¿
el di!metro e'terior e
e = e¿
interior respectivamente y t min el espesor mínimo de la sección; y e6 es la desviación de la pared e'terior de la columna en su longitud media respecto a los e'tremos. &Puede interpretarse como pandeo inicial( m=
K E
%onde V es el módulo resistente de la sección y * es
el !rea de la sección. 1abiendo que el módulo resistente es igual al momento de inercia dividido por el radio, la fórmula anterior queda simplificada a la siguiente e'presión
,.
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k ¿
De + D i 2
2
De
.1.,. M+#"# "e De('))#$$# "e$ !&/%+# ' /')+i) "e //$ein 91
