Teoria de Colas

Capitulo : FENOMENOS DE

ESPERA. COLAS

Una Cola es una línea de espera .La teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable , como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada. Costos de los sistemas de colas. Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia , la cola y la instalación de servicio . Las llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio. Siempre se unen primero a la cola ; si no hay línea de espera se dice que la cola está vacía . De la cola, las llegadas van a la instalación de servicio de acuerdo con la disciplina de la cola, es decir, de acuerdo con la regla para decidir cuál de las llegadas se atiende. El primero en llegar primero en ser servido (FIFO) es una regla común, pero podría ser siguiendo alguna otra regla. Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten en salidas. Ambas componentes del sistema tienen costos asociados que se deben considerar.

Costo de Espera. Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar en otra cosa y esta dado por : Costo total de espera = Cw L Donde Cw = costo de espera por hora (en $) por llegada por unidad de tiempo y L= longitud promedio de la línea. Sistema de costo mínimo.

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Aquí hay que tomar en cuenta que para bajas tasas de servicio, se tienen largas colas y costos de espera muy altos . Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye , sin embargo , finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Entonces el propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo. Ejemplos de sistemas de colas Situación

Llegadas

Cola

Mecanismo de Servicio

Aeropuerto

Aviones

Aviones en carreteo

Pista

Aeropuerto

Pasajeros

Sala de espera

Avión

Dpto. de bomberos Alarmas de incendio

Incendios

Dpto. de Bomberos.

Compañía telefónica

Números marcados

Llamadas

Conmutador

Lavado de coches

Autos

Autos sucios

Mecanismo de lavado

Tribunales

Casos

Casos atrasados

Juez

Panadería

Clientes

Clientes con números

Vendedor

Carga de camiones Camiones

Camiones en espera

Muelle de carga

Oficina de correos

Cartas

Buzón

Empleados por correos

Fábrica

Subensamble

Inventario en proceso

Estación de trabajo.

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Pagos

Órdenes de pago

Pendientes

Empleada Contable

Fotocopiado

Pedidos

Trabajos

Copiadoras

Hospital

Pacientes

Personas

Hospital

Tabla 15.1 Permitiendo que varíen el número de colas y el número de servidores, pueden hacerse los diagramas de los cuatro tipos de sistemas de la figura que sigue mas adelante. Cada línea de espera individual y cada servidor individual se muestran por separado. Con el objeto de verificar si una situación determinada del sistema de líneas de espera se ajusta o no a un modelo conocido, se requiere de un método para clasificar las líneas de espera. Esa clasificación debe de responder preguntas como las siguientes: 1.-¿ El sistema de líneas de espera tiene un solo punto de servicio o existen varios puntos de servicio en secuencia? 2.-¿Existe solo una instalación de servicio o son múltiples las instalaciones de servicio que pueden atender a una unidad? 3.- ¿ Las unidades que requieren el servicio llegan siguiendo algún patrón o llegan en forma aleatoria? 4.- ¿El tiempo que requieren para el servicio se da en algún patrón de o asume duraciones aleatorias de tiempo? El primer sistema que se muestra en la figura 15.2, se llama un sistema de un servidor y una cola puede describir un lavado de coches automático o un muelle de descarga con un solo muelle. El segundo, una línea con múltiples servidores, es típico de una peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando llega el turno. El tercer sistema, aquél en que cada servidor tiene una línea de separada, es característico de los bancos y las tiendas de autoservicio. El cuarto sistema , es una línea con servidores en serie, puede describir una fábrica.

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TIPO DE MODELOS

Modelo de un servidor y una cola.

Este modelo puede aplicarse a personas esperando en una cola para comprar boletos para el cine, a mecánicos que esperan obtener herramientas de un pañol o a trabajos de computadora que esperan tiempo de procesador.

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Llegadas. Consiste en la entrada al sistema que se supone es aleatoria. No tienen horario, es impredecible en qué momento llegarán. El modelo también supone que las llegadas vienen de una población infinita y llegan una a la vez . Cola. En este modelo se considera que el tamaño de la cola es infinito. La disciplina de la cola es primero en llegar, primero en ser servido sin prioridades especiales. También se supone que las llegadas no pueden cambiar lugares en la línea (cola) o dejar la cola antes de ser servidas. Instalación de Servicio. Se supone que un solo servidor proporciona el servicio que varía aleatoriamente. Salidas. No se permite que las unidades que salgan entren inmediatamente al servicio. Características de operación .  Un servidor y una cola.  Llegada tipo Poisson.  Cola infinita, primero en llegar primero en ser servido.  Tiempos de servicio exponenciales.

ECUACIONES DEL MODELO : = velocidad de atención = velocidad o tasa de llegada

/

factor de trafico 2

Longitud promedio de la cola :

Lq

2

1

Tiempo de espera promedio en cola :

( Wq

) 2

Lq

- 361 -

(

)

Sistema: Longitud promedio del sistema

Ls

Lq

:

Tiempo de espera promedio en el sistema

Utilización de la instalación :

Ws

Ls

1

:

U

Probabilidad que haya n unidades en el sistema = P Probabilidad de no esperar: P0

n

(1

)

1

Aplicación : Caso de supermercado Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los clientes llegan para pagar con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las líneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola línea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora : Entonces : 2

Lq

Wq

Ls

Ws

U

2

1

(

)

2.25 Clientes

2

Lq (

)

Lq Ls

=

=

=

1

=

0.25 horas o 15 minutos.

3 clientes.

0.33 horas o 20 minutos.

= 0.75 o 75%

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P(Ls l, pero Sm debe ser mayor que l para evitar una acumulación infinita de líneas de espera. En el caso de M / M / S, la característica que se utilizará para hacer los demás cálculos es la probabilidad de que el sistema esté ocupado. En otras palabras, la probabilidad es que haya S o más unidades en el sistema. En este caso todos los canales de servicio se estarán utilizando y por ello se dice que el sistema está ocupado. Esto se puede representar como: P (Sistema ocupado) = Y lo podemos calcular por medio de la siguiente ecuación:

P (Sistema ocupado) = En donde Po estará representado por

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Con las ecuaciones anteriores podemos calcular los demás datos que requiera el sistema. En el modelo M / M / S, al igual que el modelo M / M / 1, se tiene que L = Lq + r, pero aquí utilizaremos el valor P (sistema ocupado) para calcular Lq:

Lq = P (sistema ocupado) x Ahora calcularemos el valor L

Lq = P (sistema ocupado) x

En el caso de M / M / S, al igual que en el modelo M / M / 1, W = L / l y Wq = Lq / l, por ello se tiene que

En la siguiente figura representa este modelo.

se

Fig 15.6

- 380 -

Aplicación 7 Para ejemplificar el modelo M / M / S, suponga que existen cinco canales de = 24 servicio con tasas promedio de servicio µ = 6 y una tasa de llegada de unidades por hora, esto implica que S = 5. Entonces tenemos que

Nota: Para encontrar los valores de Po con una mayor rapidez nos podemos auxiliar de la tabla que se anexa a este sistema, la cual nos proporciona este valor teniendo como parámetros los valores de S y de r. Considerando los valores obtenidos podemos calcular el valor de Po = 0.0130, la probabilidad de que el sistema este ocupado será P (sistema ocupado) = 0.5547, utilizando este valor obtenemos que:

Unidades L = 2.2188 + 4 = 6.2188 unidades Ahora el tiempo promedio en del sistema quedará definido de la siguiente forma:

EL MODELO M / G / 1 Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, distribución general de los tiempos de servicio (para el cual se supone conocida la desviación estándar), un canal de servicio y una línea de espera. En este modelo las llegadas se distribuyen de acuerdo con la distribución de Poisson, al igual a los casos anteriores, pero los tiempos de servicio no

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necesariamente se distribuyen de acuerdo con la distribución exponencial negativa. Si consideramos el caso en que solo existe un solo canal, estamos considerando el caso M / G / 1, es decir, llegadas de tipo Markov, tiempo de servicio general y un canal de servicio. La razón por la que podemos considerar el caso M / G / 1 es que las formulas que se utilizan para calcular sus características de operación son bastantes simples. Al igual que en el caso M / M / S, no es posible calcular en forma directa el numero esperado de unidades en el sistema (L). Para esto primero debe de calcularse el número de unidades que están esperando a ser atendidas (Lq), y utilizar este resultado para calcular el valor de L. Para calcular el valor de Lq debemos de conocer el valor de la desviación (s) estándar de la distribución que distingue los tiempos de servicio. Si no se conoce la distribución de los tiempos de servicio no es posible determinar las características de operación. Ahora si conocemos la desviación estándar y la media de la distribución de los tiempos de servicio, puede obtenerse fórmula para el valor de Lq a partir de la siguiente ecuación.

Si utilizamos Lq podemos determinar el valor de L, por medio de la siguiente ecuación:

Al igual que las características de operación de los modelos M / M / 1 y M / S / 1, podemos calcular el tiempo esperado en el sistema de líneas de espera (W), y el tiempo que se invierte antes de ser atendido (Wq), esto lo podemos realizar por medio de las siguientes ecuaciones:

EL MODELO M / D / 1 Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, tiempo de servicio constante, una línea de servicio y una línea de espera. En este modelo los tiempos de servicio son determinísticos, este es un caso especial de la situación M / G / 1 que se analizó con anterioridad, en donde la desviación estándar es igual a cero. En este caso se puede conocer el número de

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unidades que están esperando a ser atendidas (Lq), a través de la siguiente ecuación:

Todas las demás características de operación pueden determinarse a partir de este valor. Si utilizamos Lq podemos determinar el valor de L, por medio de la siguiente ecuación:

Al igual que las características de operación de los modelos M / M / 1 y M / S / 1, podemos calcular el tiempo esperado en el sistema de líneas de espera (W), y el tiempo que se invierte antes de ser atendido (Wq), esto lo podemos realizar por medio de las siguientes ecuaciones:

Aplicación 8: Despacho de ordenes de compra. Debido a un reciente incremento en el negocio una secretaria de una cierta empresa tiene que despachar 20 órdenes de compra por día en promedio (asuma una distribución de Poisson). A la responsable del sector le toma aproximadamente 20 minutos realizar todo el procedimiento de carga en a PC para que pueda liberar las ordenes a los proveedores (asuma una distribución exponencial). Suponiendo que esta persona trabaja ocho horas diarias. Datos l = 20 / 8 = 2.5 Órdenes de Compra (OC)/hora m = (1 / 20 min.)(60 min. / 1 hora) = 3 OC/hora La tasa de utilización del la secretaria estará definida por:

El tiempo promedio de espera antes de que la secretaria complete un OC se deducirá de la siguiente manera:

- 383 -

horas Ahora el número promedio de OC que estarán en la línea de espera:

Si deseáramos conocer la probabilidad de que a la secretaria tenga más de cinco OC pendiente, se determinaría de la siguiente manera:

Aplicación9: Asignacion de enfermeras.Una enfermera esta asignada en una Sala de primeros Auxilios municipal para la vacunación antigripal de personas mayores y población de riesgo. Esta enfermera puede vacunar una persona cada tres minutos. Se estima que las personas llegarán en forma independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de una persona cada seis minutos, de acuerdo con la distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de esta enfermera están distribuidos exponencialmente. Datos l = 1 / 6 = 0.167 personas/min m = 1 / 3 = 0.34 personas/min La probabilidad de que el médico este de ocioso definirá de la siguiente manera:

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Ahora la proporción de tiempo en que el médico está ocupado.

El número total de personas que están siendo vacunados y que esperan a ser vacunados

El número promedio de personas que esperan a ser vacunados.

Aplicación 10: Atencion de llamadas. Call Center.Las llamadas llegan al conmutador de una oficina de reclamos de servicios públicos a una tasa de dos por minuto, él tiempo promedio para manejar cada una de estas es de 20 segundos. Actualmente solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes en esta situación. Datos l = 2 llamadas/minutos m = (1 / 20 seg.)(60 seg.) = 3 llamadas/minuto La probabilidad de que el operador este ocupado se definirá:

El tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada por él operador

- 385 -

El número de llamadas que esperan ser contestadas

Aplicación 11: Entradas para futbol. Al principio de la temporada de fútbol, la boletería del Club está muy ocupada el día anterior al primer partido. Los aficionados llegan a una tasa de cuatro cada 10 minutos y el tiempo promedio para realizar la transacción es de dos minutos. Datos l = (4 / 10) = 0.4 c/min. m = (1 /2) = 0.5 c/min. El número promedio de gente en línea se definirá de la forma siguiente:

personas El tiempo promedio que una persona pasaría en la boletería

minutos La proporción de tiempo que el servidor/ empleado está ocupado

Aplicación 12: Servicio de reparaciones.Electronics Corporation mantiene un equipo de servicio para reparar fallas de máquinas que ocurren con promedio de tres por día (aproximadamente de naturaleza de Poisson). El equipo puede atender a un promedio de ocho máquinas por día, con una distribución de tiempo de reparación que se asemeja la distribución de exponencial. Datos = 3 repar. /día

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µ = 8 repar. /día La tasa de utilización de este sistema se encontrará de la siguiente forma:

El tiempo promedio de fallas para cada máquina que está descompuesta

Las máquinas que están esperando a ser reparadas el cualquier momento dado

La probabilidad de que haya una máquina en el sistema, dos, tres o más máquinas en el sistema.

Aplicación 13: Lavadero automatico. El Mardel Car Wash está abierto seis días a la semana, pero el día del negocio más pesado es siempre el sábado. A partir de datos históricos, en la empresa se estima que los coches sucios llegan a una tasa de 20 por hora, todo el día sábado. Con un equipo completo trabajando la línea de lavado a mano, él calcula que los automóviles se pueden lavar a una tasa de uno cada dos minutos. Este ejemplo se tiene una línea de espera de canal sencillo, los automóviles se lavan de uno en uno. Suponga llegadas de Poisson y tiempos exponenciales de servicio.

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Datos = 20 automóvil /hora µ = (1 / 2 min.)(60 min.) = 30 automóvil / hora El número promedio de automóviles en la línea se definirá de la siguiente manera:

El tiempo promedio que un automóvil espera antes de ser lavado

El tiempo promedio que un automóvil pasa en el sistema de servicio

La tasa de utilización del lavado de automóviles

La probabilidad de que no haya automóviles en el sistema

Aplicación 14: Problema de colas de Sueters del Mar SA. Suéteres del Mar, tiene una fábrica de tejidos de punto en Mar del Plata. La planta tiene un gran número de maquinas tejedoras que con frecuencia generan problemas. Estas maquinas son reparadas basándose en el procedimiento: la primera en entrar, la primera en ser revisada (FIFO), por uno de los 7 miembros del personal de reparación. Durante varios recorridos, el gerente de producción ha observado que, en promedio, de 10 a 12 maquinas están fuera de operación en cualquier momento debido a que están detenidas. El sabe que contratar personal de reparaciones adicional bajaría el número de máquinas sin funcionar, lo cual traería como consecuencia un aumento en la producción, pero no sabe a cuantas personas más debería contratar. Se desea determinar dicho número.

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Modelo y análisis del sistema de cola actual. El primer paso que se debe dar consiste en analizar las condiciones de operación actuales. Se debe reconocer que las maquinas tejedoras conforman un modelo de colas. Los clientes están constituidos por las maquinas que se atascan de vez en cuando. Existe un gran número de tales maquinas, de modo que se podría suponer razonablemente, que la población de clientes es infinita. Se tienen 7 servidores independientes e idénticos que reparan las maquinas basándose en una estrategia de primera en entrar, primera en darle servicio. Se puede pensar en estas maquinas formando una sola fila en espera de pasar con el siguiente servidor que esté disponible. Para modelar esta operación, el siguiente paso consiste en reunir y analizar los datos correspondientes a los procesos de llegada y de servicio. Se supone lo siguiente: 1.La aparición de maquinas atascadas puede ser aproximada por un proceso de llegada de Poisson con una tasa promedio de 25 por hora. 2.Cada máquina atascada requiere una cantidad aleatoria de tiempo para su reparación, que puede ser aproximada por una distribución exponencial con un tiempo promedio de servicio de 15 minutos, lo cual, para cada servidor, significa una tasa promedio de cuatro maquinas por hora. Con estas observaciones, el sistema actual puede modelarse como un sistema de colas M / M / 7, con 25 maquinas por hora, 4 maquinas por hora y una población y un área de espera infinita. TABLA 5.2: Medidas de rendimiento obtenidas con „ Queuing Analysis „ en el WinQSB . Performance Measure

Result

1

System: M/M/7

From Formula

2

Customer arrival rate (lambda) per hour =

25.0000

3

Service rate per server (mu) per hour =

4.0000

4

Overall system effective arrival rate per hour =

25.0000

- 389 -

5

Overall system effective service rate per hour =

25.0000

6

Overall system utilization =

89.2857 %

7

Average number of customers in the system (L) =

12.0973

8

Average number of customers in the queue (Lq) =

5.8473

9

Average number of customers in the queue for a busy system (Lb) =

8.3333

10

Average time customer spends in the system (W) =

0.4839 hours

11

Average time customer spends in the queue (Wq) =

0.2339 hours

12

Average time customer spends in the queue for a busy system (Wb) =

0.3333 hours

13

The probability that all servers are idle (Po) =

0.1017 %

14

The probability an arriving customer waits (Pw or Pb) =

70.1674 %

15

Average number of customers being balked per hour =

0

Como se puede ver, el gerente de producción había estimado con bastante precisión el hecho de que entre 10 y 12 maquinas están atascadas, en promedio; en cualquier momento. De hecho, ese número en el informe es de 12.09. La línea 10 del reporte indica que las maquinas atascadas están fuera de operación durante un tiempo promedio de 0.4839 horas, aproximadamente 29 minutos. Es necesario determinar el número de reparadores adicionales que se necesitarían contratar. Se conocen las medidas de rendimiento de un total de 7 trabajadores.

¿De qué manera cambian las medidas de rendimiento si se aumenta el personal de reparación. Las medidas de rendimiento asociadas para un número entre 7 y 11 reparadores se muestran en la TABLA 15.3

- 390 -

A medida que aumenta el tamaño del personal de 7 a 11, el número promedio de maquinas fuera de operación disminuye de aproximadamente 12 a 6.333. Similarmente, la cantidad promedio de tiempo que una maquina esta fuera de operación disminuye de 0.4839 horas (aproximadamente 29 minutos) a 0.2533 horas (aproximadamente 15 minutos). Ahora se necesita información sobre los costos para determinar cuántos reparadores adicionales, si se requieren, deben contratarse. TABLA 15.3 Medidas de rendimiento con diferentes tamaños de personal de reparación. Numero

de

reparadores

8

9

10

11

89.2857 78.1250 69.4444

62.5000

56.8182

5.8473

1.4936

0.5363

0.2094

0.0830

Numero esperado en 12.0973 el sistema

7.7436

6.7863

6.4594

6.3330

Probabilidad de que un cliente tenga que esperar

0.7017

0.4182

0.2360

0.1257

0.0630

Tiempo esperado en cola

0.2339

0.0597

0.0215

0.0084

0.0033

Tiempo esperado en el sistema

0.4839

0.3097

0.2715

0.2584

0.2533

7 Utilización (%) Numero esperado en la cola

Al analizar los méritos de contratar personal de reparación adicional en la empresa se deben identificar dos componentes importantes: 1. Un costo por hora basado en el tamaño del personal. 2. Costo total de = Costo por hora para * Numero de personal por hora cada reparador reparadores 3. Un costo por hora basado en el numero de maquinas fuera de operación.

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Costo total por = Costo por hora para cada * Numero promedio la espera maquina fuera de operación máquina fuera de operación Para seguir adelante, se necesita ahora conocer el costo por hora de cada miembro del personal de reparación ( denotado con Cs ) y el costo por hora de una maquina fuera de operación ( denotado Ce ), que es el costo de una hora de producción perdida. Suponga que el departamento de contabilidad le informa que cada mecánico para reparaciones le cuesta a la compañía $ 50 por hora, incluyendo impuestos, prestaciones, etc. El costo de una hora de producción perdida deberá incluir costos explícitos, como la cantidad de ganancias no obtenidas, y costos implícitos, como la pérdida de voluntad del cliente no se cumple con la fecha límite de entrega. Sin embargo, suponga que el departamento de contabilidad estima que la compañía pierde $ 100 por cada hora que una maquina este fuera de operación. Ahora se puede calcular un costo total para cada uno de los tamaños de personal. Para un personal de 7 reparadores, el numero esperado de maquinas en el sistema es 12. 0973. Costo total = Costo del personal + Costo de la espera Costo por hora por * Numero de + Costo por hora por * Número persona reparadores cada máquina fuera esperado de de operación máquinas fuera de operación = (50 * 7) + (100 * 12.0973) = $ 1559.73 por hora. Realizando cálculos parecidos para cada uno de los tamaños de personal restantes se tiene como resultado los costos por hora de cada alternativa presentada en la TABLA 15.4. De los resultados, se puede ver que la alternativa que tiene el menor costo por hora, $ 1128.63, es tener un total de 9 reparadores. En consecuencia, la recomendación a la gerencia de producción, es contratar a dos reparadores adicionales. Estos dos nuevos empleados tendrán un costo de $ 100 por hora, pero este costo adicional está más que justificado por los ahorros que se tendrán con menos maquinas fuera de operación. La recomendación reducirá el costo por hora de $1559.73 a $ 1128.63, un ahorro de aproximadamente $ 430 por hora, mayor que la cantidad que cubre sus honorarios. TABLA 15.4: Costo por hora para diferentes tamaños de personal de reparación. Tamaño de personal

Numero esperado en el sistema

Costo por hora ($)

7

12.0973

( 50 * 7 ) + ( 100 * 12.0973 ) = 1559.73

- 392 -

8

7.7436

( 50 * 8 ) + ( 100 * 7.7436 ) = 1174.36

9

6.7863

( 50 * 9 ) + ( 100 * 6.7863 ) = 1128.63

10

6.4594

( 50 * 10 ) + ( 100 * 6.4594 ) = 1145.94

11

6.3330

( 50 * 11 ) + ( 100 * 6.3330 ) = 1183.30

Características claves En resumen, para evaluar un sistema de colas en el que usted controla el número servidores o su tasa de servicio, se necesitan las siguientes estimaciones de costos y medidas de rendimiento:  El costo por servidor por unidad de tiempo (Cs)  El costo por unidad de tiempo por cliente esperando en el sistema (Ce)  El número promedio de clientes en el sistema (L)

Aplicación 15: El problema de colas de la Comisión de Regulación de Transporte de Cargas. La comisión de Transporte de Cargas tiene un número de estaciones para el pesaje de camiones a lo largo de la autopista de peaje, para verificar que el peso de los vehículos cumple con las regulaciones nacionales. La Comisión está considerando mejorar la calidad del servicio en sus estaciones de pesado y ha seleccionado una de las instalaciones como modelo a estudiar, antes de instrumentar los cambios. La administración desea analizar y entender el desempeño del sistema actual durante las horas pico, cuando llega a la báscula el mayor número de camiones, suponiendo que el sistema puede desempeñarse bien durante este periodo, el servicio en cualquier otro momento será aun mejor. El gerente de operaciones siente que el sistema actual cumple con las condiciones...: 1. Una población de clientes finita. 2. Un proceso de llegada en el que los clientes se presentan de acuerdo con un proceso de Poisson con una tasa promedio de clientes por unidad de tiempo. 3. Un proceso de colas que consiste en una sola línea de espera de capacidad infinita, con una disciplina de colas de primero en entrar primero en salir.

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4. Un proceso de colas que consiste en un solo servidor que atiende a los clientes de acuerdo con una distribución exponencial con un promedio de clientes por unidad de tiempo. Su siguiente paso debe ser estimar las tasas promedio de llegada y de servicio en dicha estación. De los datos disponibles, suponga que la gerencia determina que los valores son: Número promedio de camiones que llegan por hora = 60. Número promedio de camiones que pueden ser pesados por hora = 66. El valor de 66 es mayor que el de análisis de estado estable de este sistema.

60, de modo que es posible hacer el

CALCULO DE LAS MEDIDAS DE RENDIMIENTO. En términos de los parámetros y , los investigadores han derivado formulas para calcular las diferentes medidas de rendimiento para cualquier sistema de colas M / M / 1. Estas formulas a menudo expresan en términos de la intensidad del tráfico, Para el problema de OTC, esta intensidad de tráfico es

= 60 / 66 = 0.9091.

Mientras más cerca esté de 1 más cargado estará el sistema, lo cual tiene como resultado colas más largas y tiempos de espera más grandes. Las medidas de rendimiento para el problema de OTC se calculan de la manera siguiente. 1. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema ( P 0): P0 = 1 –

= 1 – 0.9091 = 0.0909

Este valor indica que aproximadamente 9 % del tiempo, un camión que llega no tiene que esperar a que se le proporcione el servicio porque la estación de pesado está vacía. Dicho de otra manera, aproximadamente 91 % del tiempo un camión que llega tiene que esperar. 2. Número promedio en la fila ( Lq ) : 2

Lq = (0.9091) / ( 1 – 0.9091) = 9.0909

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En otras palabras en el estado estable, en promedio, la estación de pesado puede esperar tener aproximadamente 9 camiones esperando para obtener servicio (sin incluir al que se está pesando). Cuando se ha determinado un valor para Lq, se puede calcular los valores de Wq, W y L, utilizando las relaciones siguientes: 3. Tiempo promedio de espera en la cola (Wq). = 9.0909 / 60 = 0.1515.

Wq = Lq /

Este valor indica que, en promedio, un camión tiene que esperar 0.1515 horas, aproximadamente 9 minutos, en la fila antes que empiece el proceso de pesado. 4. Tiempo promedio de espera en el sistema (W). W = Wq + 1/

= 0.1515 + 1/66 = 0.1667.

Este valor indica que, en promedio, un camión invierte 0.1617 horas, 10 minutos, desde que llega hasta que sale. 5. Número promedio en el sistema ( L ): L=

* W = 60 * 0.1617 = 10

Este valor indica que, en promedio, existe un total de 10 camiones en la estación de pesado, ya sea en la bascula o esperando a ser atendidos. 6. Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar ( P(T>0)): P (T>0) = 1 – P0 = 0.9091. Este valor como se estableció en el paso 1, indica que aproximadamente 91 % del tiempo un camión que llega tiene que esperar. 7. Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (Pn). Pn =

n

* P0

Al utilizar esta fórmula se obtiene las siguientes probabilidades:

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n

Pn

0

0.0909

1

0.0826

2

0.0751

3

0.0683

Distribución de probabilidad para el número de camiones que se encuentra en el sistema. Los números que aparecen en la tabla se pueden utilizar para responder una pregunta como: ¿Cual es la probabilidad de que no haya más de tres camiones en el sistema En este caso, la respuesta de 0.3169 se obtiene mediante la suma de los 4 primeras probabilidades de la tabla, para n = 0, 1, 2, 3. 8. Calculo de la utilización: U = 0.9091. Este valor indica que aproximadamente 91 % del tiempo las instalaciones de pesado están en uso ( un camión está siendo pesado ). De manera equivalente, aproximadamente 9 % del tiempo la estación esta sin funcionar, sin que haya camiones que se estén pesando.

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