Teoría de colas

´Indice general 1. Teor´ıa de Colas

3

1.1. Elementos de una l´ınea de espera . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Estructura b´asica de los modelos de colas . . . . . .

3

1.1.2. Notaci´on de Kendall . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Proceso de Poisson y la Distribuci´on Exponencial . . . . . .

7

1.3. Modelo general de colas de Poisson . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. Medidas de rendimiento de estado estable . . . . . . . . . .

13

1.5. Sistema de colas M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5.1. Medidas de efectividad . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.6. Sistemas de colas M/M/S . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6.1. Medidas de efectividad . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.7. Otros modelos de l´ıneas de espera . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.7.1. Modelo M/M/1/N . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.7.2. Modelo M/M/C/N . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.8. Aplicaciones de l´ıneas de espera a los servicios internos en la industria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.8.1. Modelos de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1

Teor´ıa de Colas 1.1.

Elementos de una l´ınea de espera

La teor´ıa de colas incluye el estudio matem´atico de las colas o l´ıneas de espera y provee un gran n´ umero de modelos matem´aticos para describirlas. Generalmente el administrador se encuentra en un dilema: “Asumir los costos derivados de prestar un buen servicio”. Asumir los costos derivados de tener largas colas. Se debe lograr un balance econ´omico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio. La teor´ıa de colas en s´ı no resuelve este problema, s´olo proporciona informaci´on para la toma de decisiones.

1.1.1.

Estructura b´ asica de los modelos de colas

Fuente de entrada: Los clientes que entran al sistema se generan a trav´es del tiempo en una fuente de entrada. Capacidad del sistema: Es el n´ umero total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir el n´ umero total de clientes potenciales distintos (puede suponerse que el tama˜ no es infinito o finito).

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Cap´ıtulo 1. Teor´ıa de Colas

Figura 1.1: Sistema de colas. Forma de las llegadas: Patr´ on estad´ıstico mediante el cual se generan los clientes a trav´es del tiempo. Cola: Una cola se caracteriza por el n´ umero m´aximo de clientes que se pueden admitir. Tama˜ no de la cola: Una cola puede ser finita o infinita. El est´andar es infinita. Disciplina de la cola: Se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio. El est´andar es FIFO (primero en entrar, primero en ser servido). Mecanismo de servicio: El mecanismo de servicio consiste en una o m´as instalaciones de servicio. Canal: Hace referencia al n´ umero de servidores que hay en el sistema, pueden ser: o Canales de servicio en serie o Canales de servicio en paralelo. Tiempo de servicio: Es el tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminaci´on. Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribuci´on de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. La distribuci´on m´as usada para

1.1 Elementos de una l´ınea de espera

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los tiempos de servicio es la exponencial, aunque es com´ un encontrar la distribuci´on degenerada o determin´ıstica (tiempos de servicio constantes) o la distribuci´on Erlang (Gamma). Ejercicio 1.1 En cada una de las siguientes situaciones, identifique al cliente y al servidor: Aviones que llegan a un aeropuerto. Sitio de taxis. Herramientas solicitadas del almac´en en un taller mec´ anico. Cartas procesadas en una oficina postal. Inscripciones a cursos en la universidad. Operaci´ on de pago en un supermercado. Operaci´ on de un estacionamiento. Ejercicio 1.2 Para cada una de las situaciones del problema anterior, identifique lo siguiente: Naturaleza de la fuente demandante (finita o infinita). Naturaleza de los cliente llegan (de forma individual o en grupos). Tipo del tiempo entre llegadas (probabilista o determinista). Definici´ on y tipo del tiempo de servicio. Capacidad de la cola (finita o infinita). Disciplina de la cola.

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Cap´ıtulo 1. Teor´ıa de Colas

Ejercicio 1.3 Estudie el siguiente sistema e identifique todas las situaciones asociadas de la cola a cada situaci´ on, defina a los clientes, al servidor (es), la disciplina de la cola, tiempo de servicio, longitud m´ axima de la cola y la fuente demandante. Las ´ ordenes de trabajo se reciben en un taller para ser procesadas. Al recibirlas, el supervisor decide si es un trabajo urgente o regular. Algunas de estas ´ ordenes requieren el uso de una o varias m´ aquinas id´enticas. Las ´ ordenes restantes se procesan en una l´ınea de producci´ on de dos etapas, de la cual se dispone de dos. En cada uno de los dos grupos, se asigna una instalaci´ on para manejar los trabajos urgentes. Los trabajos que llegan a cualquier instalaci´ on se procesan en orden de llegada. Las ´ ordenes terminadas se embarcan a la llegada desde una zona de env´ıo tiene una capacidad limitada. Las herramientas afiladas para las diversas m´ aquinas se suministran de un almac´en central de herramientas. Cuando una m´ aquina se descompone, se llama a mec´ anico del grupo de servicio para que efect´ ue la reparaci´ on. Las m´ aquinas trabajan en las ´ ordenes urgentes siempre reciben prioridades en la herramientas nuevas del almac´en y en el servicio de reparaci´ on.

1.1.2.

Notaci´ on de Kendall

Por convenci´on los modelos que se trabajan en teor´ıa de colas se etiquetan A/B/S/K/Z A: Distribuci´on del tiempo entre llegadas. B: Distribuci´on del tiempo de servicio. S: N´ umero de servidores. K: Capacidad del sistema. Z: Disciplina de cola. Las distribuciones que utilizaremos son:

1.2 Proceso de Poisson y la Distribuci´on Exponencial

7

M: Distribuci´on exponencial (markoviana). D: Distribuci´on degenerada (tiempos constantes). Ek: Distribuci´on Erlang. G: Distribuci´on general. Modelo donde tanto los tiempos entre llegada como los tiempo de servicio son exponenciales y se tienen s servidores M / M / s. Tiempos entre llegada exponenciales, tiempos de servicio general y 1 s´olo servidor M / G / 1.

1.2.

Proceso de Poisson y la Distribuci´ on Exponencial

En la mayor parte de las situaciones de colas, la llegada de los clientes ocurre de forma totalmente aleatoria. Este car´acter aleatorio significa que la ocurrencia de un evento (p.e. la llegada de un cliente o la terminaci´on de un servicio) no est´a influido por el tiempo que transcurre desde la ocurrencia del u ´ltimo evento. Los tiempos aleatorios entre llegadas y de servicio de los sistemas de colas m´as usuales se consideran con distribuciones exponenciales, o lo que es lo mismo, la raz´on de llegadas y de servicios tienen una distribuci´on de Poisson. La variable aleatoria T posee una distribuci´on exponencial si su funci´on de densidad es f (t) = λe−tλ , λ > 0, t > 0, su funci´on de distribuci´on es F (t) = P [T ≤ t] = 1 − e−tλ y la esperanza (tiempo medio entre llegadas) E[T ] =

1 , λ

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Cap´ıtulo 1. Teor´ıa de Colas

donde λt es la raz´on media de llegada en el tiempo t. Una de las propiedades por la que se utiliza de la distribuci´on exponencial es por la propiedad de olvido o falta de memoria de esta distribuci´on. Lo vemos con un ejemplo: Si ahora son las 8:20 a.m. y la u ´ltima llegada fue a las 8:02 a.m., la probabilidad de que la siguiente llegada ocurra a las 8:29 es una funci´on del intervalo de 8:20 a 8:29 solamente, y es totalmente independiente del tiempo transcurrido desde la ocurrencia del u ´ltimo evento (8:02 a 8:20) ↓ ↓ 8 : 02 8 : 20 ← no importa

↓ 8 : 29

Ejercicio 1.4 Explique su interpretaci´ on de la relaci´ on entre la tasa de llegadas λ y el tiempo promedio entre llegadas. ¿Cu´ ales son las unidades que describen cada variable? Ejercicio 1.5 En cada uno de los siguientes casos, determine la tasa promedio de llegada por hora, λ, y el tiempo promedio entre llegadas en horas. 1. Una llegada ocurre cada 10 minutos. 2. Dos llegadas ocurren cada 6 minutos. 3. El n´ umero de llegadas en un periodo de 30 minutos es 10. 4. El intervalo promedio entre llegadas sucesivas es 0.5 horas. Ejercicio 1.6 En cada uno de los siguientes casos, determine la tasa de servicio promedio por hora, µ, y el tiempo promedio de servicio en horas. 1. Un servicio se completa cada 12 minutos. 2. Dos salidas ocurren cada 15 minutos.

1.3 Modelo general de colas de Poisson

9

3. El n´ umero de clientes atendidos en un periodo de 30 minutos es 5. 4. El tiempo promedio de servicio es 0.3 horas. Ejercicio 1.7 El tiempo entre llegadas a la Oficina de Hacienda estatal es exponencial con valor medio 0.05 horas. La oficina abre a las 8:00 a.m. 1. Escriba la distribuci´ on exponencial que describe el tiempo entre llegadas. 2. Encuentre la probabilidad de que no llegue ning´ un cliente a la oficina antes de las 8:15 a.m. 3. Son ahora las 8:35 a.m. El u ´ltimo cliente entr´ o en la oficina a las 8:26. ¿ Cu´ al es la probabilidad de que el siguiente cliente llegue antes de las 8:38 a.m.? ¿De que el siguiente cliente no llegue antes de las 8:40 a.m.? 4. ¿Cu´ al es el n´ umero promedio de clientes que llegar´ a entre las 8:10 y las 8:45 a.m.? Ejercicio 1.8 Supongamos que el tiempo entre aver´ıas de una m´ aquina es exponencial con media 6 horas. Si la m´ aquina trabaj´ o sin fallas durante las u ´ltimas 3 horas, ¿cu´ al es la probabilidad de que contin´ ue sin fallas durante la siguiente hora? ¿Que se descomponga durante las siguientes 0.5 horas?

1.3.

Modelo general de colas de Poisson

La suposici´on normal es que los clientes se generan de acuerdo con un proceso de POISSON. Esto equivale a decir que el tiempo entre dos llegadas consecutivas tiene una distribuci´on de probabilidad exponencial. Cualquier otra suposici´on, como por ejemplo que un cliente desista de entrar a la cola por estar demasiado largo, debe especificarse en el modelo. Suposiciones

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Cap´ıtulo 1. Teor´ıa de Colas

Los tiempos entre llegadas y de servicio siguen la distribuci´on exponencial Comportamiento de estado estable o a largo plazo (comportamiento transitorio o a corto plazo es m´as complicado) Las tasas de llegada y de salida dependen del estado del sistema, es decir, del n´ umero de clientes en las instalaciones de servicio. n λn µn pn

= = = =

N´ umero de clientes en el sistema. Tasa de llegada de clientes dados n en el sistema. Tasa de salida de los clientes dados n en el sistema. Probabilidad de estado estable de n clientes en el sistema.

La probabilidad pn se determinan usando el diagrama de transici´ on (ver figura 1.2).

Figura 1.2: Diagrama de transici´on. Bajo las condiciones de estado estable, para n > 0, las tasas esperadas de flujo de entrada y de salida del estado deben ser iguales. Tasa esperada de flujo de entrada al estado n λn−1 pn−1 + µn+1 pn+1 . Tasa esperada de flujo de salida del estado n (λn + µn )pn . Al igualarlas se obtienen las ecuaciones de balance, λn−1 pn−1 + µn+1 pn+1 = (λn + µn )pn . n=0

µ1 p1 = λ0 p0

⇒

p1 =

n=1

λ0 p0 + µ2 p2 = (λ1 + µ1 )p1

⇒

p2 =

En general, por inducci´on, se tiene que

λ0 µ1 p0 λ1 λ0 µ2 µ1 p0

(1.1)

1.3 Modelo general de colas de Poisson

pn =

y p0 se obtiene de

P∞ 0

11

λn−1 λn−2 . . . λ0 p0 , µn µn−1 . . . µ1

pn = 1.

Ejemplo 1.1 El estacionamiento para visitantes a la Universidad est´ a limitado a s´ olo cinco espacios. Los autos que ocupan este espacio llegan de acuerdo con una distribuci´ on de Poisson a raz´ on de 6 autos por hora. El tiempo de estacionamiento se distribuye de manera exponencial con una media de 30 minutos. Los visitantes que no encuentran un espacio vac´ıo a su llegada esperan dentro del estacionamiento temporal hasta que un veh´ıculo estacionado salga. Este espacio temporal tiene una capacidad para s´ olo tres autos. Todos los dem´ as que no pueden estacionarse o encontrar un espacio de espera temporal deben ir a otra parte. Determinar la probabilidad de que n autos est´en en el sistema. Un espacio de estacionamiento act´ ua como un servidor, s = 5 servidores en paralelo, la capacidad m´ axima del sistema es 5 + 3 = 8. λn = 6, ( µn =

autos por hora, n = 1, 2, . . . , 8. ¡ 60 ¢ = 2n, autos por hora, n = 1, 2, . . . , 5, n 30 ¡ 60 ¢ n = 6, 7, 8. 5 30 = 10, autos por hora,

A partir de la ecuaci´ on (1.1) se obtiene que

pn =

Esto es,

 6n   p ,   n!2n 0    

6n

n = 1, 2, . . . , 5,

p0 , 5!2n 5n−5

n = 6, 7, 8.

12

Cap´ıtulo 1. Teor´ıa de Colas

p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = p7 = p8 =

Dado que

61 λ0 6 p0 = p0 , p0 = µ1 2·1 1!21 λ1 λ0 62 6·6 p0 = p0 , p0 = µ2 µ1 2·2·1·2 2!22 63 λ2 λ1 λ0 6·6·6 p0 = p0 , p0 = µ3 µ2 µ1 3·2·2·2·1·2 3!23 λ3 λ2 λ1 λ0 6·6·6·6 64 p0 , p0 = p0 = µ4 µ3 µ2 µ1 4·2·3·2·2·2·1·2 4!24 λ4 λ3 λ2 λ1 λ0 6·6·6·6·6 65 p0 = p0 = p0 , µ5 µ4 µ3 µ2 µ1 5·4·2·3·2·2·2·1·2 5!25 λ5 λ4 · · · λ0 6 · 65 66 66 p0 = p = p = p0 , 0 0 µ6 µ5 · · · µ1 10 · 5!25 2 · 5 · 5!25 5!26 56−5 λ6 · · · λ0 67 67 p0 = p = p0 , 0 µ7 · · · µ1 2 · 5 · 2 · 5 · 5!25 5!27 57−5 λ7 · · · λ0 68 p0 = p0 . µ8 · · · µ1 5!28 58−5

P∞ 0

pn = 1, se tiene µ

p0 + p0

3 32 33 34 35 36 37 38 + + + + + + + 1! 2! 3! 4! 5! 5!5 5!52 5!53

por tanto p0 = 0,04812, y con esto p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8

= = = = = = = =

0.14136 0.21654 0.21654 0.16240 0.09744 0.05647 0.03508 0.02105.

¶ ,

1.4 Medidas de rendimiento de estado estable

1.4.

13

Medidas de rendimiento de estado estable

L Lq W Wq cˆ ρ

= = = = = =

N´ umero medio de clientes en el sistema. N´ umero medio de clientes en cola. Tiempo medio de espera en el sistema. Tiempo medio de espera en cola. N´ umero medio de servicios ocupados. Intensidad de tr´afico en el sistema.

Bajo condiciones generales, la relaci´on entre L y W (Lq y Wq ) se conoce como f´ormula de Little y est´a dada por, L = λef W, Lq = λef Wq , donde el par´ametro λef es la tasa de llegada efectiva o raz´on de entrada al sistema. Ser´a igual a λ (raz´on de llegada) si todos los clientes que llegan ingresan en el sistema. De otra forma, si alguno de los clientes no puede unirse es porque el sistema est´a lleno, entonces λef < λ.

Figura 1.3: Tasa de llegada efectiva. W = Wq + µ1 . L = Lq +

λef µ .

14

Cap´ıtulo 1. Teor´ıa de Colas

cˆ = L − Lq . Ejemplo 1.2 En el ejemplo 1.1 determina: 1. La tasa efectiva de llegadas. Un auto que llega puede ingresar en el estacionamiento o ir a otro lado con tasas λef ectiva o λperdida (λ = λef ectiva + λperdida ). Un auto no podr´ a entrar en el estacionamiento si ya hay 8 autos dentro. Esto significa que la proporci´ on de autos que no entrar´ an en el estacionamiento debe ser igual a p8 , λperdida = λp8 = 6 · 0,02105 = 0,1263

autos por hora,

λef ectiva = λ − λperdida = 6 − 0,1263 = 5,8737

autos por hora.

2. N´ umero promedio de autos en el estacionamiento. L = 0p0 + 1p1 + . . . + 8p8 = 3,1286. 3. Tiempo promedio que un auto espera por un espacio para estacionarse dentro del estacionamiento. Un auto que espera en el espacio temporal realmente es uno que espera en la cola. As´ı, el tiempo de espera hasta que encuentra un espacio es Wq ,

Wq = W −

1 . µ

Dado que

W Wq

L 3,1286 = = 0,53265 horas, λef f 5,8737 1 = 0,53265 − = 0,03265 horas. 2 =

1.5 Sistema de colas M/M/1

15

4. El n´ umero promedio de espacios de estacionamiento ocupados, es decir, el n´ umero promedio de servidores ocupados. λef f 5,8737 = = 2,9368 µ 2

cˆ = L − Lq =

1.5.

espacios.

Sistema de colas M/M/1

Es un modelo en el que hay un s´olo servidor, los clientes llegan a una tasa constante (λn = λ) ∀n y la tasa de servicio tambi´en es constante (µn = µ) ∀n, no fija l´ımites en el tama˜ no del sistema (λef f = λ) y λper = 0, ya que todos los clientes que llegan pueden unirse al sistema. La intensidad de tr´afico ρ = µλ y para que se den las condiciones de estado estable debe ser menor que 1.

1.5.1.

Medidas de efectividad

ρ=

λ µ