Teoría de colas

UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE ANZOÁTEGUI COORDINACIÓN DE POSTGRADO MAESTRÍA EN INFORMÁTICA GERENCIAL INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Teoría de Colas Elaborado por: Gianpaolo Passanante Eneida Martinez Mayra Lanza

Barcelona, Marzo 2016

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ....................................................................................... 3 OBJETIVO GENERAL ................................................................................. 5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ......................................................................... 5 CAPITULO I MARCO REFERENCIAL ...................................................... 6 BASES TEÓRICAS ..................................................................................... 6 Investigación de Operaciones............................................................. 6 Teoría de Colas .................................................................................. 6 Proceso básico de colas ..................................................................... 7 POR QUÉ SE FORMAN LAS COLAS DE ESPERA ............................................ 8 ASPECTOS A TENER EN CUENTA EN LOS MODELOS DE COLAS ...................... 9 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN .................................................................... 10 ESTADOS DE UN SISTEMA DE COLAS ......................................................... 11 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES .................................................... 12 PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE .................................................... 15 MEDIDAS DE DESEMPEÑO DE SISTEMA DE COLAS ..................................... 18 FORMULAS GENERALES .......................................................................... 18 CLASIFICACIÓN DE MODELOS DE COLAS .................................................. 19 Modelo M/M/1 ................................................................................... 19 Modelo Con Múltiples Servidores ..................................................... 21 Modelo M/G/1 .................................................................................. 21 Modelos De Decisión En Colas ........................................................ 22 CAPITULO II METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION ....................... 25 NIVEL DE INVESTIGACIÓN ........................................................................ 25 DISEÑO DE INVESTIGACIÓN ...................................................................... 25 CAPITULO III DESARROLLO................................................................. 27 TEORÍA DE COLAS .................................................................................. 27 ESTRUCTURA BÁSICA DEL MODELO DE COLAS ......................................... 27 Fuente de entrada (población potencial) .......................................... 28 Cola .................................................................................................. 29 Disciplina de la cola .......................................................................... 29 Mecanismo de servicio ..................................................................... 29 ESTRUCTURAS MÁS COMUNES EN MODELOS DE COLAS ............................. 30 APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE COLAS .................................. 32 BENEFICIOS DEL MODELO DE COLAS ............................................... 34 LIMITACIONES DEL MODELO DE COLAS ........................................... 34 SOFTWARE DISPONIBLE PARA APLICACIÓN DE COLAS DE ESPERA .................................................................................................. 35 CONCLUSIONES .................................................................................... 41 BIBLIOGRAFIA ....................................................................................... 42

INTRODUCCIÓN La teoría de colas es una disciplina, dentro de la investigación operativa, que tiene por objeto el estudio y análisis de situaciones en las que existen entes que demandan cierto servicio, de tal forma que dicho servicio no puede ser satisfecho instantáneamente, por lo cual se provocan esperas mientras son atendidos. En tal sentido, la investigación de operaciones, utilizando métodos determinísticos y probabilísticos, permite encontrar soluciones opimas a los problemas originadas en las actividades de la empresa, además de simular las diversas políticas, con el cual se limita los riesgos de decisión.

La teoría de colas (o también llamada teoría de líneas o filas de espera) se le atribuye al ingeniero danés A. K. Erlang (909) esta llegó después de estudiar los conmutadores telefónicos en Copenhague, en la compañía telefónica danesa. Desarrolló muchos de los resultados de colas de espera que utilizamos actualmente. La "Cola" (o queue) es el término británico para cualquier tipo de colas de espera.

El ámbito de la aplicación de la teoría de colas se puede observar en cada aspecto de la vida cotidiana: desde las esperas para ser atendidos en establecimientos comerciales, esperas para ser procesados determinados

programas

informáticos,

esperas

para

establecer

comunicación o recibir información de un sito web, a través de internet, entre muchas otras. Aunque el fenómeno de esperar no se limita a los seres humanos si no también a los trabajos esperan para ser procesados, los aviones vuelan en círculos a diferentes alturas hasta que se les permite aterrizar, y los autos se detienen en los semáforos. Es decir, El estudio de las colas tiene que ver con la cuantificación del fenómeno de esperar por medio de medidas de desempeño representativas, tales como

longitud promedio de la cola, tiempo de espera promedio en la cola, y el uso promedio de la instalación. En resumen, un modelo de teoría de cola de espera es aquel en el que usted tiene una secuencia de elementos (tales como las personas) que llegan a una instalación en busca de servicio. Ésta es una aplicación inusual, porque la teoría de colas se utiliza para demostrar que la causa de los largos retrasos es principalmente logística

El fin último de este trabajo de investigación radica en estudiar la teoría de colas de esperas y los modelos más comunes. En tal sentido la presente investigación está estructurada de la siguiente manera: Introducción, objetivos, Capitulo I Marco referencial en donde se describen las bases teóricas de la teoría de Colas de espera; Capitulo II Marco metodológico en donde se indica la metodología de investigación utilizada y la Capítulo III de desarrollo donde se define modelo de colas, su estructura, beneficios y limitaciones y software disponible.

OBJETIVOS Objetivo General Analizar el modelo de colas de espera en cuanto a aspectos generales, estructura, aplicaciones y metodología a seguir para obtener soluciones a problemas de sistemas reales de cola con ayuda de software especializado

Objetivos Específicos 

Definir el Modelo de Colas.



Identificar estructura básica de los Modelo de Colas



Determinar las aplicaciones del modelo de Colas



Establecer los problemas, ventajas y desventajas de la aplicación

del modelo de colas 

Aplicación de Modelo de colas o líneas de espera a casos

propuestos con ayuda de software especializado

CAPITULO I MARCO REFERENCIAL Bases Teóricas

Investigación de Operaciones Según Munguía y Protti(2005) “es la aplicación por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina) a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización. (p.3) En tal sentido, la investigación de operaciones se basa en la aplicación del método científico para el desarrollo de modelos que permitan solucionar problemas que requieran la toma de decisiones gerenciales dentro de las organizaciones. Entre los problemas más comunes se encuentran la asignación de recursos, ruteo, inventario, línea de espera (colas) o programación de proyectos.

Teoría de Colas Hillier y Liberman (2010) afirman que:

La teoría de colas es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Utiliza los modelos de colas para representar los tipos de sistemas de líneas de espera (sistemas que involucran colas de algún tipo) que surgen en la práctica. Las fórmulas de cada modelo indican cuál debe ser el desempeño del sistema correspondiente y señalan la cantidad promedio de espera que ocurrirá en diversas circunstancias. (p.708)

Por otro lado para González (2003):

La teoría de colas se ocupa de las llegadas aleatorias a una instalación de servicio o de procesamiento de capacidad limitada. Este modelo tiene como objeto permitir la determinación del número óptimo de personal o de instalaciones que se requieran para dar servicio a los clientes que lleguen en forma aleatoria al considerar el costo del servicio y el de las esperas y congestiones.(p.6)

Teniendo en cuenta las definiciones anteriores, ambas coinciden en que la teoría de Colas permite generar modelos matemáticos para establecer el desempeño del sistema correspondiente en cuanto a número de personal requerido así como las instalaciones facilitando establecer los costos de las esperas para una organización.

Proceso básico de colas Siguiendo lo especificado por Hillier y Liberman Op.cit.,p.109, la estructura y el proceso básico de Colas comprende:

Los clientes que requieren un servicio en momento determinado comprenden fuente de entrada. Luego, ingresan al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola para proporcionarle el servicio mediante alguna regla conocida como disciplina de la cola que sería el orden de atención. Se lleva a cabo el servicio que el cliente requiere mediante un mecanismo de servicio, y después el cliente sale del sistema de colas. (Ver figura 1)

Figura 1.Proceso Básico de colas. Tomado de Introducción a la investigación de operaciones por Hillier y Liberman 2010. p.709

Por qué se Forman las Colas de Espera

Se sabe que las colas de espera son una hilera formada por uno o varios “clientes” que esperan a recibir un servicio, estos pueden ser personas u objetos inanimados (máquinas, producto, entre otros). Pero, cabe preguntarse ¿por qué se forman las colas? Esto ocurre, según Krajewski, Ritzman, & Malhotra (2008) “a un desequilibrio temporal entre la demanda de un servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo”. En la mayoría de los problemas de filas de espera de la vida real, la tasa de demanda varía; es decir, los clientes llegan a intervalos imprevisibles.

Lo más común es que también haya variaciones en la tasa de producción del servicio, dependiendo de las necesidades del cliente. Las filas de espera pueden formarse a pesar de que el tiempo necesario para atender a los clientes sea constante. Por ejemplo, el terminal de una empresa de transporte está controlado por computadoras para que llegue puntualmente a las distintas estaciones de su ruta. Cada autobús está programado para llegar a una estación, por ejemplo, cada 15 minutos. A pesar de que el tiempo de servicio es constante, se forman filas de espera cuando los pasajeros tienen que esperar al siguiente autobús o no logran abordar alguno a causa del gran número de personas que se aglomeran en las estaciones en las horas más agitadas del día. Por consiguiente, en

este caso, la variabilidad de la tasa de demanda determina la longitud de las filas de espera.

En general, si no hay variabilidad en las tasas de demanda o servicio y se cuenta con capacidad suficiente, no se formarán filas de espera.

Aspectos a tener en cuenta en los Modelos de colas

Dado que los gerentes suelen utilizar modelos de colas de espera para equilibrar las ventajas que podrían obtener incrementando la eficiencia del sistema de servicio y los costos que esto implica.

En tal sentido Eppen (2000) indica que deben plantearse o considerar lo siguiente para establecer el desempeño de cualquier sistema de cola de espera: •

El número de personas en el sistema: el número de personas que

están siendo atendidas en el momento, así como aquellas que están esperando servicio. •

La cantidad de personas en la cola de espera: las personas que

están esperando servicio. •

El tiempo de espera en el sistema: el intervalo entre el momento en

que el individuo entra al sistema y aquel en que sale del mismo. Observe que este intervalo incluye el tiempo de servicio. •

El tiempo de espera en la cola: el tiempo transcurrido desde que

uno entra al sistema hasta que se inicia el servicio

. Además, los gerentes deben considerar los costos de no mejorar el sistema: las filas de espera largas o los tiempos de espera prolongados provocan que los clientes eviten el sistema o renuncien a permanecer este. A partir de lo anterior, el Gerente deberá realizar la toma de decisiones necesarias en beneficio de la organización

Terminología y notación

A menos que se establezca otra cosa, se utilizará la siguiente terminología estándar:

Estado del sistema = número de clientes en el sistema. Longitud de la cola = número de clientes que esperan servicio. = estado del sistema menos número de clientes a quienes se les da el servicio. n(t) = número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t 0). n(t) = probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el número en el tiempo 0. s =número de servidores (canales de servicio en paralelo) en el sistema de colas. n = tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema. n = tasa media de servicio en todo el sistema (número esperado de clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema. Es decir, representa la tasa combinada a la que todos los servidores ocupados (aquellos que están sirviendo a un cliente) logran terminar sus servicios.

Nota Cuando n es constante para toda n, esta constante se denota por . Cuando la tasa media de servicio por servidor ocupado es constante para toda n 1, esta constante se denota por . (

En este caso, n =

s cuando n  s, es decir, cuando los s servidores están ocupado)

Estados de un sistema de colas

Los sistemas de colas pueden estar en estado transitorio o estable. Para Hillier y liberman (2010) un estado del sistema de colas transitorio ocurre apenas un sistema de colas apenas inicia su operación, el estado del sistema (el número de clientes que esperan en el sistema) se encuentra bastante afectado por el estado inicial y el tiempo que ha pasado desde el inicio. Se dice entonces que el sistema se encuentra en condición transitoria.

Sin embargo, una vez que ha pasado suficiente tiempo, el estado del sistema se vuelve, en esencia independiente del estado inicial y del tiempo transcurrido (excepto en circunstancias no usuales). En este contexto, se puede decir que el sistema ha alcanzado su condición de estado estable, en la que la distribución de probabilidad del estado del sistema se conserva (la distribución estacionaria o de estado estable) a través del tiempo. La teoría de colas tiende a dedicar su análisis a la condición de estado estable, en parte porque el caso transitorio es analíticamente más difícil.

La notación siguiente supone que el sistema se encuentra en la condición de estado estable:

Pn = probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema

L = número esperado de clientes en el sistema

Lq = longitud esperada de la cola (excluye los clientes que están en servicio)

En condiciones de estado estable, para n > 0, las tasas de flujo esperadas de entrada y salida del estado n deben ser iguales. Con base en el hecho de que el estado n puede cambiar sólo a los estados n - 1 y n +1, se tiene entonces que:

P0 =

Distribuciones De Probabilidades

Para Krajewski, Ritzman, & Malhotra ( 2008) el carácter aleatorio de la llegada de los clientes y de las variaciones que se registran en los tiempos requeridos para proporcionar el servicio. Cada una de esas fuentes se describe mediante una distribución de probabilidades, como se detalla a continuación:

Distribución De Llegadas La llegada de clientes a las instalaciones de servicio es aleatoria. La variabilidad en los intervalos de llegada de los clientes a menudo se describe por medio de una distribución de Poisson, que especifica la probabilidad de que n clientes lleguen en T periodos de tiempo.

Expresada en la siguiente fórmula:

(  T )  T P ( n)  n!

para n=(1,2,3…)

Donde Pn = probabilidad de n llegadas en T periodos de tiempo λ = número promedio de llegas de clientes por periodo e = 2.7183 La media de la distribución de Poisson es λT, y la varianza también es λT. La distribución de Poisson es una distribución discreta; es decir, las probabilidades corresponden a un número específico de llegadas por unidad de tiempo. Ver figura 2.

Figura 2. Distribución Poisson

Otra forma de especificar la distribución de las llegadas consiste en hacerlo en términos de tiempos entre llegadas de clientes; es decir, el tiempo que transcurre entre la llegada de dos clientes sucesivos. Para ello se utilizaría una distribución exponencial que permitirá describir la probabilidad de que el próximo cliente llegue durante los siguientes T periodos de tiempo.

Distribución Del Tiempo De Servicio La distribución exponencial describe la probabilidad de que el tiempo de servicio del cliente en una instalación determinada no sea mayor que T periodos de tiempo. La probabilidad puede calcularse con la siguiente fórmula: P(t ≤ T) = 1 – e-μT

Donde μ = número promedio de clientes que completan el servicio por periodo t = tiempo de servicio del cliente T = tiempo de servicio objetivo La media de la distribución del tiempo de servicio es 1/μ, y la varianza es (1/μ)2. A medida que T se incrementa, la probabilidad de que el tiempo de servicio del cliente sea menor que T se va aproximando a 1.0. (ver figura 3) . En resumen, el modelo de distribución exponencial se basa en la suposición de que cada tiempo de servicio es independiente de los tiempos que lo precedieron.

Figura 3 Distribución Exponencial

Procesos de Nacimiento y Muerte En teoría de colas existen dos procesos el de nacimiento y muerte y estos se refieren a las llegadas y salidas de un sistema de cola. Como lo expresan a continuación Hillier y Lieberman Op.cit.p.721 La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo con un proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. Sin embargo, en el contexto de la teoría de colas, el termino nacimiento se refiere a la llegada de un nuevo cliente al sistema de colas, mientras que el termino muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t  0), denotado por N(t), es el numero de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilístico como cambia N(t) al aumentar t. En general, sostiene que los nacimientos y muertes individuales ocurren de manera aleatoria, y que sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. De manera más precisa, los supuestos del proceso de nacimiento y muerte son los siguientes:

Supuesto 1. Dado N(t) 5 n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro n(n 5 0, 1, 2, . . .). Supuesto 2. Dado N(t) 5 n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro n (n 5 1, 2, . . .). Supuesto 3. La variable aleatoria del supuesto 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria del supuesto 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes. La siguiente transición del estado del proceso es n → n+ 1 (un solo nacimiento) o n → n- 1 (una sola muerte), lo que depende de cuál de las dos variables es más pequeña. En el caso de un sistema de colas, n y n representan, respectivamente, la tasa media de llegada y la tasa media de terminaciones de servicio, cuando hay n clientes en el sistema. En algunos sistemas de colas, los valores n de las serán las mismas para todos los valores de n, y las n también serán las mismas para toda n excepto para aquella n tan pequeña que el servidor este desocupado (es decir, n= 0). Sin embargo, las n las n también pueden variar en forma considerable con n para algunos sistemas de colas. Lo anterior se representa en la figura 2. Mostrada a continuación:

Figura 4. Diagrama de tasas del proceso de nacimiento y muerte. Tomado de Hillieer y Liberman

En la realidad se pueden dar casos en que solo ocurran llegadas o salidas estos serían modelos puros de nacimiento y muerte. Por ejemplo, modelo de nacimiento puro es la creación de actas de nacimiento de bebés recién nacidos. El modelo de muerte pura puede demostrarse por medio del retiro aleatorio de un artículo en existencia en una tienda.

Medidas de desempeño de Sistema de Colas Formulas Generales Para determinar el desempeño de un sistema de colas se deben conocer ciertos parámetros según

Krajewski, Ritzman, & Malhotra.

Op.cit.p 305, los cuales se muestran con sus símbolos y respectiva fórmula solo válida

para 