Teoria de Colas Seccion 9

5 FENOMENOS DE ESPERA 5.9 1)

Problemas Un laboratorio de enseñanza tiene 15 computadores para prácticas de docencia. Los alumnos que utilizan dichas máquinas descubren que requieren periódicamente que el supervisor del laboratorio responda a preguntas, efectúe ajustes menores en los computadores, etc. Los tiempos entre solicitudes de ayuda por parte de cada estudiante siguen una distribución exponencial con una media de 30 minutos. El tiempo que requiere el supervisor para responder a dichas peticiones de ayuda siguen también una distribución exponencial con una media de dos minutos. a) Simule el funcionamiento del laboratorio para determinar el tiempo total de espera de los alumnos durante un período de estudio de una hora. b) Determine el efecto de contratar un ayudante que pueda responder a las peticiones de ayuda en la misma forma que lo hace el supervisor.

2) Los trabajos llegan a una estación de procesamiento por medio de una correa transportadora a una tasa de una cada 4 minutos. La estación de servicio trabaja con una tasa exponencial, con parámetro µ. Encuentre el valor µ que minimice la probabilidad de tener una cola de longitud superior a tres. El sistema incurre en un costo de $ 1.000 por cada unidad que esté en la cola por encima de tres. El costo por día de prestar el servicio en la estación depende de µ. La relación del costo es Cs = 20.000µ, donde Cs = costo por día. Determine el valor óptimo de µ, suponiendo 8 horas por turno. 3) Un mecánico atiende cuatro máquinas. Para cada máquina el tiempo medio entre requerimientos de servicio es 10 horas y se supone que tiene una distribución exponencial. El tiempo de reparación tiende a seguir la misma distribución y tiene un tiempo medio de dos horas. Cuando una máquina se daña, el tiempo perdido tiene un valor de $ 30 por hora. El servicio del mecánico cuesta $ 100 diarios. a) Cuál es el número esperado de máquinas en operación?. b) Cuál es el costo promedio por día?. c) Cuál es preferible: tener dos mecánicos de tal forma que cada uno atienda dos máquinas, o tener uno solo como ocurre actualmente?. 4) Un camión de reparaciones a domicilio y su mecánico atienden máquinas agrícolas. El tiempo promedio de viaje más servicio es de dos horas/máquina. El tiempo promedio de requerimiento de servicio es de 4 días (exponenciales). Cuando se requiere servicio, el costo ocasionado por la reparación de las máquinas es $ 1.000/hora. El mecánico y el camión tiene un costo de $ 320/hora. Cuántas máquinas agrícolas debe atender para minimizar los costos?. Determine además: a) Tiempo de inutilización por máquina. b) Distribución del número de máquinas dañadas. c) Distribución del tiempo de inactividad de las máquinas. 5) Los clientes llegan a un banco a una tasa Poisson de 20 por hora. La ventanilla del banco tiene un tiempo de servicio exponencial con un tiempo medio de dos minutos. El 20% de los clientes son clientes especiales, que deben ser atendidos inmediatamente llegan, si la ventanilla está desocupada, o una vez finalice el servicio de la persona que está siendo atendida cuando ese cliente especial llegue:

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a) b) c) d) e)

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Cuál es el tiempo medio de permanencia en el sistema y en la cola de un cliente especial?. Cuál es el tiempo medio de permanencia en el sistema y en la cola un cliente normal? Qué porcentaje de tiempo está ocioso el cajero? Cuál es la distribución del número de clientes del sistema? Cuál es el tiempo medio de permanencia de un cliente en el sistema?

6) Un aeropuerto puede atender tres aviones en dos minutos, ya sea que despeguen o aterricen. si esta tasa tiene una distribución de Poisson, cuál es el tiempo medio entre llegadas (de aterrizaje o despegue) para asegurar que el tiempo medio de espera sea 5 minutos o menos? Suponga una distribución exponencial del tiempo entre llegadas. Dé, además, toda la información que pueda ser de alguna utilidad. 7) Los clientes llegan a una estación de servicio a hacer lubricar sus carros. Si no hay espacios para parquear, los carros que llegan se van a otra estación. Una vez que el cliente ha encontrado un espacio libre, deja el carro hasta que sea lubricado Si el cliente no ha regresado aún cuando se termina de lubricar el carro, éste es llevado a un parqueadero cercano. Los clientes llegan de acuerdo a un proceso de Poisson a una tasa media de 32 por día. El tiempo requerido para atender un carro tiene una distribución exponencial donde la tasa media es de 40 por día. La utilidad por cada carro atendido es $ 80. El costo capitalizado de la tierra para cada espacio para un carro es aproximadamente $ 32 por día. Cuántos espacios deberían asignarse, incluyendo el designado para el gato hidráulico de tal forma que se maximice la utilidad neta esperada? 8) Una estación de gasolina abre diariamente a las 7:00 AM y cierra a las 7:00 PM. A los empleados que atienden esta gasolinera se paga generalmente $ 30.000 al día (12 horas). La llegada de los automóviles que solicitan servicio sigue una distribución de Poisson, con una llegada media igual a 10 autos por hora. El tiempo de servicio por carro está distribuido en forma exponencial con un tiempo esperado de servicio igual a 5 minutos. Cuando excede de 3 el número de automóviles que esperan el servicio, entonces los clientes disgustados abandonan la gasolinera sin esperar el servicio. Determine por simulación el número óptimo de operarios que se deben contratar en la estación de gasolina, sabiendo que las ganancias que deja cada automóvil servido son de $ 2.00. 9) Los clientes de un supermercado llegan a las cajas registradoras con una frecuencia promedio de 20 clientes pro hora, siguiendo una distribución de Poisson. El tiempo que un cliente tarda en cada caja se encuentra distribuido en forma exponencial con un valor esperado de 10 minutos. Si el criterio de la tienda es tal que permite a un cliente esperar en una cola un promedio de 5 minutos en cada caja, estime el número de cajas registradoras que se requieren. Estime el tiempo de ocio de cada caja registradora. 10) Determine la mejor política de asignación para 21 máquinas, donde se cumple que la tasa de fallas por máquina es λ = .4 por hora y cada operario en promedio repara µ = 4 máquinas por hora. Una de las políticas es el asignación colectivo (21 máquinas y 3 operarios) y la otra es el asignación individual (7 máquinas por operario). El costo por hora de máquina inactiva es de $120. y el del operario inactivo es de $20. 11) Cuál es el número óptimo de operación que hay que asignar a las 21 máquinas, si el costo por máquina inactiva es de $180. por hora y el costo por operario inactivo es $20./hora 12) Actualmente se están desarrollando planes para una nueva fábrica. A un departamento de producción le han sido asignado cierto número de máquinas automáticas, y se desea determinar cuántas máquinas deberían asignarse a cada operario para que las atienda. Para

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este análisis se posee la siguiente información El tiempo de operación de cada máquina (tiempo entre la terminación de un servicio y el requerimiento del mismo) tiene una duración exponencial con una media de 120 minutos. El tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con una media de 6 minutos. El costo neto para la compañía de cada operario es $15 por hora. Se estima que el costo ocasionado por la inactividad de las máquinas (sea esperando servicio o siendo atendidas) le cuesta a la compañía $150 la hora. Cada operario debe atender sus propias máquinas y no puede recibir ni prestar ayuda a los demás. 13) En una fábrica se ha estudio el número óptimo de empleados que hay que colocar en las ventanillas de los diversos almacenes encargados de proporcionar herramientas a los obreros. En uno de esos almacenes el estudio se inició con la determinación de las características de las llegadas de los obreros y se recogió información acerca del número de obreros que llegaban cada 10 minutos. Esa información está en la Tabla I. También se recogió información acerca del tiempo gastado por cada almacenista, atendiendo a los obreros que llegaban por herramientas, información que aparece en la Tabla II. Cuántos almacenistas debe contratarse si se tiene la siguiente información: El salario de cada almacenista es $15 por hora, y cada hora de inactividad de un operario le cuesta a la empresa $30. Tabla I Estudio de las llegadas Número de llegadas por cada 10 minutos. Frecuencia 4 1 5 1 6 0 7 1 8 2 9 2 10 3 11 5 12 6 13 8 14 11 15 12 16 14 17 11 18 7 19 5 20 4 21 3 22 2 23 1 24 1 25 1

Tabla II Estudio de la duración de los servicios Intervalos en segundos Frecuencia 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 255 270 285 Mas de

15 30 45 60 25 90 105 120 135 150 135 180 195 210 225 240 270 285 300 300

187 160 140 115 90 74 54 50 42 33 25 19 17 15 13 9 7 6 4 2

14) La ventanilla de un banco tiene un tiempo medio de 2 minutos y los clientes llegan a una tasa de 20 por hora. Suponiendo que los clientes representan tasas con una distribución de Poisson: a) Qué porcentaje del tiempo estará ocioso el cajero ?

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b) Una vez llega cuánto tiempo gasta un cliente esperando en la línea y en ser atendido ? c) Qué fracción de clientes debe esperar en la línea ? 15) Una planta de procesamiento puede manejar un promedio de 25 unidades/hora, aunque los tiempos varían debido a la condición del material que llega. La tasa de llegada y la tasa de servicio pueden aproximarse mediante una distribución de Poisson. Cuántas unidades por hora se deben asignar para hacer que el tiempo medio del sistema no sea mayor que 4 minutos ? 16) Una mecanógrafa copia una carta en un tiempo promedio de 8 minutos. Realmente este tiempo varía y está distribuido exponencialmente. Si ella necesita el 40 por ciento del tiempo para otras actividades, cuántas cartas diarias se espera que ella escriba ? 17) Las unidades que requieren atención llegan a una tasa de 10 por hora. Se pueden comprar dos tipos de unidades de servicio. El tipo A puede atender 6 por hora (serían necesarias dos); el tipo B tiene una tasa de servicio de 12 por hora. Comparar el tiempo esperado en el sistema y el número esperado en el sistema para las dos alternativas. 18) El proceso de descarga de camiones se realiza por medio de una pala. El tiempo medio entre llegadas es 30 minutos y tiene distribución exponencial. La tasa de descarga es de tres camiones por hora. El costo de la pala y el operario es de $7 por hora. El costo de tiempo ocioso de un camión y su conductor es de $10 por hora. ¿Cuántas palas deben usarse? 19) Una oficina tiene una sola línea telefónica. Actualmente se hacen llamadas (que entran o salen) a una tasa de 10 por hora. La llamada media requiere 3 minutos. Cuál es la probabilidad de que cuando se haga una llamada la línea esté ocupada ?. Si esta probabilidad es 0.10 o menor, cuantas líneas se requieren ? 20) Una unidad de servicio tiene una tasa media de 10 artículos por hora. Estos artículos llegan a una tasa de 7 por hora. a) Si ambas tasas se aproximan a una distribución de Poisson, determinar la probabilidad de 0, 1, 2 y 3 unidades en el sistema. b) Si una unidad que llega no debe encontrar más que tres unidades en el sistema con una probabilidad de 0.2, Cuál debe ser la tasa de servicio? 21) Un operario tiene tres máquinas. Cuando las máquinas requieren atención él las detiene y hace las modificaciones necesarias. Estas modificaciones toman un tiempo de 10 minutos y tienen una distribución exponencial. El tiempo medio entre requerimientos de servicio para cualquier máquina es 2 horas. Cuál es la utilización del equipo? 22) En un taller, la práctica presente es acumular un mínimo de cuatro piezas mal ensambladas para volver a armarlas. Si en promedio salen dos piezas mal ensambladas por hora, cuál es el tiempo medio entre tandas de piezas para volver a armar? Suponer que la tasa de acumulación tiene una distribución de Poisson. 23) En una oficina una mecanógrafa atiende los trabajos de tres personas. Un trabajo promedio de mecanografía requiere 30 minutos y estos varían según una distribución exponencial. Una persona produce un trabajo de mecanografía aproximadamente cada 3 horas. Cuál es el valor estimado del tiempo que debe esperar un trabajo que llega para ser comenzado? 24) El concreto para ser vertido es transportado en carretillas por obreros. Un obrero supervisa el vaciado y se asegura de que queda bien asentado y pulido. El costo de un supervisor es de $8 por hora; los obreros cuestan $5 por hora. Para efectos de cálculo, se supone que una determinada carretilla se entrega cada 15 minutos y que la distribución de este tiempo es

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exponencial. El supervisor requiere un promedio de 6 minutos para manipular una carga de cemento. Si este tiempo también tiene una distribución exponencial, cuántos obreros deben emplearse? 25) Un químico ensaya diversos productos de diferentes unidades de una refinería. Este tiempo y el equipo tienen un costo de $18 por hora. El puede realizar tres ensayos por hora, pero esta tasa varía y puede describirse mediante una distribución de Poisson. Una unidad en operación tiene un tiempo medio entre requerimientos de ensayos de 2 horas con una distribución exponencial de tiempos. Cuando la muestra requiere más de 1 hora, la utilización adicional del equipo de ensayos cuesta $100. Seis unidades funcionan continuamente. Cuántos químicos deben emplearse? 26) Se reciben pagos con tarjetas de crédito a una tasa de 800 por día con una variación que aproximadamente es Poisson. Una persona puede procesar aproximadamente 300 tarjetas en un día de 8 horas. Hacer una representación gráfica del tiempo medio entre llegadas y procesamiento completo, en función del número de personas utilizadas. 27) Un empleado atiende los clientes que llegan a una estación de servicio. El tiempo de servicio está distribuido exponencialmente con una media de 6 minutos. Cuando hay más de un automóvil en espera de servicio, otro mecánico llega a ayudar. Si la tasa de llegada de clientes es seis por hora; cuál es la probabilidad de que se requiera un empleado adicional? 28) Un parque de recreación tiene una rampa para botes. Se requieren aproximadamente 7 minutos para lanzar o retirar del agua un bote. Este tiempo se supone aleatorio y distribuido exponencialmente. Durante los períodos ocupados, los botes llegan para ser lanzados o retirados a una tasa de cinco por hora (con distribución de Poisson). Cuál es el tiempo esperado del sistema? Cuántas rampas son necesarias para hacer este tiempo igual o menor que 20 minutos? 29) El administrador de una oficina desea determinar cuántas líneas telefónicas debe tener. La llamada promedio requiere 3 minutos y tiene distribución de Poisson. Sus primeros cálculos suponían una población infinita de clientes, pero ahora él se ha dado cuenta de que cuando una persona está hablando, disminuye la probabilidad de otra llamada. Hay diez personas que requieren servicio telefónico con un tiempo medio entre requerimientos de 1 hora. Si la probabilidad de hallar todas las líneas ocupadas cuando se necesita una llamada es 0,10 o menos. Cuántas líneas telefónicas se necesitan 30) En una instalación de servicio la atención se ofrece en tres etapas consecutivas. El tiempo de servicio en cada etapa es exponencial con media de 10 minutos. Un nuevo cliente debe esperar hasta que el que está en servicio pase por la etapa 3. Los clientes llegan a la estación de servicio de acuerdo con un proceso de poisson con una tasa media de uno por hora. Determine el número esperado de clientes en espera en la etapa uno y el tiempo promedio que se gasta esperando servicio y en el sistema. 31) Un vendedor atiende el mostrador en una tienda de halados. Los clientes llegan de acuerdo con el proceso poissoniano, con una tasa media de llegadas de 30 por hora. Se les atiende siguiendo un orden tipo FIFO, y debido a la calidad del helado, aceptan esperar si es necesario. Aparentemente el tiempo de servicio por cliente se distribuye exponencialmente, con una media de 1 ½ minutos. Determínense: a) El número promedio de clientes en espera se servicio. b) La cantidad de tiempo de espera por el servicio que un cliente debería estimar. c) La probabilidad de que un cliente tenga que permanecer más de quince minutos en la línea de espera. d) La probabilidad de que el dependiente este ocioso.

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Solución: 2.25; 4.5 minutos; 0.062; 0.25 respectivamente. 32) Un peluquero atiende el solo un negocio. No acepta citas, pero atiende a los clientes conformen llegan. Debido al prestigio del peluquero, los clientes están dispuestos a esperar por el servicio una vez que llegan; las llegadas siguen un patrón poissoniano, con una tasa media de llegadas de dos por hora. Aparentemente el tiempo de servicio del peluquero se distribuye exponencialmente, con una media de 20 minutos. Determínense: a) El número esperado de clientes en la peluquería. b) El número esperado de clientes que esperan el servicio. c) El tiempo promedio que un cliente permanece en la peluquería. d) La probabilidad de que un cliente permanezca más del tiempo promedio en la peluquería. Solución: 2 clientes; 1.33 clientes; 1 hora; 0.368 respectivamente. 33) Aparentemente el patrón de llegada de automóviles a la fila única de una ventanilla bancaria de atención a automóviles es un proceso poissoniano, con una tasa media de uno por minuto. Aparentemente los tiempos de servicio del cajero se distribuyen exponencialmente, con una media de 45 segundos. Considerando que un auto que llega esperará tanto como sea necesario. Determínense: a) El número esperado de autos en espera de servicio. b) El tiempo promedio que un automóvil espera el servicio. c) El tiempo promedio que un automóvil permanece en el sistema. d) La probabilidad de que haya automóviles esperando en la calle, si en los terrenos del banco puede haber un máximo de 5 automóviles. Solución: 2.25 clientes; 2.25 minutos; 3 minutos; 0.178 respectivamente. 34) En un aeropuerto de una sola pista, un promedio de una avión cada 5 minutos solicita permiso para aterrizar; aparentemente la distribución real es poissoniana. Los aeroplanos reciben permiso para aterrizar de acuerdo al orden de llegada, quedando en espera aquellos a los que no se les pueda dar permiso de inmediato debido al trafico. El tiempo que toma al controlador de trafico ayudar a que un aeroplano aterrice, varia de acuerdo con la experiencia del piloto; se distribuye exponencialmente, con una media de 3 minutos. Determínense: a) El número promedio de aeroplanos en espera. b) El número promedio de aeroplanos que han pedido permiso para aterrizar, pero que aun se encuentran en movimiento. c) La probabilidad de que un aeroplano que llega este en tierra menos de 10 minutos, después de pedir por primera vez permiso para aterrizar. d) La probabilidad de que haya más de tres aeroplanos esperando servicio. Solución: 0.9 aeroplanos; 1.5; 0.7364; 0.07776 respectivamente. 35) Unas mecanógrafa recibe trabajo de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa promedio de cuatro trabajos por hora. Los trabajos se mecanografían de acuerdo al orden de llegada, y el trabajo promedio requiere de 12 minutos de tiempo de la mecanógrafa; aparentemente el tiempo real del trabajo se distribuye exponencialmente alrededor de este media. Determínense: a) La probabilidad de que un trabajo quede concluido en menos de 45 minutos después de su llegada. b) La probabilidad de que la mecanógrafa concluya todos los trabajos al final del día. c) La probabilidad de que el trabajo le lleve a la mecanógrafa menos de 12 minutos. Solución: 0.528; 0.2; 0.632 respectivamente. 36) Conforme los mecánicos necesitan partes para los autos que están reparando en un taller, se dirigen al departamento de refacciones del taller y solicitan el material necesario. El dependiente único del departamento de refacciones atiende a los mecánicos de acuerdo al orden de llegadas. Los mecánicos llegan siguiendo un proceso poissoniano con una tasa

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media de 35 por hora y esperan su turno siempre que el dependiente este ocupado con alguien mas. En promedio, el dependiente de refacciones tarda 1 minuto para atender a un mecánico, con el tiempo real de servicio distribuido exponencialmente alrededor de esta media. ¿Cuál es el costo esperado por hora para el taller por hacer que los mecánicos obtengan las refacciones, si a un mecánico se le pagan $12 por hora?. Solución: US $16.80. 37) Los autobuses llegan a ciertas instalaciones de servicio de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 10 por día. Las instalaciones pueden dar servicio a uno por uno, el tiempo de servicio se distribuye exponencialmente alrededor de una media de 1/12 día. A la compañía de autobuses de cuesta $200 diarios operar las instalaciones de servicio y $50 por cada día que un autobús permanece en las instalaciones. Comprando un equipo más moderno, la compañía de autobuses puede disminuir el tiempo medio de servicio a 1/15 por día, pero esto aumentaría los costos diarios de operación de las instalaciones de servicio a $245. ¿Resulta conveniente desde le punto de vista económico hacer este cambio? Solución: si con un ahorro esperado de US $105. 38) Los trabajos llegan a una estación de inspección de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de dos por hora, y son inspeccionados de uno en uno siguiendo un orden tipo FIFO. El ingeniero de control de calidad inspecciona y realiza ajustes menores, si esto es todo lo necesario para que un trabajo termine esta fase. El tiempo total de servicio por trabajo aparentemente se distribuye exponencialmente, con una media de 25 minutos. Los trabajos que llegan pero no pueden ser inspeccionados de inmediato por el ingeniero, deben almacenarse hasta que el ingeniero pueda encargarse de ellos. Cada trabajo requiere 10 pie2 de espacio mientras esta almacenado. ¿Cuánto espacio deberá proporcionarse, si el objetivo es tener suficiente espacio de almacenamiento dentro de la sección de control de calidad el 90% del tiempo?. Solución: 110 pies2. 39) Determínese el efecto sobre L, Lq y W al duplicar λ y µ en un sistema M/M/I 40) Encuéntrese la probabilidad condicional que se haya n≥2 clientes en un sistema M/M/I, dado que existe una línea de espera. Solución: ϕ

n −2

(1 − ϕ)

con ϕ =

λ µ

41) Obténgase las ecuaciones de balance (véase el problema 14) directamente, empleando el hecho de que en el estado estable la tasa esperada de transiciones del sistema al estado n debe ser igual a la tasa esperada de transiciones fuera del estado n . (Nótese que en general las tasas esperadas de clientes al entrar y salir del estado n, λ = λ y µ n = µ , no son iguales). Solución:

λPn −1 + µPn +1 = λPn + µPn

con

µP1 = λP0 .

42) Una pastelería tiene dos dependientes, cada uno de ellos es capaz de atender 30 clientes por hora, con los tiempos reales distribuidos exponencialmente. Los clientes llegan a la pastelería de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 40 por hora. Determínense: a) La fracción de tiempo que un cierto dependiente está ocioso. b) La probabilidad de que haya más de dos clientes esperando servicio en un momento dado. Solución: 1/3, 64/405; 43) Una estación ferroviaria suburbana tiene cinco teléfonos públicos. Durante las horas de más movimiento en la tarde, las personas que desean hacer llamadas llegan a las casetas telefónicas siguiendo un proceso poissoniano, a una tasa de 100 personas por hora. La

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duración promedio de una llamada es de 2 minutos, con la duración real distribuida exponencialmente. Determínense: a) La cantidad de tiempo estimada que un individuo deberá esperar para hacer uso de un teléfono, una vez llega a las casetas. b) La probabilidad de que esta espera dure más de un minuto. c) El número esperado de personas que hacen uso o esperan el teléfono. Solución: 23.5 seg. ; 0.142; 3.987. 44) Un pequeño banco tiene dos cajeros, uno para depósitos y otro para retiros. El tiempo de servicio para cada cajero se distribuye exponencialmente, con una media de 1 minuto. Los clientes llegan al banco siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa media de 40 por hora; se considera que las personas que vienen a realizar depósitos y retiros, constituyen procesos poissonianos diferentes, cada uno con una tasa media de 20 por hora, y que ningún cliente realiza tanto un deposito como un retiro. El banco esta considerando cambiar al arreglo actual para permitir que cada cajero se encargue tanto de depósitos como de retiros. El banco esperaría que el tiempo medio de servicio de cada cajero aumentara a 1.2 minutos, pero desea que el nuevo arreglo impida que se formen largas líneas frente a un cajero, mientras que el otro permanece ocioso, situación que se presenta de tiempo en tiempo bajo el actual arreglo. Analícense ambos arreglos en lo que respecta al tiempo promedio ocioso de un cajero y al número estimado de clientes esperados en el banco en cualquier momento dado. Solución: n = 1 t 0 = 16.17% , n& 1 = 0.9524 t 0 = 60% 45) Un cirujano contrata un servicio de recados para manejar sus llamadas telefónicas. El servicio de recados es atendido por un operador y tiene capacidad para conservar en espera dos llamadas si el operador está ocupado con otra. Si las tres líneas están ocupadas (una por el operador y dos por las llamadas en espera), quien realiza una llamada recibe una señal de ocupado. El cirujano recibe llamadas de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 20 por hora. Una vez que se logra contacto con el operador, la duración de una llamada se distribuye exponencialmente, con una duración media de 1 minuto. Determínense: a) La probabilidad de que una persona que realiza una llamada reciba la señal de ocupado. b) La probabilidad de que una persona que llama, permanezca en espera. c) La probabilidad de que una persona que llama, hable de inmediato con el operador. Solución: 0.025; 0.3; 0.675. 46) Un restaurante de comida china para llevar tiene espacio para máximo cinco clientes. Durante los meses de invierno, sucede que cuando los clientes llegan y el restaurante está lleno, prácticamente ninguno espera por la fría temperatura exterior y se van a otro establecimiento. Los clientes llegan de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 15 por hora. El restaurante atiende clientes a una tasa promedio de 15 por hora, con los tiempos reales de servicio distribuidos exponencialmente. El restaurante es atendido solo por su propietario, quien se ocupa de los clientes de acuerdo al orden en que llegan. Determínense: a) El número promedio de clientes en el restaurante en cualquier momento dado. b) El tiempo estimado que un cliente deberá esperar el servicio. c) La tasa esperada a la cual se pierden ingresos debido al espacio limitado del restaurante, si la cuenta promedio es de $10.00. Solución: 2.5 clientes; 8 minutos; US $ 25/hora. 47) Una compañía de autobuses envía sus vehículos a sus instalaciones de servicio para su mantenimiento de rutina cada 25 000 millas. Las instalaciones de servicio están abiertas las 24 horas del día y las atiende una sola cuadrilla capaz de trabajar en un autobús por vez. El tiempo que toma dar servicio a un autobús se distribuye exponencialmente, con una media de 4 horas. Los autobuses llegan a las instalaciones siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa media de 4 horas. Sin embargo, los conductores tiene instrucciones de no entrar a las

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instalaciones si ya hay ahí cuatro o más autobuses, en cuyo caso regresan con el despachador para recibir nuevas instrucciones. Determínense: a) El tiempo esperado que un autobús pasa en las instalaciones de servicio, cuando se queda ahí. b) La perdida diaria en dinero para la compañía de autobuses debido a las limitaciones de las instalaciones de servicio, si el costo de enviar un autobús a las instalaciones y que regrese sin servicio es de $80. Solución: 13 horas, 4 minutos; US $ 495.48 48) La compañía de autobuses descrita en el problema anterior está considerando aumentar su cuadrilla de servicio a dos grupos igualmente eficientes. El costo diario de la cuadrilla adicional seria de $300. ¿Es convencional tal expansión). Solución: No, el nuevo costo $213.33 más los $300 de la cuadrilla. 49) La sección de maternidad de un hospital tiene cinco salas para atender a las pacientes. Estas llegan al hospital de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 12 por día y se les asigna una sala si hay alguna disponible; de otro modo, se las envía a otro hospital. En promedio, una paciente ocupa la sala durante 6 horas, aparentemente el tiempo real se distribuye exponencialmente alrededor de esta media. Determínense: a) La tasa promedio de ocupación de las salas (esto es, el porcentaje de salas en uso a largo plazo). b) La tasa promedio a la cual las pacientes de maternidad son enviadas a otros hospitales. Solución: 53%, 1.32 madres / día. 50) Una tienda tiene dos dependientes, cada uno de ellos es capaz de atender a los clientes a una tasa promedio de 60 por hora; los tiempos reales se servicio se distribuyen exponencialmente. La capacidad de la tienda es de cinco clientes, no permitiéndose la espera en el exterior. Los clientes llegan a la tienda de acuerdo con un proceso poissoniano, con una tasa promedio de llegadas que depende del número de personas que está en la tienda, de la manera siguiente: Número en la tienda Tasa promedio de llegadas /hora

0 100

1 110

2 120

3 140

4 170

5 200

Determínense: a) El número esperado de clientes simultáneos en la tienda. b) El tiempo estimado que un cliente deberá esperar por el servicio. c) La tasa estimada a la cual se pierden los clientes, debido a los limitado de las instalaciones. Solución: 2.9 clientes; 46.4 seg.; 50.4 clientes / hora. 51) Una estación de lavado de automóviles tiene espacio solo para tres unidades en espera y tiene dos líneas para el lavado. Cada línea puede aceptar sólo un automóvil cada vez. Estos llegan de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 20 por hora, pero se les niega la entrada siempre que el lavado este lleno. El lavado y la limpieza se realizan manualmente y parecen seguir una distribución exponencial. Bajo las condiciones normales, cada línea da servicio a un automóvil durante un promedio de 5 minutos. Sin embargo, cuando dos o más automóviles están esperando por el servicio, el procedimiento de lavado se acelera, reduciendo el tiempo promedio de servicio a 4 minutos. Determínense: (a) El número esperado de automóviles en el lugar. (b) El tiempo estimado que un automóvil permanece en el sitio si no se le niega la entrada. Solución: 2.089 autos; 6 minutos 48 seg..

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52) Los clientes llegan a una pequeña tienda de manjares delicados siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa media de 30 por hora. En el establecimiento caben cuando más cuatro clientes; siempre que está lleno, los clientes que llegan no pueden entrar y se pierde su compra. El propietario de la tienda es el único que atiende, y su tiempo de servicio se distribuye exponencialmente siempre que haya sólo un cliente en la tienda, con tiempo promedio de servicio de 5 minutos. Sin embargo, el propietario se vuelve más eficiente conforme la tienda se llena, disminuyendo su plática con los clientes y disminuyendo por tanto el tiempo promedio de servicio en 1 minuto por cada cliente que este formado esperando servicio. Determínense: a) El número estimado de personas que estarán simultáneamente en la tienda (sin incluir la propietario) b) El tiempo promedio de servicio por parte del propietario. Solución: 2.77; 2.94 minutos. 53) Determínense las probabilidades de estado estable para un sistema M/M/I con rechazo, si hay 20% de probabilidad de rechazo siempre que haya uno o más clientes en el sistema. Solución:

P0 =

1 − 0.84 1 + 0.24

∧

Pn = (0.8)

n −1

* ϕ n * P0 n

54) Resuelva el problema 52 si la probabilidad de un cliente efectué un rechazo es de 1− (1 / 2) , cuando el estado del sistema es n = 0, 1,2, 3 Solución: 1.53; 4.72 minutos. 55) Interprete la ecuacicón

µ n Pn = λ n −1Pn −1 en términos de las tasas de transición.

56) Para un sistema M/M/s/K, deduzca que L = L q + s −

s −1

∑ (s − n )P n =0

n

57) Un sistema M/M/ ∞ es un proceso de líneas de espera con un patrón poissoniano de llegadas, con tasa media λ , con una cantidad suficiente de servidores para atender a todos los clientes que llegan al sistema. Los servidores tiene tiempos idénticos de servicio distribuidos exponencialmente e independientes, con parámetro µ , y capacidad infinita. Tal modelo se aplica a menudo a establecimientos de autoservicio. Demuestre que para un sistema M/M/ ∞ , las probabilidades de estado estable constituye una distribución de Poisson, con un parámetro ϕ ≅ λ / µ . Determínense después L, W , Wq y L q . 58) En un curso de cableado eléctrico por correspondencia, se acepta a los estudiantes tan pronto como se inscriben y después concluyen el curso a su propio ritmo. Aparentemente los tiempos para terminar el curso siguen una distribución exponencial, con una media de 7 semanas. Determínese: a) El número de estudiantes que se esperan estén inscritos simultáneamente en el curso. b) La probabilidad de que un estudiante tarde más de 7 semanas en concluir el curso. (Consejo: Use los resultados del problema anterior. Solución: 350; 0.368. 59) Un sistema de líneas de espera con fuente finita es aquel que tiene un número limitado de clientes potenciales. Este número debe ser los suficientemente pequeño como para que no resulte razonable acercase a la población de clientes potenciales mediante una fuente infinita. Como se ha hecho en todos los procesos de líneas de espera analizados previamente. Considérese una fuente inicialmente constituida por N 0 clientes potenciales. Sus tiempos de

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B. Calderón. “Procesos Estocásticos. Fenómenos de espera”

actualización, es decir los tiempos en los que llegan a la instalación de servicio, son

N0

variables aleatorias independientes, distribuidas exponencialmente, cada una con parámetro λ . en el momento de concluir el servicio, el cliente regresa a la fuente como un nuevo cliente potencial. Por lo tanto, siempre que el estado de la estación de servicio es n , el estado de la fuente es N 0 − n , dando λ n = ( N 0 − n )λ (n = 0,1, K , N 0 ) . Además, para s < N 0 servidores con tiempos de servicio independientes distribuidos

µ, (n = 1,2, L , s ) ⎧nµ µn = ⎨ ⎩ sµ (n = s + 1, s + 2, L , N 0 )

exponencialmente con un parámetro

Obtenga las probabilidades de estado estable en términos de p ≅

λ

sµ

y compárelas con las

expresiones de fuente infinita, (xxx), (xxx).

60) Infiera directamente de (1) del problema 38 que

λ = ( N 0 − L )i

61) Una compañía que tiene siete delicadas máquinas que frecuentemente se descomponen, emplea a dos personas de servicio con la única tarea de repararlas. Cada persona de servicio puede reparar una máquina en 2 horas promedio, con el tiempo actual de servicio distribuido exponencialmente alrededor de esta media. Una máquina reparada funciona 12 horas en promedio exponencial antes de descomponerse de nuevo. Determínese: a) Número de máquinas en operación. b) % de tiempo fuera de servicio. Solución: 5.87; 16%.