Teoria de Colas - Investigacion de Operaciones II

Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño Extensión Puerto Ordaz Investigación de Operaciones II

Teoría de Colas Ing. Daniel Flores

Teoría de Colas La teoría de colas hace uso de modelos matemáticos para encontrar un balance adecuado entre el nivel de servicio ofrecido a los clientes y los costos asociados a su prestación. El objetivo es reducir el impacto desfavorable de la espera de los clientes o usuarios de un sistema a niveles tolerables. Notar que la tolerancia de un cliente a la espera depende de muchos factores que resulta imposible enumerar de forma exhaustiva, incluso en un análisis introspectivo se puede apreciar que nuestra propia tolerancia no es rígida y se ve afectada por condiciones del ambiente, congestión del sistema, temperatura, urgencia, etc.

Estructura de las Lineas de Espera 1.Clientes con una fuente de entrada (población finita o infinita).

Una población finita se refiere a un conjunto limitado de clientes que usarán el servicio y en ocasiones formarán una línea. Por el contrario una población infinita es lo bastante grande en relación con el sistema de servicio. 2.Clientes entran al sistema y se unen a una cola (tiempo entre llegada de clientes). Asumimos que los arribos siguen la distribución de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio son distribuidos exponencialmente. 3.Se proporciona el servicio (tiempos de servicio) por un servidor (uno y/o múltiples servidores) a un miembro de la cola, según una disciplina de servicio (disciplina de la cola). La disciplina de la cola más común es FIFO, es decir, se atiende por orden de llegada. 4.El cliente sale del sistema.

Estructura de las Lineas de Espera

Estructura de las Líneas de Espera

Ley de Little - Modelo A: M/M/1 Un importante resultado matemático es el demostrado por John Little en 1961, el cual relaciona las siguientes variables: L:Número promedio de clientes en un sistema W:Tiempo promedio de espera en un sistema λ:Número promedio de clientes que llegan al sistema por unidad de tiempo Luego la Ley de Little establece que el número promedio de clientes en un sistema (L) es igual a la tasa promedio de llegada de los clientes al sistema (λ) por el tiempo promedio que un cliente esta en el sistema (W).

Ley de Little - Modelo A: M/M/1 La fórmula es válida para sistemas y para subsistemas, es decir:

Donde Lq es el número promedio de clientes que esperan en la fila y Wq el tiempo promedio que un cliente espera en la fila. Adicionalmente µ representa el ritmo del servicio o capacidad del sistema.

Ley de Little - Modelo A: M/M/1 Un pequeño banco está considerando abrir un servicio para que los clientes paguen desde su automóvil. Se estima que los clientes llegarán a una tasa promedio de 15 por hora. El cajero que trabajará en la ventanilla puede atender a los clientes a un ritmo promedio de uno cada tres minutos. Suponiendo que el patrón de llegadas es Poisson y el patrón de servicios es Exponencial, encuentre: a) La utilización promedio del cajero b) El número promedio de clientes en la línea de espera c) El número promedio de clientes en el sistema d) El tiempo promedio de la espera en la fila e) El tiempo promedio de espera en el sistema

Solución a)La utilización promedio del cajero:

1 Cliente

3 Min

X

60 Min

Solución b) El número promedio de clientes en la línea de espera es:

c) El número promedio de clientes en el sistema:

Solución d) El tiempo promedio de la espera en la fila:

e) El tiempo promedio de espera en el sistema:

Modelo B: Modelo de cola multicanal (M/M/S) 1.Dos o más servidores o canales están disponibles para

atender a los clientes que arriban. 2.Los clientes forman una sola cola y se los atiende de acuerdo al servidor que queda libre. 3.Asumimos que los arribos siguen la distribución de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio son distribuidos exponencialmente. 4.Los servicios se los hace de acuerdo a la política primero en llegar primero en ser servido (PEPS) y todos los servidores atienden a la misma tasa

Modelo B: Modelo de cola multicanal (M/M/S)

Modelo B: Modelo de cola multicanal (M/M/S) En un Hospital llegan 10 clientes cada hora y un solo servidor puede atender 8 clientes cada hora. Si se colocan 2 servidores, Determine: a)Probabilidad de que ningún cliente se encuentre en el sistema. b)Numero promedio de unidades en el sistema. c)Tiempo promedio en el que una unidad esta dentro del sistema. d)Numero de clientes en la fila. e)Tiempo de espera en la fila.

Solución a) Probabilidad de que ningún cliente se encuentre en el sistema

Solución a) Probabilidad de que ningún cliente se encuentre en el sistema

Solución a) Probabilidad de que ningún cliente se encuentre en el sistema

b) Numero Promedio de Unidades en el sistema

Solución b) Numero Promedio de Unidades en el sistema

c) Tiempo Promedio en el que una unidad esta dentro del sistema

Solución d) Numero de clientes en la fila.

Solución e) Tiempo de espera en la fila

Modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1) Algunos sistemas de servicio tienen tiempos de servicio constantes en lugar estar exponencialmente distribuidos. Cuando se procesan clientes o equipos según un ciclo fijo, como en el caso de un túnel de lavado automático de automóviles o un viaje en una atracción de un parque de atracciones, es adecuado considerar que los tiempos del servicio son constantes. Dado que los ritmos constantes son fijos, los valores para Lq, Wq, Ls y Ws son siempre menores de lo que serían en el modelo A, que tiene las tasas de servicio variables. En realidad, tanto la longitud media de la cola como el tiempo medio de espera en la cola se reducen a la mitad con el modelo C.

Modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1)

Modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1) Supóngase un lavado automático de autos con una línea de remolque, de manera que los autos se mueven a través de la instalación de lavado como en una línea de ensamble. Una instalación de este tipo tiene dos tiempos de servicio diferentes: el tiempo entre autos y el tiempo para completar un auto. Desde el punto de vista de teoría de colas, el tiempo entre autos establece el tiempo de servicio del sistema. Un auto cada cinco minutos da una tasa de 12 autos por hora. Sin embargo, el tiempo para procesar un auto es el tiempo que se debe esperar para entregar un auto limpio. La teoría de colas no considera este tiempo. Supóngase que el lavado de autos puede aceptar un auto cada cinco minutos y que la tasa promedio de llegadas es de nueve autos por hora (con distribución Poisson).

Solución Longitud Media de la Cola

Tiempo Medio de Espera en la Cola

Numero Medio de Clientes en el Sistema

Tiempo Medio de Espera en el Sistema