Teoria de Circuitos

Teoría de circuitos Referencias Teoría de circuitos. Segunda edición. Lawrence P. Huelsman. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. Circuitos eléctricos. Tercera edición. Joseph A. Edminister. Mahmood Nahvi. Mc Graw-Hill. Circuitos eléctricos. Cuarta edición. James W. Nilsson. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina 1995. Wsewolod Warzanskyj Poliscuk. Análisis de Circuitos. Departamento de publicaciones de E.T.S de Telecomunicación de Madrid, Madrid 1995 James W. Nilsson, Susan A. Riedel. Electric Circuits. Prentice-Hall, 1999

Para conocer el comportamiento de un sistema es necesario especificar un conjunto de variables que lo describan. Algunas de las variables utilizadas se muestran en la Figura 1.

Figura 1. Variables utilizadas y sus unidades.

A cada variable se le asocia una unidad. En ingeniería electrica predomina el Sistema Internacional (MKS). Cuando los valores que toman las variables son muy pequeños o muy grandes se utilizan factores de multiplicación (potencias de 10 positivas y negativas), y sus correspondientes prefijos en las unidades (ver Figura 2).

Figura 2. Factores de multiplicación.

Variables circuitales 1. Carga Se refiere al balance entre partículas con cargas positivas y negativas en la materia. Se representa por q(t). Unidad MKS: Culombio (C), que es la carga con sentido positivo de 6,24 10 18 electrones. El teorema de conservación de la carga afirma que la carga no puede crearse ni destruirse. 2. Corriente o intensidad Es la transferencia de carga neta (teniendo en cuenta cargas negativas y positivas) por la unidad de tiempo. Se representa por i(t).

Unidad MKS: Amperio (A) = Transferencia de 1 Culombio en 1 segundo.

3. Energía Se define como la capacidad para crear trabajo y se representa por w(t).

Unidad MKS: Julio (J). El principio de conservación de energía afirma que la energía ni se crea ni se destruye, sólo se transforma. 4. Voltaje o tensión Si se consume una cantidad de energía sobre una carga, la relación entre el trabajo realizado y la carga se denomina VOLTAJE o TENSIÓN y se representa por v(t).

Unidad MKS: Voltio (V) = 1 Julio suministrado a 1 Culombio.

5. Potencia Cantidad de trabajo que se realiza en la unidad de tiempo.

Unidad MKS: Watio (W). Se representa por p(t) (potencia instantánea).

Si la potencia es positiva, hay absorción de energía, si es negativa, se entrega energía. Direcciones de referencia 1. Introducción Las direcciones o polaridades de referencia sirven para dar un signo a la magnitud real asociada. Normalmente no conocemos el valor de la magnitud antes de calcularlo, así que propondremos un signo, si da negativo, el sentido real será el contrario.

2. Carga Dado un par de placas conductoras separadas por un dieléctrico (aire), se da el signo positivo si la placa superior está cargada positivamente y la inferior negativamente.

3. Corriente El flujo real de la corriente es positivo en la dirección de referencia tomada como tal, contraria al movimiento de los electrones. Es decir, se considera positivo el movimiento de cargas positivas, porque históricamente se pensaba que se movían estas. Por lo tanto, la corriente será positiva si es contraria al movimiento de electrones o negativa si es en el mismo sentido.

4. Voltaje En una red con dos terminales, la polaridad de referencia es de la siguiente forma:

5. Elementos de dos terminales En este grupo se engloban las resistencias, condensadores, diodos, fuentes, etc... Normalmente existe una expresión que relaciona voltaje y corriente. Para ello deben estar referenciados ambos de forma adecuada. Por ejemplo, en una resistencia se relacionan mediante la ley de Ohm:

6. Potencia

La potencia se ha definido como una función de dos variables v(t) e i(t): criterios de signo de aquellas, se aplican a ésta.

,de forma que los

De forma simplificada se podría decir que si el dipolo es un resistor, la potencia siempre será absorbida (siempre positiva) y si es un inductor o una bobina puede absorber potencia en algunos momentos y entregarla en otros (puede ser positiva o negativa).

Aplicación interactiva sobre la potencia en un resistor Esta aplicación visualiza la potencia en un resistor en función de la polaridad de referencia del voltaje en sus terminales y del sentido de la corriente que lo atraviesa. Clasificación de los elementos 1. Introducción Antes de analizar el comportamiento de los circuitos, es necesario realizar una clasificación de ellos atendiendo a ciertas propiedades básicas que éstos poseen. 2. Lineales / no lineales Aplicamos separadamente dos entradas o excitaciones (e1(t) y e2(t)) a un elemento de la red y medimos los resultados o salidas (s1(t) y s2(t)). Se dice que el elemento es lineal si cumple:

a) Al excitar con , siendo A una constante, produce una salida . Es decir, si se multiplica la entrada por una constante, su salida debe quedar multiplicada por esa misma constante. b) Al excitar con

, produce una salida

.

Normalmente las entradas y salidas son voltajes o corrientes. Un elemento no lineal es el que no cumple alguna de estas condiciones anteriores. Esta propiedad servirá para aplicar superposición: en una red con varios generadores, se puede calcular la respuesta de cada uno de ellos por separado, y luego se suman. La linealidad total no existe en el mundo real, por lo tanto trabajaremos con la siguiente aproximación: "Un elemento se puede tratar como lineal si las variables lo definen se comportan como lineales en un intervalo de trabajo. 3. Variantes / Invariantes en el tiempo Un elemento es invariante en el tiempo si sus parámetros o valores no cambian con el tiempo. Tampoco hay elementos invariantes en el tiempo en el mundo físico, pero se les supone esta propiedad. 4. De parámetros concentrados En los análisis de circuitos que se realizarán a lo largo de este tutorial, se supone que las dimensiones físicas de los elementos no tienen efecto en su comportamiento, es decir estan compuestos de elementos de parámetros concentrados. 5. Pasivos / Activos Un elemento es pasivo si el total de la energía que se le suministra es siempre no negativa, independientemente del tipo de circuito al que esté conectado.

Si w(t) puede ser negativo, el elemento será activo. Una bobina o un condensador pueden ceder energía en un determinado instante (p(t) < 0), pero sólo la que se las ha dado previamente (p(t) puede ser negativa, pero el total de energía, no). Son, por tanto, elementos pasivos. Leyes de Kirchoff

1. Introducción La configuración, forma o topología de la red va a establecer una relación entre las variables involucradas. Definiciones:  

NODO (o NUDO): punto en un circuito en el que dos o más elementos se conectan entre sí. RAMA: cualquier elemento de la red de dos terminales (situado entre dos nodos).



LAZO: conjunto de ramas que forman una trayectoria cerrada de la red, conectando cada nodo únicamente dos ramas consecutivas.

2. Ley de Corrientes de Kirchoff (L.C.K.) En cualquier instante de tiempo, la suma algebraica de las corrientes de rama en un nodo es cero, consideradas todas entrantes o todas salientes. O bien, la suma de las corrientes de rama entrantes a un nodo es igual a la suma de corrientes salientes, en cualquier instante de tiempo.

3. Ley de Voltajes de Kirchoff (L.V.K.) La suma algebraica de los voltajes de rama alrededor de un lazo es cero en todo instante de tiempo, considerados todos subidas o todos bajadas. O bien, en todo instante de tiempo, la suma de las subidas de voltaje alrededor de un lazo es igual a la suma de caídas de voltaje. Ejemplos 1. Ejemplo de aplicación de L.C.K. Escribir las ecuaciones de corrientes por la ley de LCK en los nodos a, b, c y d. Sumar todas las ecuaciones obtenidas.

Sumando a, b y c:

Se observa que se obtiene la ecuación d. Por tanto, tenemos tantas ecuaciones independientes como nodos menos 1.

2. Ejemplo de aplicación de L.V.K. Escribir las ecuaciones de lazos aplicando la LVK.

Si sumamos las ecuaciones primera y segunda obtenemos la tercera. Nota: Normalmente no se toman lazos que atraviesen o incluyan alguna rama para evitar ecuaciones linealmente dependientes (en este caso, el lazo a-b-d-c-a incluye a la rama en la que se mide v3). El Resistor

El resistor o resistencia es un elemento de 2 terminales en el que la corriente y el voltaje de rama se relacionan por la ley de OHM:

R: Resistencia, unidad: Ohm G=R-1: Conductancia, unidad: Mho Símbolo y polaridad de referencia:

Dentro de la clasificación de los elementos, los resistores son de parámetros concentrados, lineales e invariantes en el tiempo. Fácilmente se comprueba que cumple las condiciones de linealidad observando la gráfica que relaciona v(t) con i(t).

La potencia del resistor viene dada por:

Como para valores positivos de R, p(t) será siempre positivo, los resistores son elementos pasivos. Es importante destacar que dado que los resistores se emplean para disipar energía, se debe especificar no sólo su valor nominal, sino también su potencia máxima disipable. Esta potencia máxima disipable afectará al tamaño y construcción de los resistores. En electrónica este parámetro se presenta como fracciones de watio. Los valores de los resistores varían entre algunos Ω y varios MΩ. Fuentes

1. Fuentes ideales Fuentes independientes Son aquellas cuyas características no dependen de ninguna otra variable de red, aunque pueden variar con el tiempo. 

Fuente de tensión o voltaje Aquella en la que el valor de su voltaje es independiente del valor o dirección de la corriente que lo atraviesa. Impone el voltaje en sus bornas, pero la corriente que lo atraviesa estará impuesta por la red o circuito al que esté conectado. Representación:

Cuando el voltaje es nulo, la característica I-V es igual a la de una resistencia nula (CORTOCIRCUITO). Es decir, anular un generador de voltaje ideal es sustituirlo por un cortocircuito, o bien, la resistencia interna de un generador ideal de voltaje es nula. 

Fuente de corriente Son aquellas en las que el valor y la dirección de la corriente que circula a través de ella es independiente del valor y polaridad del voltaje en sus terminales. Impone la corriente de rama, pero el voltaje en sus bornas estará impuesto por la red a la que esté conectado.

Representación:

Cuando la corriente es nula, la característica I-V es igual a la de una conductancia nula (resistencia infinita, CIRCUITO ABIERTO). Es decir, anular un generador de corriente ideal es sustituirlo por un circuito abierto; su resistencia interna es infinita (conductancia nula). Las fuentes son elementos activos, aunque pueden absorber energía. EJEMPLO:

Generador 1: Generador 2:

(entrega energía: signo negativo de la potencia) (absorbe energía, se está cargando)

Resistencia:

(absorbe energía, disipa calor)

La suma total de potencias es cero (la energía que cede un generador la reciben la resistencia y el otro generador).

Fuentes dependientes o controladas Son aquellas cuyo valor de salida es proporcional al voltaje o corriente en otra parte del circuito. La tensión o corriente de la que dependen se llama VARIABLE DE CONTROL. La constante de proporcionalidad se denomina GANANCIA. Existen cuatro tipos: 

Fuente de voltaje controlada por voltaje (FVCV)



Fuente de voltaje controlada por corriente (FVCC)



Fuente de corriente controlada por voltaje (FCCV)



Fuente de corriente controlada por corriente (FCCC)

2. Fuentes no ideales Las fuentes no ideales incluyen disipación interna, van a tener una resistencia de pérdidas.



Fuente no ideal de voltaje: fuente de voltaje ideal con una resistencia en serie.



Fuente no ideal de corriente: fuente de corriente ideal con una resistencia (conductancia) en paralelo.

En realidad, ambos modelos pueden INTERCAMBIARSE en el estudio de circuitos. Para ver esto, conectamos una red arbitraria y vemos su equivalencia:

Se trata de que en ambos casos I0 y V0 sean iguales:

Para que ambas ecuaciones sean iguales:

Se puede comprobar que en ambos casos se cumple: 1. 2. 3. 4.

El voltaje en circuito abierto es el mismo. La corriente de cortocircuito es la misma. Conectando un resistor arbitrario a sus bornas, se disipa en él la misma potencia. Las fuentes son equivalentes únicamente en lo que se refiere a su comportamiento en los terminales externos (de bornas para afuera). Vamos a ver que la disipación interna de energía es diferente:

o

CIRCUITO ABIERTO: - El modelo de fuente de voltaje no disipa. - El modelo de corriente disipa:

o

CORTOCIRCUITO: - El modelo de fuente de corriente no disipa (voltaje nulo en la resistencia). - El modelo de voltaje disipa.

Conexiones de resistores 1. En serie

Queremos conseguir una resistencia equivalente que se comporte igual que el conjunto. En los nodos de conexión de resistencias se ve:

Aplicando LVK al lazo:

La tensión en cada resistencia es:

2. En paralelo

En este caso:

Aplicando LCK: La corriente en cada resistencia es:

Luego:

Para n resistencias:

Para 2 resistencias: En definitiva, en serie se suman resistencias y en paralelo, conductancias.

3. Ejemplo: Red en ESCALERA

Conexiones de fuentes

1. Introducción A continuación se presentan las conexiones de fuentes en serie y en paralelo, válidas para fuentes independientes y dependientes.

2. Fuentes ideales de voltaje en serie

El voltaje que resulta de una conexión en paralelo de fuentes ideales de voltaje no está definido, ya que no se cumple la ley de voltajes de Kirchoff, excepto que todas las fuentes sean del mismo valor.

3. Fuentes ideales de corriente en paralelo

Analógamente, la corriente que resulta de una conexión en serie de fuentes ideales de corriente no está definida, por no cumplir la ley de corrientes de Kirchoff, excepto que todas las fuentes sean del mismo valor. 4. Fuentes no ideales de voltaje en paralelo Pasamos previamente a fuentes no ideales de corriente:

5. Fuentes no ideales de corriente en serie Pasamos previamente a fuentes no ideales de voltaje: Movilidad de generadores 1. Movilidad del generador de voltaje Un generador ideal de voltaje conectado a un nodo que une varias ramas, se puede "mover" a cada una de ellas, respetando el valor y la polaridad.

Se puede comprobar que las leyes de Kirchoff dan los mismos resultados en ambos casos. Las corrientes y voltajes de todos los elementos del circuito se mantienen, excepto para el generador al que se le ha aplicado "movilidad". De esta forma, la corriente que atraviesa al generador original es la suma de las corrientes de los generadores equivalentes. 2. Movilidad del generador de corriente Un generador ideal de corriente que conecte dos nodos, se puede colocar en paralelo de cada una de las ramas de cualquier "camino" que una ambos nodos.

Por las conexiones aa' y bb' no circula corriente, por lo que pueden ser eliminados sin sufrir variaciones en el resto del circuito. Al igual que en el apartado anterior, las corrientes y voltajes de todos los elementos del circuito se deben mantener excepto para el generador de corriente al que se le ha aplicado "movilidad". El voltaje en bornas del generador original es la suma de los voltajes de los generadores equivalentes. 3. Uso de la movilidad La movilidad se suele utilizar para evitar ramas que únicamente tengan generadores ideales, ya que en ellos no existe una relación entre voltaje y corriente. Conseguimos así generadores no ideales, pudiendo transformar las fuentes de voltaje en fuentes de corriente y viceversa. Conexión de fuentes ideales 1. En paralelo

Como la resistencia interna de la fuente ideal de voltaje es nula, toda la corriente del generador de corriente fluye a través del generador de voltaje (no afecta fuera).

2. En serie

El voltaje de la fuente de voltaje no afecta al exterior ya que encuentra la resistencia infinita (circuito abierto) de la fuente de corriente. En ambos casos las equivalencias son de bornas para afuera ya que el comportamiento interno (absorción/entrega de energía) es diferente. Divisores de voltaje y corriente

1. Divisor de voltaje

El voltaje Vs(t) se divide en los voltajes que caen en las resistencias R1 y R2. Esta fórmula sólo es válida si la salida v2(t) está en circuito abierto (no circula corriente por los terminales donde se mide v2(t)).

2. Divisor de corriente

Análogamente, la corriente Is(t) se divide en las corrientes que atraviesan las dos conductancias. Ecuaciones de mallas

1. Introducción Definición de MALLA: Conjunto de ramas que forman una trayectoria cerrada y que tiene las siguientes propiedades: 1. 2.

Cada nodo une solamente dos ramas. El conjunto no encierra a otra rama.

Es por tanto un lazo que no encierra o atraviesa ninguna rama. Ejemplo:

Puesto que una malla es un tipo particular de lazo, sigue cumpliendo la ley de voltajes de Kirchoff. Se obtienen tantas ecuaciones independientes como mallas halla en el circuito (si se eligieran lazos al azar, podríamos llegar a ecuaciones dependientes). En una red, si tenemos b ramas y n nodos, se cumple que el número de mallas es:

Por tanto, tenemos b-n+1 ecuaciones independientes analizando por mallas. 2. Red resistiva de dos mallas Tomamos la misma dirección de referencia para las corrientes de ambas mallas: en el sentido de las agujas de reloj.

Aplicando la Ley de Voltajes de Kirchoff a cada malla, poniendo los voltajes de la fuente en un miembro de la ecuación y los de rama en otro; y sustituyendo el voltaje en cada resistencia por la expresión de la ley de Ohm:

En forma matricial:

Hay que apreciar que: a. El signo de VS1, VS2 es positivo si es subida de tensión y negativo si es caída, según la dirección de referencia de la malla.

b. Los términos de la diagonal principal (r11, r22) son la suma de todas las resistencias propias de cada malla. c. Los términos fuera de la diagonal principal son la suma de las resistencias de la rama común a ambas mallas, pero con signo negativo (esto se debe a que el sentido de referencia de la malla contigua es contrario). Los elementos de la matriz R tienen dimensión de resistencia.

EJEMPLO:

3. Red resistiva de n mallas Para una red resistiva plana con n mallas, suponiendo que la recorremos en el sentido de las agujas del reloj, tendremos:

Donde:    

Vi: suma de todas las fuentes de voltaje de la malla i-ésima, considerando positivas las subidas de tensión y negativas las caídas (en la dirección de recorrido de la malla). rii (diagonal de la matriz R): la suma de las resistencias propias de la malla i. rij ( ): El negativo de la suma de los valores de las resistencias comunes a las mallas i y j. Si la red no tiene generadores dependientes la matriz es simétrica (rij=rji). ii: Valor de la corriente de la malla i-ésima (incógnitas, normalmente).

Se resuelve por CRAMER. Para que haya solución, la condición necesaria y suficiente es que la matriz R tenga determinante no nulo. Una vez conocidas las corrientes de malla, se pueden calcular las corrientes y voltajes de cada una de las ramas. Es importante destacar que este método únicamente se utiliza con fuentes de voltaje.

Ecuaciones de nodos 1. Circuito de dos nodos En este caso las variables desconocidas son los voltajes de los nodos.

En realidad hay tres nodos pero, sólo generan dos ecuaciones independientes. Esto es debido a que lo que calculamos son diferencias de voltaje, no voltajes absolutos. Por ello se dan los voltajes respecto al nodo de referencia (nodo del que no se escribe la ecuación, cuyo valor de voltaje se considera cero). Aplicando la ley de corrientes de Kirchoff en los nodos, separando corrientes de fuentes y de ramas; y sustituyendo la corriente en cada conductancia por la expresión de la ley de Ohm:

En forma matricial:

Análogamente al análisis por mallas: a. El signo de IS1, IS2 es positivo si es entrante al nodo y negativo si es saliente. b. Los términos de la diagonal principal (g11, g22) son las sumas de todas las conductancias conectadas a ese nodo. c. Los términos fuera de la diagonal principal, gij, son la conductancia que conectan los nodos i y j, con signo negativo. Si la red no tiene generadores dependientes, la matriz es simétrica (gij = gji). EJEMPLO:

2. Circuito de tres nodos

Matricialmente:

Se puede resolver por CRAMER.

3. Circuito de n nodos Para el caso general con n nodos más uno de referencia tendremos una ecuación independiente menos que el número total de nodos:

Donde:   

Ii: Suma de las corrientes de fuentes conectadas al nodo i-ésimo (siendo positivas las corrientes entrantes y negativas las salientes). gii (diagonal de la matriz G): Suma de los valores de conductancia de todos los resistores conectados al nodo i-ésimo. gij ( ): El negativo de la suma de conductancias de los resistores conectados entre los nodos i y j. Si la red no tiene fuentes dependientes, la matriz es simétrica (gij = gji).

Es importante destacar que este método únicamente se emplea con fuentes de corriente. Redes con fuentes 1. Análisis por mallas Si se realiza el análisis por mallas, es necesario convertir todas las fuentes de corriente en fuentes de voltaje. EJEMPLO:

La conversión de las fuentes no ideales de corriente a voltaje (nodos a y b) no afecta al resto del circuito, sin embargo la corriente y el voltaje en R0 son distintos en ambos casos. Si las fuentes de corriente no tienen resistor en serie se aplican las propiedades de "movilidad" de generadores de corriente.

2. Análisis por nodos

Si se realiza el análisis por nodos, hay que convertir todas las fuentes de voltaje en fuentes de corriente. EJEMPLO: Como ocurría en el anterior apartado, el comportamiento de las fuentes equivalentes es diferente, no así el externo.

Si las fuentes de voltaje no tienen resistor en serie se aplican las propiedades de "movilidad" de generadores de voltaje.

3. Ejemplos 1.- Analizando por mallas:

A partir de aquí ya se pueden plantear las ecuaciones de mallas.

2.- Analizando por nodos:

Ya se pueden plantear las ecuaciones de los nodos a y b.

Redes con fuentes dependientes 1. Análisis por mallas El objetivo es obtener una fuente de voltaje cuya variable de control dependa de las corrientes de mallas, que normalmente son las incógnitas. EJEMPLO: Con fuente de voltaje dependiente controlada por corriente (FVCC).

Reagrupando:

La ganancia de la fuente dependiente altera la simetría de la matriz de coeficientes. Si las fuentes son de corriente, controladas tanto por voltaje como por corriente, las transformamos en fuentes de voltaje. Para ello, deben tener un resistor en paralelo, si no lo tienen, se aplica "movilidad". EJEMPLO:

2. Análisis por nodos Análogamente, el objetivo es conseguir una fuente de corriente cuyo valor dependa directamente de los voltajes de los nodos (incógnitas). a. En una fuente de corriente controlada por voltaje, únicamente se debe expresar el voltaje de control en función de los voltajes de los nodos. b. Si es una fuente de corriente controlada por corriente, se expresa ésta última en función de los voltajes de los nodos (aplicando la ley de Ohm). c. Si son fuentes de voltaje, se transforman en fuentes de corriente, empleando movilidad si no tienen resistencia en serie, y se aplica el apartado a o b, según sea la variable de control. EJEMPLO:

Dos nodos:

Teoremas de Thevenin y Norton 1. Teorema de Thevenin Cualquier red compuesta por resistores lineales, fuentes independientes y fuentes dependientes, puede ser sustituida en un par de nodos por un circuito equivalente formado por una sola fuente de voltaje y un resistor serie. Por equivalente se entiende que su comportamiento ante cualquier red externa conectada a dicho par de nodos es el mismo al de la red original (igual comportamiento externo, aunque no interno). La resistencia se calcula anulando las fuentes independientes del circuito (pero no las dependientes) y reduciendo el circuito resultante a su resistencia equivalente vista desde el par de nodos considerados. Anular las fuentes de voltaje equivale a cortocircuitarlas y anular las de corriente a sustituirlas por un circuito abierto.

El valor de la fuente de voltaje es el que aparece en el par de nodos en circuito abierto. 2. Teorema de Norton Cualquier red compuesta por resistores lineales, fuentes independientes y fuentes dependientes puede ser sustituida, en un par de nodos, por un circuito equivalente formado por una sola fuentes de corriente y un resistor en paralelo. La resistencia se calcula (igual que para el equivalente de Thevenin) anulando las fuentes independientes del circuito (pero no las dependientes) y reduciendo el circuito resultante a su resistencia equivalente vista desde el par de nodos considerados. El valor de la fuente de corriente es igual a la corriente que circula en un cortocircuito que conecta los dos nodos. 3. Equivalencia Thevenin-Norton

Se cumple:

4. Ejemplos Dado el circuito:

1. Hallar el equivalente de Thevenin en bornas de la resistencia R (sin incluirla). Queremos obtener un circuito de la forma:

Quitamos la resistencia R y vemos cual es el voltaje que hay entre los nodos a y b. El valor obtenido será el voltaje de Thevenin.

Se puede comprobar que la rama del resistor de 4 Ω no afecta. Para hallar la resistencia de Thevenin anulamos las fuentes independientes y calculamos la resistencia vista desde los nodos a y b.

El circuito equivalente de Thevenin es:

2. Cálculo del equivalente Norton Para calcular la corriente de Norton, cortocircuitamos:

Analizando aisladamente el circuito de dos mallas:

La resistencia es la misma que para el equivalente de Thevenin. El circuito equivalente es:

Como se puede observar, se cumple:

3. Ejemplo con fuentes dependientes Calcular el equivalente de Thevenin del circuito:

Para calcular el voltaje de Thevenin se aplica movilidad:

Para el cálculo de la resistencia de Thevenin se anula el generador independiente, se conecta un generador de corriente (I) y se mide el voltaje (V):

Redes con amplificadores operacionales 1. El amplificador operacional Un amplificador operacional es básicamente una fuente de voltaje controlada por voltaje de ganancia infinita (idealmente). A continuación se representa un amplificador operacional de "entrada diferencial", que quiere decir que la salida depende de la diferencia de voltajes en las bornas + y -: V+ - V-.

Como se puede observar en el circuito equivalente, la resistencia de entrada es infinita (conductancia nula, ya que no hay conexión entre V+ y V- ), con lo que no circulará ninguna corriente de entrada. Por otra parte, la resistencia de salida es la de la fuente dependiente. Como es ideal (aunque dependiente) es cero.

2. Configuración FVCV inversora Normalmente, el amplificador operacional se utiliza realimentado, es decir existe una rama que conecta la salida del amplificador con al menos una de las entradas. En este caso, la tensión de salida no puede ser infinito con lo que se

fuerza a que V+ = V-. Para comprobarlo, se muestra un ejemplo suponiendo finita la ganancia K y, posteriormente, haciéndola tender a infinito:

Si se calcula directamente con ganancia infinita, aplicando V- = V+ = 0 y teniendo en cuenta que la corriente de entrada al amplificador es nula (toda la corriente que pasa por R1 pasa por R2):

La resistencia de entrada es R1 (relación entre V1 y la corriente de entrada i) y la corriente de salida es cero (por ser una fuente de voltaje ideal). El circuito equivalente se muestra a continuación:

Este circuito se denomina fuente de voltaje controlada por voltaje (FVCV) inversora, ya que la ganancia es negativa.

3. Configuración FVCV no inversora

La resistencia de entrada es infinita, ya que la corriente de entrada es nula:

Para calcular la resistencia de salida se anula V1 y se aplica una corriente Is:

Entonces, el circuito original es equivalente a :

Se comporta como un amplificador operacional de ganancia finita, por lo que se suele representar:

4. Analisis por nodos Cuando aparezcan amplificadores operacionales en un circuito, el mejor método es el análisis por nodos. En el nodo de salida del amplificador no se puede plantear la ecuación, porque su resistencia de salida es cero o, lo que es lo mismo, su conductancia es infinita. En su lugar se utiliza la ecuación más sencilla que relaciona el voltaje de salida del amplificador con el de entrada. Ejemplo:

En el nodo 3 no se puede plantear ecuación porque la conductancia de salida del amplificador es infinita. Las ecuaciones en los nodos serán:

Ecuación del amplificador operacional: Si la ganancia del operacional es finita:

Si la ganancia del operacional es infinita, se anula la diferencia de voltaje entre las bornas positiva y negativa (en este caso, la ecuación del amplificador es V2 = 0):

Aunque el voltaje en el nodo 2 es nulo, se utiliza la ecuación de dicho nodo.

El Condensador 1. Introducción El Condensador es un elemento de dos terminales en el que el voltaje y la corriente se relacionan por:

donde C es la capacidad que se expresa en Faradios (F). Se puede observar en (1) que el voltaje depende de instantes de tiempo pasados, es decir tiene "memoria". Se representa por el siguiente símbolo:

La ecuación de voltaje se puede expresar como:

donde v(0) se denomina condición inicial. Teniendo en cuenta la relación entre i(t) y q(t) se puede deducir la relación:

Por tanto, el valor de la capacidad (C) es la relación entre la carga almacenada y el voltaje que aparece en sus terminales. Aunque se puede definir un capacitor de forma no lineal, todos los que se usarán en este tutorial serán lineales, invariantes y de parámetros concentrados. 2. Potencia

En anteriores apartados se defino la potencia de un dipolo como

. Así que, sustituyendo:

Esta potencia puede ser positiva o negativa, ya que aunque C es siempre positiva, el término ser positivo o negativo.

puede

3. Energía La energía se puede expresar mediante la siguiente expresión:

Teniendo en cuenta que:

De esta forma se comprueba que aunque la potencia instantánea pueda ser negativa, la energía siempre es positiva o nula. El condensador, por tanto, es un elemento pasivo; en él se almacena energía que puede ser entregada al circuito en otro momento (no es un elemento disipativo como la resistencia). Valores típicos son del orden de pF hasta cientos de µF. Hay condensadores que requieren una determinada polaridad (condensadores electrolíticos), pero en general la mayoría pueden tener ambas polaridades.

4. Condición de continuidad El voltaje que aparece en los terminales de un condensador lineal e invariante en el tiempo siempre debe ser una función continua. Es decir, para cualquier instante de tiempo t 0, se cumple:

Siendo:

(límite por la izquierda) (límite por la derecha) EJEMPLO: Como ejemplo del efecto de la condición de continuidad, se considera el siguiente circuito:

Supóngase que el interruptor se ha conectado a la fuente de 10 V (interruptor en la posición 1) durante un largo tiempo antes que resultado, en

Puesto que abierto:

, permitiendo de ese modo que el circuito alcance una condición en estado estable. Como se cumple:

independientemente del voltaje

, el capacitor puede tratarse como un circuito

En el interruptor se cambia a la posición 2. En , el voltaje del capacitor debe permanecer en 8 V, sin importar la corriente que circula por él. En consecuencia, puede ser modelado por medio de una fuente de voltaje:

Conclusión:

Se puede observar que el voltaje en un resistor puede ser discontinuo, aun cuando el voltaje del capacitor sea siempre será continuo. La bobina 1. Introducción La bobina o inductor es un elemento de dos terminales en el que las variables corriente y voltaje se relacionan por:

Donde L es el valor de la inductancia, cuya unidad es el Henrio (H). Su símbolo es:

La ecuación de la corriente se puede expresar mediante la condición inicial i(0):

Así como un condensador se mantiene cargado en circuito abierto, las bobinas (idealmente, si no tuvieran resistencia en sus conductores) se mantienen cargadas en cortocircuito. A temperaturas cercanas al cero absoluto mantienen la corriente durante años.

Por la ley de Faraday:

(¢: flujo magnético)

Se puede definir la inductancia de una bobina mediante la relación existente entre el flujo magnético producido y la corriente que lo atraviesa:

2. Potencia

Sabiendo que la potencia instantánea en un dipolo es de la siguiente forma:

L siempre es positivo, pero el término

, la potencia de la bobina se puede expresar

puede ser negativo o positivo.

3. Energía La energía total suministrada se puede expresar mediante la siguiente expresión:

Teniendo en cuenta que: Se obtiene la energía total almacenada en el instante t como:

Esto indica que la bobina (lineal e invariante) es un elemento pasivo, es decir no puede ceder más energía de la que previamente ha almacenado y, aunque puede ser no lineal y variante con el tiempo, se considerará en este tutorial que es lineal e invariante.

4. Condición de continuidad La corriente que circula por un inductor lineal e invariante siempre debe ser una función continua. Es decir, para cualquier instante de tiempo t0:

Donde iL es la corriente que circula por la bobina.

Asociaciones serie y paralelo

1. Condensadores en paralelo

Aplicando la ley de corrientes de Kirchoff:

2. Condensadores en serie

Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff:

3. Bobinas en serie

Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff:

4. Bobinas en paralelo

Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff:

El Transformador 1. Introducción En esta sección se estudiará un dispositivo de terminales múltiples bastante diferente a los elementos estudiados anteriormente, en el que las variables de voltaje y corriente se relacionan por medio de ecuaciones integrodiferenciales: el transformador. Cuando circula corriente por una bobina en solitario, se crea un flujo magnético a su alrededor. A este fenómeno se le denomina autoinducción. El flujo magnético creado viene dado por la siguiente expresión:

siendo L1 el coeficiente de autoinducción de la bobina.

Si se coloca otra bobina cerca de la primera, algunas de las líneas de flujo producidas por la corriente en esta nueva bobina también enlazarán la primera bobina. De esta forma, los enlaces de flujo Ø1(t) de la primera bobina están determinados por las corrientes i1(t) e i2(t):

donde L1 es el coeficiente de autoinducción de la bobina 1 y M12 es el coeficiente de inductancia mutua de la bobina 1 con respecto a la bobina 2. Considerando la segunda bobina, el flujo Ø2(t) se genera por las corrientes i2(t) e i1(t):

donde L2 es el coeficiente de autoinducción de la bobina 2 y M21 es el coeficiente de inductancia mutua de la bobina 2 con respecto a la bobina 1. Aplicando la ley de Faraday a las dos ecuaciones anteriores, y sabiendo que M12=M21=M, se pueden calcular los voltajes que aparecen en los terminales de cada bobina (v1(t) y v2(t)):

Los coeficientes de autoinducción y de inducción mutua se pueden expresar en función del número de espiras de las bobinas (N1 y N2) y de una constante K llamada coeficiente de acoplamiento.

K es una medida de la cantidad de flujo que genera una corriente que circula en una bobina, la cual enlaza las vueltas de la otra bobina. Si esta cantidad es pequeña, las bobinas están acopladas débilmente. Por otra parte, si la totalidad del flujo generado por una bobina enlaza las vueltas de la otra, las bobinas están perfectamente acopladas (K=1).

La inductancia mutua M puede ser positiva o negativa. Normalmente se emplea un par de puntos para identificar las direcciones de devanado relativas. Si las direcciones de corriente de referencia positiva se orientan hacia adentro (o hacia afuera) de las terminales marcadas con un punto de las dos bobinas, la inductancia mutua es positiva; en otro caso es negativa.

2. Transformador con inductancia mutua positiva

Las relaciones para las variables de voltaje y corriente para este caso son:

Si se considera K=1:

Si la potencia de entrada es igual a la potencia de salida:

3. Transformador con inductancia mutua negativa

Las relaciones para las variables de voltaje y corriente para este caso son:

Si se considera K=1:

Si la potencia de entrada es igual a la potencia de salida:

Principio de dualidad 1. Ecuación de malla

LVK:

2. Ecuación de nodo

LCK:

3. Dualidad Como vemos en las ecuaciones anteriores, y a lo largo de todo el tutorial, existe una cierta similitud o dualidad entre las expresiones obtenidas intercambiando: Corriente Resistencia (R) Flujo (¢) Inducción (L) Conexión en serie Análisis por mallas Ley de voltajes de Kirchoff Corrientes entrantes/salientes

Voltaje Conductancia (G) Carga (q) Capacidad (C) Conexión en paralelo Análisis por nodos Ley de corrientes de Kirchoff Subidas/caídas de voltaje

Funciones Senoidales 1. Introducción A lo largo de este punto vamos a ver cómo trabajar con las funciones senoidales. Para ello se verán las distintas formas de representación que tienen y cómo pasar de una representación a otra. Se verán algunas de las propiedades de las funciones senoidales como su periodicidad y se mostrará cómo es su representación gráfica y cómo se suman las funciones senoidales. 2. Forma rectangular o en cuadratura La forma rectangular o en cuadratura se representa a continuación:  

A y B son constantes es la pulsación o frecuencia angular (en rad/s).

3. Forma polar La forma polar es:  

Fm es positivo e indica la amplitud o magnitud pico. : es el argumento o fase (en radianes).

La relación entre la forma rectangular y la polar se puede ver a continuación. Como:

De esta forma nos quedan las relaciones:

4. Periodicidad Una función es periódica, de periodo T, si se cumple la relación:

5. Representación A continuación veremos una representación para aclarar las relaciones que acabamos de ver:



Eje abcisas: el coeficiente del



Eje ordenaas: el coeficiente del

6. Suma de funciones senoidales

. cambiado de signo.

con de forma que:

Consecuencia: la suma de dos funciones senoidales de igual pulsación da como resultado otra función senoidal de la misma posición. La Función exponencial. Los fasores 1. Introducción En esta página vamos a ver qué son los fasores. Su definición y explicación y cómo se pueden utilizar para analizar circuitos en vez de utilizar las expresiones de las funciones senoidales directamente. Se presentará una aplicación interactiva en la que se puede ver cómo se puede pasar de una función senoidal a su representación fasorial.

2. Definición y explicación Los fasores nos van a permitir trabajar con las funciones senoidales de una forma más fácil en algunas ocasiones como al integrar y al derivar.

Como

con

con

se puede ver el voltaje con la expresión:

y una corriente con la expresión

, donde

Definición de fasor: es una cantidad compleja que se emplea para representar funciones del tiempo que varían de forma senoidal. 1. 2.

es un número complejo con:

módulo: la amplitud de la magnitud que representa. fase: la fase de dicha magnitud en t=0.

El fasor se relaciona con las funciones senoidales a través de la siguiente expresión:

Para poder usarlo en las ecuaciones integro-diferenciales se necesita ver cómo responden a esas operaciones. 3. Diferenciación con fasores Si tenemos una función g(t) con su parte real x(t) y su parte imaginaria y(t), y definimos la función:

diferenciando f(t):

Si diferenciamos g(t) y luego tomamos la parte real:

Al final:

Las relaciones que tenemos en la diferenciación son:

4. Integración con fasores Con la función h(t) definida como la integración de f(t):

Las relaciones que hay en la integración se pueden ver a continuación:

Por lo tanto, se pueden resolver las ecuaciones integro-diferenciales que aparecen en régimen permanente senoidal mediante la utilización de fasores. Esto se debe a que las derivadas y las integrales se transforman en multiplicaciones y divisiones por

y así estas ecuaciones se convierten en algebraicas mediante fasores.

5. Ejemplo de análisis con fasores Si estas expresiones son el dato o incógnita de un circuito como:

Sabemos que del circuito se puede sacar la siguiente ecuación:

utilizando fasores

Impedancias y admitancias 1. Introducción En este punto vamos a ver si podemos aplicar los mecanismos para obtener la impedancia y la admitancia a los fasores. Para ello a continuación se explican los aspectos teóricos de la impedancia y de la admitancia a la hora de trabajar con fasores. Al final se ha puesto un test por si el usuario quiere evaluar los conocimientos que haya podido adquirir en este punto.

2. Impedancia de elementos En el circuito:

las ecuaciones que relacionan las distintas variables se muestran a continuación:

y definimos el fasor I de tal forma que las ecuaciones anteriores expresadas con fasores quedan:

A la expresión V/I se le llama impedancia del elemento y sus unidades son

.

Definición: impedancia es la relación entre los fasores de voltaje y corriente de un elemento de dos terminales. La impedancia puede ser:

  

Real: se la denomina resistencia. Imaginaria: se la denomina reactancia. Real e imaginaria: una magnitud compleja.

A continuación se muestra la impedancia de algunos elementos: 

Bobina:



Condensador:



Resistor:

3. Admitancia de elementos En el circuito:

las ecuaciones que relacionan las variables son:

y en forma fasorial:

Definición: admitancia es la relación entre los fasores de corriente y voltaje de un elemento de dos terminales. La admitancia puede ser:

  

Real: se la denomina conductancia. Imaginaria: se la denomina susceptancia. Real e imaginaria: una magnitud compleja.

Admitancia de algunos elementos:



Bobina:



Condensador:



Resistor:

4. Inmitancia de elementos Hay un nombre genérico inmitancia que trata el concepto de la relación entre fasores de voltaje y de corriente en un elemento de 2 terminales, pero que no determina si es una admitancia o una impedancia. Todo lo visto hasta ahora, cualquier análisis de circuitos se puede hacer con estos nuevos elementos. Simplemente se cambian corrientes y voltajes por sus fasores y las resistencias y conductancias por impedancias y admitancias respectivamente. Asociación serie-paralelo 1. Introducción En este apartado vamos a ver cómo se pueden asociar elementos en un circuito en régimen permanente senoidal y utilizando fasores. Se verá cómo asociar los elementos en un circuito serie y en un circuito con elementos en paralelo. Finalmente se completará este punto con dos ejemplos de circuitos: un divisor de voltaje y una red en escalera.

2. Circuito en serie

Con este circuito nos quedan las ecuaciones:

Generalizando:

3. Circuito en paralelo

Las ecuaciones para estos circuito son de la forma:

de forma general:

4. Divisor de voltaje

para cualquier elemento que sea Z1 y Z2:

5. Red en escalera

se ve que la parte resistiva de Zent es:

la parte reactiva de Zent es:

y se observa cómo a la parte real (la resistiva) de Zent le afectan no sólo las resistencias sino también el condensador y la bobina. Es también dependiente de la frecuencia.

Se puede de esta forma ver cómo un elemento real depende de la frecuencia. Se le puede llamar resistiva de la impedancia). También la parte reactiva es función de la frecuencia



Así a serie





(parte

.

y esa misma Zent se puede conseguir con una R y una C en

y un circuito con la misma Zent es:

, un circuito con la misma Zent es:

Dependiendo del signo de la parte imaginaria, una determinada admitancia o impedancia se puede sustituir por un circuito más sencillo, a una determinada pulsación, serie o paralelo de dos elementos: resistencia y condensador o bobina. Redes equivalentes a una pulsación 1. Introducción

A una determinada pulsación cualquier circuito puede ser sustituido por otro circuito que conste sólo de dos elementos: una resistencia, y un condensador o una bobina. Dichos elementos pueden estar asociados en serie o paralelo. A continuación veremos dos casos: trabajando con impedancias o admitancias. Para el primer caso se ha desarrollado una aplicación interactiva que nos permite visualizar un ejemplo. Por último se verán las equivalencias que se dan entre admitancias e impedancias.

2. Caso A: Impedancia Impedancia



A.1 es la reactancia de una bobina El siguiente circuito es equivalente a



de valor

.

a una pulsación dada:

A.2 es la reactancia de un condensador de valor El circuito que se muestra a continuación es equivalente a

. a una pulsación dada.

3. Caso B: Admitancia Admitancia



.

B.1 es la susceptancia de un condensador

.

La red equivalente a la pulsación de trabajo será:



B.2 es la susceptancia de una bobina. La red equivalente a

a una pulsación dada será:

4. Equivalencias entre impedancias y admitancias

Si tenemos

e

la relación

obliga a:

igualando parte real e imaginaria:

a una pulsación dada. Conclusión: la conductancia no es el inverso de la resistencia. Viendo las expresiones, si

al revés de forma que admitancias o impedancias.

5. Ejemplo 1

Si tenemos que implementar

son equivalentes. Se usa una u otra según se quiera analizar como

y

a) Como impedancia:

b) Como admitancia:

Veremos la impedancia de este 2º circuito:

6. Ejemplo 2 Si implementamos:

a) Como impedancia:

b) Como admitancia:

Análisis por mallas y nodos 1. Introducción A continuación vamos a ver cómo se realizan el análisis por mallas y por nodos al trabajar en régimen permanente senoidal. El análisis es equivalente al caso de las redes resistivas pero esta vez se va a trabajar con impedancias de rama. 2. Análisis por mallas Supongamos que tenemos el siguiente circuito

Las ecuaciones que tendremos al analizar por mallas son:

Donde:  

Vi: es la suma de los fasores de las fuentes de voltaje (positivo si es de subida, negativo si es de bajada). Ii: fasores de corriente.



: suma de las impedancias de la malla i.



: suma de las impedancias compartidas entre la malla i y la j con signo negativo.

3. Análisis por nodos Se hace de igual forma que con redes resistivas.

Donde: Ii: es la suma de los fasores de corriente (positivo si entran, negativo si salen en el nodo i.

Vi: fasores de voltaje del nodo i. Yii: suma de las admitancias conectadas al nodo i. Yij: suma de las admitancias compartidas entre los nodos i y j con signo negativo.

Transformación de generadores reales

1. Introducción Según estamos viendo casi cualquier técnica de análisis de redes resistivas puede ser aplicada en el caso de un análisis fasorial de redes RLC. La técnica de transformación de generadores reales es una de las técnicas que utilizaremos también en los análisis en régimen permanente senoidal. A continuación en esta página se realizará una introducción a esta técnica.

2. Transformación de generadores reales. Tendremos una equivalencia de bornas hacia fuera de los siguientes dos circuitos:

equivale a

3. Ejemplo A continuación vamos a poner un ejemplo para ver cómo se pasa de un circuito con una fuente de voltaje al circuito equivalente con una fuente de corriente. Partimos de:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Equivalentes de Thevenin y Norton

1. Introducción Cualquier colección de fuentes y de elementos de dos terminales puede reemplazarse, en un par de terminales dados y a una frecuencia determinada, por un circuito equivalente Thevenin y Norton. Los mecanismos son iguales que para las redes resistivas. 2. Equivalente de Thevenin Vth: voltaje en circuito abierto en el par de nodos. Zth: impedancia vista en esos nodos. 3. Equivalente de Norton IN: corriente en cortocircuito entre los dos nodos. YN: admitancia vista entre esos nodos, al anular las fuentes independientes. 4. Ejemplo Ejemplo: Partimos del circuito:

con las unidades en ohmios: transformando y utilizando mhos:

asociando: volvemos a transformar:

Como resultado final en el dominio temporal obtenemos:

Superposición de fuentes de distinta ... 1. Introducción En esta página veremos cómo cuando en un circuito existen varias fuentes de diferente frecuencia a la hora de analizarlo hay que usar superposición. Veremos este método y al final habrá un pequeño test para comprobar si se han captado los puntos base de este método. 2. Método Lo que se quiere hacer es calcular la respuesa (ya sea voltaje o corriente) a cada una de las frecuencias. Para calcular esto lo primero que hay que hacer es anular todos los generadores independientes que puedan existir en el circuito y que no funcionen a la frecuencia a la que se está trabajando. Una vez hecho esto la respuesta total del circuito será la suma de las respuestas temporales a cada frecuencia. Una cosa que no se debe hacer es anular los generadores dependientes. Conviene recordar que a la hora de anular generadores independientes: Los generadores de voltaje pasan a ser cortocircuitos. Los generadores de corriente se convierten en circuitos abiertos. Funciones de transferencia de una red 1. Introducción En este capítulo se va a hablar de las funciones de transferencias. Posteriormente se verán unos ejemplos con unas funciones de transferencia determinadas que serán los distintos filtros que hay. Se tratarán conceptos como el de la frecuencia de corte y se incluye una aplicación interactiva para facilitar la comprensión de los filtros y de las frecuencias de corte. 2. Funciones de transferencia Una función de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuesta y un fasor de excitación, que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos.

Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una impedancia:

,

.

Estas funciones de transferencia tienen dimensiones. La primera dimension es de y la segunda de . Hay también funciones de transferencia adimensionales: función de transferencia de voltaje (V2/V1), de corriente (I2/I1) Funciones de entrada impedancia de entrada

admitancia de entrada

Funciones de transferencia impedancia de transferencia

transferencia de voltaje

transferencia de corriente

3. Ejemplo - Filtro paso bajo Si tenemos el siguiente circuito:

Si calculamos la función de transferencia de voltaje:

Esto representado queda:

Se ve cómo la función de transferencia es prácticamente 1 (v2 = v1) a frecuencias pequeñas, y prácticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas. Esto hace que lo que tengamos sea un filtro paso bajo.

Viendo la gráfica de la fase se ve cómo v2 estará atrasada siempre respecto a v1, desde 0º a 90º de atraso. Es por tanto una red de atraso. Frecuencia a 3dB: es aquella a la que una magnitud disminuye en 0'707 (es decir se divide entre frecuencia la potencia se reduce a la mitad.

). A esta

En la expresión: 4. Ejemplo - Filtro paso alto En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito:

La función de transferencia es: Representando la función obtenemos que queda de la siguiente forma:

El módulo del fasor v2 aumenta con la pulsación y es nulo a frecuencias. Es un filtro paso alto.

=0, esto quiere decir que deja pasar las altas

En la gráfica de fase se ve que varía de 90º (a =0) hasta 0º a altas frecuenciar. v2 estará adelantado a v1, tenemos una red de adelanto (en realidad esto es sólo en apariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270º y -360º).

5. Casos generales En general podemos encontrarnos en alguno de los siguientes casos al tener una función v 2/v1. Si la representamos en función de : Filtro paso bajo

Filtro paso alto

Filtro paso banda

Ancho de banda: es el margen de frecuencias que deja pasar un circuito. En el filtro paso-alto es infinito mientras que en el paso-bajo es 1 - 0 = 1. En el paso-banda es 2 - 1. 6. Ejemplo - Filtro activo En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo calcular la función de transferencia V2/V1 en régimen permanente senoidal del siguiente filtro activo:

Ya sabemos que el circuito:

es equivalente a:

Así que si sustituimos el operacional en el circuito siguiendo la anterior equivalencia tendremos:

Si analizamos por nodos:

En el nodo C relacionamos el voltaje V2 con VB

Al final como resultado nos queda la función de transferencia:

En general se expresará la función de transferencia como un cociente de polinomios de la forma:

También como se ha visto en el ejemplo se suele normalizar el polinomio. Es decir se suele dividir el numerador y el denominador por D. De esta forma el coeficiente de

es de 1.

Potencia 1. Introducción En este capítulo vamos a tratar diferentes conceptos relacionados con la potencia en el régimen permanente senoidal. Veremos la disipación de potencia media en distintos elementos que se ilustrará con una aplicación interactiva que muestra la disipación de energía en un circuito RLC. Posteriormente se hablará sobre la potencia compleja, la potencia activa y la reactiva. 2. Valor eficaz El valor eficaz de una magnitud periódica es aquel valor de la magnitud continua equivalente que produciría la misma disipación media sobre un resistor. Podemos tener dos casos: 1.

Magnitud periódica.

En este caso tenemos: 2.

Magnitud continua. Aquí tenemos una potencia de:

Para comparar ambos casos debemos calcular el valor medio en un periodo, de esta manera no influirá de una señal senoidal:

. En el caso

Si igualamos con el caso continuo:

Esto era para una señal senoidal, para el caso general tendremos:

3. Potencia en Régimen Permanente Senoidal La potencia instantánea es

.Si tenemos una impedancia a la que se le aplica un voltaje

, la corriente que atraviesa dicha impedancia es

. Aquí

viene dado por la fase de

.

Con quedará:

y como.

. El valor medio

A partir de aquí se puede definir el factor de potencia. El factor de potencia es el cociente entre la potencia media y el producto de los valores eficaces de voltaje y de la corriente:

 

Si Si

= 0º entonces tendremos un elemento resistivo puro y la potencia media (P med) será máxima en R. = ± 90º entonces nos encontramos con una impedancia imaginaria pura y la Pmed es 0 en L ó C.

A continuación veremos unos ejemplos de potencia en varios elementos: en una resistencia, en una bobina y en un condensador.



Potencia en un resistencia.

Siempre es positiva, la resistencia siempre disipa energía. 

Potencia en una bobina. En el caso de una bobina la potencia disipada es:

como la integral en un periodo de un seno o un coseno es 0, tenemos que la potencia media disipada en la bobina es nula. La expresión de la energía en una bobina es:

El valor medio de la energía almacenada es:



Potencia en un condensador. La potencia en un condensador viene dada por la expresión:

La potencia media es toma un valor nulo como en el caso de la bobina, mientras que la energía almacenada es:

4. Potencia activa y reactiva La potencia media es la que se disipa en las resistencias del circuito. A esto se le llamará potencia activa. Existe otra parte de la potencia, la potencia reactiva, que representa el flujo de corriente hacia y desde la red. Concretando, si tenemos una potencia instantánea:



Potencia activa:



Potencia reactiva:

Las unidades usadas son: el Watio (W) para la potencia activa y el voltiamperio reactivo (VAr) para la potencia reactiva. Para una red pasiva

y según sea el circuito



Circuito inductivo (predominan las bobinas):



Circuito capacitivo (predominan los condensadores):

5. Potencia compleja Es un número complejo, donde la parte real es la potencia activa y la parte imaginaria es la reactiva. Como se puede observar es una definición que engloba a las anteriores:

Si trabajamos con fasores:

de forma que:

Ejemplo: Tenemos el circuito RLC serie de la siguiente figura:

Aquí tenemos que la impedancia es:

y la potencia queda:

El último término de esta expresión se puede expresar en función del voltaje de un condensador:

Esta última expresión, la de la potencia reactiva en función de las energías medias almacenadas en los elementos reactivos, se puede generalizar para cualquier red con varias bobinas y condensadores:

A esto se le llama conservación de la potencia compleja. Si en un conjunto de redes de dos terminales Ni, la potencia activa y reactiva son Pi y Qi respectivamente, la potencia total activa y reactiva para cualquier interconexión de las Ni redes, es la suma de las Pi y la suma de las Qi respectivamente. De tal modo, que la potencia total para cualquier interconexión es la suma de las potencias complejas de las redes componentes.

Adaptación de Impedancias 1. Introducción A lo largo de esta página vamos a explicar cómo adaptar impedancias en un circuito para que la potencia entregada a una impedancia de carga colocada a la salida del circuito sea máxima.

2. Adaptación de impedancias Si tenemos un circuito con una impedancia de carga como en la siguiente figura:

El valor de esa ZL que hace que la potencia que se le entrega sea máxima será aquella que cumpla que:

Donde ZG es la impedancia Thevenin del circuito. Si ZL es puramente resistiva, hay que colocar un circuito adaptador entre la red y la carga, que cumpla que la red vea tendrá elementos que sean bobinas o condensadores.

. Además no debe absorber energía, es decir, sólo

Hay adaptación tanto a la entrada como a la salida de la red LC. Como los componentes de la red intermedia LC dependen de la frecuencia y las resistencias no, sólo habrá adaptación de impedancias a una única frecuencia.

3. Aplicación Tenemos un circuito con dos resistencias:

y queremos que haya adaptación de impedancias. Como R L no es variable se van a colocar 2 elementos reactivos:

con El objetivo es que Rg = Zent, hay que disminuir el valor de RL, por eso se coloca un elemento en paralelo:

Con la Z2 en serie con la Zeq:

Para que exista adaptación debe cumplirse que:

Al salir el resultado con diferente signo tendremos que hay una bobina y un condensador. Si se necesitase en vez de esto aumentar la RL (con RL < Rg) se le colocaría un elemento en serie como en el siguiente esquema

El análisis en este caso sería similar al anterior. Resonancia 1. Introducción A continuación a lo largo de este punto se va a analizar el concepto de circuito resonante (tanto serie como paralelo). Se verá el concepto de frecuencia de resonancia así como el de factor de caliad y la relación existente entre ambos. 2. Frecuencia de resonancia Para explicar qué es la frecuencia de resonancia vamos a partir del filtro paso banda que se muestra en la siguiente figura:

La función de transferencia de este filtro es:

Ésta se hace 0 para valores de , y toma el valor de la unidad cuando filtro paso banda de segundo orden al tener dos elementos reactivos.

. Estamos ante un

El efecto de tener un máximo en un valor determinado de la pulsación se la conoce como efecto resonante y al circuito que hemos visto se le denomina circuito resonante serie. A la frecuencia se la conoce como frecuencia de resonancia y el ancho de banda del filtro será la separación entre las dos frecuencias a 3dB.

Escribiendo la función de transferencia de otra forma:

Esta función toma su valor máximo cuando el término imaginario es 0, esto ocurre a una frecuencia de resonancia ω 0.

3. Factor de calidad El factor de calidad viene determinado por la expresión:

A partir de esta definición se pueden sacar varias conclusiones: 

A mayor factor de calidad, menor anchura de banda.



Si Q >> 1 se puede aproximar

y

. Frecuencias de corte simétricas.

Para averiguar cuánto vale B, haremos operaciones. Sabemos que ω3dB es cuando:

Luego:

como ω > 0 Se obtiene que:

Sustituyendo en la ecuación del factor de calidad:

4. Circuito resonante paralelo Es un circuito como:

, donde también Las conclusiones que se pueden sacar es que un circuito en resonancia se comporta como una impedancia (o admitancia) resistiva pura o conductiva pura.

Diagramas de Bode

1. Diagramas de Bode Ya hemos visto las representaciones gráficas del módulo y del argumento en función de la pulsación. Otro tipo de gráficas que son muy útiles son los diagramas de Bode en los que se usan escalas logarítmicas en y en ω. Estos diagramas tienen la misma información, pero son más sencillos de escribir, ya que se pueden aproximar mediante líneas rectas. Si tenemos la magnitud:

Tomaremos logaritmos neperianos con el fin de acabar con los exponentes de forma que tendremos:

Lo hemos convertido en una suma de una parte real (dependiente sólo del módulo y una imaginaria (función sólo de la fase). La transformación de ln a log es: dB = 8,6859 x neperios 2. Aplicación

Si tenemos la función de transferencia si tomamos ln:

a) si ω > z: Tendremos una recta de pendiente 20 dB/década y se corta con la recta de 0 dB cuando

Las frecuencias entre el punto B y el punto A abarcan una década. La desviación máxima entre la aproximación y la real es de 3dB. En cuanto a la parte imaginaria de

:

Se representa como dos rectas: una a 0º para ω > z, unidas por una recta de pendiente 45º/década, que pasa por el punto (log z, 45º).

Desarrollo de la Transformada de Laplace 1. Introducción El objetivo de la asignatura es analizar circuitos, obteniendo expresiones para las variables de dicho circuito. Si la red está formada sólo por fuentes y resistores, obtenemos ecuaciones algebraicas. Sin embargo, al incorporar bobinas y condensadores, las ecuaciones resultantes son integro-diferenciales, que son más complicadas. En el tema anterior se vio que la solución de dichas ecuaciones requiere de diversas técnicas especializadas. En este tema veremos otro enfoque para llegar a la solución, consistente en el empleo de variables tranformadas (sometidas a algún proceso matemático). En concreto, estudiaremos la tranformada de Laplace, que permite transformar las ecuaciones integro-diferenciales en ecuaciones algebraicas.

2. Definición de la Transformada de Laplace Nuestro propósito es "inventar" una relación matemática que tranforme una función f de una variable t, en una función de alguna otra variable. Emplearemos F para la función transformada y s para la nueva variable. Luego la tranformación se puede representar simbólicamente como:

Lo que queremos es transformar ecuaciones diferenciales en algebraicas, luego el objetivo será convertir la operación de diferenciación en el dominio del tiempo en una multiplicación por la variable transformada en el dominio s:

Este resultado es preliminar (posteriormente veremos que puede aparecer algún término más). A continuación, debemos especificar la forma que tendrá esta transformación, para lo cual consideraremos únicamente los valores positivos de t. Es decir, todas las funciones a considerar serán nulas para t