teoría de circuitos, curso completo

TEMA 1: INTRODUCCIÓN

1.1. Índice del tema 1.1.

Índice del tema.......................................................................................................... 1

1.2.

Introducción .............................................................................................................. 2

1.3.

Variables circuitales ................................................................................................. 3

1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5. 1.4.

Direcciones de referencia ......................................................................................... 5

1.4.1. 1.4.2. 1.4.3. 1.4.4. 1.4.5. 1.4.6. 1.5.

Introducción........................................................................................................ 7 Lineales / no lineales .......................................................................................... 7 Variantes / Invariantes en el tiempo ................................................................... 8 De parámetros concentrados............................................................................... 8 Pasivos / Activos ................................................................................................ 8

Leyes de Kirchoff...................................................................................................... 9

1.6.1. 1.6.2. 1.6.3. 1.6.4. 1.6.5. 1.7.

Introducción........................................................................................................ 5 Carga................................................................................................................... 5 Corriente ............................................................................................................. 5 Voltaje ................................................................................................................ 6 Elementos de dos terminales .............................................................................. 6 Potencia .............................................................................................................. 7

Clasificación de los elementos.................................................................................. 7

1.5.1. 1.5.2. 1.5.3. 1.5.4. 1.5.5. 1.6.

Carga................................................................................................................... 3 Corriente o intensidad......................................................................................... 3 Energía................................................................................................................ 4 Voltaje o tensión................................................................................................. 4 Potencia .............................................................................................................. 4

Introducción........................................................................................................ 9 Ley de Corrientes de Kirchoff (L.C.K.) ............................................................. 9 Ley de Voltajes de Kirchoff (L.V.K.) .............................................................. 10 Ejemplo de aplicación de L.C.K....................................................................... 10 Ejemplo de aplicación de L.V.K. ..................................................................... 10

Referencias .............................................................................................................. 11

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Tema 1: Introducción

1.2. Introducción Para conocer el comportamiento de un sistema es necesario especificar un conjunto de variables que lo describan. Algunas de las variables utilizadas se muestran en la figura 1.

Figura 1. Variables utilizadas y sus unidades.

A cada variable se le asocia una unidad. En ingeniería electrica predomina el Sistema Internacional (MKS). Cuando los valores que toman las variables son muy pequeños o muy grandes se utilizan factores de multiplicación (potencias de 10 positivas y negativas), y sus correspondientes prefijos en las unidades (ver Figura 2).

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Figura 2. Factores de multiplicación

1.3. Variables circuitales 1.3.1. Carga Se refiere al balance entre partículas con cargas positivas y negativas en la materia. Se representa por q(t). Unidad MKS: Culombio (C), que es la carga con sentido positivo de 6,24 1018 electrones. El teorema de conservación de la carga afirma que la carga no puede crearse ni destruirse.

1.3.2. Corriente o intensidad Es la transferencia de carga neta (teniendo en cuenta cargas negativas y positivas) por la unidad de tiempo. Se representa por i(t).

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Unidad MKS: Amperio (A) = Transferencia de 1 Culombio en 1 segundo.

1.3.3. Energía Se define como la capacidad para crear trabajo y se representa por w(t). Unidad MKS: Julio (J). El principio de conservación de energía afirma que la energía ni se crea ni se destruye, sólo se transforma.

1.3.4. Voltaje o tensión Si se consume una cantidad de energía sobre una carga, la relación entre el trabajo realizado y la carga se denomina VOLTAJE o TENSIÓN y se representa por v(t).

Unidad MKS: Voltio (V) = 1 Julio suministrado a 1 Culombio.

1.3.5. Potencia Cantidad de trabajo que se realiza en la unidad de tiempo. Unidad MKS: Watio (W).

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Se representa por p(t) (potencia instantánea).

Si la potencia es positiva, hay absorción de energía, si es negativa, se entrega energía.

1.4. Direcciones de referencia 1.4.1. Introducción Las direcciones o polaridades de referencia sirven para dar un signo a la magnitud real asociada. Normalmente no conocemos el valor de la magnitud antes de calcularlo, así que propondremos un signo, si da negativo, el sentido real será el contrario.

1.4.2. Carga Dado un par de placas conductoras separadas por un dieléctrico (aire), se da el signo positivo si la placa superior está cargada positivamente y la inferior negativamente.

1.4.3. Corriente El flujo real de la corriente es positivo en la dirección de referencia tomada como tal, contraria al movimiento de los electrones. Es decir, se considera positivo el movimiento de cargas positivas, porque históricamente se pensaba que se movían estas. Por lo tanto, la corriente será positiva si es contraria al movimiento de electrones o negativa si es en el mismo sentido.

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1.4.4. Voltaje En una red con dos terminales, la polaridad de referencia es de la siguiente forma:

1.4.5. Elementos de dos terminales En este grupo se engloban las resistencias, condensadores, diodos, fuentes, etc... Normalmente existe una expresión que relaciona voltaje y corriente. Para ello deben estar referenciados ambos de forma adecuada. Por ejemplo, en una resistencia se relacionan mediante la ley de Ohm:

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Tema 1: Introducción

1.4.6. Potencia La potencia se ha definido como una función de dos variables v(t) e i(t): de forma que los criterios de signo de aquellas, se aplican a ésta.

De forma simplificada se podría decir que si el dipolo es un resistor, la potencia siempre será absorbida (siempre positiva) y si es un inductor o una bobina puede absorber potencia en algunos momentos y entregarla en otros (puede ser positiva o negativa).

1.5. Clasificación de los elementos 1.5.1. Introducción Antes de analizar el comportamiento de los circuitos, es necesario realizar una clasificación de ellos atendiendo a ciertas propiedades básicas que éstos poseen.

1.5.2. Lineales / no lineales Aplicamos separadamente dos entradas o excitaciones (e1(t) y e2(t)) a un elemento de la red y medimos los resultados o salidas (s1(t) y s2(t)). Se dice que el elemento es lineal si cumple: a) Al excitar con siendo A una constante, produce una salida . Es decir, si se multiplica la entrada por una constante, su salida debe quedar multiplicada por esa misma constante.

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b) Al excitar con

Tema 1: Introducción

, produce una salida

.

Normalmente las entradas y salidas son voltajes o corrientes. Un elemento no lineal es el que no cumple alguna de estas condiciones anteriores. Esta propiedad servirá para aplicar superposición: en una red con varios generadores, se puede calcular la respuesta de cada uno de ellos por separado, y luego se suman. La linealidad total no existe en el mundo real, por lo tanto trabajaremos con la siguiente aproximación: "Un elemento se puede tratar como lineal si las variables lo definen se comportan como lineales en un intervalo de trabajo.

1.5.3. Variantes / Invariantes en el tiempo Un elemento es invariante en el tiempo si sus parámetros o valores no cambian con el tiempo. Tampoco hay elementos invariantes en el tiempo en el mundo físico, pero se les supone esta propiedad.

1.5.4. De parámetros concentrados En los análisis de circuitos que se realizarán a lo largo de este tutorial, se supone que las dimensiones físicas de los elementos no tienen efecto en su comportamiento, es decir estan compuestos de elementos de parámetros concentrados.

1.5.5. Pasivos / Activos Un elemento es pasivo si el total de la energía que se le suministra es siempre no negativa, independientemente del tipo de circuito al que esté conectado.

Si w(t) puede ser negativo, el elemento será activo.

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Tema 1: Introducción

Una bobina o un condensador pueden ceder energía en un determinado instante (p(t) < 0), pero sólo la que se las ha dado previamente (p(t) puede ser negativa, pero el total de energía, no). Son, por tanto, elementos pasivos.

1.6. Leyes de Kirchoff 1.6.1. Introducción La configuración, forma o topología de la red va a establecer una relación entre las variables involucradas. Definiciones: •

NODO (o NUDO): punto en un circuito en el que dos o más elementos se conectan entre sí.

•

RAMA: cualquier elemento de la red de dos terminales (situado entre dos nodos).

•

LAZO: conjunto de ramas que forman una trayectoria cerrada de la red, conectando cada nodo únicamente dos ramas consecutivas.

1.6.2. Ley de Corrientes de Kirchoff (L.C.K.) En cualquier instante de tiempo, la suma algebraica de las corrientes de rama en un nodo es cero, consideradas todas entrantes o todas salientes. O bien, la suma de las corrientes de rama entrantes a un nodo es igual a la suma de corrientes salientes, en cualquier instante de tiempo.

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Tema 1: Introducción

1.6.3. Ley de Voltajes de Kirchoff (L.V.K.) La suma algebraica de los voltajes de rama alrededor de un lazo es cero en todo instante de tiempo, considerados todos subidas o todos bajadas. O bien, en todo instante de tiempo, la suma de las subidas de voltaje alrededor de un lazo es igual a la suma de caídas de voltaje.

1.6.4. Ejemplo de aplicación de L.C.K. Escribir las ecuaciones de corrientes por la ley de LCK en los nodos a, b, c y d. Sumar todas las ecuaciones obtenidas.

Sumando a, b y c:

Se observa que se obtiene la ecuación d. Por tanto, tenemos tantas ecuaciones independientes como nodos menos 1.

1.6.5. Ejemplo de aplicación de L.V.K. Escribir las ecuaciones de lazos aplicando la LVK.

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Tema 1: Introducción

Si sumamos las ecuaciones primera y segunda obtenemos la tercera. Nota: Normalmente no se toman lazos que atraviesen o incluyan alguna rama para evitar ecuaciones linealmente dependientes (en este caso, el lazo a-b-d-c-a incluye a la rama en la que se mide v3).

1.7. Referencias [1] Huelsman, L.P. Teoría Hispanoamericana, S.A.

de

circuitos.

Segunda

edición.

Prentice-Hall

[2] Edminister, J.A., y Nahvi, M. Circuitos eléctricos. Tercera edición. Mc Graw-Hill. [3] Nilsson, J.W.. Circuitos eléctricos. Cuarta edición. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina 1995.

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TEMA 2: RESISTORES Y FUENTES

2.1. Índice del tema 2.1.

Índice del tema.......................................................................................................... 1

2.2.

El Resistor ................................................................................................................. 2

2.3.

Fuentes....................................................................................................................... 3

2.3.1. 2.3.1.1. 2.3.1.2.

2.3.2. 2.4.

Movilidad del generador de voltaje .................................................................. 12 Movilidad del generador de corriente............................................................... 12 Uso de la movilidad.......................................................................................... 13 En paralelo........................................................................................................ 13 En serie ............................................................................................................. 14

Divisores de voltaje y corriente ............................................................................. 14

2.8.1. 2.8.2. 2.9.

Introducción...................................................................................................... 10 Fuentes ideales de voltaje en serie.................................................................... 10 Fuentes ideales de corriente en paralelo ........................................................... 10 Fuentes no ideales de voltaje en paralelo ......................................................... 11 Fuentes no ideales de corriente en serie ........................................................... 11

Conexión de fuentes ideales ................................................................................... 13

2.7.1. 2.7.2. 2.8.

En serie ............................................................................................................... 8 En paralelo.......................................................................................................... 8 Ejemplo: Red en ESCALERA............................................................................ 9

Movilidad de generadores...................................................................................... 12

2.6.1. 2.6.2. 2.6.3. 2.7.

Fuentes no ideales............................................................................................... 5

Conexiones de fuentes ............................................................................................ 10

2.5.1. 2.5.2. 2.5.3. 2.5.4. 2.5.5. 2.6.

Fuentes independientes.......................................................................................................... 3 Fuentes dependientes o controladas ...................................................................................... 4

Conexiones de resistores .......................................................................................... 8

2.4.1. 2.4.2. 2.4.3. 2.5.

Fuentes ideales.................................................................................................... 3

Divisor de voltaje ............................................................................................. 14 Divisor de corriente .......................................................................................... 15

Referencias .............................................................................................................. 15

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Tema 2: Resistores y fuentes

2.2. El Resistor El resistor o resistencia es un elemento de 2 terminales en el que la corriente y el voltaje de rama se relacionan por la ley de OHM:

R: Resistencia, unidad: Ohm (Ω) G=R-1: Conductancia, unidad: Mho Símbolo y polaridad de referencia:

Dentro de la clasificación de los elementos, los resistores son de parámetros concentrados, lineales e invariantes en el tiempo. Fácilmente se comprueba que cumple las condiciones de linealidad observando la gráfica que relaciona v(t) con i(t).

La potencia del resistor viene dada por:

Como para valores positivos de R, p(t) será siempre positivo, los resistores son elementos pasivos. Es importante destacar que dado que los resistores se emplean para disipar energía, se debe especificar no sólo su valor nominal, sino también su potencia máxima disipable. Esta potencia máxima disipable afectará al tamaño y construcción de los resistores. En electrónica este parámetro se presenta como fracciones de watio. Los valores de los resistores varían entre algunos Ω y varios MΩ. Página 2 de 15

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Tema 2: Resistores y fuentes

2.3. Fuentes 2.3.1. Fuentes ideales 2.3.1.1.

Fuentes independientes

Son aquellas cuyas características no dependen de ninguna otra variable de red, aunque pueden variar con el tiempo. •

Fuente de tensión o voltaje

Aquella en la que el valor de su voltaje es independiente del valor o dirección de la corriente que lo atraviesa. Impone el voltaje en sus bornas, pero la corriente que lo atraviesa estará impuesta por la red o circuito al que esté conectado. Representación:

Cuando el voltaje es nulo, la característica I-V es igual a la de una resistencia nula (CORTOCIRCUITO). Es decir, anular un generador de voltaje ideal es sustituirlo por un cortocircuito, o bien, la resistencia interna de un generador ideal de voltaje es nula. •

Fuente de corriente

Son aquellas en las que el valor y la dirección de la corriente que circula a través de ella es independiente del valor y polaridad del voltaje en sus terminales. Impone la corriente de rama, pero el voltaje en sus bornas estará impuesto por la red a la que esté conectado.

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Tema 2: Resistores y fuentes

Representación:

Cuando la corriente es nula, la característica I-V es igual a la de una conductancia nula (resistencia infinita, CIRCUITO ABIERTO). Es decir, anular un generador de corriente ideal es sustituirlo por un circuito abierto; su resistencia interna es infinita (conductancia nula). Las fuentes son elementos activos, aunque pueden absorber energía. EJEMPLO:

Generador

1:

Generador 2:

(entrega energía: signo negativo de la potencia) (absorbe energía, se está cargando)

Resistencia:

(absorbe energía, disipa calor)

La suma total de potencias es cero (la energía que cede un generador la reciben la resistencia y el otro generador). 2.3.1.2.

Fuentes dependientes o controladas

Son aquellas cuyo valor de salida es proporcional al voltaje o corriente en otra parte del circuito. La tensión o corriente de la que dependen se llama VARIABLE DE CONTROL. La constante de proporcionalidad se denomina GANANCIA.

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Tema 2: Resistores y fuentes

Existen cuatro tipos: •

Fuente de voltaje controlada por voltaje (FVCV)

•

Fuente de voltaje controlada por corriente (FVCC)

•

Fuente de corriente controlada por voltaje (FCCV)

•

Fuente de corriente controlada por corriente (FCCC)

2.3.2. Fuentes no ideales Las fuentes no ideales incluyen disipación interna, van a tener una resistencia de pérdidas. •

Fuente no ideal de voltaje: fuente de voltaje ideal con una resistencia en serie.

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•

Tema 2: Resistores y fuentes

Fuente no ideal de corriente: fuente de corriente ideal con una resistencia (conductancia) en paralelo.

En realidad, ambos modelos pueden INTERCAMBIARSE en el estudio de circuitos. Para ver esto, conectamos una red arbitraria y vemos su equivalencia:

Se trata de que en ambos casos I0 y V0 sean iguales:

Para que ambas ecuaciones sean iguales:

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Tema 2: Resistores y fuentes

Se puede comprobar que en ambos casos se cumple: 1. El voltaje en circuito abierto es el mismo. 2. La corriente de cortocircuito es la misma. 3. Conectando un resistor arbitrario a sus bornas, se disipa en él la misma potencia. 4. Las fuentes son equivalentes únicamente en lo que se refiere a su comportamiento en los terminales externos (de bornas para afuera). Vamos a ver que la disipación interna de energía es diferente: ƒ

CIRCUITO ABIERTO: - El modelo de fuente de voltaje no disipa. - El modelo de corriente disipa:

ƒ

CORTOCIRCUITO: - El modelo de fuente de corriente no disipa (voltaje nulo en la resistencia). - El modelo de voltaje disipa.

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Tema 2: Resistores y fuentes

2.4. Conexiones de resistores 2.4.1. En serie

Queremos conseguir una resistencia equivalente que se comporte igual que el conjunto. En los nodos de conexión de resistencias se ve:

Aplicando LVK al lazo: La tensión en cada resistencia es:

2.4.2. En paralelo

En este caso:

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Tema 2: Resistores y fuentes

Aplicando LCK: La corriente en cada resistencia es: Luego:

Para n resistencias: Para 2 resistencias: En definitiva, en serie se suman resistencias y en paralelo, conductancias.

2.4.3. Ejemplo: Red en ESCALERA

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Tema 2: Resistores y fuentes

2.5. Conexiones de fuentes 2.5.1. Introducción A continuación se presentan las conexiones de fuentes en serie y en paralelo, válidas para fuentes independientes y dependientes.

2.5.2. Fuentes ideales de voltaje en serie

El voltaje que resulta de una conexión en paralelo de fuentes ideales de voltaje no está definido, ya que no se cumple la ley de voltajes de Kirchoff, excepto que todas las fuentes sean del mismo valor.

2.5.3. Fuentes ideales de corriente en paralelo

Análogamente, la corriente que resulta de una conexión en serie de fuentes ideales de corriente no está definida, por no cumplir la ley de corrientes de Kirchoff, excepto que todas las fuentes sean del mismo valor.

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Tema 2: Resistores y fuentes

2.5.4. Fuentes no ideales de voltaje en paralelo Pasamos previamente a fuentes no ideales de corriente:

2.5.5. Fuentes no ideales de corriente en serie Pasamos previamente a fuentes no ideales de voltaje:

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Tema 2: Resistores y fuentes

2.6. Movilidad de generadores 2.6.1. Movilidad del generador de voltaje Un generador ideal de voltaje conectado a un nodo que une varias ramas, se puede "mover" a cada una de ellas, respetando el valor y la polaridad.

Se puede comprobar que las leyes de Kirchoff dan los mismos resultados en ambos casos. Las corrientes y voltajes de todos los elementos del circuito se mantienen, excepto para el generador al que se le ha aplicado "movilidad". De esta forma, la corriente que atraviesa al generador original es la suma de las corrientes de los generadores equivalentes.

2.6.2. Movilidad del generador de corriente Un generador ideal de corriente que conecte dos nodos, se puede colocar en paralelo de cada una de las ramas de cualquier "camino" que una ambos nodos.

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Tema 2: Resistores y fuentes

Por las conexiones aa' y bb' no circula corriente, por lo que pueden ser eliminados sin sufrir variaciones en el resto del circuito. Al igual que en el apartado anterior, las corrientes y voltajes de todos los elementos del circuito se deben mantener excepto para el generador de corriente al que se le ha aplicado "movilidad". El voltaje en bornas del generador original es la suma de los voltajes de los generadores equivalentes.

2.6.3. Uso de la movilidad La movilidad se suele utilizar para evitar ramas que únicamente tengan generadores ideales, ya que en ellos no existe una relación entre voltaje y corriente. Conseguimos así generadores no ideales, pudiendo transformar las fuentes de voltaje en fuentes de corriente y viceversa.

2.7. Conexión de fuentes ideales 2.7.1. En paralelo

Como la resistencia interna de la fuente ideal de voltaje es nula, toda la corriente del generador de corriente fluye a través del generador de voltaje (no afecta fuera).

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Tema 2: Resistores y fuentes

2.7.2. En serie

El voltaje de la fuente de voltaje no afecta al exterior ya que encuentra la resistencia infinita (circuito abierto) de la fuente de corriente. En ambos casos las equivalencias son de bornas para afuera ya que el comportamiento interno (absorción/entrega de energía) es diferente.

2.8. Divisores de voltaje y corriente 2.8.1. Divisor de voltaje

El voltaje Vs(t) se divide en los voltajes que caen en las resistencias R1 y R2. Esta fórmula sólo es válida si la salida v2(t) está en circuito abierto (no circula corriente por los terminales donde se mide v2(t)).

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Tema 2: Resistores y fuentes

2.8.2. Divisor de corriente

Análogamente, la corriente Is(t) se divide en las corrientes que atraviesan las dos conductancias.

2.9. Referencias [1] Huelsman, L.P. Teoría Hispanoamericana, S.A.

de

circuitos.

Segunda

edición.

Prentice-Hall

[2] Edminister, J.A., y Nahvi, M. Circuitos eléctricos. Tercera edición. Mc Graw-Hill. [3] Nilsson, J.W.. Circuitos eléctricos. Cuarta edición. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina 1995.

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TEMA 3: REDES RESISTIVAS

3.1. Índice del tema 3.1.

Índice del tema.......................................................................................................... 1

3.2.

Ecuaciones de mallas................................................................................................ 2

3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.3.

Ecuaciones de nodos ................................................................................................. 5

3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.4.

3.4.3.1. 3.4.3.2.

3.6.4.1. 3.6.4.2. 3.6.4.3.

Análisis por mallas ........................................................................................... 11 Análisis por nodos ............................................................................................ 13 Teorema de Thévenin ....................................................................................... 14 Teorema de Norton........................................................................................... 14 Equivalencia Thévenin-Norton ........................................................................ 15 Ejemplos ........................................................................................................... 15 Cálculo del equivalente Thévenin ........................................................................................ 16 Cálculo del equivalente Norton ........................................................................................... 18 Ejemplo con fuentes dependientes ....................................................................................... 19

Redes con amplificadores operacionales .............................................................. 20

3.7.1. 3.7.2. 3.7.3. 3.7.4. 3.8.

Analizando por mallas ......................................................................................................... 10 Analizando por nodos .......................................................................................................... 11

Teoremas de Thévenin y Norton ........................................................................... 14

3.6.1. 3.6.2. 3.6.3. 3.6.4.

3.7.

Análisis por mallas ............................................................................................. 9 Análisis por nodos .............................................................................................. 9 Ejemplos ........................................................................................................... 10

Redes con fuentes dependientes ............................................................................ 11

3.5.1. 3.5.2. 3.6.

Circuito de dos nodos ......................................................................................... 5 Circuito de tres nodos ......................................................................................... 7 Circuito de n nodos............................................................................................. 8

Redes con fuentes independientes ........................................................................... 9

3.4.1. 3.4.2. 3.4.3.

3.5.

Introducción........................................................................................................ 2 Red resistiva de dos mallas................................................................................. 3 Red resistiva de n mallas .................................................................................... 4

El amplificador operacional.............................................................................. 20 Configuración FVCV inversora ....................................................................... 21 Configuración FVCV no inversora................................................................... 22 Análisis por nodos ............................................................................................ 24

Referencias .............................................................................................................. 25

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Tema 3: Redes resistivas

3.2. Ecuaciones de mallas 3.2.1. Introducción Definición de MALLA: Conjunto de ramas que forman una trayectoria cerrada y que tiene las siguientes propiedades: • • •

Cada nodo une solamente dos ramas. El conjunto no encierra a otra rama. Es por tanto un lazo que no encierra o atraviesa ninguna rama.

Ejemplo:

Puesto que una malla es un tipo particular de lazo, sigue cumpliendo la ley de voltajes de Kirchoff. Se obtienen tantas ecuaciones independientes como mallas halla en el circuito (si se eligieran lazos al azar, podríamos llegar a ecuaciones dependientes). En una red, si tenemos b ramas y n nodos, se cumple que el número de mallas es: m=b-n+1 Por tanto, tenemos b – n + 1 ecuaciones independientes analizando por mallas.

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Tema 3: Redes resistivas

3.2.2. Red resistiva de dos mallas Tomamos la misma dirección de referencia para las corrientes de ambas mallas: en el sentido de las agujas de reloj.

Aplicando la Ley de Voltajes de Kirchoff a cada malla, poniendo los voltajes de la fuente en un miembro de la ecuación y los de rama en otro; y sustituyendo el voltaje en cada resistencia por la expresión de la ley de Ohm:

En forma matricial:

Hay que apreciar que: a) El signo de VS1, VS2 es positivo si es subida de tensión y negativo si es caída, según la dirección de referencia de la malla. b) Los términos de la diagonal principal (r11, r22) son la suma de todas las resistencias propias de cada malla. c) Los términos fuera de la diagonal principal son la suma de las resistencias de la rama común a ambas mallas, pero con signo negativo (esto se debe a que el sentido de referencia de la malla contigua es contrario). d) Los elementos de la matriz R tienen dimensión de resistencia. Página 3 de 25

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Tema 3: Redes resistivas

EJEMPLO:

3.2.3. Red resistiva de n mallas Para una red resistiva plana con n mallas, suponiendo que la recorremos en el sentido de las agujas del reloj, tendremos:

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Tema 3: Redes resistivas

Donde: •

Vi: suma de todas las fuentes de voltaje de la malla i-ésima, considerando positivas las subidas de tensión y negativas las caídas (en la dirección de recorrido de la malla).

•

rii (diagonal de la matriz R): la suma de las resistencias propias de la malla i.

•

): El negativo de la suma de los valores de las resistencias comunes a las rij ( mallas i y j. Si la red no tiene generadores dependientes la matriz es simétrica (rij=rji).

•

ii: Valor de la corriente de la malla i-ésima (incógnitas, normalmente).

Se resuelve por CRAMER. Para que haya solución, la condición necesaria y suficiente es que la matriz R tenga determinante no nulo. Una vez conocidas las corrientes de malla, se pueden calcular las corrientes y voltajes de cada una de las ramas. Es importante destacar que este método únicamente se utiliza con fuentes de voltaje.

3.3. Ecuaciones de nodos 3.3.1. Circuito de dos nodos En este caso las variables desconocidas son los voltajes de los nodos.

En realidad hay tres nodos pero, sólo generan dos ecuaciones independientes. Esto es debido a que lo que calculamos son diferencias de voltaje, no voltajes absolutos. Por ello se

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Tema 3: Redes resistivas

dan los voltajes respecto al nodo de referencia (nodo del que no se escribe la ecuación, cuyo valor de voltaje se considera cero). Aplicando la ley de corrientes de Kirchoff en los nodos, separando corrientes de fuentes y de ramas; y sustituyendo la corriente en cada conductancia por la expresión de la ley de Ohm:

En forma matricial:

Análogamente al análisis por mallas: a) El signo de IS1, IS2 es positivo si es entrante al nodo y negativo si es saliente. b) Los términos de la diagonal principal (g11, g22) son las sumas de todas las conductancias conectadas a ese nodo. c) Los términos fuera de la diagonal principal, gij, son la conductancia que conectan los nodos i y j, con signo negativo. Si la red no tiene generadores dependientes, la matriz es simétrica (gij = gji).

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Tema 3: Redes resistivas

EJEMPLO:

3.3.2. Circuito de tres nodos

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Tema 3: Redes resistivas

Matricialmente:

Se puede resolver por CRAMER.

3.3.3. Circuito de n nodos Para el caso general con n nodos más uno de referencia tendremos una ecuación independiente menos que el número total de nodos:

Donde: •

Ii: Suma de las corrientes de fuentes conectadas al nodo i-ésimo (siendo positivas las corrientes entrantes y negativas las salientes).

•

gii (diagonal de la matriz G): Suma de los valores de conductancia de todos los resistores conectados al nodo i-ésimo.

•

): El negativo de la suma de conductancias de los resistores conectados gij ( entre los nodos i y j. Si la red no tiene fuentes dependientes, la matriz es simétrica (gij = gji).

Es importante destacar que este método únicamente se emplea con fuentes de corriente.

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Tema 3: Redes resistivas

3.4. Redes con fuentes independientes 3.4.1. Análisis por mallas Si se realiza el análisis por mallas, es necesario convertir todas las fuentes de corriente en fuentes de voltaje. EJEMPLO:

La conversión de las fuentes no ideales de corriente a voltaje (nodos a y b) no afecta al resto del circuito, sin embargo la corriente y el voltaje en R0 son distintos en ambos casos. Si las fuentes de corriente no tienen resistor en serie se aplican las propiedades de "movilidad" de generadores de corriente.

3.4.2. Análisis por nodos Si se realiza el análisis por nodos, hay que convertir todas las fuentes de voltaje en fuentes de corriente. EJEMPLO:

Como ocurría en el anterior apartado, el comportamiento de las fuentes equivalentes es diferente, no así el externo. Página 9 de 25

Teoría de Circuitos

Tema 3: Redes resistivas

Si las fuentes de voltaje no tienen resistor en serie se aplican las propiedades de "movilidad" de generadores de voltaje.

3.4.3. Ejemplos 3.4.3.1.

Analizando por mallas

A partir de aquí ya se pueden plantear las ecuaciones de mallas.

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3.4.3.2.

Tema 3: Redes resistivas

Analizando por nodos

Ya se pueden plantear las ecuaciones de los nodos a y b.

3.5. Redes con fuentes dependientes 3.5.1. Análisis por mallas El objetivo es obtener una fuente de voltaje cuya variable de control dependa de las corrientes de mallas, que normalmente son las incógnitas. EJEMPLO: Con fuente de voltaje dependiente controlada por corriente (FVCC).

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Reagrupando:

La ganancia de la fuente dependiente altera la simetría de la matriz de coeficientes. Si las fuentes son de corriente, controladas tanto por voltaje como por corriente, las transformamos en fuentes de voltaje. Para ello, deben tener un resistor en paralelo, si no lo tienen, se aplica "movilidad". EJEMPLO:

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Tema 3: Redes resistivas

3.5.2. Análisis por nodos Análogamente, el objetivo es conseguir una fuente de corriente cuyo valor dependa directamente de los voltajes de los nodos (incógnitas). a) En una fuente de corriente controlada por voltaje, únicamente se debe expresar el voltaje de control en función de los voltajes de los nodos. b) Si es una fuente de corriente controlada por corriente, se expresa ésta última en función de los voltajes de los nodos (aplicando la ley de Ohm). c) Si son fuentes de voltaje, se transforman en fuentes de corriente, empleando movilidad si no tienen resistencia en serie, y se aplica el apartado a o b, según sea la variable de control. EJEMPLO:

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Dos nodos:

3.6. Teoremas de Thévenin y Norton 3.6.1. Teorema de Thévenin Cualquier red compuesta por resistores lineales, fuentes independientes y fuentes dependientes, puede ser sustituida en un par de nodos por un circuito equivalente formado por una sola fuente de voltaje y un resistor serie. Por equivalente se entiende que su comportamiento ante cualquier red externa conectada a dicho par de nodos es el mismo al de la red original (igual comportamiento externo, aunque no interno). La resistencia se calcula anulando las fuentes independientes del circuito (pero no las dependientes) y reduciendo el circuito resultante a su resistencia equivalente vista desde el par de nodos considerados. Anular las fuentes de voltaje equivale a cortocircuitarlas y anular las de corriente a sustituirlas por un circuito abierto. El valor de la fuente de voltaje es el que aparece en el par de nodos en circuito abierto.

3.6.2. Teorema de Norton Cualquier red compuesta por resistores lineales, fuentes independientes y fuentes dependientes puede ser sustituida, en un par de nodos, por un circuito equivalente formado por una sola fuente de corriente y un resistor en paralelo. La resistencia se calcula (igual que para el equivalente de Thévenin) anulando las fuentes independientes del circuito (pero no las dependientes) y reduciendo el circuito resultante a su resistencia equivalente vista desde el par de nodos considerados.

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El valor de la fuente de corriente es igual a la corriente que circula en un cortocircuito que conecta los dos nodos.

3.6.3. Equivalencia Thévenin-Norton

Se cumple:

3.6.4. Ejemplos Hallar el equivalente de Thévenin y Norton en bornas de la resistencia R (sin incluirla) para el siguiente circuito.

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3.6.4.1.

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Cálculo del equivalente Thévenin

Queremos obtener un circuito de la forma:

Quitamos la resistencia R y vemos cual es el voltaje que hay entre los nodos a y b. El valor obtenido será el voltaje de Thévenin.

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Se puede comprobar que la rama del resistor de 4 Ω no afecta. Para hallar la resistencia de Thévenin anulamos las fuentes independientes y calculamos la resistencia vista desde los nodos a y b.

El circuito equivalente de Thévenin es:

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3.6.4.2.

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Cálculo del equivalente Norton

Para calcular la corriente de Norton, cortocircuitamos:

Analizando aisladamente el circuito de dos mallas:

La resistencia es la misma que para el equivalente de Thevenin. El circuito equivalente es:

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Como se puede observar, se cumple:

3.6.4.3.

Ejemplo con fuentes dependientes

Calcular el equivalente de Thevenin del circuito:

Para calcular el voltaje de Thevenin se aplica movilidad:

Para el cálculo de la resistencia de Thevenin se anula el generador independiente, se conecta un generador de corriente (I) y se mide el voltaje (V):

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3.7. Redes con amplificadores operacionales 3.7.1. El amplificador operacional Un amplificador operacional es básicamente una fuente de voltaje controlada por voltaje de ganancia infinita (idealmente). A continuación se representa un amplificador operacional de "entrada diferencial", que quiere decir que la salida depende de la diferencia de voltajes en las bornas + y -: V+ - V-.

Como se puede observar en el circuito equivalente, la resistencia de entrada es infinita (conductancia nula, ya que no hay conexión entre V+ y V- ), con lo que no circulará ninguna corriente de entrada. Por otra parte, la resistencia de salida es la de la fuente dependiente. Como es ideal (aunque dependiente) es cero.

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3.7.2. Configuración FVCV inversora Normalmente, el amplificador operacional se utiliza realimentado, es decir existe una rama que conecta la salida del amplificador con al menos una de las entradas. En este caso, la tensión de salida no puede ser infinito con lo que se fuerza a que V+ = V-. Para comprobarlo, se muestra un ejemplo suponiendo finita la ganancia K y, posteriormente, haciéndola tender a infinito:

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Si se calcula directamente con ganancia infinita, aplicando V- = V+ = 0 y teniendo en cuenta que la corriente de entrada al amplificador es nula (toda la corriente que pasa por R1 pasa por R2):

La resistencia de entrada es R1 (relación entre V1 y la corriente de entrada i) y la corriente de salida es cero (por ser una fuente de voltaje ideal). El circuito equivalente se muestra a continuación:

Este circuito se denomina fuente de voltaje controlada por voltaje (FVCV) inversora, ya que la ganancia es negativa.

3.7.3. Configuración FVCV no inversora

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La resistencia de entrada es infinita, ya que la corriente de entrada es nula:

Para calcular la resistencia de salida se anula V1 y se aplica una corriente Is:

Entonces, el circuito original es equivalente a :

Se comporta como un amplificador operacional de ganancia finita, por lo que se suele representar:

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3.7.4. Análisis por nodos Ejemplo:

En el nodo 3 no se puede plantear ecuación porque la conductancia de salida del amplificador es infinita. Las ecuaciones en los nodos serán:

Ecuación del amplificador operacional: Si la ganancia del operacional es finita:

Si la ganancia del operacional es infinita, se anula la diferencia de voltaje entre las bornas positiva y negativa (en este caso, la ecuación del amplificador es V2 = 0):

Aunque el voltaje en el nodo 2 es nulo, se utiliza la ecuación de dicho nodo.

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3.8. Referencias [1] Huelsman, L.P. Teoría Hispanoamericana, S.A.

de

circuitos.

Segunda

edición.

Prentice-Hall

[2] Edminister, J.A., y Nahvi, M. Circuitos eléctricos. Tercera edición. Mc Graw-Hill. [3] Nilsson, J.W.. Circuitos eléctricos. Cuarta edición. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina 1995.

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TEMA 4: CAPACITORES E INDUCTORES

4.1. Índice del tema 4.1.

Índice del tema.......................................................................................................... 1

4.2.

El Condensador ........................................................................................................ 2

4.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 4.2.4. 4.3.

La bobina................................................................................................................... 6

4.3.1. 4.3.2. 4.3.3. 4.3.4. 4.4.

Ecuación de malla............................................................................................. 11 Ecuación de nodo ............................................................................................. 11 Dualidad ........................................................................................................... 12

El Transformador................................................................................................... 12

4.6.1. 4.6.2. 4.6.3. 4.7.

Condensadores en paralelo ................................................................................. 8 Condensadores en serie ...................................................................................... 9 Bobinas en serie.................................................................................................. 9 Bobinas en paralelo .......................................................................................... 10

Principio de dualidad ............................................................................................. 11

4.5.1. 4.5.2. 4.5.3. 4.6.

Introducción........................................................................................................ 6 Potencia .............................................................................................................. 7 Energía................................................................................................................ 7 Condición de continuidad................................................................................... 7

Asociaciones serie y paralelo ................................................................................... 8

4.4.1. 4.4.2. 4.4.3. 4.4.4. 4.5.

Introducción........................................................................................................ 2 Potencia .............................................................................................................. 3 Energía................................................................................................................ 3 Condición de continuidad................................................................................... 4

Introducción...................................................................................................... 12 Transformador con inductancia mutua positiva ............................................... 14 Transformador con inductancia mutua negativa .............................................. 15

Referencias .............................................................................................................. 16

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Tema 4: Capacitares e inductores

4.2. El Condensador 4.2.1. Introducción El condensador es un elemento de dos terminales en el que el voltaje y la corriente se relacionan por:

donde C es la capacidad que se expresa en Faradios (F). Se puede observar en (1) que el voltaje depende de instantes de tiempo pasados, es decir tiene "memoria".

Se representa por el siguiente símbolo:

La ecuación de voltaje se puede expresar como:

donde v(0) se denomina condición inicial.

Teniendo en cuenta la relación entre i(t) y q(t) se puede deducir la relación:

Por tanto, el valor de la capacidad (C) es la relación entre la carga almacenada y el voltaje que aparece en sus terminales. Aunque se puede definir un capacitor de forma no lineal, todos los que se usarán en este tutorial serán lineales, invariantes y de parámetros concentrados.

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4.2.2. Potencia En anteriores apartados se defino la potencia de un dipolo como que, sustituyendo:

.

Así

Esta potencia puede ser positiva o negativa, ya que aunque C es siempre positiva, el término

puede ser positivo o negativo.

4.2.3. Energía La energía se puede expresar mediante la siguiente expresión:

Teniendo en cuenta que:

De esta forma se comprueba que aunque la potencia instantánea pueda ser negativa, la energía siempre es positiva o nula. El condensador, por tanto, es un elemento pasivo; en él se almacena energía que puede ser entregada al circuito en otro momento (no es un elemento disipativo como la resistencia). Valores típicos son del orden de pF hasta cientos de µF. Hay condensadores que requieren una determinada polaridad (condensadores electrolíticos), pero en general la mayoría pueden tener ambas polaridades.

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4.2.4. Condición de continuidad El voltaje que aparece en los terminales de un condensador lineal e invariante en el tiempo siempre debe ser una función continua. Es decir, para cualquier instante de tiempo t0, se cumple:

Siendo: (límite por la izquierda)

(límite por la derecha)

EJEMPLO: Como ejemplo del efecto de la condición de continuidad, se considera el siguiente circuito:

Supóngase que el interruptor se ha en la posición 1) durante un largo

conectado a la fuente de 10 V (interruptor tiempo antes que , permitiendo de ese

modo que el circuito alcance una condición en estado estable. Como resultado, en cumple:

Puesto que tratarse

independientemente del voltaje como un circuito abierto:

se

, el capacitor puede

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En el interruptor se cambia a la posición 2. En , el voltaje del capacitor debe permanecer en 8 V, sin importar la corriente que circula por él. En consecuencia, puede ser modelado por medio de una fuente de voltaje:

Conclusión:

Se puede observar que el voltaje en un resistor puede ser discontinuo, aun cuando el voltaje del capacitor sea siempre será continuo.

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4.3. La bobina 4.3.1. Introducción La bobina o inductor es un elemento de dos terminales en el que las variables corriente y voltaje se relacionan por:

Donde L es el valor de la inductancia, cuya unidad es el Henrio (H). Su símbolo es:

La ecuación de la corriente se puede expresar mediante la condición inicial i(0):

Así como un condensador se mantiene cargado en circuito abierto, las bobinas (idealmente, si no tuvieran resistencia en sus conductores) se mantienen cargadas en cortocircuito. A temperaturas cercanas al cero absoluto mantienen la corriente durante años.

Por la ley de Faraday:

(¢: flujo magnético)

Se puede definir la inductancia de una bobina mediante la relación existente entre el flujo magnético producido y la corriente que lo atraviesa:

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4.3.2. Potencia Sabiendo que la potencia instantánea en un dipolo es bobina se puede expresar de la siguiente forma:

L siempre es positivo, pero el término

, la potencia de la

puede ser negativo o positivo.

4.3.3. Energía La energía total suministrada se puede expresar mediante la siguiente expresión:

Teniendo en cuenta que:

Se obtiene la energía total almacenada en el instante t como:

Esto indica que la bobina (lineal e invariante) es un elemento pasivo, es decir no puede ceder más energía de la que previamente ha almacenado y, aunque puede ser no lineal y variante con el tiempo, se considerará en este tutorial que es lineal e invariante.

4.3.4. Condición de continuidad La corriente que circula por un inductor lineal e invariante siempre debe ser una función continua. Es decir, para cualquier instante de tiempo t0:

Donde iL es la corriente que circula por la bobina.

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4.4. Asociaciones serie y paralelo 4.4.1. Condensadores en paralelo

Aplicando la ley de corrientes de Kirchoff:

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4.4.2. Condensadores en serie

Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff:

4.4.3. Bobinas en serie

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Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff:

4.4.4. Bobinas en paralelo

Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff:

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4.5. Principio de dualidad 4.5.1. Ecuación de malla

LVK

4.5.2. Ecuación de nodo

LCK

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4.5.3. Dualidad Como vemos en las ecuaciones anteriores, y a lo largo de todo el tutorial, existe una cierta similitud o dualidad entre las expresiones obtenidas intercambiando: Corriente Resistencia (R) Flujo (¢) Inducción (L) Conexión en serie Análisis por mallas Ley de voltajes de Kirchoff Corrientes entrantes/salientes

Voltaje Conductancia (G) Carga (q) Capacidad (C) Conexión en paralelo Análisis por nodos Ley de corrientes de Kirchoff Subidas/caídas de voltaje

4.6. El Transformador 4.6.1. Introducción En esta sección se estudiará un dispositivo de terminales múltiples bastante diferente a los elementos estudiados anteriormente, en el que las variables de voltaje y corriente se relacionan por medio de ecuaciones integro-diferenciales: el transformador. Cuando circula corriente por una bobina en solitario, se crea un flujo magnético a su alrededor. A este fenómeno se le denomina autoinducción. El flujo magnético creado viene dado por la siguiente expresión:

siendo L1 el coeficiente de autoinducción de la bobina. Si se coloca otra bobina cerca de la primera, algunas de las líneas de flujo producidas por la corriente en esta nueva bobina también enlazarán la primera bobina. De esta forma, los enlaces de flujo Ø1(t) de la primera bobina están determinados por las corrientes i1(t) e i2(t):

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donde L1 es el coeficiente de autoinducción de la bobina 1 y M12 es el coeficiente de inductancia mutua de la bobina 1 con respecto a la bobina 2. Considerando la segunda bobina, el flujo Ø2(t) se genera por las corrientes i2(t) e i1(t):

donde L2 es el coeficiente de autoinducción de la bobina 2 y M21 es el coeficiente de inductancia mutua de la bobina 2 con respecto a la bobina 1.

Aplicando la ley de Faraday a las dos ecuaciones anteriores, y sabiendo que M12=M21=M, se pueden calcular los voltajes que aparecen en los terminales de cada bobina (v1(t) y v2(t)):

Los coeficientes de autoinducción y de inducción mutua se pueden expresar en función del número de espiras de las bobinas (N1 y N2) y de una constante K llamada coeficiente de acoplamiento.

K es una medida de la cantidad de flujo que genera una corriente que circula en una bobina, la cual enlaza las vueltas de la otra bobina. Si esta cantidad es pequeña, las bobinas están acopladas débilmente. Por otra parte, si la totalidad del flujo generado por una bobina enlaza las vueltas de la otra, las bobinas están perfectamente acopladas (K=1). La inductancia mutua M puede ser positiva o negativa. Normalmente se emplea un par de puntos para identificar las direcciones de devanado relativas. Si las direcciones de corriente de referencia positiva se orientan hacia adentro (o hacia afuera) de las terminales marcadas con un punto de las dos bobinas, la inductancia mutua es positiva; en otro caso es negativa.

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4.6.2. Transformador con inductancia mutua positiva

Las relaciones para las variables de voltaje y corriente para este caso son:

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Si se considera K=1:

Si la potencia de entrada es igual a la potencia de salida:

4.6.3. Transformador con inductancia mutua negativa

Las relaciones para las variables de voltaje y corriente para este caso son:

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Tema 4: Capacitares e inductores

Si se considera K=1:

Si la potencia de entrada es igual a la potencia de salida:

4.7. Referencias [1] Huelsman, L.P. Teoría Hispanoamericana, S.A.

de

circuitos.

Segunda

edición.

Prentice-Hall

[2] Edminister, J.A., y Nahvi, M. Circuitos eléctricos. Tercera edición. Mc Graw-Hill. [3] Nilsson, J.W.. Circuitos eléctricos. Cuarta edición. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina 1995.

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TEMA 5: RÉGIMEN PERMANENTE SENOIDAL

5.1. Índice del tema 5.1.

Índice del tema.......................................................................................................... 1

5.2.

Introducción .............................................................................................................. 3

5.3.

Funciones Senoidales................................................................................................ 3

5.3.1. 5.3.2. 5.3.3. 5.3.4. 5.3.5. 5.3.6. 5.4.

La Función exponencial. Los fasores ...................................................................... 5

5.4.1. 5.4.2. 5.4.3. 5.4.4. 5.4.5. 5.5.

Introducción........................................................................................................ 9 Impedancia de elementos ................................................................................... 9 Admitancia de elementos ................................................................................. 10 Inmitancia de elementos ................................................................................... 11

Asociación serie-paralelo ....................................................................................... 12

5.6.1. 5.6.2. 5.6.3. 5.6.4. 5.6.5. 5.7.

Introducción........................................................................................................ 5 Definición y explicación..................................................................................... 5 Diferenciación con fasores ................................................................................. 6 Integración con fasores....................................................................................... 7 Ejemplo de análisis con fasores.......................................................................... 8

Impedancias y admitancias...................................................................................... 9

5.5.1. 5.5.2. 5.5.3. 5.5.4. 5.6.

Introducción........................................................................................................ 3 Forma rectangular o en cuadratura ..................................................................... 3 Forma polar ........................................................................................................ 3 Periodicidad ........................................................................................................ 4 Representación ................................................................................................... 4 Suma de funciones senoidales ............................................................................ 5

Introducción...................................................................................................... 12 Circuito en serie................................................................................................ 12 Circuito en paralelo .......................................................................................... 13 Divisor de voltaje ............................................................................................. 13 Red en escalera ................................................................................................. 14

Redes equivalentes a una pulsación ...................................................................... 16

5.7.1. 5.7.2. 5.7.3. 5.7.4. 5.7.5. 5.7.6.

Introducción...................................................................................................... 16 Caso A: Impedancia ......................................................................................... 16 Caso B: Admitancia.......................................................................................... 17 Equivalencias entre impedancias y admitancias............................................... 18 Ejemplo 1.......................................................................................................... 19 Ejemplo 2.......................................................................................................... 20

Teoría de Circuitos

5.8.

Análisis por mallas y nodos ................................................................................... 21

5.8.1. 5.8.2. 5.8.3. 5.9.

Introducción...................................................................................................... 21 Análisis por mallas ........................................................................................... 21 Análisis por nodos ............................................................................................ 22

Transformación de generadores reales................................................................. 23

5.9.1. 5.9.2. 5.9.3. 5.10. 5.10.1. 5.10.2. 5.10.3. 5.10.4. 5.11. 5.11.1. 5.11.2. 5.12.

Tema 5: Régimen Permanente Senoidal

Introducción...................................................................................................... 23 Transformación de generadores reales. ............................................................ 23 Ejemplo............................................................................................................. 24 Equivalentes de Thevenin y Norton .................................................................. 25 Introducción...................................................................................................... 25 Equivalente de Thevenin .................................................................................. 25 Equivalente de Norton ...................................................................................... 26 Ejemplo............................................................................................................. 26 Superposición de fuentes de distinta ω............................................................. 28 Introducción...................................................................................................... 28 Método.............................................................................................................. 28 Referencias .......................................................................................................... 28

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Teoría de Circuitos

Tema 5: Régimen Permanente Senoidal

5.2. Introducción En este tema de Teoría de Circuitos se van a estudiar los aspectos relacionados con el régimen permanente senoidal. En este régimen la soluciones que vamos a obtener van a tener la misma forma que las excitaciones (de ahí la palabra permanente). Además estamos en un régimen senoidal por lo que a lo largo de todo este tema vamos a trabajar con funciones senoidales.

5.3. Funciones Senoidales 5.3.1. Introducción A lo largo de este punto vamos a ver cómo trabajar con las funciones senoidales. Para ello se verán las distintas formas de representación que tienen y cómo pasar de una representación a otra. Se verán algunas de las propiedades de las funciones senoidales como su periodicidad y se mostrará cómo es su representación gráfica y cómo se suman las funciones senoidales.

5.3.2. Forma rectangular o en cuadratura La forma rectangular o en cuadratura se representa a continuación:

A y B son constantes ω es la pulsación o frecuencia angular (en rad/s).

5.3.3. Forma polar La forma polar es: • •

Fm es positivo e indica la amplitud o magnitud pico. : es el argumento o fase (en radianes).

La relación entre la forma rectangular y la polar se puede ver a continuación. Como:

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Tema 5: Régimen Permanente Senoidal

De esta forma nos quedan las relaciones:

5.3.4. Periodicidad Una función es periódica, de periodo T, si se cumple la relación:

5.3.5. Representación A continuación veremos una representación para aclarar las relaciones que acabamos de ver:

• •

Eje abcisas: el coeficiente del cos(ωt). Eje ordenaas: el coeficiente del sen(ωt) cambiado de signo.

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Tema 5: Régimen Permanente Senoidal

5.3.6. Suma de funciones senoidales

con de forma que:

Consecuencia: la suma de dos funciones senoidales de igual pulsación da como resultado otra función senoidal de la misma posición.

5.4. La Función exponencial. Los fasores 5.4.1. Introducción En esta página vamos a ver qué son los fasores. Su definición y explicación y cómo se pueden utilizar para analizar circuitos en vez de utilizar las expresiones de las funciones senoidales directamente. Se presentará una aplicación interactiva en la que se puede ver cómo se puede pasar de una función senoidal a su representación fasorial.

5.4.2. Definición y explicación Los fasores nos van a permitir trabajar con las funciones senoidales de una forma más fácil en algunas ocasiones como al integrar y al derivar.

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Como

con

Tema 5: Régimen Permanente Senoidal

se puede ver el voltaje con la expresión:

y una corriente con la expresión

con

, donde

Definición de fasor: es una cantidad compleja que se emplea para representar funciones del tiempo que varían de forma senoidal. es un número complejo con: • •

módulo: la amplitud de la magnitud que representa. fase: la fase de dicha magnitud en t=0.

El fasor se relaciona con las funciones senoidales a través de la siguiente expresión:

Para poder usarlo en las ecuaciones integro-diferenciales se necesita ver cómo responden a esas operaciones.

5.4.3. Diferenciación con fasores Si tenemos una función g(t) con su parte real x(t) y su parte imaginaria y(t), y definimos la función:

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Tema 5: Régimen Permanente Senoidal

diferenciando f(t):

Si diferenciamos g(t) y luego tomamos la parte real:

Al final:

Las relaciones que tenemos en la diferenciación son:

5.4.4. Integración con fasores Con la función h(t) definida como la integración de f(t):

Las relaciones que hay en la integración se pueden ver a continuación:

Por lo tanto, se pueden resolver las ecuaciones integro-diferenciales que aparecen en régimen permanente senoidal mediante la utilización de fasores. Esto se debe a que las Página 7 de 28

Teoría de Circuitos

Tema 5: Régimen Permanente Senoidal

derivadas y las integrales se transforman en multiplicaciones y divisiones por jω y así estas ecuaciones se convierten en algebraicas mediante fasores.

5.4.5. Ejemplo de análisis con fasores Si estas expresiones son el dato o incógnita de un circuito como:

Sabemos que del circuito se puede sacar la siguiente ecuación:

Utilizando fasores:

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Tema 5: Régimen Permanente Senoidal

5.5. Impedancias y admitancias 5.5.1. Introducción En este punto vamos a ver si podemos aplicar los mecanismos para obtener la impedancia y la admitancia a los fasores. Para ello a continuación se explican los aspectos teóricos de la impedancia y de la admitancia a la hora de trabajar con fasores. Al final se ha puesto un test por si el usuario quiere evaluar los conocimientos que haya podido adquirir en este punto.

5.5.2. Impedancia de elementos En el circuito:

las ecuaciones que relacionan las distintas variables se muestran a continuación:

y definimos el fasor I de tal forma que las ecuaciones anteriores expresadas con fasores quedan:

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Tema 5: Régimen Permanente Senoidal

A la expresión V/I se le llama impedancia del elemento y sus unidades son Ω. Definición: impedancia es la relación entre los fasores de voltaje y corriente de un elemento de dos terminales. La impedancia puede ser: • • •

Real: se la denomina resistencia. Imaginaria: se la denomina reactancia. Real e imaginaria: una magnitud compleja.

A continuación se muestra la impedancia de algunos elementos: Bobina: Condensador: Resistor:

5.5.3. Admitancia de elementos En el circuito:

las ecuaciones que relacionan las variables son:

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Tema 5: Régimen Permanente Senoidal

y en forma fasorial:

Definición: admitancia es la relación entre los fasores de corriente y voltaje de un elemento de dos terminales. La admitancia puede ser: • • •

Real: se la denomina conductancia. Imaginaria: se la denomina susceptancia. Real e imaginaria: una magnitud compleja.

Admitancia de algunos elementos: Bobina: Condensador: Resistor:

5.5.4. Inmitancia de elementos Hay un nombre genérico inmitancia que trata el concepto de la relación entre fasores de voltaje y de corriente en un elemento de 2 terminales, pero que no determina si es una admitancia o una impedancia. Todo lo visto hasta ahora, cualquier análisis de circuitos se puede hacer con estos nuevos elementos. Simplemente se cambian corrientes y voltajes por sus fasores y las resistencias y conductancias por impedancias y admitancias respectivamente.

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5.6. Asociación serie-paralelo 5.6.1. Introducción En este apartado vamos a ver cómo se pueden asociar elementos en un circuito en régimen permanente senoidal y utilizando fasores. Se verá cómo asociar los elementos en un circuito serie y en un circuito con elementos en paralelo. Finalmente se completará este punto con dos ejemplos de circuitos: un divisor de voltaje y una red en escalera.

5.6.2. Circuito en serie

Con este circuito nos quedan las ecuaciones:

Generalizando:

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5.6.3. Circuito en paralelo

Las ecuaciones para estos circuito son de la forma:

de forma general:

5.6.4. Divisor de voltaje

para cualquier elemento que sea Z1 y Z2:

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5.6.5. Red en escalera

se ve que la parte resistiva de Zent es:

la parte reactiva de Zent es:

y se observa cómo a la parte real (la resistiva) de Zent le afectan no sólo las resistencias sino también el condensador y la bobina. Es también dependiente de la frecuencia. Se puede de esta forma ver cómo un elemento real depende de la frecuencia. Se le puede llamar R(ω) (parte resistiva de la impedancia). También la parte reactiva es función de la frecuencia X(ω).

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Así a

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y esa misma Zent se puede conseguir con una R

y una C en serie

y un circuito con la misma Zent es:

, un circuito con la misma Zent es:

Dependiendo del signo de la parte imaginaria, una determinada admitancia o impedancia se puede sustituir por un circuito más sencillo, a una determinada pulsación, serie o paralelo de dos elementos: resistencia y condensador o bobina.

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5.7. Redes equivalentes a una pulsación 5.7.1. Introducción A una determinada pulsación cualquier circuito puede ser sustituido por otro circuito que conste sólo de dos elementos: una resistencia, y un condensador o una bobina. Dichos elementos pueden estar asociados en serie o paralelo. A continuación veremos dos casos: trabajando con impedancias o admitancias. Para el primer caso se ha desarrollado una aplicación interactiva que nos permite visualizar un ejemplo. Por último se verán las equivalencias que se dan entre admitancias e impedancias.

5.7.2. Caso A: Impedancia Impedancia •

A.1 es la reactancia de una bobina

de valor

El siguiente circuito es equivalente a Z(jω0) a una pulsación dada:

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•

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A.2 es la reactancia de un condensador de valor

El circuito que se muestra a continuación es equivalente a Z(jω0) a una pulsación dada.

5.7.3. Caso B: Admitancia Admitancia

•

B.1 es la susceptancia de un condensador

La red equivalente a la pulsación de trabajo será:

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•

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B.2 es la susceptancia de una bobina. La red equivalente a Y(jω0) a una pulsación dada será:

5.7.4. Equivalencias entre impedancias y admitancias Si tenemos Z(jω0)= R0 + jX0 e Y(jω0)= G0 + jB0 la relación

obliga a:

igualando parte real e imaginaria:

a una pulsación dada. Conclusión: la conductancia no es el inverso de la resistencia. Viendo las expresiones, si X0 > 0 → B0 < 0 y al revés de forma que A.1 y B.2, ó A2 y B1 son equivalentes. Se usa una u otra según se quiera analizar como admitancias o impedancias.

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5.7.5. Ejemplo 1 Si tenemos que implementar a) Como impedancia:

b) Como admitancia:

Veremos la impedancia de este 2º circuito:

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5.7.6. Ejemplo 2 Si implementamos:

a) Como impedancia:

b) Como admitancia:

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5.8. Análisis por mallas y nodos 5.8.1. Introducción A continuación vamos a ver cómo se realizan el análisis por mallas y por nodos al trabajar en régimen permanente senoidal. El análisis es equivalente al caso de las redes resistivas pero esta vez se va a trabajar con impedancias de rama.

5.8.2. Análisis por mallas Supongamos que tenemos el siguiente circuito

Las ecuaciones que tendremos al analizar por mallas son:

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Donde: • Vi: es la suma de los fasores de las fuentes de voltaje (positivo si es de subida, negativo si es de bajada). • Ii: fasores de corriente. • •

: suma de las impedancias de la malla i. : suma de las impedancias compartidas entre la malla i y la j con signo negativo.

5.8.3. Análisis por nodos Se hace de igual forma que con redes resistivas.

Donde: • Ii: es la suma de los fasores de corriente (positivo si entran, negativo si salen en el nodo i. • Vi: fasores de voltaje del nodo i. • Yii: suma de las admitancias conectadas al nodo i. • Yij: suma de las admitancias compartidas entre los nodos i y j con signo negativo.

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5.9. Transformación de generadores reales 5.9.1. Introducción Según estamos viendo casi cualquier técnica de análisis de redes resistivas puede ser aplicada en el caso de un análisis fasorial de redes RLC. La técnica de transformación de generadores reales es una de las técnicas que utilizaremos también en los análisis en régimen permanente senoidal. A continuación en esta página se realizará una introducción a esta técnica.

5.9.2. Transformación de generadores reales. Tendremos una equivalencia de bornas hacia fuera de los siguientes dos circuitos:

equivale a

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5.9.3. Ejemplo A continuación vamos a poner un ejemplo para ver cómo se pasa de un circuito con una fuente de voltaje al circuito equivalente con una fuente de corriente. Partimos de:

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5.10. Equivalentes de Thevenin y Norton 5.10.1.

Introducción

Cualquier colección de fuentes y de elementos de dos terminales puede reemplazarse, en un par de terminales dados y a una frecuencia determinada, por un circuito equivalente Thevenin y Norton. Los mecanismos son iguales que para las redes resistivas.

5.10.2. • •

Equivalente de Thevenin

Vth: voltaje en circuito abierto en el par de nodos. Zth: impedancia vista en esos nodos.

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5.10.3. • •

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Equivalente de Norton

IN: corriente en cortocircuito entre los dos nodos. YN: admitancia vista entre esos nodos, al anular las fuentes independientes.

5.10.4.

Ejemplo

Ejemplo: Partimos del circuito:

con las unidades en ohmios:

transformando y utilizando mhos:

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asociando:

volvemos a transformar:

Como resultado final en el dominio temporal obtenemos:

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5.11. Superposición de fuentes de distinta ω 5.11.1.

Introducción

En esta página veremos cómo cuando en un circuito existen varias fuentes de diferente frecuencia a la hora de analizarlo hay que usar superposición. Veremos este método y al final habrá un pequeño test para comprobar si se han captado los puntos base de este método.

5.11.2.

Método

Lo que se quiere hacer es calcular la respuesa (ya sea voltaje o corriente) a cada una de las frecuencias. Para calcular esto lo primero que hay que hacer es anular todos los generadores independientes que puedan existir en el circuito y que no funcionen a la frecuencia a la que se está trabajando. Una vez hecho esto la respuesta total del circuito será la suma de las respuestas temporales a cada frecuencia. Una cosa que no se debe hacer es anular los generadores dependientes. Conviene recordar que a la hora de anular generadores independientes: • Los generadores de voltaje pasan a ser cortocircuitos. • Los generadores de corriente se convierten en circuitos abiertos.

5.12. Referencias [1] Huelsman, L.P. Teoría Hispanoamericana, S.A.

de

circuitos.

Segunda

edición.

Prentice-Hall

[2] Edminister, J.A., y Nahvi, M. Circuitos eléctricos. Tercera edición. Mc Graw-Hill. [3] Nilsson, J.W.. Circuitos eléctricos. Cuarta edición. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina 1995.

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TEMA 6: RÉGIMEN TRANSITORIO

6.1. Índice del tema 6.1.

Índice del tema .......................................................................................................... 1

6.2.

Introducción .............................................................................................................. 2

6.3.

Circuitos de primer orden ....................................................................................... 2

6.3.1. 6.3.1.1. 6.3.1.2.

6.3.2. 6.3.2.1. 6.3.2.2.

6.3.3. 6.3.4. 6.3.4.1. 6.3.4.2.

6.4.

Problema................................................................................................................................ 2 Parámetros de la solución ..................................................................................................... 7

Excitación por medio de fuentes: ....................................................................... 9 Problema................................................................................................................................ 9 Solución ................................................................................................................................. 9

Excitación por condiciones iniciales y fuentes:................................................ 12 Cálculo de los valores iniciales y finales del circuito:...................................... 12 Problema.............................................................................................................................. 13 Solución ............................................................................................................................... 13

Circuitos de segundo orden ................................................................................... 25

6.4.1. 6.4.1.1.

6.4.2. 6.4.2.1. 6.4.2.2. 6.4.2.3.

6.4.3. 6.4.3.1. 6.4.3.2.

6.4.4. 6.4.4.1. 6.4.4.2.

6.4.5. 6.4.5.1.

6.4.6. 6.4.6.1. 6.4.6.2. 6.4.6.3.

6.5.

Excitación por condiciones iniciales: ................................................................. 2

Solución homogénea para los circuitos de primer orden: ................................ 25 Parámetros de la ecuación diferencial ................................................................................ 33

Circuitos de segundo orden con dos variables independientes: ....................... 35 Problema.............................................................................................................................. 35 Solución ............................................................................................................................... 35 Propiedad ............................................................................................................................ 37

Circuitos con más de dos variables independientes: ........................................ 38 Problema.............................................................................................................................. 38 Solución ............................................................................................................................... 38

Cálculo de las condiciones iniciales ................................................................. 41 Problema.............................................................................................................................. 41 Solución ............................................................................................................................... 42

Excitación por condiciones iniciales y fuentes:................................................ 46 Cálculo de las ecuaciones diferenciales .............................................................................. 47

Problemas ......................................................................................................... 52 Problema 1........................................................................................................................... 52 Problema 2........................................................................................................................... 62 Problema 3........................................................................................................................... 68

Referencias .............................................................................................................. 71

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Tema 6: Régimen Transitorio

6.2. Introducción Los circuitos de primer orden contendrán sólo un elemento capaz de almacenar energía (o varios que pueden reducirse a uno solo). Pueden tener cualquier número del resto de dipolos. Sus variables varían cumpliendo ecuaciones diferenciales de primer grado. Los circuitos de segundo orden se caracterizan porque sus variables están gobernadas por ecuaciones diferenciales de segundo orden. Físicamente estos circuitos poseen dos elementos reactivos (capaces de almacenar energía) y cualquier número de resistores, fuentes dependientes e independientes. Los circuitos pueden estar formados por una bobina y un condensador, dos condensadores o dos bobinas no reducibles a un sólo dipolo equivalente. Estudiaremos la evolución temporal de las corrientes y los voltajes resolviendo las ecuaciones diferenciales.

6.3. Circuitos de primer orden 6.3.1. Excitación por condiciones iniciales: Normalmente estas condiciones iniciales suelen ser voltajes en los condensadores o corrientes en las bobinas en el instante t=0 . Esto se debe a la continuidad de estas variables en el tiempo, generalmente. La excitación por condiciones iniciales produce lo que se denomina ''la respuesta de la red a entrada cero''. Se le conoce por este nombre porque la entrada se refiere a las fuentes. En el siguiente ejemplo se muestra el método a seguir para resolver estos circuitos.

6.3.1.1.

Problema

En el circuito de la Figura 1.1 el interruptor s1 está conectado desde hace mucho tiempo y en t=0 se desconecta. Al mismo tiempo el interruptor s2 se cierra. Calcule el voltaje en bornas del condensador.

FIGURA 6.1.- Circuitos en su situación inicial

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Solución Análisis general: Los problemas con interruptores se deben estudiar en varios intervalos por separado. En este caso los intervalos son: t0. El circuito sólo tiene un condensador y no posee fuentes para t>0, por lo que la respuesta será de primer orden y la excitación por valores iniciales. Búsqueda de las condiciones iniciales. Para determinar las condiciones iniciales debemos estudiar el circuito en el intervalo de tiempo t 2). Se deberá solucionar un problema de valor inicial en cada instante de conmutación para calcular las condiciones iniciales de la incógnita. Como v2 está definida en parte en una resistencia no podremos aplicar directamente continuidad. Como se ha dicho con anterioridad a partir de una de las variables del circuito

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se puede calcular el resto para un instante determinado. En este caso, se deberá calcular a partir del voltaje en el condensador, que es continuo.

Primer intervalo -1 < t < 0 El circuito ha alcanzado el régimen permanente luego el problema que debemos resolver es de valores finales. Como los generadores de tensión son constantes se deben sustituir los condensadores por circuitos abiertos y las bobinas por cortocircuitos. Con estas consideraciones el circuito en este intervalo es el representado en la Figura 6.7.

FIGURA 6.7.- Circuito con el conmutador en la posición 1 en régimen permanente de continua.

Se puede observar claramente que i(t)=0 porque el circuito se encuentra en circuito abierto. Si la corriente es cero, no cae tensión en ningún dipolo y

(33)

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Segundo intervalo 0 < t < 2 El circuito resultado de que el interruptor conmute a la posición 2 se muestra en la Figura 6.8

FIGURA 6.8.- Circuito con el interruptor en la posición 2. Este circuito entra dentro de los problemas descritos en el Apartado 6.3.3 de este capítulo. La potencia que le será entregada procederá de fuentes y condiciones iniciales.

Condiciones iniciales El voltaje en el condensador es continuo luego: (34) Para conocer el voltaje que cae en la resistencia debemos plantear un análisis de valores iniciales del circuito para el instante t=0. El condensador se sustituye por una fuente de voltaje de valor vc(0+) y como resultado se obtiene la figura 6.9.

FIGURA 6.9.- Circuito en t=0+.

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Primero calculamos la corriente que circula por la malla

(35) La condición inicial para el voltaje total será:

(36)

Las ecuaciones diferenciales Como se ha comentado todas las variables del circuito tienen el mismo comportamiento exponencial. Se calculará la que mejor nos convenga y a partir de ella, todas las demás. En este caso tres parecen las variables más importantes: el voltaje en el condensador, la corriente de malla y el voltaje v2(t). A modo de ejemplo las resolveremos todas.

Primer método: Intensidad de malla La corriente i(t) circula por las tres resistencias en serie del circuito. Por lo tanto también será la que atraviese su equivalente serie de 4 Ohmios. Si aplicamos la LVK al circuito resultante se obtiene que: (37)

Expresamos los voltajes en función de las intensidades: (38)

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Para hallar la ecuación diferencial de primer orden derivamos todos los términos respecto del tiempo.

(39) La solución de la Ecuación 6.39 está gobernada por la ecuación característica del circuito que es general y no sólo es aplicable a la intensidad. (40) El valor de i(t) será por tanto

(41) donde la constate K la calculamos mediante valores iniciales: (42) La solución final será:

(43)

Voltaje en el condensador Si continuamos el problema a partir del cálculo de la intensidad debemos relacionar corrientes y voltajes en el condensador.

(44) La constante se puede calcular como un problema de valor final o de condiciones iniciales. Si elegimos ese último camino obtendremos que: (45)

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El resultado es que el voltaje en el condensador es:

(46)

Voltaje v2(t) Para calcular v2(t) a partir de vc(t) e i(t) sólo debemos sumar las contribuciones del voltaje en la resistencia y en el condensador.

(47)

Segundo método: El voltaje en el condensador Si elegimos a éste como primera variable en el circuito debemos sustituir el circuito que se ve desde sus bornas por su equivalente de Norton. La resistencia de Norton será el equivalente serie de las tres resistencias (4 Ohmios ). La corriente de Norton será:

(48) El circuito resultante se muestra en la Figura 6.10.

FIGURA 6.10.- Equivalente de Norton en bornas del condensador.

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Aplicando LCK se obtiene: (49) donde si expresamos las corrientes en función de vc(t) obtenemos:

(48) La ecuación característica será la misma que la de la corriente y la solución homogénea será:

(48) La solución particular la obtenemos analizando en régimen permanente

(52) y la constante de la solución homogénea se calcula a partir de las condiciones iniciales: (53) La solución es:

(54) El resultado lógicamente es el mismo que el anterior (Ecuación 6.46). A partir de aquí relacionaríamos la corriente con el voltaje en el condensador a través de

(55)

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El resultado obtenido será el reflejado en la Ecuación 6.43. Para hallar la incógnita v2(t) emplearíamos la Ecuación 6.47

Tercer método. La incógnita v2(t) Si deseamos resolver directamente v2(t) deberemos encontrar su ecuación diferencial. Para conseguirlo tenemos que calcular v2(t) por dos caminos distintos. Si nos movemos por la derecha desde la borna posistiva hacia la negativa llegamos a:

(56) Si se deriva la expresión se obtiene:

(57) Por el camino izquierdo de la malla se puede obtener que:

(58) Si despejamos i(t) resulta:

(59) Ya hemos conseguido expresar i(t) en función del voltaje. Para eliminar completamente la intensidad de la Ecuación 6.57 debemos conocer la derivada de la corriente en función del voltaje. Derivando la Ecuación 6.59 se obtiene:

(60)

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Sustituimos las Ecuaciones 6.59 y 6.60 en la Ecuación 6.57 y el resultado es:

(61) Agrupando términos la ecuación se simplifica a:

(62) La ecuación diferencial final es el resultado de multiplicar la anterior por 13/16 para normalizarla.

(63) La solución homogénea será:

(64) Analizando en régimen permanente ( C en circuito abierto) la solución particular es: (65) La constante se calcula por medio de las condiciones iniciales: (66) luego K=8,125. Todo lo obtenido concuerda con lo obtenido anteriormente (Ecuación 6.47).

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Tercer intervalo t > 2 El circuito que se debe analizar se representa en la Figura 6.11

. FIGURA 6.11.- Circuito correspondiente al tercer intervalo (t>2).

Problema de valores iniciales El voltaje en el condensador se mantiene, luego particularizando la ecuación 6.54 pata t=2 se obtiene:

(67)

A partir de aquí se pueden encontrar el resto de los valores que deseamos resolviendo el circuito de la Figura 6.12.

FIGURA 6.12.- Circuito para el instante de tiempo t = 2+.

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La corriente será:

(68)

Por tanto

resulta

(69)

Solución temporal El problema es el mismo que en el anterior intervalo. De hecho se puede resolver por cualquiera de los caminos que se recorrieron anteriormente.Para explicar completamente este tipo de problemas en el anterior apartado se resolvieron todos los casos partiendo de las ecuaciones diferenciales. Existen, sin embargo, más caminos, uno de los cuales se seguirá para resolver este intervalo. Partimos de que la solución homogénea de un circuito no depende de las fuentes. Por lo tanto se puede hallar anulando éstas. La ecuación característica es la misma para todas las variables del circuito por lo que la hallaremos para la variable que deseemos. Si elegimos el voltaje del condensador, el circuito se reduce al paralelo de una resistencia y un condensador, como se muestra en la figura 6.13.

FIGURA 6.13.- Equivalente de Norton del circuito de la Figura 6.11 en bornas del condensador donde se han anulado las fuentes independientes. Como el instante de conmutación no es t=0 realizamos el cambio de variable t´=t-2. Aplicando la LCK y sustituyendo las intensidades por voltajes se obtiene:

(70)

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La ecuación característica es:

(71) Esta ecuación sabemos que es válida para cualquier variable del circuito. Entonces la aplicamos a la variable que deseamos conocer, v2(t´). La solución homogénea será: (72) La solución particular sólo depende de las fuentes. En este caso la fuente es constante por lo que se podrá calcular analizado en régimen permanente de continua. La corrientes para tiempos cercanos al infinito es cero porque hay un circuito abierto. El problema es el mismo que solucionamos para t0): para que suceda esta condición se cumple que:

(86) Las dos soluciones de la ecuación característica s1 y s2 son reales y negativas. La solución homogénea estará formada por dos exponenciales reales negativas de la siguiente forma: (87) donde las constantes K1 y K2 se determinan, como siempre, en función de las condiciones iniciales. Para conocer K1 y K2 se necesitan dos condiciones iniciales que normalmente serán . Estas condiciones habrá que obtenerlas del circuito. En el caso de las se puede obtener por continuidad de la corriente o del flujo magnético en la corrientes bobina. La derivada la obtenemos de la relación entre el voltaje y la corriente en una bobina.

(88) Particularizamos la ecuación 88 para el instante de conmutación. La derivada de la corriente que se necesita para las condiciones iniciales se obtiene dividiendo el voltaje por L. El voltaje en la bobina o cualquier otra variable se puede calcular como un problema de condiciones iniciales, conocido el voltaje en el condensador y la corriente en la bobina. Si estuviéramos tratando con voltajes, la derivada del voltaje en t0 la obtenemos a partir de la corriente en el condensador.

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Aplicando esas dos condiciones iniciales y suponiendo que el instante de conmutación es t=0 obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones de las que podemos despejar K1 y K2. (89)

(90) A este tipo de circuitos se les denominan sobreamortiguados. Según avanza el tiempo la intensidad y el voltaje disminuirán con una forma de exponencial negativa porque la energía inicialmente almacenada en los elementos reactivos (condiciones iniciales) se disipa en las resistencias. La evolución de la corriente con el tiempo para circuitos con un comportamiento sobreamortiguado se muestra, de forma aproximada en la Figura 6.16.

Figura 6.16.- Evolución aproximada de la corriente en un circuito con un comportamiento sobreamortiguado. Discriminante nulo (D=0): en el circuito del ejemplo se cumple que:

(91) La solución de la ecuación característica es una única raíz doble, real y negativa. Siguiendo con el método que hemos desarrollado hasta ahora la corriente se puede expresar como: (92)

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sin embargo, un circuito de segundo orden impone dos condiciones iniciales, una por cada elemento reactivo. La Ecuación 6.92 no puede cumplir ambas condiciones iniciales con una sola constante. Deberemos encontrar una segunda solución que nos proporcione la segunda constante. La solución que buscamos será similar a la exponencial, concretamente probaremos con: (93) Introducimos esta solución en 6.78, operamos y tras unos pocos pasos se obtiene la siguiente condición sobre y(t) para que sea solución 6.93:

(85) Cualquier función del tipo 6.93 que cumple la condición 6.94 será solución de 6.78. Elegimos la función (95) porque es la función más sencilla que cumple la condición 6.94. Con esta segunda solución podemos expresar la corriente como (96) donde K1 y K2 son dos constantes arbitrarias que se calculan resolviendo el sistema que plantean las condiciones iniciales. (97)

(98) Los circuitos con este tipo de solución homogénea se dice que están críticamente amortiguados. La evolución temporal de la respuesta en estos circuitos se muestra en la Figura 6.17.

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Figura 6.17.- Representación cualitativa de la corriente que atraviesa un circuito críticamente amortiguado. Discriminante negativo D1 o R>Rcr; el comportamiento es sobreamortiguado. 3. xi