Teoría de Buckley Leverett. Water Tonguing. Viscous Fingering.
Richard Ponce Delgado
[email protected] Prof: MSc. Ing. Gabriela Delgado
FICT-ESPOL
Contenido INTRODUCCION. ............................................................................................................................ 2 Teoría de Buckley-Leverett. .......................................................................................................... 2 Ecuación de Buckley-Leverett. .................................................................................................. 2 Solución de la Ecuación de Buckley-Leverett. ........................................................................... 3 Water Tonguing & Viscouos Fingering. ......................................................................................... 5 Bibliografía .................................................................................................................................... 6
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INTRODUCCION. Las matemáticas, sin duda han sido de gran utilidad para poder sintetizar un proceso mediante un modelo. Es así que los procesos de desplazamiento que ocurren entre fluidos inmiscibles, se los pueden modelar matemáticamente bajo el concepto de permeabilidades relativas junto con la idea del pistón con fugas. Esto sustenta que si hay un desplazamiento tipo pistón (imaginario) se deja atrás del frente creado, una cantidad considerable de petróleo. BuckleyLeverett desarrollaron el modelamiento matemático para tal proceso. En el presente trabajo se presentará con detalle la teoría junto con la obtención de la ecuación de avance frontal y su solución. Además se analizaran los conceptos de Water tonguing y Viscouos fingering.
Teoría de Buckley-Leverett. Consiste en una aproximación para modelar el flujo bifásico de fluidos el mismo que se formula, en términos del fluido de la fase mojante, mientras que la dinámica de la otra fase no es del todo despreciada. El modelo matemático sobre el cual se desarrolla esta teoría, está constituido por un elemento lineal de formación, del que por medio de un balance de materia del flujo que entra y que sale en él, se desarrolla una ecuación para flujo de dos fases. El mecanismo de desplazamiento implica la formación de un frente de agua tras el cual se establece un gradiente de saturación de petróleo; mismo que decrece hasta el valor de saturación residual en el frente que entra el fluido desplazante. (Tomás J. Abreu M., Francisco Muñoz A., José R. Silva, 1989) Esta teoría consta de las siguientes hipótesis físicas: 1) Se asume flujo lineal y unidimensional, sin embargo puede ser fácilmente modificado a uno radial. 2) Se asume una formación Homogénea. 3) El desplazamiento debe ser del tipo Pistón con Fugas. 4) Los fluidos son inmiscibles, por lo tanto hay que considerar presión capilar pero el gradiente de presión capilar es depreciable en la dirección del flujo. 5) Hay una restricción de existencia de solo dos fluidos circulando al mismo tiempo por un determinado punto, por lo que es imperioso adjuntar los conceptos de permeabilidades relativas a dos fases. 6) No debe existir gas libre, es decir que la presión de desplazamiento está por encima del punto de burbuja. 7) El frente de inyección y el área perpendicular al flujo se consideran constantes. 8) El flujo debe ser continuo. 9) Para que existan condiciones de equilibrio, la temperatura y presión deben permanecer constantes.
Ecuación de Buckley-Leverett. Es necesario definir primero el flujo fraccional de agua, ya que es soporte para la ecuación de Buckley-Leverett; en otras palabras: representar a la fase mojante en términos de fracciones de cada fase que constituye al flujo.
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𝑓𝑤 = 𝑞
𝑞𝑤
𝑜 +𝑞𝑤
Ec.1
Al considerarse a los fluidos como incompresibles, el caudal total resulta como la suma de los caudales de petróleo y agua. Este tácitamente conforma al caudal inyectado:
𝑞𝐵 = 𝑞𝑜 + 𝑞𝑤 = 𝑞𝑖𝑛 Ec.2
Ec.3
El desarrollo de la ecuación de Buckley-Leverett comienza con el enunciado de la conservación de la masa para el fluido de fase mojante, en la columna horizontal (ver fig1.-) el balance macro-escala de masa en cualquier punto a lo largo del eje longitudinal es:
Fig1.- Flujo en un cuerpo poroso homogéneo. Ec.4
𝜀, 𝜌𝑤 𝑦 𝑞𝐵 , Se consideran como constantes, dividimos la expresión anterior para 𝑞𝐵 , y la ecuación se transforma en: Ec.5
Como 𝑓 𝑤 es función de 𝑠 𝑤 usamos la regla de la cadena para las derivadas, obteniendo la ecuación de Buckley-Leverett: Ec.6
Solución de la Ecuación de Buckley-Leverett. Se ha notado que se puede analizar el movimiento del frente de saturación dentro de un cuerpo poroso homogéneo, de diferentes maneras. Por ejemplo, si quisiéramos analizar una posición en particular en donde no cambie el valor de saturación, entonces estamos especificando un interés en: Ec.7
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De donde dx/dt conforma la velocidad del movimiento del valor de la saturación de interés. Ahora, comparando esta última expresión con la de Buckley-Leverett, nos indicaría que podemos alcanzar esta situación si consideramos el valor de la saturación como: Ec.8
Para un valor predeterminado de 𝑠 𝑤 , el lado derecho de la ecuación es constante. Un ejemplo es la curva 𝑑𝑓 𝑤 /𝑑𝑠 𝑤 presentada en la Fig2.-.
Fig2.-Curva del flujo fraccional y su derivada. Si integramos la ecuación previa (Ec.8) obtenemos: Ec.9
El valor de 𝑠 𝑤 que está en la localizado en 𝑥𝑜 en el tiempo 𝑡𝑜 , serán luego trasladados a la posición 𝑥𝑡 en el tiempo 𝑡𝑓 . A través de esta forma funcional la Ec.9 se puede evaluarla y obtener la distribución de saturaciones de acuerdo a la Fig.-3 en la que se muestra, que para todas las locaciones; son calculados dos valores diferentes de 𝑠 𝑤 . (George F. Pinder, William G. Gray, 2008)
Fig3.-Perfil de Saturación de agua.
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Water Tonguing & Viscouos Fingering. El Viscous fingering (digitación viscosa), es una condición en la cual la interface entre fluidos inmiscibles como agua-petróleo; se desvía de la sección del reservorio en la cual se mueve creando una desigualdad o perfil irregular de ‘dedos’ debido a la diferencia de viscosidad. De la misma manera, también se crea una desigualdad en el frente de desplazamiento en forma de perfil de lengüeta (tongued) causado por el fluido desplazante como el agua, que se desplaza más rápido en zonas de alta permeabilidad que en otras regiones del yacimiento. Estos dos fenómenos son muy comunes en yacimientos con pozos inyectores de agua. (Chuanfeng Zhao, Xiansong Zhang, 2015) El resultado del Water tonguing y el Viscous Fingering es un barrido ineficiente que puede ignorar o pasar por alto, significantes cantidades de volúmenes recuperables de petróleo. En casos severos se puede inducir a un temprano progreso o ‘Breacktrhough’ de agua, hacia pozos productores adyacentes. A continuación en la figura4.- se puede observar estos dos efectos usando agua teñida como fluido desplazante, en un medio poroso con glicol, simulando la condición inmiscible en el medio poroso del yacimiento en donde se desencadenan los efectos del Water tonguing y Viscous fingering.
Fig4.- Water tonguing(left) & Viscous fingering (right) example.
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Bibliografía Chuanfeng Zhao, Xiansong Zhang. (2015). Resources, Environment and Engineering. London: Taylor & Francis Group. George F. Pinder, William G. Gray. (2008). Essenthials of Multiphase Flow and Transport in Porous Media. New Jersey: John Wiley & Sons. Tomás J. Abreu M., Francisco Muñoz A., José R. Silva. (1989). Apuntes de Recuperación Secundaria. Mexico DF: División de Ingenieria en ciencias de la Tierra. Departamento de Explotación de Petróleo.
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