Teoria Da Vibração Com Aplicações
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Teoria da Vibração com Aplicações....
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TEORIA DA VIBRAÇÃO
com aplicações
Professor
de Engenharia
da Universidade
Mecânicn
da Califórnia,
Santa Bárbara
Cássio Sigaud Engenheiro
Civil
© 1973 by Prentice-Halllnc.
Copyright
Ali rights reserved. Publicado
em inglês com o titulo
Theory of Vibration Prentice
Halllnc.,
with Applications Englewood
New Jersey,
PREFÁCIO
Cliffs,
USA.
,-:,','?,:;'/(:';:'''i::':~;,i,>:,:.',,;:''',.:7''-/Dii:eito$,.Reseryadosem 1978 por Editora
lõte~ciência
Rio de,Janeiro,
Programação
o assunto vibrações tem uma fascinação única. Trata-se de um tema lógico, explicável através de princípios básicos d~ mecânica. Ao contrário do que seobserva com algumas matérias, seus conceitos matemáticos são todos eles ãssociados a fenômenos físicos c;ue podem ser experimentados e medidos. É um assunto que agrada ensinar e debater com os alunos. Desde o 'primeiro texto eleme'ntar, "Mechanical Vibrations", publicado em 1948, o autor tem procurado melliorar suaapresentação, quer acompanhando o progresso tecnológico, quer pelo tirocínio adquirido no ensino e na prática. Neste sentido, no decorrer dos anos, muitos' professores e estudantes contribuíram com sugestões e troca de idéias~
Visual e Capa
Interciência Composição
Ltda.
Brasil
'Arte do Texto
Interciência
CIP·Srasi!. Catalogaç50-na·fonte Sindicato Nacional do. Editores de Livro., RJ.
T396t
Thomson, William T. Teoria da vibração com aplicações/William T. Thomson; Cássio Sigaud. - Rio de Janeiro: Interciéncia, 1978.
Tradução de: Theory 01 vibration Apéndices Bibliografia 1. Processamento Vibração I. T(tulo
eletrônico
de
tradução
de
aplicada
2.
with applications
dado.
-
Mecânica
COO - 620.30183 COU - 620.178.5:
~ proibida
a reprodução
total ou parcial por quaisquer
meios,
sem autorização por escrito da ed'itora
I1I
EDITORA INTERClfNCIA LTOA. Rua Vema r,1agalhjies, 66, Tels.: 281-7495/263-5899 ZC·16 - 20710 - Rio de Janeiro - Brasil
681.3
Este texto novo, reescrito na sua quase totalidade; é mais uma vez um desejo, da parte do autor, no propósito de uma apresentação mais clara, com técnicas modero nas que são hoje rotina. Nos cinco capítulos iniciais, que tratam dos sistemas de um e dos de dois graus de liberdade, foi mantida a sin1plicidade do texto anterior, confiantemente melliorado. Tendo em vista o ,uso corrente do computador digital, sua aplicação no campo das vibrações é encorajada com alguns exemplos simples. Apesar da versatilidade do computador digital, o computador analógico ainda é um instrumento útil e, em muitos casos, plenamente justificado. Os primeiros cinco capítulos, que abordam os sistemas de dois graus de liberdade de um ponto de vista simples e físico, fom1am o fundamento para a compreensão do que é básico em vibrações e podem ser lecionados num curso inici~l, em período de três meses a um semestre. No Capítulo 6 há uma generalização dos conceitos dos sistemas de dois graus de liberdade para os de muitos graus. A ênfase neste capítulo 'é a teoria e a extensão para os sistemas de muitos graus de liberdade é apresentada elegantemente, com o auxI1io da álgebra matricial. O emprego das matrizes esclarece toda a base para o desacoplamento das coordenadas. São introduzidas algumas idéias fora do comum de modos normais na_vibração forçada e o método espaço-estado, utilizado correntemente em teoria de controle.
Há muitas abordagens analíticas para o estudo da vibração de estruturas com· plexas de muitos graus de liberdade. O Capítulo 7 apresenta alguns dos mais úteis métodos e, embora os sistemas de muitos graus de liberdade, na sua maioria, sejam resolvidos atualmente no computador digital, necessita-se ainda conhecer, não só como formular tais problemas para a computação eficiente, como algumas das apro'ximações que se podem fazer para checar os cálculos. Todos os problemas aqui podem ser programados para o computador, sendo entretanto necessário que se entenda a teoria básica das computações. Como exemplo, é apresentada a compu· tação digital de um problema do tipo Holzer.
íNDICE
O Capítulo 8 refere-se aos sistemas contínuos ou àqueles problemas associados a equações diferenciais parciais. Uma apreciação de problemas de vigas pelas diferenças frnitas oferece uma oportunidade de resolvê-Ios no computador digital. As equações de Lagrange, objeto do Capítulo 9, reforçam o entendimento dos sistemas dinárnicos apresentados anteriormente e alargam a visão para outros desen· volvimentos. Por exemplo, os conceitos importantes do método da sorna de modos é urna conseqüência natural das coordenadas generalizadas Lagrangianas. O sentido das equações restritivas como condições de contorno físico para a síntese modal é entendido logicamente outra vez, por meio da teoria de Lagrange. O Capítulo 10 trata dos sistemas dinâmicos excitados por forças aleatórias ou deslocamentos. Tais problemas devem ser examinados sob um ponto 'de vista estatístico e, em muitos casos, a densidade da probabilidade da excitação àleatória é distribuída normalmente. O ponto de vista adotado aqui é o de que, apresentado um registro àleat6rio, determina-se facilmente uma autocorrelação que permite o cálculo da densidade espectral e da resposta quadrática média. O computador digital é essenciàl novamente para o trabalho númerico. No Capítulo 11, dá·;eênfase ~ introdução do método do plano de fase no tratamento dos sistemas não-lineares. Quando as não-linearidades são pequenas, os 'métodos de perturbação ou iteração proporcionam uma abordagem analítica. Resul· tados de computações a máquina para um sistema não-linear ilustram o que pode ser feito. Os Capítulos 6 a 1I contêm matéria apropriada para um segundo curso sobre vibração, que pode ser dado em nível de graduação.
l.1 1.2 1.3 1.4
1.5 1.6
Introdução Movimento Harmônico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Análise Harmônica Função Transiente de Tempo. . . . . . . . . . . . . . . . Função Aleatória de Tempo ... '.' . . .. . . . . . . . Propriedades do Movimento Oscilatório. . . . . . . . .
. . . . . . . . .. , . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . ..
2 5 7 8 9
VIBRAÇÃO LIVRE 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Métodos de Sonia de Forças Método de Energia Massa Efetiva Vibração Livre Amortecida Decremento Logarítmico Amortecimento de Coulomb Rigidez e Flexibilidade
1.5 18 20 23 28 32 33
, .. '
','
MOVIMENTO EXCITADO HARMONICAMENTE 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11
Introdução ' Vibração Ham1ônica Forçada : Desbalanceamento Rotativo "Whirling" de Eixos Rotativos Movimento de Suporte Instrumentos Medidores de Vibração Isolamento de Vibração .. , ~ Amortecimento ....•............................. Amortecimento Viscoso Equivalente .......•............ Amortecimento Estrutural Agudeza de Ressonância
47 47 51 57 59 -
61 64 67 71
72 74
Introdução " 83 Excitação de Impulso " 83 Excitação Arbitrária : . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85 Formulação da Transtóf1!ladade Laplace. . . . . . . . . . . . . . .. 91 Espectro de Resposta: '.'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96 o Computador Analógico 101 Diferenças Finitas em Computação Digital " 111 A Computação Runge-Kutta ' 119
SISTEMAS
SISTEMAS DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE
)
)
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9
7.7 Cálculo de Modos Mais Altos 7.8 'Matrizes de Transferência - (Problemas tipo BaIzer) 7.9 Sistema Torcioúal : .' ' 7.1 O Sistema Engrenado 7.11 Sistemas Bifl1rcados 7.12 Vigas .'.~' 7.13 Estruturas Repetidas e Matriz deTransferência •........... 7.14 Equação de Diferença ; ;
Introdução , Vibração de Modo Normal Acoplamento de Coordenadas ~ .. ' Vibração Harmônica Forçada Absorvedor de Vibração : Pêndulo Centrífugo Absorvedor de Vibração O Amortecedor de Vibração .. ' Efeito Giroscópico sob~e Eixos R~iativos Computação Digital
,
129 129 136 139 142 144 146 151 153
~
'
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9
217 221 223 232 233 236 244 247
CONTlNUOS
Introdução '.. ' A Corda Vibratória Vibração Longitudinal de Barras ' Vibração Torcíonal de Barras A Equação de Euler para a Vig;l. . Efeito de Inércia Rotativa Dcformil\,ão de Cisalhamento Vibração de Membranas ' Computação Digital Solução Transientc pelas Transformadas de Lap1ace
265 266 269 271 274 278 279 281 289
)
)6 )
SISTEMAS DE MUITOS 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10
GRAUS DE LIBERDADE
Introdução Matrizes de Flexibilidade e de Rigidez Teorema de Reciprocidade Autovalores e Autovetores " , Propriedades Ortogonals dos Autovetores Raízes Repetidas A Matriz Modal P , : '; Vibração Forçàda CDesacoplamentode Coordenadas Modos Normais Forçados de Sistemas Amortecidos Método Espaço Estado: '
SISTEMAS DE PARÃMETIWS ,\
7.1 7.2 7.3 7.4 ,7.5 7.6
.
o.
'. :
169 169 173 173 177 178 180 182 183 188
EQUAÇÃO 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10
DE LAGRANGE
Intradução " ' Coordenadas Generalizadas , Princípio do Trabalho Virtual .............•... , Desenvolvimento da Equação de Lagrange Massa e Rigidez Generalizadas Método de Soma de Modos Ortogonalidade da Viga, Incluindo Inércia Rotaviva e DeformaçãoporCisalhamento Modos Normais de Estrutura Vinculadas Método Aceleração-Modo Síntese Modal
299 299 300 303 307 309 313 315 320 322
CONCENTRADOS
Introdução ...• ; : Equação Característica Método dos Coeficientes de Inf1uência Princípio de Raylelgh , Fórmula de Dunkerley Método de Iteração Matricial Ó
••••••••••••••••••••
'
199 199 200 203 212 215
VIBRA çÃO ALEA TÓRIA 10.1 10.2 10.3 10.4
Introdução A Função da Resposta da Freqüência Densidade Espectral. Distribuição da Probabilidade
333 335 '-.337 344
10.5
Correlação
10.6
Transformada
10.7
Resposta
)
353 de Fourier
de Estruturas
357
Contínuas
à Excitação
Aleatória
,
)
!
)
362
)
VIBRAÇOES NÃO-LINEARES 11.1
Introdução
371
11.2
O Plano de Fase
372
11.3
Sistemas Conservativos
374
liA
Estabilidade
I 1.5
Método
11.6
O Métódo
de Equilíbrio
........•.................
Método de Lienard Método das Restas Inclinadas.
11.9
O Método
','
11.13
O Método
do Computador
Não-lineares Runge-Kutta
. .. ,
:
O Método de Iteração Oscilações Auto-Excitadas
)
384· . . . . . . . . . . . ..
de Perturbação
Circuitos
)
381
11.8
11.12
)
MOVIMEf.JTO OSCILA TÓRIO
379
Delta
11.11
)
376
das Isóclinas
11.7
lU
)
)
390 ,
I
394 ,
Analógico
386
)
399
)
40 I
)
para Sistemas 402
) ) O estudo
da vibração
diz respeito
que Ihes são associadas. de vibração.
Deste modo,
grau de vibração
aos movimentos
oscilatórios
Todos os corpos dotados
a maior parte das máquinas
e o seu projeto
de corpos
de massa e elasticidade
requer geralmente
e estruturas
)
e às forças são capazes
)
está sujeita a certo
)
o exame do seu comportamento
oscilatório.
)
Os sistemas
lineares
oscilatórios
ou não-lineares.
Para
e estão bem desenvolvidos Ao contrário, análise
dos
destes
são bem sistemas
sistema~,
podem
os primeiros
os métodos menos
não-lineares.
quanda
da ação de qualquer
um sistema
da amplitude
estabelecido
Denomina-se Quando
de superposição
) )
o estado
os métodos
algum
força externa. pela distribuição quando
é oscilatória,
para
final para o qual tendem
de oscilação.
I
)
)
a livre e a forçada. No caso
)
conhecimento
A vibração livre
oscila sob a ação Qe forças que lhe são inerentes
l'ibração forçada
a excitação
aplicação
como
para o seu estudo.
o princípio disponíveis
é proveitoso
vibrar com uma ou mais das suas freqüências
sistema dinâmico
ternas.
Entretanto,
duas classes gerais de vibrações,
ausência
geral, caracterizados
e de difícil
uma vez que eles representam
acontece· poderá
prevalece
matemáticos
conhecidos
todos os sistemas, com o aumento Existem
ser, de um modo
e na
de vibração livre o sistema
)
)
naturais; que são peculiares ao )
de sua massa e rigidez. ela ocorre sob a excitação
o sistema é obrigado
de forças ex-
a vibrar na freqüência
) ) ) )
) '-~,; -t// stas /7 condições,
.
a freqüência natural de um sistema de um grau de liberdade é . . ' " . " //' defimda UnIcamente pela deflexão estatlca A. A Flg, (2.1-2) apresenta um grafico logarítmico da Eq. (2.1-9). Embora são aplica.se não
e concluímos,
natural
estática
g = 386 pOI/S1 e l:1 em polegadas,
_ J li: fn - 27t '1/
"J~2)[~ ts'L\ A..A
da freqüência
'")2-
como d referência festático t 't' I k para
"'-
a expressão
os sistemas
osci!atóríos
possam
diferir na aparência,
a todos os sistemas de um grau de liberdade,
amortecida.
Em alguns
casos a oscilação
submetidos
é rotaÚva,
como
a presente
discus·
à vibração livre no pêndulo
rota-
0,05 0,10
·0,50 Dcl1exâo
A e B são duas constantes
as condições
necessárias.
Essas constantes
iniciais x(O) e x(O) e a Eq. (2.1-5) é simplificada
são calculadas
W.
w.1
. + x(O) cos .
Wn1
. 1,0
A"
para
para donal,
x(O)
x = -~ sen
rotativa
em cujo caso a segunda
lei de Newton
é substituída
~
••• • .-
A
tem a seguinte
solução geral
onde
.-•••• .-•••• -------•• •• i
pela sua correspondente
• -_.-•
~
·.• 'l
Exemplo
)
•• ,>
)
•
..
> )
,
>
••.-
·• )
••
• •• •• •• •• r-
Detenninar onde M é o momento, lar, tudo referido
J o momento
a um mesmo
de inércia da massa, e (j a aceleração
eixo inercial
fIxo de rotação.
A equação
i ~
i
fi
t
a ) J
natural
do pêndulo
torcional
indicado
na Fig. 2.2-1.
acima é
o total
é constante,
de energia em um sistema' conservativo
movimento vibraçãp
é estabelecida
pelo prinéípio
livre de um sistema
, energia cinética energia potencial 'trabalho
realizado
T
é
de conservação
não amortecido
conservada
sob a forma
A energia
e parte potencial.
da sua velocidade,
de esforço
num campo de força como a gravidade.
total, sua taxa de variação é zero, conforme
diferencial
de energia.
é parte cinétiea
na massa em razão
U é conservada
e a equação
se depreende
, dt (T Se o no~so interesse determinada
Podemos
que o movimento
o = Os máximos
das energias cinética,e
(2.2-1)
natural
Igualando
as duas. energias,
de acordo
Exemplo
:-=
lJe~ax= iJw; A2
Umu
=
iKe~u
representam
duas instâncias
de tempo.
U1
=
O como referência
ao máximo resultando
deslocamento
para a energia potencial. da massa.
Nesta
Admitimos
de equilibrio
posição,
=
que é
iKA'
à expressão
da sua freqüência
2.2-2
w e raio r rola sem deslizar sobre uma superfície
de peso
de movimento 2
natural,
são
T ma:-.
indica a Fig. 2.2-2.
para oscilações
Por não haver deslizamento e
pela
A sen wllt
potencial
chegamos
drica de raio R como
.1
e expresso
eom o
da energia, que
tante em que a massa passa pela sua posição
seja harmônico
do sistema, ela pode ser
estabelecer,
Um cilindro
onde
oscilatório
equação
equações
U) = O
considerações.
Suponhamos
a
(2.2-2)
está apenas na freqüência
pelas seguintes
p'~incípio de conservaçào
+
Solução:
a energia
T + U = constan te d
A
elástica ou
Sendo constante das seguintes
na
enquanto
na deformação
Figura 2.2-1. Pêndulo rorciollal.
de
I '
a freqüência
angu-
também válida em relação ao eixo do centro de massa que pode estar em movimento,
I
.
2.2-1
que
estático,
1
rrp
seja o ins-
pequenas
=
Determinar
sua equação
em volta do seu ponto
cilín-
diferencial mais baixo .
RO.
e escolhemos
Seja z o tempo correspondente a velocidade,
da massa é zero,
Tz = O. Temos então
se o sistema são os máximos,
está submetido
a um movimento
harmónico,
os valores
e daí
Figura 2.2·2.
Solução: uma
Deve·se
translação
notar,
ao se determinar
e, uma rotação.
é (R - r)Ô, enquanto
a energia
A velocidade
a velocidade
de rotação
cinética
de translação
é (~ -
do cilindro, do centro
li) == (Rir
que há
do cilindro -
1)0, uma 19
vez que ~ agora como T =
l;
=
1. ~(R
[(R - r)8J2
4
g
+ ~ ; ; [( ~ -
1)8]' Exemplo 2.3-1
- r)282
onde (w/g) (/ /2) é o momento de massa.
de inércia do cilindro em relação ao seu centro
Determinar o efeito da massa da mola na freqüência natural do sistema indicado na Fig. 2.3- I.
A energia potencial referida à sua posição mais baixa é dy
ms
que é igual ao negativo do trabalho efetuado pela força da gravidade no levantar o cilindro na distância vertical (R - r) (I - cos O} Substituindo
I: massa do clcmcnto da mola
y
x1":
velocidade do elemento da mola
na Eq. (2.2-2) [~
; (R -
r)2(j
-I- Ir(R -
JÓ"
r)sen {}
0,
e fazendo sen O == O para ângulos p~quenos, obtemos a,conhecida movimento harmônico (j ·i
equação para o
Solução: Com.\: igual à velocidade da massa concentrada m. suporemos que a velocidade de um elemento da mola, localizado à distância y da sua extremidade fixa, varie linearmente com y da forma seguinte
°
_2.L-o ~. 3(R -
r)
e encontramos para a massa efetiva o valor de um terço da massa da mola. Adicionando o valor da massa efetiva ao da massa concentrada, a expressão da 'freqüência natural revista será Até agora admitimos, no cálculo da freqüência natural, a inexistência de massa na mola. Muitas vezes a mola e outros elementos móveis podem representar uma fração ponderável da massa total do sistema, e do seu abandono podem resultar freqüências naturais altas demais. Para obtermos uma estimativa melhor da freqüência natural, podemos computar a energia cinética adicional dos elementos móveis, que não foi considerada anteriormente. Isto, é claro, requer uma suposição quanto ao movimento dos elementos distribuídos. O resultado integrado da energia cinética adicional pode ser, então, expresso em termos da velocidade j; da massa concentrada na forma de 20
Exemplo 2.3-2 Muitas vezes os sistemas oscilatórios são compostos de 'alavílJlcas, engrenagens e outras ligações que complicam aparentemente a análise. Um exemplo típico desses casos está no sistema de vá!vul3 de motor indicado na Fig. 2.3-2. É geralmente van"tajosa a reduç:To de um tal sistema para outro equivalente mais simples.
f-. I
:
.- a O \
Quando
um sistema
linear de um grau de liberdade
derá do tipo de excitação movimento
onde crição
e do amortecimento
balancim
mulação
ms
com momento podem
da equação
de inércia
ser reduzidos
do
é a exeitação e Pd a força de amortecimento. Embora seja difícil a desreal da força de amortecimento, é possível a admissão de modelos ideais de que muitas
vezes resultam
em prognósticos
Dentre
esses modelos,
a força de amortecimento
conduz
ao tratamento
matemático
c é uma constante
por um amortecedor,
o
depen-
a equação
F(l)
A força de amortecimento
com massa
sua resposta
Geralmente
terá a seguinte fórmula
amortecimento,
onde
é excitado,
presente.
satisfatórios
da resposta.
à velocidade,
proporcional"
mais simples. viscoso é expressa pela seguinte
de proporcionalidade.
conforme
viscoso,
indicado
equação
Ela é represelltada
simbolicamente
na Fig. 2.4·J.
J. a válvula eom massa mv e a mola
a uma simples massa em A pela seguinte
for-
da energia cinética
To'
+JÓ'
+ +mJbÓ}' t ;C~')(hÓ)'
~ +(J + m,/)' -+ -}m,b')Ó' Admitindo-se
que a velocidade
em A seja
x
forma em
A sülu\:ão da equação
acima ~em ullas partes.
ferencial
cuja solução
homogênea,
de amortecimento_ Com o tucho reduzido m"a-inteiro está reduzido
a uma molá e uma massa adicional
na extremidade
a uma mola e uma massa apenas,
A. o siste·
como indica a Fig. 2.3-2.
ção sem restrição homogênea,
Com
P(t)
da solução
Se P(t)."
corresponde
c/. O, obtemos homogênea.
que nos dará alguma compreensão
fisicamente a solução
Examinaremos
O, - lemos a equação
di-
àquela 'de vibração livre particular
devido ;\ excita-
inieialmente
do papel do amortecimento.
a equação
Para o valor de c que reduz o radical. a zero temos o caso limite, entre o mo· vimen to
osciJatório
e o não·oscilatório,
e que
definimos
como
amortecimento
critico. É agora oportuno
Feita a substituição
(ms que é satisfeita
na equação
+ cs + k)e"
2
=
diferencial,
Amortecimento
'0 radical
Crítieo.
c + -s J}l
s .7= ._- c -l:.: '.-
O
.1. I
k =O
/1Z
2m -'
J( C)' -
e
e'C':2m)'
é simplesmente
O comportamento
do valor numérico
na equação
dos termos
sob o radical ser positivo,
o termo de amortecimento acima
este caso como Quando
determinadas
os valores da Eq. (2.4·7),
termo
Quando
em termos
do amor·
fração de amortecimento.
S,
de acordo
com
notando
Expressamos
agora as raízes da Eq. (2.4·7)
que
as condições
x (O).
Considerando
declinante.
a serem
amortecimento
m
em termos de A e B são constantes
o valor de qualquer
por meio da fração não-mensurável
k
--
2111
expressar
critico,
que é chamada
primeiro
é zero para o amortecimento
da Eq. (2.4·9)
temos
tecimento
o
e em termos de quan· crítico.
c C"
É conveniente
onde
com o amortecimento
por todos os valores de t quando
s-•
iniciais x(O)
desses três casos em detalhe,
Começamos
crítico onde !i é uma constante.
o exame
tidades' usadas na prática.
são números
temos para (2.4-8) a seguinte expressão
e os três casos de amortecimento
uma função de tempo exponencialmente dentro
do parêntese
depende,
maior, menor·ou
entretanto,
zero ou ncgativo.
A Fig. 2.4-2
é maior que k/m,
(c/2m)2
reais e não há oscilação
poss ível. Referimo-nos
a
superamortecido. o termo
torna-se um número
de amortecimento ±i
imaginário,
e'.i'":'"-'''Z''')''
,= coso
os. teImas
da Eq. (2.4-9)
caso como
subamortecido.
.j k/nz
/5... ,_. (~)21
Y m
dentro
(c/2m)'
,. (c/2m)2 2m
do parêntese
mostra
longo do eixo horizontal.
os expoentes
de modo
que
cimento.
Para
As raÍzes
s,
discutidos
~nteriormente
dependem
agora de
S
ser
S
ao
igual à unidade. a Eq.(2.4-12) Se
S
traçada
as ra ízes no eixo imaginário
0< s <
num plano
= O, a Eq. (2.4-12)
1, a Eq. (2.4-12)
complexo,
fica red'uzida a SI.
correspondem
com
,/wll
= ± í,
ao caso de não-amorte-
é reescrita na'forma
é menor que k/m, o expoente t. Urna vez que
~I= isen
/5... __ (~)2 n
'\ m
são oscilatórios.
2m
t
Denominamos
convergindo este
e s, no ponto
as ra ízcs separam-se do presente
SolO então SI.2/Wn
pontos
complexos
= - 1,0.
ao longo do cixo horizontal
cste diagrama,
estamos
eonjugados
sobre u'm arco circular
S
cresce acnna da unidade.
Á medida
que
e permanccem
aptos a examinar
a solução
números
rcais.
Ten-
dada pela Eq. (2.4-9).
25
Eixo imaginário
, =O
·1,0
,= Movimento
Oscilatório.
Eq. (2.4-12)
na (2.4-8).
x
= =cC
[~
<
1,0 (Caso de subamortecimento
Xe-(""'sen'(~
CO_I
redução da Eq. (2.4-15)
+ r/J)
co.1 -I- C1 cos ~
e-(""'(C, sen~
iniciais.
).] Substituindo
a
A ~= X(O) -1- C( -1- ~)co_x(O) . 2co_--/'> - I
a solução geral torna·se
X. 0.
amortecimento
de ressonância, paradas.
Muitas vezes as forças vibratórias Consegue·se,
entretanto,
nâmico pelo emprego isoladores.
64
a redução
geradas
por máquinas
substancial
de molas projetadas
e motores
dos seus efeitos
adequadamente,
são inevitáveis.
Conforme
desejável
algum
Quando reduz a
embora
de
é idêntica
das forças perturbadoras. da Fig. 3.5.2 Essas curvas
to é desprezível,
r
I
w"
>
..j2,
da vibração é possível somente
na redução
é necessário
amplitude
(.w
a
de força ou de deslocamento.
amortecida,
quando
a grande
o amortccimen
I
de uma massa do
e a ordenada
se vê na Fig. 3.5-2, na região
a outra
sobre um sistema di-
que são denominadas
ao do isolamento
fato de que o isolamento
é superior
IFT/Fo
é menor que a unidade apenas para w/wn
que a transmissilibidade
não· amortecida
que
do isolamento
como transmissiDilidade,
transmissibilidade
modo,o
indica
o problema
de apoio é idêntico
igualmente
estabelecendo,deste
c (3.5.5)
Desta forma,
Cada uma destas razões é definida representada
Fo sen wt é dada pela Eq.(3.2-5),
sob a força
a
(Tr
FoJI I
:'
)
wlwn
> 0,
que W varie através
na ressonância
a equação
uma mola.
da transmissibilidade.
B
da região
possa' ser limitada
por
de' transmissibilidade
se
ficando
entendido
que o valor de w/wn
w:z
mais, substituindo-se tica em polegadas,
a ser usado é sempre· maior
por g/ !:J.", onde g
a Eq. (3.7-3) é expressa
=
386 pol/s2
e !:J."
=
que
0.
deflexão
E
está-
como
das. Para esses casos mais avançados indicamos C. Crede* sobrc isolamcnto da vibração. Exemplo
I
TR
==
em relação
a
f
e convertendo-o
total de 4000 lb/pol, para ciclos por minuto,
obtemos
a se-
guinte equação
188f~ ,,(iR -I- I),
f .... = onde a redução
tem um elemento
188,1~ "(7 ~=~D
rotativo
por molas
Iraballlo
de
com a rigidez
desbalaneeado
uma força perturbadora
de 80 Ib a uma veloeidade
fator de amortecimento
~ = 0,20, determinar
to em face do desbalanceamento, mitida.
do qual resulta
de 3000 rpm. Supondo
(a) sua amplitude
(b) a tr'Jnsmissibilidade,
um
de movimen-
e (c) a força trans-
(3.7.5)
é definida como R = (l - TR). A a Eq. (3.7·5) para f em função de !:J." com R como parâmetro.
percentual
Fig. 3.7·2 apresenta
f=
o excelenle
3.7-1
Uma' m, 0,20 x
.,.1[1
na-
841 cpm.
na Eq. (3.2·7), tem·se a amplitude
Substituindo
15000 10000
é iooooo = 0,05 pol, e sua freqüência
do sistema
de vibração
Wfº.l'
7000
(b)
A transmissibilidade,
conforme
5000
Ê
~ o'" "'" .o ~ ""'"u
~/I 3000
i (2/0,20
(3~0;)t)2j2
n
x
ífffJ'
! (2:..-: 0,20
~: 10 ;< 2.[ - . ~ cos 271t
A curva da histerese é uma elipse no caso do amortecimento linear, quando a perda de energia é proporcional ao quadrado da deformação ou amplitude. O coeficiente de perda para a maior parte dos materiais varia entre O,OOJ e a unidade, depenc!endo da sua natureza e das condições sob as quais são efetu~dos os testes. A curva da histerese não será mais uma elipse quando a perda do amortecimento não for uma função quadrátiea da deformação ou amplitude. Novament~, o coeficiente de perda pode variar entre 0,00 I e aproximadamente 0,2. Exem pio 3.8-1
1.', [
+
Não existe expressão tão simples para outros tipos de amortecimento . .8 possível, entretanto, aproximar-se da amplitude na ressonância, substituindo na equação acima c por um amortecimento equivalente ceq. .
sen cp.cos' w/]
cp)]
O primeiro termo é uma constante, representando o fluxo contínuo de trabalho por unidade de tempo. O segundo termo é uma onda senoidaJ de duas vezes a freqüência que representa o componente variável de potência, cujo valor médio é zero duran te qualquer intervalo de tempo que seja múltiplo do período.
Encontra-se o amortecimento equivalente ceq igualando a energia dissipada pelo amortecimento viscoso com a da força de amortecimento não·viscoso com movimento harmônico suposto. De acordo com a Eq. (3.8-2)
Exemplo 3.8-2 Uma forçaF = 10 sen 71t lb atua sobre um deslocamento de x, = 2 sen(71t - 71/6). Determinar (a) o trabalho efetuado durante os primeiros 6 segundos; (b) o trabalho efetuado durante o primeiro meio segundo. Solução: Reeserevendo a Eq. (3.8-1) como W = f F'X dt e substituindo = Fo sen wt e x = X sen (wt - tjJ), o trabalho efetuado por ciclo torna-se W ,=
F =
oX sen cp
71F
Para a força e o deslocamento dados neste problema, Fo = 10, X = 2, rjJ = 71/6, e o período T = 2 segundos. Assim, nos 6 segundos especificados em (a) decorrem três ciclos completos, e o trabalho efetuado é
O trabalho referido em (b) é obtido pela integração da expressão de trabalho, nos limites de O a 1/2 segundo. 70
Exemplo 3.9-1 Corpos em movimento com velocidade moderada (10 a 50 pés/s) em fluidos, tais como água ou ar, encontram a resistência de uma força de am.ortecimento que é proporcional ao quadrado da velocidade. Determinar o amortecimento equivalente para tais forças atuando sobre um sistema oscilatório e encontrar a sua amplitude ressonante. Solução:
Seja a força de amortecim~nto Fd
expressa pela equação
=
±ax'
onde o sinal negativo deve ser usado quando.x é positivo e vice-versa. Supondo-se o movimento harmônico com o tempo medido a partir da posição de deslocamento negativo extremo
a energia dissipada por ciclo é
Wd
==
2
f:x
ai2dx
J:
= 2aco2 Xl
J
sen
cotd(cut)
viscoso equivalente,
de acordo com a Eq. (3.9-2), é então
Exemplo
W
de histerese substituição
relativa
determinar
a amplitude
oscilató!io
forçado
Seja VI.
ao amortecimento
equivalente
e indicar
Igualando
X elevado
são (3.9-1),
da taxa
de
pelo amortecimenfo
Usando
estrutural
o conceito
tem a seguinte
de amortecimento
expressão
viscoso equivalCnte,
para
total àquela do amor-
Com
a substituição
dc c por ceq, a equação diferencial estrutural é a seguinte
de movimento
para um
sistema com amortecimento
viscoso equivalente Rigidez
c,. =~71COX' que conterão
e independente
por ciclo para cada urna das
a energia dissipada
do amortecimento
a amplitude,
à amplitude
e a forma da curva
Desenvolver o processo
viscoso equivalente
Para determinar
de energia
de vibração,
a vibrar por uma força excitadora
V2, V3• etc. a energia dissipada
o coeficiente
esta classi·
no caso da dissipação
da amplitude
quanto
amortecimento sólique satisfaz
na ressonáncia.
diversas forças de amortecimento.
Encontra-se
dissipada
Q é urna constante. a Eq. (3.9-2) nos dá
a equação
tecimento
a mesma
onde que um sistema
interno
é uma constante,
ao quadrado
permanece
A energia
Fo sen wt está sob a ação de diversas forças de amortecimento.
Solução:
de perda
por ciclo e que esta é pro-
Denomina·se
de c pelo ceq na
== wn
3.9-2
Sabe-se
dissipada
estl1l/llrai ao amortecimento
por ciclo ser proporcional deformação.
pela
da amplitude
O coeficieI1te
371
é determinada
na ressonância com
ao quadrado
~.~-!acoX '.
A amplitude
de vibração.
ficação.
c Eq. (3.9.1),
na energia
porcional
do ou amortecimento
=~aco2Xl O amortecimento
tra de uma larga faixa n.io inOuem
é necessário
obter expressões
a várias potências.
complexa.
dades de vibração para
VI,
U2• 'V3,
etc.,
c por ceq na expres-
Substituindo-se
conceito
com a hipótese
Eq. (3.10-3)
da seguinte
serem
no cálculo
dos aviões.
harmônicas,
das veloci-
Chegou-se
que permite
a.este
escrever
a
forma lII.i'
em
das asas e das caudas
das oscilações
tem-se Colocando-se
de rigidez complexa
Usa-se o conceito das superfícies
evidência
i (k
).r
F"e"'"
i i~
k e fazendo
a rigidez
r
torna-se
A quantidade k (l + ir) é chamada tecimento estnltural. A dissipação submetidos
de energia a esforços
para a maioria
nos materiais
se faz internamente
cíclicos. Experiências
dos metais estruturais,
neles próprios,
de diversos pesquisadores"
tais como aço ou alumínio,
quando
mostram
as freqüências
que den·
O uso do conceito rais é vantajoso
de rigidez no sistema. mônicas.
• Kimball, A.L. "Vibration damping, APM51-52,(-I929). Lazan, B. 1. "Damping of Materiais Press. 1968).
72
including
the case of solid damping".
and Members
in Slructural
Trans. ASME. '. Mechanics". Pergamon
no sentido
Com
Eq. (3.10.4)
de rigidez complexa
e r é o fator de amor-
para problemas
em vibrações
de se precisar apenas mul'1.iplicar por (I
Entretanto,.
a solução
a rigidez complexa
o método
x ==
X eiwt,
só tem justificação
a amplitude
de
estrutu,
+ ir) os termos
para oscilações
estado
permanente
har· da
)
torna·se ____
(k
F..Jl lIIú)2)
) _
'1- iJ'/.:
(3.10-5)
)
73 )
) (
) )
IXI···-Da comparação
desta com a resposta
F
Yk{)
ressonante
de um sistema
IXlcc2CT-
concluímos trutural
que, com amplitudes
F
iguais na ressonüncia,
é igual ao dobro do fator de amortecimento
\"
Chamando obtemos·
de
«
I e desprezando
os tennos
o fator de amortecimento
e
WI
as duas freqüências
W2
Aqui, uma medida
de agudeza
uma quantidade de ressonância.
cimento viscoso e começamos
mos agora as duas freqüências
corre'spondent~s
Q, relacionada
ao amortecimento,
Para detenniná-Ia,
suponhamos
que é o amortc-
novamente,
para sistemas estrutural,
podemos
com outras
_.
011
/"
/2 - /, '~
-
~sar o amortecimento formas
em cada lado da ressonüncia
das de faixas laterais), onde
(muitas
Q
1 C~_
denomina-
Uma pcça· de máquina coeficientc
pesando
4,3 lb vibra num meio viscoso.
de amortecimento
5,5 íb resulta 0,20 s.
numa
quando
amplitude
cia de 4 cps, qual será a percentagem forçada
Ç
3-3
quando
o amortecedor
uma
ressonante
3·2 Se o sistema do PrubI. 3·J é excitado
l2 (E-.) J
vibração
encontrado
viscoso.
(:Y
(I·
- 2Ç2 ):L
que.
para
Quando
o de
de 0,50 pol, com um período
de
de. aumento
com freqüên-
na amplitude
o peso é deslocado
é de. 1,80 s e a relação
o sislema
de vibração
tem um dispositivo
e solto, o período
de duas amplitudes
a amplitude
e a fase quando
de
consecuti. uma força
•
mola-massa
ocorre a uma raz;'io de freqüências
2ç,/f--:-::ç'
Determinar cxcitadora
Um peso ligadêl a uma mola com a rigidez de .3,0 lb/pol de amortecimento
3-4 Mostrar lemos
harmônica
por uma força harmônica
F == 2 cos 3t atua sobre o sistema.
em relação a (W/W,)2,
força
for reúJOvido ..
vas é de 4,2 para. 1,0. Determinar
Resolvendo
Q
a fllU de definir
Assim, para o amortecimento
Y
3-1
I
equivalente
vezes denomina-
X é 0,707 X,cs' Estes pontos são também dos de pontos de meia potência e estão indicados na Fig. 3.1 ]-1.
(E-.) "J
I
de Q é
a expressão
é X,cs == (Fo/k) /2\". Procura-
ressonante
1
às raízes da Eq. (3.1.1-3),
2Ç
de amortecimento.
com a Eq. (3.2-7).
QU2.'ldo c,,'/wn == I, a amplitude
ao
es-
(i)"
forçada
\", chegamos
viscoso.
012 -
Há na vibração
de ordem maior de
com amortecimento
vi.scoso. I
Supondo resultado
amortecido,
dadá pela expressão
a amplitude
máxima
3-5 Um sistema mola-massa é excitado por uma força Fo scn wt. A amplitudc medida na ressonância é 0,58 paI. Na freqüência ressonante 0,80, a amplitude medida é 0,46 paI. Determinar o fator de amortecimento c do sistema. (Sugestão: Supor que o termo de amortecimento seja desprezível para ressonância a 0,80.) Um disco circular girando em tomo de seu eixo geométrico tem dois orifícios A e B que o atravessam. O diâmetro e posição dos orifícios são dA = 1,0 pol, rA = 3,0 pai, e 0A = 0°; dE = 1/2 paI, rE = 2 pol, 08 = 90°. Determinar o diâmetro e posição de um terceiro orifício a I pai de raio, que balan· ceará o disco. O braço de manivela e pino ·de um eixo de manivela de dois cilindros, indicado na Fig. P.3-7, é equivalente a um peso excêntrico de 'v lb a um raio de r paI. Determinar os contrapesos necessários nos dois volantes, se eles também são colocados a uma distância radial de r poL
Se o desembalanço de cada roda do excitador é de 4 lb/pol, determinar (a) a freqüência natural da estrutura, (b) o fator de amortecimento da estrutura, (c) a amplitude a 1200 rpm, e (d) a posição angular dos excêntricos no instante em que a estrutura completa o deslocamento para cima da sua posição de equil íbrio. . Um disco maciço com.10 lb de peso é enchavetado no centro de um eixo de aço de 1/2 paI e 2 pés entre mancais. Determinar a velocidade crítica mais baixa. (Supor o eixo simplesmente apoiado nos mancais.)
Estabelecer a equação de tÍ1ovimento para o sistema indicado na Fig. 1'.3-8 e empregar álgebra complexa para resolvê-Ia, para a amplitude de estado permanente e ângulo de fase.
~
r---
~
. '-,,_
~"
.X, ""W,
Um rotor de turbina pesando 30 lb é fixado no meio do comprimento de um eixo. com mancais distanciados 16 paI, conforme a Fig. P.3-11. Sabe-se que o rotor tem um desembalunço de 4 oz/pol. Determinar as forças que atuam sobre os mancaisa.urna velocidade de 6000 rpm, se o diâmetro do eixo de aço é 1,0 paI. Comparar este resultado com o do mesmo rotor montado sobre um eixo de aço de 3/4 paI de diâmetro. (Supor o eixo simplesmente apoiado nos mancais.)
•• ••
•••• •• •• ~
AlI
~~
Um excitador formado de pesos excêntricos de contra-rotação, conforme a Fig. P.3-9, é usado para determinar as características vibratórias de uma estrutura com o peso de 400 lb. A uma velocidade de 900 rpm, um estroboscópio mostra a posição dos pesos excêntricos no topo, .no instante em que a estrutura completa o deslocamento para cima da sua posiÇão de equil íbrio estático e a amplitude correspondente é 0,85 paI.
~
.
Mostrar que, se o amortecimento é pequen~, a amplitude da vibração lateral de um eixo na velocidade crítica eleva-se de acordo com a equação
zç( 1-· ('
r=
l'
''''''')
onde e é a excentricidade.
-~
•••• •••• •.••
3-13 'No caso de turbinas dispositivos
que operam
de parada
dade. Na turbina
3-14
a amplitude
para o eixo alcançar
de parada,
zero.
A Fig. P.3-l4
simplificaao
representa rodando
um diagrama
numa
de W como
amplitude
são instalados
é atingida
esta veloci-
do eixo é 1/120 pol, determinar
os dispositivos
cidade crítica é.atingida com amplitude
bre molas,
crítica,
quando
do ProbJ. 3-11, se a folga entre o eixo de I pol e os dispositi-
vos é 0,02 pol e a excentricidade querido
acima da velocidade
para limitar
estrada
função
acidentada.
da velocidade
o tempo re-
supondo-se
que a velo-
de um veículo montado
Determinar'
a equação
e determinar
a velocidade
so-
para a
I
mais
I
desfavorável.
I
f-x~ 3-18
Um tipo comercia.! de "pickup"
de vibração
r
4,75 cps e um fator de amortecimento que pode ser medida 3·15
As molas
de um reboque
de automóvel
estão
comprimidas
a 40 milhas por hora'! (Não considerar 3-16
A Fig. P.3-l6
k, . excitado
mostra através
um cilindro o atrito
= A sen wt. Determinar
3-19
m ligado a uma mola de rigidez c com um pistão de movimento y =
do movimento
de vibração
não-amortecida,
chassi) é 0,052 pol, qual é a amplitude
de massa
a amplitude
Um "pickup"
do cilindro
com
uma
I cps, é usado para medir urna vibração harmônica indicada pelo "pickup" (amplitude relativa entre
o amortecimento.)
viscoso
(a) um erro de um .por cento;
natura.! de freqüência
(b) um erro de dois
por ccnto?
4 pol sob o seu
peso. Achar a velocidade crítica quando o rehoque roda numa estrada que apresenta um perfil que se aproxima de uma onda senoidal de amplitude de 3 pol e 48 pés de comprimento de onda .. Qual será a ampli tude de vibração
com
tem uma freqüência
= 0,65. Qual é a menor
3-20
O eixo de um torciógrafo, harmônica Iativa
e sua fase em
00 sçnwt.
torciona.!
da roda
conforme
exterior
com
freqüência
natural
de
de 4 cps. Se a amplitude a massa do "pickup" e
correta? a Fig. P.3-20, é submetido
Determinar
relação
a (a)
a expressão
o
eixo,
a uma oscilação
para a amplitude
(b) uma referência
refixa.
relação ao pistão.
3-17
Dá-se ao ponto na
P.3-l7.
para
Fig.
)
) )
Utilizando
de movimento
x/xo
/. Mostrar
e mostrar
de urna
as coordenadas
para pequena
que, para w =
h = I(W,,1W)2
onde
simples um movimento
reta
horizontal,
indieadas,
amplitude
v'2 wlI'
que, de um modo geral, a distúneia
pela equação
78
de um pêndulo
= Xo sen wt, ao 10ngJ
diferencial
)
de suspensão
nico Xo
wlI =
confonne
escrever
de oscilação. o nó fica situado
harmôse vê
a equação no meio de
Discutir
os requisitos
tação de distorção
Dar a solução
Iz entre a massa c o nó é dada
..fi/I.
3-21
3-22
de um instrumento
sísmico
de fase de ondas complexas.
sob o ponto
de vista de limi-
Uma unidade de refrigerador (;om o peso de 651b é para ser suportada por três mola, com rigidez de k lb/pol cada. Se o refrigáador opera com 580 rpm, qual deve ser o valor da constante de mola k se apenas 10 por cento da 79
força de trepidação
da unidade
à estrutura
é para ser transmitida
de susten-
3-34
tação? 3-23
Urna máquina
industrial
uma def1exão estática de 20 lb/pol, amplitude 3-24
com o peso de 1000 Ib é suportada
de 0,20 pol. Se a máquina
determinar
dinâmica
Se a máquina pesando modo
(a) a força
transmitida
nesta velocidade.
do Probl.
tem um desequilíbrio
(Supor
3-23 está montada
ao piso a 1200 rpm,
o amortecimento
que a def1exão
estática
ainda
(b) a
de aeronave
cuja
que devem 3-26
Mostrar
a 'fim de se obter
que no amortecimento
Expressar
viscoso,
para a vibração
dade, em função do fator de perda 3-28
M~strar
que 7n/7d
culo onde
7d
~
das \'ibrações
Qual a dcf1exão
85 por cento
o fator
de perda
1)
traçado
1)
livre de um sistema
de
estática
de isolamento? é independente
natural
de um grau de liber-
na ressonância.
graficamente
período
em função
de ~ é um quarto e 7n = período
de amortecimento
de círnatural
de não-amortecimento. 3-29
Mostrar
que a energia
expressa
como
dissipada
w _. nFõ d'-
3-30
Determinar
Em amortecimento gia potencial
que no amortecimento
3-32
a fim de que a energia dissipada
a energia dissipada
é igual a 20 e também
• independente
por ciclo dividida pela ener-
a I/Q.
(Vide Eq. 3.7-6). Mostrar
viscoso
Estabelecer
sob qual condição
tanto da amplitude
o decremento
como
Ioga ritmo
o
é
da amplitude.
O amortecimento pre oposta
por
w/wn-
Em geral, a perda de energia por ciclo é uma função, da freqüência.
3-33
necessário
da relação de freqüência pequeno,
máxima
viscoso pode ser
2( [I - «(.0/(.0.)2]2 -I- [2((.0/(.0.)]2
o amortecimento'
ciclo seja independente 3-31
k
por ciclo no caso, de atrito
de Coulomb
ao movimento.
entre superfícies
Determinar
secas é uma constante
o amortecimento
D sem-
viscoso equivalente.
a amplitude
de Coulomb,
Fo sen wt. Sob 'que condições
de movimento quando
excitado
sc mantém
estc mo-
Supor
que, no caso de amortecimento estrutural, a rigidez seja uma quantidade da forma k = kei2{J. Determinar a equação para a resposta sob ex-
citação harmônica.
de
à freqüência.
e proporcional
a equação
cpm.
com amortecimento
complexa
pol, qual será a amplitude
24 lb tem que ser isolado
varia de 1600 a 2200
ter os isoladores
da amplitude 3-27
pesando
freqüência
3-35
desprezível.)
sobre um grande bloco de concreto
seja de 0,20
do Probl. 3-33, determinar
mola-massa
vimento?
rotativo
2500 lb e a rigidez das molas ou apoios sob o bloco é aumentada
Um rádio motor
o resultado
por uma força harmônica
por molas com
dinâmica? 3-25
Utilizando
de um sistema
3-36
o =
Mostrar
que
pondem
aos pontos
1r(/2 0_- fi )/fr de meia potência
onde
fi
e f2
são freqüências
da curva de ressonância'-
que
corres-
VIBRAÇÃO TRANSIENTE
4 Quando um sistema dinâmico é excitado pela aplicação súbita de uma excitação F(l) não-periódica, tal como a representada na Fig. 4.1-1, a resposta a este tipo de excitação é denomina.>!a resposta trallsiente. uma vez que não são geralmente produzidas
oscilações
natural do sistema, excitação. Inicialmente,
de estado
perlllanen te. Tais oscilações
variando
a amplitude
estudamos
a resposta
de impulso, por ser cste caso importante de transien teso
Impulso
de uma maneira
ocorrem dependente
de um sistema mola-massa para a compreensão
na freqüência do tiRO da
a uma excitação
do mais geral problema
é o tempo integral da força, e o designamo.s pela notaç,To ]i'
/ = J F(I) Encontramos
di
COlJ1UlJ1ente uma força, de muito grande magnitude,
um período de tempo forças são denominadas
muito
curto,
impulsivas.
mas com um tempo
integral
que atua durante que é finito.
Essas
L'
f(I)O(1
--
ç) di
C-.. C
f(ç)
Desde que Fdl = mdv, o impulso F atuando sobre a massa resultará numa súbita mudança r,a sua velocidade igual a Fim sem apreciável mudança no seu deslocamento_ Quando da vibração livre, constatamos q'ue o sistema mola-massa não-amortecido com condições iniciais x(O) e x(O) comportava-se de acordo com a equação x
cc
x(O) sen úJNI
+ x(O)
cos
úJNI
úJ"
A Fig. 4.2-1 mostra uma força impulsiva de magnitude FIE com uma duração de E. À medida que € se áproxima de zero, tais forças tendem para infinito. Entretanto, o impulso definido por seu tempo integral é F, que é considerado tini to.
Por isso. a resposta de um sistema mola-massa inicialmente por um impulso Fé' x
C~
fé --sen
em repouso e excitado
OJ"I
IIlOJN
F
j f.
(k
Ú)n ---
Quando P é igual à unidade, tal força no caso ~estrito de E -, O é denominada unidade de impulso ou a [unção delta. A função delta quando I = ~ é identi[jcada pelo símbolo Ó(I - O e tem as seguintes propriedades Ó(I -
O -
O
para todos os valores de I
J:
0(1 -
Ç) dI
=
1,0
0<
*- ~ ç
<
'V
m
Quando vibração livre
o amortecimento
está presente,
e substituindo
as condições iniciais acima, chegamos à equação x - ----'~ ..,__~__.-._e-""'" /1/w"JI--C"
sen
podemos
,/-1 --
iniciar com a equação
de
("WNI
-
A resposta ao impuls!) unitário é importante para os problemas de transientes, e é identificada pela designação especial g(r). Nestas condições, quer se trate de um caso amortecido ou não-amortecido, a equação para a resposta impulsiva pode ser ex pressa como se segue
(Xl
Se Ó (I - O é multiplicada por qualquer função de tempo f(l), como indicado na Fig. 4.2-2, o produto será sempre zero, exceto quando I = t e suairltegral será
Tendo a resposta g(t) para um impulso unitário 'de excitação, é possível estabelecer a equação para a resposta do sistema excitado pai uma 'força arbitrária f(l). Para este desenvolvimento, consideram'os a força arbitrária como sendo uma série de impulsos, conforme a Fig. 4.3-1. Se examinamos um dos impulsos (o que está hachu: rado)no tempo I = t sua força é
Excitação e sua contribuição
para a resposta
t depende do tempo decorrido
no tempo
n
(t -
ou
Sendo li~ear o sistema valece.
que estamos
Desta forma, combinando
considerando,
o princípio
todas essas contribuições,
de superposição
a resposta
mento
base.
repentino
Muitas vezes o suporte estabeleeido
do sistema
dinâmico
por seu deslocal11cnto,
é sujeito
velocidade,
equação de movimento pode então ser expressa cm termos z = x -- y como se segue
a um movi-
ou aceleração.
do deslocamento
A
relativo
pree daí, todos os resultados
para
excitado-base,
quando
para o sistema excitado-força
Fo/m
o termo
é substituído
para z no sistema
aplicam-se por -
y
ou o negativo
da acc-
leração de base. No caso de um sistema para o deslocamento
Exemplo
não-amortecido,
inicialmente
em repouso,
a solução
relativo torna-se
4.3-1
Determinar a resposta de um sistema degrau representada na Fig. 4.3-2.
de um grau de liberdade
à excitação
l{t)
l-t-l------{t
--I,=1
-1;)-------
fOI O ~------------
x(t) A integral acima é chamada
.~
L
J(é,)g(i
. é,) dé,
(4.3-])
Solução:
de Convolução integral
Considerando
tão, ~
=
t -
T,
(t - ~) encontramos -dr, e obtemos
r =
d~
=
x(i) Quando
t é maior
Eq. (4.3-])
que
=
cc
f"
L
J(ç)g(t
do
porque, --é,)
L
então,
.
desta equação.
dç
t P'
isto é,
o limite
pode
-
ç)
dé"
superior
ser expressa
Substituindo
+ f'
J(é,)g(l
FI"
indica que a resposta
é
sen Cún(t .' é,) dé, o
I -- cos máxima
Cún/)
à excitação
degrau de magnitude
estáti
fi
do sistema não-amortecido
• __lL
F - t( Estc resultado
t
Cú
n
a resposta
da
corno
temos
\
na Eq. (4.3-])
igual a duas vezes a deflexão ~
J(é,)g(t
En-
/11úJ
II/Cún•
a integral
Aqui, a segunda integral é zero, uma vez que f(~)
86
forma
x(t)
pulso,
o
=
outra
.'
,)g(,) d,
J(I--
a duração
em tp'
permanece X(I)
.0 _1- sen
fi(1)
.
a superposição integral. Estabelecendo
o sistema não-amortecido,
ou algumas vezes referida como
o proce~o e"·~"I·,l
Ip
g(t)~"
--~sen.y
é repetido ~
.,j I -.. 1;'
com
I --I;-Cúnl
IlICúh
= O para
~
>
t p'
ou, alter~ativamente,
podemos
considerar
~implcsmcnte
a equação
diferencial
Fo é
·~ -I- 2'conx -I- co;x cuja solução
é a soma das soluções
a qual para este caso é Fo/mw~.
= fJJ m
da equação
homogênea
e da solução
particular,
,.~
Assim, a equação
O
ajustada
iniciais de x(O)
às condições
=
=
:
cg
}
)
em comparação
,
-- jJ.e,
)
)
com e e e" e Í é uma o I g , com Í; e lI' Assim, com e = Í = 0, as
é insignificante'
(';
eo
)
)
eg
'
quantIdade dGsprezivel em comparação equações acima se transformam em
soma,
a diferentes
geral do amplifieador
ete.,
são possíveis
de
tipos de impedâneia.
simplesmente Co
A Fig. 4.6-3 mostra o circuito
com uma impedâneia
= -(li
para a J11Udança de sinal.
RI
) ) )
) )
)
r
j~;
)
(b) Soma. Se mais de uma entrada está ligada ao ponto cado na Fig. 4.6-4, então Íf é a soma das correntes de entrada
g, conforme
indi.
) )
) )
) ) ) 102
de entrada Z; e uma impedâneia relativas ao circuito acima
de realimentação
Cj
-c/l
l', -
Zf'
As seguintes
equações
são
= ijZi
l'o = ÍfZf
ii=~if+i, Se todas as resistências trnc.l~
são iguais, a conseqüência
é o somatório
.
das voltagens
de cn.
(d) Diferenciação. Não se faz diferenciação fato do inevitável ração
R,
sinal de ru ído na entrada
do amplificador.
é
Em vez,
em computadores
ser ampliado
usualmente
possível
analógicos
por /-L, provocando rearruma,r
pelo a satu-
as equações
para
integração.
I
R1
_~2-.-
R,
-.!..!.+g
(e) Divisão de voltagem. uma fração
O potenciômetro
k vezes a voltagem
=
e2
lli~' _L
é designado
simbolicamente
tenciâmetro
só prevalece
muitas
vezes usado para se obter
de entrada
ke,
na Fig. 4.6-6(a).
quando
O ajustamento
a saída está em circuito
fracionário
k no po-
aberto.
) )
(c) fntegraçãà. indica inicial
a Fig_ 4.6-5, eCO)
do que eg
Se a impediíncia o circuito
de realimentação
efetuará
através do capacitor,
a função
a sua voltagem
é um capacitor
de integração. a qualquer
== O)
C, como
)
Com a voltagem
tempo
)
t é (lembran-
. eo ,~
-
~
{
i di
)
I· eCO)
) de carga R L é colocada
Quando uma resistência pode-se mostrar
que a voltagem
)
através a saída, como na Fig. 4.6-6(b),
de saída é igual a
e2 ,,= . k el [
)
R 1 I -I- R k(l
)
] -
k)
)
L
R é a resistência
onde de kel
quando
(f)
O.
)
Multiplicação
analÓgico.
Em um método,
é aproveitado
usando-se
a Fig. 4.6·7.
que o segundo
)
É evidente que esta equação se aproxima
do poténciâmetro. ->
Multiplicação.
computador conforme
R/RL
um
é uma
o princípio
servomecanismo
O primeiro
das mais com
potenciômetro
difÍ,ceis operações
do potenciômetro um potenciômetro é ligado a
é ligado a ± e2. a voltagem a ser multiplicada
±
para o
descarregado
)
conjugado,
)
100 volts, ao passo
)
por el'
) ('o
= .. i:
,
i:L
....•
'"
Para o oscilador
ti'
as integrais escritas da forma seguinte
x ---~ ~·(senw.1 Não
2lrl, -Ir - cos -r I,
para o deslocamento
da resposta
do oseilador
T
I)
-
para t
w"ç dç --
cos
cos
W"I
.
>
r
dçl
{(ç)Senúl"ç
~. o
t 1> uma
vez
que
nesta
= O. Assim,
região f(t)
fazendo-se a substituição
Asen if> ,-_o 0). a resposta
para t
>
t
A, Discutir a natureza 4-25
r"~f(ç)scn
do espectro
7';-
harmônico
da resposta
_~ _I_(W"I W"lo
_'
>
tino
simples,
com amplitude
para este caso.
sen
Probl. 4-26, mostrar
w.z\ r;;- ~o -sen
Um sistema mola·massa não-amortecido, m. k. é sujeito a uma força de excitação F(t), como Indicado na Fig. 1'.4·25, Mostrar que para t < to kx(t)
Se t
O).Ç
c Deste w~
modo, 3k/lll.
E conveniente
temos
WJ
e W2
são as freqüências
dos modos
normais.
k22
=
as Eqs. (5.4-6)
aqui o desdobramento
parciais. Obtemos
onde
k'l
Portanto,
para X
(r){
{
.\'::
2k;
=
kJ2
= -
k21
k;
w;
da Seç, 5.4 tornam-se
de cada uma das equações
acima em frações
J
Visto que a Eq. (5.4-3)
torna-se
,~ _1_[(k {X,} X, [Z(w)1
22
\' ,
_ I
-
-
2 /Il2W )
-k'2 - lI1,(2)
·-k'2
(k"
(kn
..- lI1,w')F -- w')(w~ . - W2)
1I1,1II,(W;
c
]{F}
..// De forma sernelhante, fazendo W = W2
Uma forma alternativa
é calculado
C2
pela multipliéâ'Ção
por
(w~ /
de
X
1
(2k ---
2
-....--_.
. r _..J._' -.--::---....,!....
;I1(2)F"
-'
/-JI1'(CÓ;'·o.:
é e~iã~
'\
.v-
I
-
'wD'_":'-',~íl1 ,:', .',
5.4-1
Aplicar as Eqs. (5.4-6) da Seç. 5.4 ao sistema representado ml
II1W; lF] _ - w;) - '[;;,
1II'(wj
O
c Exemplo
r,
-=- ~ ~~ , ,-
na Fig. 5.4-1 quando
é excitado pela força F J sen wt. Traçar sua curva de resposta da freqüência.
F [-rkl
X2
F [21. I
,. "
I'
-, (W/W,)2
J
I -I- 3 -- (w/w,)'
(w/w,)'
I -
3 -- (W/WJ2
]
wy
__ ----------
e admitindo
o movimento
ser apresentada
xk
4'l
A Figura 5.5·2 apresenla
~--F
I,
melro.
Note-se
de Iibcrdade"
2,0 -
',I
a equação
para a amplitude
XI
pode
F
x k
1'1
3,Of
F
--~, ---
I
eomo harmônieo,
como igual a
de J.t 1,0
3,0
O
==
cxistem
=
1
J.t
desta equação,
(W22/Wll)2
duas freqüências
.
naturais.
com
J.t
==
/n2//Ill
cumo parà·
Visto que o sistema é de dois graus Estas sãu representadas
em função
na Fig. 5.5-3. Até
W
w w,
um gráfico
kdk
que
W22,
agora
nada
sc disse
sobre
u tamanho
da massa
do absorvedor.
XI = 0, mas a massa do absorvedor
a amplitude
é submetida
Com a uma
amplitude
- 1,0
II
:1
,-- - i~ I--r I
- 2,0
I'
I
- 3,0
~I""o
1 4
.-----")
:1-
.
:\
tal que (I
t•. }
movimentl)
mola-massa ~',
k2/m2,
k2•
da massa principal
__ k 1.(j) ~ !
n/j
/n"
atuará
,eu],
afinado
com
a freqüência
como um absorvedür
m J • Fazendo
da força
de vibração
+A;
,\
I
I
w,, W- -__1,0 __
I \
I
0,8 \
Um sistema
i~+J-1!'=0,2f II
I \ ~ - t \ "
..-
1,25
\
o
11
' ••••
r
-..-
excitadora
e reduzirá
a zero
a substituiç.lo
'3." 1111.
o sistema absorvedor Nestas condições,
k2,
1Il2
o tamanho
exef(;e uma força igual e contrária de k,c
/Il2
depcnde
à furça perturbadora.
du valur admissivel
de X 2'
/I. Figura
1,6
Ele é um sistema oscilações
1,4
não linear
centrífugo,
de dois graus de liberdade.
a ângulos pequenos,
reduzindo
Todavia,
limitaremos
as
assim a sua complexidade.
Fazendo as coordenadas. no ponto O' paralela e normal a r, a reta r gira A aceleração de m é .igual ao vetor soma da com ve IOCl'd a d'e angu j.ar (O' + ,.;,) 'I' ' aceleração de O' e a aceleração de m rc1ativa a O',
1,3 1,2
-----31 ;: J
Illostra () essencial de Ulll péndu\o
S,(,·j
1,1 -
[RÕ sen rP
RO'
rP
ws
r(O!
, [RÕ cos rP ! RÓ' sen ri)
~)'Ji
I r(Õ!·
~)J.j
Visto que o moménto- em rc1ação a O' é zero, ternos
rP
III[UÕ cos 0,1 0,2 0,3 0,4
0,5 0,6
Razão de massas
Admitindo equação
que
rjJ seja pequeno,
A força atuando absorvedor
de vibração
da Seç. 5.5 é eficiente
Para um sistema
rotativo
Nestas
condições,
como o do motor
à velocidade
rotacional
para que o absorvedor
ser também proporcional são idealmente adequadas
apenas
de automóvel, /l,
a uma freqüência,
os torques
de
fazemos
cos t/J
(Rr 0"),1. . 'i' é a força do pêndulo,
na roda grande
que é dirigida ao longo
r.
de exci.
que pode variar numa larga faixa.
seja eficiente,
sua freqüência
à velocidade. As características para este propósito,
do pêndulo
natural
deve
centrífugo
o
momento
pequenos,
onde
desta força na roda grande é
T é o torque perturbador
r
somos
da roda
rotação
seja uma
senq"
de modo que, admitindo
incapazes
a solução de efetuar.
constante
/l
simultânea Suporemos
O'
,
o=
/lI
() =
11
Õ
das Eqs. (5.6.3)
+ Oosenwl + wOocoswl
= -W20o sen wl
~
/l
e ~5.6.5),
então .que.. o mov~ento
mais uma pequena
forma seguinte
F
ângulos
na roda grande.
O e q, requerem
o que obviamente
FR
é
a segunda equação
Os ângulos
,/1/
O/
O
~)]r
de eada lado de "'-'22, é muito
W
tação s50 proporcionais
1'(0,1
para o pêndulo
.. rpl o
UÓ' sen q,1
0,7 0,8
/l
= W22• Além disso, com freqüências ressonantes limitada a utilidade do absorvcdor mola.massa.
i
oscilaçao
senOldal
na
giram livremente
A Eq. (5.6-3) torna-se então
- + (R)-;:
!fi
li'
'"
=
(R + r) -r-
b, quando w200sen wl
Quando oscilações. dência
no eixo e que são aeionadas
a pressão normal é exercida devidamente
Entretanto,
de aumentar relativo.
inércia,
A dissipação
ta desta forma altos esforços Admitindo
uma solução de estado permanente
Apesar
cilação
Oo
da roda
torna-se
zero
grandes,
tecedor
de vibração
dissipa
vibração do tipo de atrito, . em sistemas torcionais vibração
nas velocidades
de vibração
à energia. conhecido
como motores críticas.
que se opõe à força excitadora,
A Fig. 5.7-1 representa pelo nome de Lanchester,
do amortecedor complicada.
a gás e diesel, na limitação
O amortecedor
consiste
de emprego
a dissipação
resultando
máxima
em eficiência
das amplitudes
de dois discos
11
de
e evi-
torcional,
a análise matemática os discos podem
do
deslizar
nada, isto na dependência
de energia e o amortecedor
de energia
ocorre
torna-se'
sob alguma
pressão
.
T
= J
Jilgura 5. 7·2. Amortecedor torcional sob deslizamento continuo. Para dar uma idéia do problema,
de
que
do movi-
de oscilação
ótima do amortecedor.
I~
o amorprático
a ten-
o eixo, em
peio atEito resultante
Por exemplo,
ou nula, não haverá dissipação
quando
um amortecedor
os discos não acompanham
de torção no êixo.
Inclinaçao
com o absorvedor
em pequenas
do eixo apresent~
parte do ciclo ou absolutamente
v' R/r.
Em contraste
torcionais
o eixo
p'clas molas das cavilhas. Se a pressão no anel de atrito é excessiva
inútil. Evidentemente, intermediária,
c.
com
de energia limita assim a amplitude
é um tanto
da pressão exercida
por meio dos anéis de atrito
giram
e a energia é dissipada
da simplicidade
seu comportamento
tudes torna-se
os discos
as oscilações
e se tornarem
razão da sua. grande mento
regulados,
quando
somente
pelas molas das cavilh~s
que
os discos
oscilando
deslizam
continuamente.
nas proximidades A accieração
será em conseqüência
do disco, representada
dos discos será crescente
enquanto
a do eixo passar a inferior, O trabalho
efetuado
w' é a velocidade
indicado
na
T, enquanto
da curva de velocidade,
J é o momento
de inércia dos
por urna série de linhas retas. A velocidade
a velocidade
do eixo for superior,
e decrescente
pelo amortecedor
f Tde ,~ T J 0/ di
relativa', é igual ao produto
do torque
T
e a área hachurada
T grande e grande para T o máximo de energia é dissipado para algum valor intermediário de T.*
da Fig. 5.7-2. Considerando pequeno,
pela inclinação
conforme de atrito
o caso em
do eixo esteja
de acordo com o que mostra o diagrama.
IV ,= onde
média,
do torque
e igual a TjJ, onde
será representada
resumidamente que o bosso
angular
sob urna ação constante
constante
discos, e sua velocidade quando
Admitindo-se
~a sua velocidade
Fig. 5.7-2, os discos estarão deslizam.
vamos considerar
que ~sta área é pequenip~ra
• J. 1'. Dcn H"rlog c J. Ormondroyd, "To~sional-Vibralíon Dampcrs", Trans. ASME APM-52-13 (sctcmbro.Jczcrnbro, 1930), p,ígs. 133-152.
Obviamente, de oscilação
o amortecedor
deve ser colocado
seja a maior, a qual geralmente
numa posição onde a amplitude
se encontra
volante principal,
uma vez que o nodo está usualmente
o
de Vibração
do lado do eixo distante
onde 00 c 'Po sJo amplitudes resul ta em
do
tal corno o motor
de automóvel,
nais são proporcionais uma freqüência
à
desta natureza,
nizado rotativa
dentro
numa
de uma
e o pêndulo
centrífugo,
'perturbadoras centrífugo
l\,,-
para oscilações
o amortecedor
cilíndrica,
a Fig. 5.7-3. Tal sistema é geralmente
de ordem torcional
Ele consiste
cheia
incorporado
h
I
12
Ei
'lEi
-
V
1 r N
U41
R
Geralmente, são conhecidas duas das condições de contorno em cada extremidade, de modo que as freqüências que satisfazem essas condições são as naturais da viga.
(}
(7.12-4)
M
O
O
1
1
M
V
O
O
O
I
V~
- "
M y
Exemplo
7.12-1
Uma viga cantilever, flxada na extremidade esquerda, é representada por diversas massas conccn tradas. Determinar as equaç.õe5' de contorno que conduzem às freqüências naturais.
n . I
MN = uJ,MO VN ~--, u4,Mo
e
-Y M'
II o
IR
OI
r
l_w
_ V _.
o o
R
O
e
O
O
O
O
O
O
I •
V
l'
6iD
\.
1
12
"El
2Ei
e
O
O
I
O
O
O
I
1
M
II1W'
O
O
I
O
O
o
I
V
2EI
1
O
o W2111
238
12 2EI
V
1
EI
o 1
w2111
-2EI
.
(--;i}
l'
I' 2Ei
()
.'\'
de modo que esta quantidade pode ser representada graficamente em função de w para estabelecer as freqüências naturais da viga. (b) Peças ratat/vas. Examinaremos nesta seção a vibração perpendicular ao plano de rotação, de peças rotativas tais eomo pás de hélice e palhetas de turbina. Em face ~a força centrífuga; necessitaremos considerar termos em acréscimo à análise sobre barras da seção anterior.
I
IJ
(7.12-6)
A Fig. 7.12-3 mostra' a força centrífuga, que é normal ao eixo de rotação, e igual a mllrl2xll para a massa mil' A quantidllde adicional que deve ser introduzida é el1tão a força axial 1
M
I CJ) 2 II1F
O
n
M
2
44
O
M
Substituindo a coluna no lado direito da Eq. (7.12-5) pela Eq. (7.12-4), enconlra-se a equação final seguinte relacionando os velores de estado em n c 11 - 1 Y
U34
onde Mo e Vo são desconhecidos e MN e VN devem ser zero. As condições de contorno são então satisfeitas se o de terminante. da equação é zero, ou
oO o01 ye 1"
0010 2111
.+. V +- u V
, CJ)"1I1
1J 6E1
V
(7.12-9) n- 1
239
lU
c...0
r------
p;yf
---lo>-m"U2XII
I
/11
y"
I :
I.
Yn-J
Substituindo
I I
Y
J:t V e a inclinação
conta ao considerar de cisalhamcnto
são influenciadas
somente
também
o componente
de
F;;
I
O
O
O
I
O
O
O
1
O
O
-l1lúJ'
I
A deflexão
l~r mn
,,,--xn ----------.~
I
FL e levamos isto em n' normal à peça como uma carga
por esta
l
a coluna
r- ( I -!"7;E/
lIlúJ'J3)
- (I
lIlúJ'
J,,-,
-I-
2EI
--F
(
Y
-EJ
I' n'l
(J
( 1+2E1Fl2)
-- 1-1- 6EI
O
--lIlúJ'
I
O
(c) Vibração de Torção-Flexão Acopladas.
mais
altos
coeficiente
os quais quando_ mais altos diferem
desacoplados. de influência
~ necessário, adicional,
para
Os modos
são muitas
-- 01-[/.'
.
"
0:_
1
M:_.
_-o
O~-[I -/
-- MI'[II
" , 6(EI),,_
da direita
__ VI_1_J_
tratar
li", definido
" 2( El)n
.
"6( E1)"
M~-(l:~0" ! V~-2(~/J
- (I -I -I
J _..
::::_~)
FI')
2EI
ln'[-I
: F~'/~ " _ " , 6(Ú)n
I' 2EI 1 -EI
- (I {~~) (I 1 ;~_~) O
O
l
I 1[-
,
F.~t;
- O.,F,; _I" -,- 6(EI),,_
J
V..Jn
ao torque
naturais
vczes modos
tais problemas,
de vibração de torçãodos modos
intrnduzir
como o ângulo de torção
um
da estação
à estação 11 I, e resultante de um torque unitário em n. Com à seção de barra da Fig. 7.12-4, são as seguintes as' equações relatívas T T~' - J"tp" -I
n.i'n
l1l"c
-J"w'rp" --
2f~~~J -~F~'I;
(I
prosseguir
referência
T: _o:
J
F~'/~ -1- MI.~
'2~EI)"
n
agora, a fim do cálculo
M "
consideravelmente
11 relativamente
'Y~'
FI')
(7.12-12)
flexão acoplados,
)':-1
(
por
de asas de avião e de ou tras estru turas de barras
Estas equações podem ser rearrumadas para a esquerda, da forma seguinte
R
-(;0
I
FIJ) 1+ 6EI
o resul ta do final IJ
2EI
I-
( 1-1- 6EI FI')
temos
!'
FlJ) 6E1
( 1 2EI FI')
lIlúJ'l'
-
da Eq. (7.12-10);
direita
(7.12:]])
IIInC"úJ'Yn
estação [
onde
J"
+ rnnc;'
= Jncg
é o momento
ao eixo elástico da barra. O cisalhamento
V;' -- V:
l'
I
rn7
O
O
O:
O
O: , O ,, I ,,
O
O
I
O
O
O
I
V
IIIW'
()
()
T
o
J"
o o o o O O
-- IIICW'
(n
A matriz campo ertre a estação com duas equações adicionais
n-ésima relativamente
L
Nestas condições,
-
°li.!' O I a O
O
M
IIIW'C
Jw,
I)R
I'
I'
27:..7
()
I-
o
rp
I
T
e (n)L
0*,
()tJ
I
I'
'Fi
210
..
O
()
\'
, O
()
o
()
M
()
()
I
()
)'
()
o
o
o o
AI I-
rp
o o
o
()
I
11
rp
T
o o
o
O
O.
de estado
(7.12-13)
é a mesma da Eq_ (7.12-4)
a
substituindo
I.
A inclinação de f1exão o cisalhamento zero na linha do centro para os modos simétricos, momento, o cisalhamento e o torque Eq. (7_-12-14) aparecem então como
I'
a coluna
na estação
direita
o
T
a decomposição
para a vibração
para a determinação
Ujj
V
.
"
o o
7
I
que podem
ser.reescritas
pela Eq. (7,12.14), de estado
na forma
I~I
na
Estabelecer
e asa de um
as equações
simétricos.
de
'
Solução: A fun de utilizar a equação matrieial (7.12-14), fazemos a estaçã~ O na reta central do avião, e sejam rnl e J1 a metade da massa e do momento de inércia da massa da fuselagem em relação ao eixo elástico, com /1 =' O. Colocamos a
""rr
UJI
U33
U41.
U4J
U.,
U.3
U~l
M
.
rp
o
.vo. Mo e 'f!o na linha do centro são desconhecidas; entretanto, à esquerda é zero na ponta da asa, pàra o mOJ11ento, cisa1hamento e Desta maneira, o determinante do Uij, que é uma função de w deve ser
As quantidades a matriz torque.
coluna
zero para satisfazer
) 242
R
rp T
aos vetores
dos modos de torção-flexão
da
M
;--..:.:
(7.12-14)
de massa para a fuselagem
de torção-flexão.
de contorno
o
Exem'plo 7.12-2
avião de combate
são zerO. As equações -
M
I)R.
A Fig. 7.12-5 mostra
T*
e o torque de torção são ao passo que na ponta da asa o
y
da Eq. (7.12-13)
(n)R são relacionados'
V*
N
.U61
contorno
17
-I- c"rp,,)
'--III"W'Cl'"
c.c"
a
(n -
]f.
através da massa é
M
rp
estação
da asa, com
através de m pode ser escrita desta forma
e a matriz ponto
os vetores
de inéreia da seção
7 na ponta
]~ que agora fica igual a [
As freqüências
as condições naturais
represen tação da quan tidade
de contorno.
para os modos sjmétricos '
sãO' estabelecidas
por meio da
D(w)
eco
1/"
1/J.1
1/-"
1/.,
I/.J
1/. \
bla C HllIl'SlI1'i a '>'i(X)
":1
começamos
com a equação -F(a)1>;(a)
q, que substitui
=
a Eq. (9.8.8).
-
MT
M(a)1>;(a)
Fazendo
Di/w = Minl(i
-
(w/ny],
_ "cIJ ( )- _ "
,a q, - L.r
Lr
-F(a)1>f(a)
- M(a)1>;(a)1>,(a) D,(01)
onde
o modo
'icf>'t'
EI
EI
= 28,8"
k"
Todos os outros kij são zero. Podemos arrumar agora os resultados computados para divididas de rigidez e massa na forma seguinte 0,2000
0,1666:
0,1666
0,1428
________________
O
O
°
i 1
°
mij
°
O
O
O
I O
°
_
0,5000
0,2000
: 0,5000
0,3333
0,1666
: 0,2000
0,1666
0,1111
4
6
° ,, ° I
O
[k]
O
O
12 : O
I - - - - - - -1--
O
O
,, ,, I I
I I I I
O
--
O
O
° =~! ° ° ° ° _--------° 6
- --
I
1
3
°O
--- 1
OIj I O
pz 1', C~
6
O
°
O
O
O 28,8
°
O
O
I O
O
I
I
3 O -I
6
I
°
O
O
-4 O P. 12
O
O
(9.10-7)
1',
e kij nas matrizes
I
: 1,0000
O
Considerando que o número total de coordenadas utilizadas é seis e que há quatro equações restritivas, são duas as coordenadas generalizadas para o sistema (isto é, há quatro coordenadas supérfluas correspondendo às quatro equaçõ~s restritivas (Vide Seç. 9.2)). Nestas condições, podemos escolher duas quaisquer das coordenadas para serem as coordenadas generalizadas q. Sejam PI = (;1 e P6 = q6 as coordenadas generalizadas e expressemos PI •. ,. P6 em termos de ql e q6. Isto é efetuado nas seguintes etapas.
= 4!Jf-
dx
dx = 6~f
k22 = 12"
O
P.
f'J~)(~n
= EI
I
O
°
~1;:] l-~ -~l{q''}
-4
12
P, p,
=
-20 -2
q6
O
_
1,0000
O
---
O
O
O
(9.10-6)
O
...
O
O
O
O
onde a matriz superior à esquerda refere-se à seção 324
CD
e o restante à seção C;D
A equação restritiva acimà está agora em termos das coordenadas generalizadas ql e q6 na forma seguinte
I~ ~
PI
P2 P, P4 Ps P.
l-~:~~:
{p}
4,50
o
A Fig. 9.10-2 mostra os perfis dos modos que correspondem às freqüências acima. Considerando que a Eq .•(9.l0-12) permite a solução dos autove'tores somente em termos de uma referência arbitrária, q6 p~de ser detenninado com ql = 1,0.
[CJ{;J
{~:}=
-5,0
0,50 I
m/[nl][ji} substituímos
o -I
-I-
~! [k]fp}
=O
em termos de {q} da equação restritiva (9.1 0-9)
+ ~;[k][C][q}
m/[m][C]fq}
=O
As coordenadas P são obtidas da Eq. (9.10-9) por meio das Eqs. (9.10-1), (9.10-3) e (9.104).
Premultiplicamos pela transposta [c]'
+ ~';[C]'[k][C]}q}
m/[C]'[m][C][q}
=
O
Comparando as Eqs. (9.10-10) e (9.10-11), notamos que em (9.10-10) as matrizes de rigidez e de massa são 6 X 6 (Vide Eqs 9.10-5 e 9.10-6), ao passo que as matrizes [C]' [m] [c] e [C]' [k] [c] na Eq. (9.10-11) são 2 X 2. Nestas condições reduzimos o tamanho do sistema de um problema de 6 X 6 para um de 2 X 2. Fazendo
{q}=
_W2
{q},
aEq.(9.10-ll)apresentaaforma
Os valores numéricos das matrizes [
e [bijl
ajj]
das Eqs. (9.10-5), (9.10-6)
=[
1,1774 2,6614 7200
[bJ)l ~ [C]'[k][C]
= [ 10:800
9-1 Mostrar que o fator de carga dinâmica atinge um valor máximo de 2,0 para urna força constante aplicada subitamente. 9-2 Se urna força constante aplicada subitamente é aplicada em um sistema no qual o fator de amorteci~entodó i-ésimo modo é t = c/ccr' mostrar que o fator de carga dinâmica é dado aproximadamente pela equação
e 9-3 Determinar o fator de participação de modo para urna força distribuída uniformemente.
(9.10-9) são [a,)] = [C]'[m][C)
2,6614J 7,3206 10,800 ] 19,200
94
Se uma força concentrada atua em x = a, a carga correspondente por unidade de comprimento pode ser representada por urna f~nção delta I ó (x - a). Mostrar que o fator de participação de modp torna-se então Kj = 'Pj (a) e a deflexão é exprimível como
Com o emprego destes resultados numéricos, determinamos as
3
Prob [A
S ,.
A > la] =a2e-A';2.'
31.7% 4.6% 0.3%
68.3% 95,4 % 99.7%
1 2
.ta]
.t A probabilidade de x(t) estar fora de ± Àa é a probabilidade de I x I exceder Àu. que é 1,0 menos os valores acima, ou a equação' Prob [[xl>
2 la] = a:}'Iit
S~
,. e- ';2.' dx = A
erJc(,J\-)
(10.4-10)
A tendência das variáveis aleatórias limitadas a valores positivos, tais como o valor absoluto da amplitude A, é muitas vezes a de seguir a distribuição de Rayleigh que é definida pela equaçã"o
P(A)=:2e-A'/2.'
A>O
A probabilidade da densidade p(A) é aqui zero para A tado na Fig. 10.4-6 348
(10.4-11)
<
O 1 2 3
O e tem o perfIl apresen-
P[A>
dA
.ta]
100% 60.7% 13,5% 1,2%
Três impor,tantes exert1J>losde registros de tempo enco~trados freqüentemente na prática são apresentados na Fig. 10.4-7, onde'O valor da média é escolhido arbitrariamente para ser zero. Mostra-se facilmente que a dístríbl;lição da probabilidade cumulativa para a onda senoidal é P(x)
= -i + ..!-sen-l~ 1t
A
para zero.
f\
valores
f\' f\ (\1A
caso da banda
\TVV
No/2M
Quando
de pico torna-se estreita,
== O, a distribuição
Gaussiana,
de densidade
ao passo que quando
a tendência
da distribuição
da probabilidade
No/2M
de densidade
dos
== 1, como no da probabilidade
dos valores de pico é para a distribuição Rayleigh.
---=1-=, L,
------~~xll~7Uma especificação
o
Densidade Determinar
~,
Solução: O
Exemplo
I Xi
para
20 a 2000 cps
o valor rms da aceleração.
O valor rms da aceleração
da aceleração
estabelece
== O 0,025 g2 cps
da aceleração,
Faixa da freqüência,
.0
p(x) c= 11..../ A2 _
para teste de vibração aleatória
Valor médio da aceleração
é· a raiz quadrada
do prodúto
da deilsidade
pela largura da fab.a .
10.4-2
Um sinal aleatório
tem uma dellSida(;~ e>pectía! que é constante
=0 No caso do registro rodas .aleatoriamente instantâneos. do motor
Encontram-se a jato.
. probabilidade
um registro
em comparação
lentamente.
Outra
negativos.
analítica
para
variam
seus valores
en tre 20 e 1200 eps, e zero fora desta faixa de freqüência.
de rádio, na flu tuação da pressão
ete., e a distribuição
mais provável
é de 2,0 pol.
A distribuição
quantidade
através
[o,
obtemos
de freqüência da probab;lidade de banda larga.
zero e 2M
Para uma onda senoidal
ou uma banda estreita,
que a relação
No/2M
de muito o número
==
1. Para um registro
aleatório
de cruzamentos
dos valores da quantidade
é o'número No
(;2
os valores absolutos Rayleigh.
é a distribuição de pico depende
é o número.decruzamentos
picos excederá
e fase
para seus valores instantâneos
terão a distribuição
interesse
dos valores
Se o valor médio n,tro é zero, temos que usar a Eq. (1DA· 7)
tipo de onda
com amplitude
Entretanto,
e seu valor nus.
do filtro é pequena
o terceiro
constante,
seu desvio padrão
um fi1tro de banda-
onde a largura da banda
à envoltória,
de grande
que a distribuição
é colocado
Determinar
da Soluç50:
central
'uma oscilação
que a da função aleatória
Rice*mostra
No
em ruído
de banda-larga
de ressonância
dos seus picos, correspondendo
onde
a fase e a freqüência
expressão
atmosférica.
com sua freqüência
que é essencialmente é a mesma
tais funções
na turbulência
ou um sistema
variando
a anlplitude, uma
para tais registros é a Gaussiana.
Quando estreita.
de banda-larga,
e não é possível
de pico. No/2M
de picos positivos
c
é igual a 2M de m0do
de banda-larga,
o número
zero, de modo que No/2M
de
tende
=
~ S(f)
f
(l
dI = .
fl200 20
.
0,004 d[ == 4,72 '
Seu valor médio
S(f) (X)'
Tabela Numérica
'= 4
I !
t
Exemplo 10.4-3 A resposta de qualquer estrutura a uma excitação aleatória em um ponto único pode ser computada por um processo numérico simples, desde que sejam conhecidas a densidade espectral da excitação e a curva da resposta da freqüência da estrutura. Considere-se, por exemplo, a estrutura da Fig. 10.4-9(a) cuja base é sujeita a uma entrada de aceleração aleatória com a função da densidade espectral de potência representada na Fig. 10A-9(b). Deseja-se . computar a resposta do ponto p e estabelecer a probabilidade de haver excesso sobre qualquer aceleração especificada.
j
!:.j
S(!i)
cps
cps
g2/cpS
O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 '210
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 .'10
Ilf(!il I Não-dimensional
g' unidades O O 2,4 11,8 48,0 30,5 30,5 44,0 123 320 57,7 18,6 5,1 2,2 0,8 0,7 0,1 1,7 .1,2 2,3 O
10 10 12,1 19,6 40 16,9 16,9 40 137 291 48,4 16,9 6,4 3,6 2,5 3,6 4,9 16,9 12,1 4,9 2,5 1.6
1,0 1,0 1,1 1,4 2,0 1,3 1,3 2,0 3,7 5,4 2,2 1,3 0,8 0,6 0,5 0,6 0,7 1,3 1,1 0,7 0,5 0,4
O O 0,2 0,6 1,2 1,8 1,8 1,1 0,9 1,1 1,2 1,1 0,8 0,6 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0,5 O O
S(!i) Ilf (!iW M
\lf(!ilI2 !:.j cps
O
ã2 = 7oo.6g2 (1
=
./7oo,6g2
=
26,6g
As probabilidades de haver excesso sobre acelerações especificadas s[o
p[la I> 79,8g] == 0,3% p[apico > 79,8g] == 1,2%
p[la I> 26,6g] "" 31,7% p[apico > 26,6 g] = 60,7%
Pode-se obter experimentalmente a função da resposta da freqüência H(j) para o ponto p, aplicando-se à base um agitador senoidal de freqüência variável com \ uma entrada da aceleração constante ao e medindo-se a resposta da aceleração em p. Dividindo·se a aceleração medida por ao. H(j) aparece como na Fig. 10.4-9(c)~ A resposta quadrática média a~ da equação
em p é calculada numericamente por meio
Correlação é uma medida da similaridade entre duas quantidades. Suponhamos que temos dois registros, XI (t) e xz(t), conforme a Fig. 10.5-1. A correlação
XI(I)\_
p~~
~ro~' COO-.J
A tabela numérica seguinte ilustra o processo de computação. 352
~.~
~c-.
Figura 10.5-1
'. '"'
~
........,.~
Correlação enlre x, (t) e x,(I).
entre eles é computada pela multiplicação das ordenadas dos dois registros em cada tempo t e determinando o valor'médio pela divisão da soma dos prodUtos pelo seu número. É evidente que a correlação calculada desta maneira será maior quando os dois registros forem similares ou idênticos. Para registros dissimilares, alguns produtos scrão positivos e outros negativos, e assim',sua soma será ~;enor.
ção, portanto; é uma ponta aguda em indicado.
7
=
° que cai rapidamente com
±
7
como'
~t'
Consideremos agora o caso em que X2 (t) é idêntico a Xl (t) mas desl.ocado para a esquerda de um tempo r, conforme a Fig. 10.5-L Então no tempo t, quando XI é x(t), o valor de X2 é x(t + r), e a correlação será dada por < x(t)x(t + 7) >. Aqui, se r = O, temos correlação completa; à medida que r aumenta a correlação .vai decrescendo. É evidente que o resultado acima pode ser computado por meio' de um, registro único, multiplicando-se as ordenadas nos tempos t e t + r e determin:mdo a mé· dia. Designamos então este resultado a autocorrelação e a chamamos por R (7), Ela é
Para o caso especial de uma onda periódica, a autocorrelação deve ser periódica do mesmo pcríodo uma vez que se deslocando a onda de um período ela volta à coincidência novamente. A Fig. 10.5-4 mostra uma onda senoidal e sua autocorre· lação. A'
R(T) =""2cos
WoT
A autocorrelação para o ruído de banda larga é uma curva com o pico em 7
= O, caindo de cada lado muito rapidamente e aproximando-se de zero. Isto signi·
fica que a correlação ou não existe ou é pequena, exceto perto de r = O, para os registros aleatórios de banda larga. R(r)
=
E[x(t)x(t I
= ~i~
T
+ r)]
JT!l -Til
=
X(I)X(I
,Para o registro de banda estreita representado na Fig. 10.5·5, a autocorrelação tem aIgumas das caiacterísticas encontradas para a onda senoidal, no sentido de que ela é novamente urna função p~r com um máximo para r = e freqÜência wQ' correspondendo à freqüência dominante ou central.'
[(/h)
= Joo = foo ,
x(l)
foo
-00
lim
-00
T-M
+ r) dI
X(I)X(I
_00
1- Joo
lim
~i_~ ~ X*(f)Y(f)
=
= S':,(f)
X(f)e'2>[tel2>[T
Sx/-f)
di dI
_00
1-{Joo
x(l)e'2.[t
T
dl}X(f)e,2.f<
di quc é a paralela à Eq. (10.6-12). Ao contrário da autocorrelação, as funções de correlação cruzada e densidade espectral cruzada não são geralmente funções pares. Portanto, são mantidos os limites a +
-00
"f1im 1-X*(f)X(f)}e (r_ T
di
i2.[T
_00
==
= ~i_~ ~X(f)Y*(f)
foo
r-oo T
SXy(f)
00
oo
00.
'
Exemplo 10.6-3 Mostrar que a função da resposta da freqüência H(w) é a transformada de Fourier da função da resposta do impulso g(t). Solução: De acordo com a integral de convolução, Eq. (4.3-1), a equação da resposta em termos da função da resposta do impulso é X(I)
Sendo R(r) simétrica em relação a r = O, a última equação pode ser expressa também na forma
=
. S(f)
25:
= LJ(ç)g(1 - ç) dç
onde o limite inferior foi estendido a para abranger todas excitações passadas. Fazendo r = (t - ~). a integral acima toma-se 00
X(I)
=
R(r) cos 21tfor dr
Estas são as equações de Wiener-Kinchin, e elas exprimem que 'a função da densidade expectral pode ser determinada pela função de autocorrelação. Paralelamente às equações de Wiener-Kinchin, podemos definir a correlação cruzada entre duas quantidades x(t) e y(t) como
';:,lr)
=
[T
T
foo Sxy(f)e
X(I)Y(I
-T/2
+ r) dI
=
f(1 - r)g(r) dor
s: ei~1
eiw(/-')g(r) (
2.[T
dor
g(or)e-iWT dr
A comparação deste resultado com a Eq. (10.2-3) mostra que a função da resposta da freqüência é
di H(w) =,
f'~g(or)e-
iWT
o
i
dor '
df
onde a densidade espectral é definida como 360
fT/2
X(I) =
s:
Densidade Espectral pela Transformação de Laplace da Autocorrelação. Usaremos até aqui as transformadas de Fourier supondo que elas existem para o registro' em questão. Para as transformadas de Fourier
, ~
~ f(l)
~ ~
J~ r~
= -I
271:
F(w) =
_~
S(s) = F(w)eiwt dw
f(l)e-iW'
S(s)
~
a integração é ao longo do eixo real, de -
~
Suponhamos a mudança do curso da integração para uma reta paralela ao eixo real, mas abaixo dele uma distância r, como indicado na Fig. 10.6-1 (a). Os limites da.in tegração
t)
a +
R(r)e-" dr
Uma vez que R (7) é uma função simétrica, o limite inferior pode ser mudado para zero e dobrado o valor da integral.
dI 00
r.,
=
2
00.
~ ~
•
~
r:
R(r)e-" dr
Nestas condições, a função da densidade espectra/ pode ser determinada pela tranSformada de Laplace da [ulIção de autocorrelação. Para as funções de autoeorrelação que não têm a transformada de Fourier, a equação acima oferece um processo altero nativo para a avaliação da função da densidade espectral S(i21Tf).
10.7 RESPOSTA DE ESTRUTURAS CONTINUAS EXCITAÇÃO ALEATOR(A
~
A
~ Consideramos
• • • •,
da resposta quadrática média
distribuída. Tratando o problema por meio da soma dos modos normais
~
são então w = ir a w = + ir, e a integral de Fourier é estendida para incluir funções para as quais as equações anteriores não podiam ser válidas. 00
~
-
00
f(l)
J ~c
-
J'~--ir
2n
y(x, i)
-
F(w)e""' dw
-'"-i,
f(l)
~
F(s)
= _1_. 2m =
Jrfi-"
onde 4J/x) são os modos normais da estrutura, podemos utilizar o nosso conheci· mento plhio da resposta do sistema de um grau de liberdade, discutida na Seç. 10.2. Para isto devemos admitir amortecimento proporcional definido por
r
•
I
362
•
1·,/ !
s:
massa ~eneralizada
F(s)e" doi'
r...
f(l)e-"
dI
AIj = Fi/)
.1',
o
r-i"
Consideremos a seguir a Eq. (10.6-12) da função da densidade espectral da potência
Com i21Tf = iw = Laplace de dois lados
c(x)rf>/X)rf>k(X) dx =
.0
e são assim convertidas no par de dois lados da lransformada de Laptace.
.i
=.2: ~/x)q/I) j
Se introduzimos agora .I' = iw, é evidente q~e pontos na Fig. 10.6-1 (a) giram 0 90 como na Fig. 10.6-1 (b), e o curso da integração torna-se uma linha vertical a uma distância r à direita da origem. As transformadas de Fourier tornam-se agora
• • • • • • •
, "
aqui o problema da determinação
y2 (x, t) de uma estrutura elástica contínua excitada por uma força aleatória f(x, t)
a equação acima é reconhecida como a transformada de
o,
rf>;(x}dm
S: f(x
,t)rf>'/x) dx = força generalizada
Ao estabelecer a resposta quadrática média. de' y(x, t), .devemos considerar as seguin tes somas ..
y2(X, I)
I
=
lim -T T-H>O'
JT!2
Bretschneider*. A Fig. 10.7·1 pode representar um tal espectro, para um determinado estado do mar.
y2(X, I) dI
-T12
Notamos aqui que estamos envolvidos com a correlação cruzada de q/t) e qk (I) que, pelo teorema de Parseval. pode ser substituída pela integração da freqüência das transformadas de Fourier ' I ~i~ T
JT!2
-Ti2
q/l)qk(l) dI =
J=_= ~~r:?>TI Q/f)Qt(f)
df
onde as letras maiúsculas representam as T.F. das quantidades correspondentes em letras rÚinúsculas. De acordo com a Eq. (10.~.15), notamos também que Na determinação da resposta de uma estrutura de océano a tal excitação, um S.,••C/) = ~~~ ~Q/f)Qt(J)
caminho é a admissão de forças ondulatórias harmônicas da forma
é a densidade espectral cruzada das coordenadas generalizadas, a qual é relacionada à.densidade espectral cruzada da:orça excitadora, SFjFk(f) (Vide Ed. /0.3.10). S.,••(J)
=
Hif)Ht(J)Sp'P.(J)
F(I) =
C :E ai cos (rol
+ ~I)
I
onde para concordar co~ o espectro ondulatório, as amplitudes pela relação seguinte para cada freqüência
aj
são escolhidas
Wj
É necessário freqüentemente trabalhar estritamente no período do tempo em que a equação diferencial do moviment.o seja da forma
Pode-se admitir que a fase tPj tenha uma piobabilidade igual entre O e 2~ . e, em conseqüência, pode ser escolhida fazendo·se girar uma roda de roleta (ou utilIZando o método de Monte Cado com números aleatórios). Quando somadas todas as fre· qüências corresponden tes ao aspectro ondulatório, a excitação F(t) é uma função
onde F(t) é admitida como uma função aleatória de tempo e L(x. x, ~) é uma equação diferencia} que pode ser não-linear. A solução para uma equação eomo esta seria obtida mais provavelmente no computador digital ou no analógico, sendo o resultado uma resposta aleatória x(t).
aleatória de tempo.
No caso de se querer o espectro da resposta para o problema acima, o primeiro passo será o de formar a função de auto correlação
o
espectro da resposta Eq. (10.6-13).
S(f)
Aplicando F(t) à equação diferencial do sIstema sob consideração, a resposta x(l) é obtida por um computador. A partir da resposta x(t) a correlação R(1) é computada e o espectro da resposta é obtido por meio da Eq. (10.6.13) ou (/0.6·19) S(J)
=
2
=
2
s:
5:
R(7:) cos 2nf7:dr R(7:)e-"
d7:
(s
=
i2n/)
será então obtido pela relação Wiener-Khinchin,
Exemplo 10.7·1 As alturas das ondas oceânicas são geralmente distribuídas numa forma Ray· leigh, comum espectro de freqüência conhecido como o espectro do mar de
'C. L., Brctschncidcr, :'Wavc Variability and Wave Spectra for Wind·Gencratcd Gravily Waves." T. M. N9 118 Beach Erosion Board, U. S. Army Corps ofEngineers.
10·30 Iniciando com a equação Spx(w) ~~ lim 2-~T F*(iw)X(iw)
SXF(W)
Jilll ~-F*(FlI)·
n
'1''"''
lilll _I_X*F
o~
'1'_ ••
2nT
'1' •.••
,2nT
=
lim ~.-(F*fI*)F 2nT
=
5pll
5}.11*
T- •••
S,..(w) '--' S"X
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