Teori Relativitas PDF

 

TEORI RELATIVITAS

BAB I   

1.1.

RELATIVITAS KHUSUS

Fisika Modern Modern merupakan ilmu mekanika baru yang menyirat menyiratkan kan kaitan yyang ang sangat erat antara Ruang dan Waktu, serta  Mas  Massa sa dan Energi. Masalah yang dibicarakan sudah mengarah pada benda mikroskopik (atom). Teori relativitas relativitas khusus dikembangkan pada tahun 1905 oleh Albert Einstein, mempersoalkan kerangka acuan universal yang merupakan kerangka acuan yang  bergerak dengan kecepatan tetap terhadap kerangka lainnya. Teori Relativitas khusus mempunyai pengaruh besar pada setiap bidang fisika dan bersandar pada dua postulat relativitas khusus.  Jika kita katakan sesuatu bergerak, kita maksudkan kedudukannya berubah relatif terhadap sesuatu. (Penumpang bergerak relatif terhadap kapal udara, kapal bergerak relatif terhadap bumi bergerak terhadap galaksibumi, bintang (Milky Way ).relatif terhadap matahari, matahari bergerak relatif Postulat Relativitas Khusus :

1.  Hukum fisika dapat dinyatakan dalam persamaan yang berbentuk sama dalam semua kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap satu terhadap lainnya. 2. Kelajuan cahaya dalam ruang hampa sama besar untuk semua pengamat, tidak  bergantung dari keadaan gerak pengamat itu. A

A A v

v B

B

v A Cahaya yang dipancarkan api

Masing-masing orang melihat bola Cahaya merambati sekeliling dirinya

Gambar 1.1. Gejala relativistik berbeda dengan kejadian sehari-hari

 Fisika Modern

1

 

A A

A

v

v B

Masing masing orang melihat  pola pada tempat yang berbeda relatif terhadap dirinya.

v B

B

Pola riak yang ditimbulkan oleh batu yang dijatuhkan ke dalam air

Gambar 1.2. Pola riak yang ditimbulkan batu dijatuhkan ke dalam air.

1.2

PEMUAIAN WAKTU

Sebuah lonceng yang bergerak terhadap pengamat kelihatannya berdetak lebih lambat dari pada ji jika ka lonceng itu diam terhadapnya. IIni ni berarti, ji jika ka seorang pengamat dalam suatu roket mendapatkan selang waktu antara dua kejadian dalam roket itu t o, orang di bumi mendapatkan selang waktu tersebut lebih panjang , yaitu t. Kuantitas to  ditentukan oleh kejadian yang terdapat pada tempat yang sama dan disebut dalam kerangka acuan pengamat sebagai waktu proper. Bila diamati dari bumi, kejadian-kejadian yang menandakan permulaan dan akhir selang waktu itu terjadi pada tempat yang berbeda, sehingga akibatnya selang waktunya kelihatan lebih panjang dari waktu proper. Efek ini disebut pemuaian waktu.

 Fisika Modern

2

 

Cermin

Waktu proper : t o  

2 Lo

 

…(1.1.1)

c

Pulsa Caha a

Cermin

Gambar 1.3.  Perjalanan pergi pul pulang ang suatu

 pulsa cahaya dari cermin-bawah cermin-bawah ke ata dan kembali.

t/2 

0

t 

ct/2  Lo 

vt/2 

Gambar 1.4.  Lonceng cah cahaya aya dalam roket seperti yang terlihat oleh pengam pengamat at

yang diam di bumi.

 Fisika Modern

3

 

Keterangan : 2

2

 ct     2  vt       Lo         2     2  

t o

 = Selang waktu pada lonceng yang diam relatif terhadap pengamat

2 2  c   t 2     v      Lo 2     4  

t 

 = Selang waktu pada lonceng dalam keadaan bergerak relatif terhadap

4 Lo

t 2 

2

c2  v

t  

 

t  

 



  2

2 Lo / c 1 v / c 2

2

t o 2

2

(2 Lo )

2

c 2 (1  v 2 / c 2 )

 

pengamat

 

v

 = Kelajuan gerak

c

 = Kelajuan cahaya

 

……… (1.1.2)

1  v  / c Contoh Soal :

1.  Berapakah kelajuan Roket yang loncengnya berbunyi 2 detik terlambat dalam satu jam terhadap lonceng di Bumi. Jawab : to = 1 jam = 3600 detik (waktu diam di bumi) t = 3602 detik (untuk Roket yang bergerak di tinjau di bumi) gunakan persamaan (1.1.2): t  

 

t o 1  v  / c 2

2

 

    1 v2 / c2   (t o / t )  (to / t ) 2  1  v 2 / c 2  

  v

2

/ c 2  1   (t o / t ) 2   v 2  c 2 (1  (t  o / t ) 2 )   v  c (1  (t  o / t ) 2 )   v  ( 3x108 ) (1  (  3600 / 3602) 2 )  

v  = 7.1 x 106  m/s

 Fisika Modern

4

 

2. Waktu hidup (life tim time) e) rata-rata Meson-u dengan laju 0,95 c yang yang diperoleh -6 melalui pengukuran adalah 6 x 10   detik. Hitung waktu hidup rata-rata Meson-u dalam sebuah sistem pada waktu Meson – u diam. Jawab : Pada saat Meson-u diam mempunyai waktu sejati : t o  t  1 

v 2  c

2

 6 x10   6 det 1  (0,95) 2 = 1,87 x 10-6 det

3  Sebuah peswat terbang bergerak terhadap bumi dengan laju 600 m/det. Menurut di  bumi, berapa lamakah waktu yang diperlukan agar jam pesawat terbang terlambat dua mikrodetik darinya Jawab : Dari persamaan delatasi waktu : t bumi 

t pesaw  pesawat at 1 v / c 2

 2

(1-2 x 10-12) t bumi  bumi  Ingat, t bumi  - t  pes t  pes

t pesaw pesawat at



t pesaw pesawat  at 

1  4 x10  6 x10 m / de det   8 d et   3 x10 m / de = t  pes …………………….. (1) 2

2

12

 

1 

=  2 x 10-6 det = t bumi –   –  2  2 x 10-6 det ……….(2) 

Gabungan (1) dan (2) (1-2 x 10-12) t bumi  bumi  t bumi (2 x10-12) det tbumi 

= t bumi  –  2  2 x 10-6 det  bumi –  = 2 x10-6 det

2 x106 det 12

2 x10

 106 det det  11,6. 11,6.hari  

 Fisika Modern

5

 

4. Pion memiliki waktu paroh (half-life) 1,8 x10-8 det . Suatu berkas pion meninggalkan akselerator dengan laju laju 0,8 c. Secara klasik dan rrelativistik elativistik sejauh berapakah separoh pion akan meluruh. Jawab : to = 1,8 x 10-8 det Secara Klasik : Jarak (s) = v t = (0,8 x 3 x 108 m/det) (1,8 x 10-8 det) = 4,32 m Secara Relativistik : t  

 

1,8 x10 8 det    3x10 8 det   2 1  (0,8)

t o 1 v2 / c2

maka jarak yyang ang ditempuh : s

= v  t = (0,8x 3 x 10-8 m/det) (3 x 108 det) = 7,20 m

Bagi pengamat yang diam terhadap berkas ppion, ion, jarak (s p) yang harus ditempuh pion adalah lebih pendek dari pada jarak laboratorium s, melalui kontraksi Lorentz.  s p   s 1  

v2 c2

 0,6 s,  

 to = s p/ v  

0,6 s

  1,8x 10 - 8 det  0,8 x 3 x 108 det   s = 7,20 m

 Fisika Modern

6

 

1.3

EFEK DOPPLER

Efek dopller untuk bunyi, berubah tergantung dari apakah sumbernya, atau  pengamat atau keduanya bergerak.  1 v / c    o      1V / c 

… (1.2.1) 

Keterangan : c = Kelajuan bunyi v  = Kelajuan Pengamat V = Kelajuan Sumber

(+

 

Sumber -  S ) (+   pengamat -  P )

Pada cahaya : 1.  Pengamat bergerak tegak lurus sumber cahaya v

S

Pengamat

t o  

1

o

 

  t  



1

t o

 

1  v  / c 1 2

 

2

o



 

   1  v 2 / c2

   o

 

1   v 2 / c 2 …(1.2.2) 

Efek Doppler transversal cahaya Frekwensi teramati selalu lebih kecil dari frekwensi sumber o. 2. Pengamat menjauhi sumber cahaya

S

v

Pengamat

T    t  

vt  c

 

  t  

 

t o 1  v  2 / c 2

 

 Fisika Modern

7

 

      1  v / c     t o  1  v / c  x 1  v / c     1 v / c  2 2  1  v / c       1  v / c  

T   t o 

1 v / c

T   t o

1 v / c

 

frekwensi yang teramati   0

1 v / c 1 v / c

 

…… (1.2.3) 

3. Pengamat mendekati sumber cahaya

v

T    t  

Pengamat

S

vt  c

 

  t  

 

t o 1  v  2 / c 2

 

1  v / c     1  v / c   1  v / c      t o   x  2 2  1  v / c     1  v / c   1  v / c  

T   t o 

T   t o

1 v / c 1 v / c

 

frekwensi yang teramati   0

1 v / c 1 v / c

 

…… (1.2.4) 

Contoh Soal

1.  Sebuah bintang menjauhi bumi dengan kilapan 5x10-3c. Berapakah pergeseran  panjang gelombang garis D2 spektrum natrium ( 5890 Å ) yang dipancarkannya ? Jawab : Persamaan Doppler memberikan :

  0 c  



1 v / c 1 v / c

c

cv

  0

cv

,

 

 c/ 

 

 Fisika Modern

8

 

Atau      o

1 v / c



 5890   A

1 v / c

1  0,005 1  0,005



 5920 A  

Karena itu   = 5920 Å - 5890 Å = 30 Å Pergeserannya adalah menuju panjang gelombang terbesar terbesar (pergeseran merah) . 2 Andaikan pergeseran dari garis D2 spektrum natrium ( 5890 Å ) adalah 100 Å , apakah cahayanya diamati dari sebuah bintang yang jauh lainnya. Tentukan kecepatan bintang tersebut. 1 v / c

     o

1 v / c 

 

   1  v / c    1 / v c     



(5990 A) 2   (5890 A) 2  

 



(5990 A) 2 (1  v  / c)   (5890 A) 2 (1  v / c)   





((5990 A) 2   (5890 A) 2 )   v /  c(5890  5990) A   





c((5990 A) 2   (5890 A  ) 2 )  v (5890  5990) A  

selesaikan akan didapat : v  = 0,017 c 1.4

PENGERUTAN PANJANG

Jika sebuah benda diam terhadap seorang pengamat, maka panjangnya dengan mengukur selisih antara koordinat-koordinat ruang titik ujung benda itu. Karena benda itu tidak bergerak, maka pengukurannya dapat dilakukan pada sebarang waktu, dan  panjang yang ditentukan disebut panjang diam (rest) atau panjang sejati (proper) benda. Bagi sebuah benda yang bergerak prosedurnya agak rumit karena koordinat-koordinat ruang titik-titik ujung benda itu harus diukur pada saat yang sama. Selisih antara kedua koordinat ini didefinisikan sebagai panjang benda. Tinjau sebuah mistar, yang arah  panjangnya x-x’, yakni diam terhadap pengamat O’. Kita ingin menentukan bagaimana  pengukuran panjang menurut O dan O saling berkaitan apabila O’ bergerak relatif terhadap O dengan kecepatan v dalam arah x- x’. Ujung mistar ditandai denga A dan B. 

Dengan menggunakan transformasi Lorentz didapat :

 Fisika Modern

9

 

 x B ' x A ' 

( x B    x A )  v(t  A  t B ) 1  (v / c 2

2

 

Selisih xB’  –   xA’  = Lo  adalah panjang (sejati) mistar menurut O’. Jika x B dan xA  diukur –   xA = L merupakan oleh O pada saat yang sama, sehingga t A –   tB = 0, maka selisih x B  –   panjang mistar yang diukur oleh O. Jadi kita peroleh :

 L   Lo  1  v  2 / c 2  

……………(1.3.1) 

Karena 1  v 2   / c 2  1   maka kita peroleh L < Lo. Jadi panjang mistar yang bergerak menurut O menjadi memendek. Hasil ini disebut kontraksi (penyusutan).

1.5

RELATIVITAS MASSA

Setiap benda yang bergerak menjahui pengamat dengan kelajuan mendekati kecepatan cahaya maka benda tersebut akan mengalami pemuaian massa. Untuk lebih  jelasnya kita tinjau tumbukan elastik sempurna (tumbukan yang energi kinetikn kinetiknya ya kekal) antara dua partikel C dan D, yang disaksikan oleh pengamat dalam kerangka S dan S’

yang berada dalam gerak relatif uniform. Sifat C dan D identik jika ditentukan terhadap kerangka acuan tempat partikel itu diam.

y

C  y’ 

vC’ 

Y  S

vD

x x’ 

S’ 

z

D 

v z’ 

 Fisika Modern 10

 

Tumbukan terlihat dari kerangka S C

  D

 

Tumbukan terlihat dari kerangka S’  

C

  D

 

Gambar 1.5. Tumbukan elastik teramati dalam dua kerangka yang berbeda

Kerangka S dan S’ terorientasi seper ti ti Gambar 1.5 dengan S’ bergerak dalam arah + x

terhadap S dengan kecepatan v. Sebelum tumbukan partikel D diam terhadap kerangka S dan partikel C terhadap S’. Pada saat yang sama, D dan C di lempar dalam arah + y ’

dengan laju vD, sedangkan C dalam arah –   yy’ dengan kelajuan vC  dimana : ’

vD  = vC  

…………. (1.4.1) 

Kelakuan D terlihat dari S sama dengan C terlihat dari S’ dan setelah tumbukan terjadi D memantul dalam arah  – y dengan kelajuan vD  dan C memantul dalam arah + y’ dengan kecepatan vC’. Jika partikel ter tersebut sebut dilempar dari kedudukan berjarak Y, pengamat di S mendapatkan bahwa tumbukan terjadi pada y = ½ Y dan pengamat pada S’ mendapatkan  bahwa tumbukan terjadi pada y’ = ½ Y. 

Waktu pulang pergi To untuk D diukur dari kerangka S menjadi : To  = Y/ vD 

………………… (1.4.2) 

 Fisika Modern 11

 

Dan untuk C dari kerangka S’ : 

To  = Y/ vC’ 

………………. (1.4.3) 

Jika momentum kekal dalam kerangka S harus berlaku : mD vD = mC vc 

……………...(1.4.4) 

dengan mD dan mC  menyatakan massa D dan C, vD  dan vc menyatakan kelajuannya diukur dari kerangka S. Dalam kerangka S, vC didapat dari : vC  = Y / T

……………. (1.4.5) 

Dengan T menyatakan waktu yang diperlukan C untuk pulang pergi seperti diukur dari S. Dalam S’, perjalanan C memer lukan lukan waktu To, dengan : T  

T o

 

1  v  / c 2

2

 

…………….(1.4.6) 

dengan mengganti T dari persamaan (1.4.5) dengan besaran yang sama didapatkan dalam To. vC   Y 

1 v2 / c2 T o

 

Dari persamaa ( 1.4.2) : vD = Y / To 

Dengan mensubsitusikan nilai vD dan vC ke dalam persamaan (1.4.3) kita dapatkan : mD vD 

= mC vc 

mD Y/ To = mC Y 

1 v2 / c2 T o

 

m D  m C  1  v  2 / c 2  

Dari hasil analisa diatas D dan C identik bila dalam keadaan diam terhadap  pengamat. Perbedaan antara mD dan mC  berarti pengukuran massa, seperti juga ruang dan waktu, bergantung dari kelajuan relatif pengamat, kejadian apapun yang ia sedang amati.  Fisika Modern 12

 

Pengamat S akan melihat C mendekat dengan kelajuan v, membuat tumbukan dan kembali. Dalam S : mD = mo  mC  = m  sehingga : m

 

mo

1  v  / c 2

2

 

massa relativistik

……..(1.4.7) 

massa benda yang yang bergerak dengan kelajuan v relatif terhadap pengamat menjadi lebih dari massa diamnya terhadap pengamat dengan faktor 1 / 1   v 2 / c 2 . Pertambahan massa relativistik hanya penting untuk kelajuan yang

mendekati kelajuan cahaya.

1.6

HUKUM NEWTON KEDUA DALAM RELATIVITAS RELATIVI TAS KHUSUS

Pernyataan klasik dari hukum kedua newton adalah gaya total pada sebuah benda sama dengan laju perubahan momentumnya. Untuk measukkan efek relativistik, maka suatu kelonggaran harus dilakukan terhadap kenyataan bervariasinya massa benda terhadap kecepatannya. Jadi generalisasi generalisasi relativisti relativistikk hukum kedua newton adalah : dp d   F      (m  .v)   dt  dt  mo v dp  d    F     dt  dt   1  v  2 / c 2

   

…… (1.5.1) 

dan tidak sama dengan : dp dt 



d  dt 

(  m.v)  m

dv dt 

v

dm dt 

 

karena dm/dt tidak nol, jika kelajuan benda berubah terhadap waktu.

 Fisika Modern 13

 

Contoh Soal

1. Cari massa elektron (mo = 9,1 x 10-31 kg) yang berkelajuan 0,99 c Jawab : v/c = 0,99 (v/c)2 = 0,98 sehingga :   9,1x1031 kg 

mo

m

1 v / c 2



1  0,98 ,98

2

 64x1034 kg  

 

ini berarti massa elektron yang bergerak 7 kali lebih besar dari massa diamnya. 2.  Massa diam sebuah meson-u adalah 207 m o dan waktu hidup rata-ratanya dalam keadaan diam adalah 2 x 10-6 det. Berapakah massa meson-u  jika waktu hidup rata-ratanya dalam laboratorium adalah 7 x 10-6 det. Jawab : Dari delatasi waktu :

1 1 v / c 2 

m  mo

sehingga :

2

 

t  t o

1 1 v / c 2

2



7 2

 

  207mo(7/2) = 725 mo

1.7 MASSA DAN ENERGI

Hubungan yang paling terkenal diperoleh Eintein dari postulat relativitas khusus ialah mengenai massa dan energi. Kita Kita ambil dari difinisi energi kinetik (K) S 



 K    F .ds  

…………..

(1.6.1)

0

  m  F   ma 

dv dt 



d  dt 

(m  .v)  

sehingga dapat ditulis :  Fisika Modern 14

 

S 

 K  



mv

d (mv)

  .ds   vd (mv)  

dt 

0

0

masukkan massa relativitas relativitas maka persam persamaan aan menjadi : S 

 K  



mv

d (mv)

0

  .ds   vd (mv)  

dt 

v



 K   v 0

0

d (mo v) 1 v / c 2

2

.dv  

 g  gunakan unakan

integral parsial :

  x dy = xy -  y dx v

mo v 2

vdv

 K   1  v 2 / c 2  mo 0 1  v 2 / c 2 .  



 K  

mo v

2

v

1 v2 / c2

 mo c 2 1  v 2 / c 2 .   0

v2 v2   (1  2 )  mo c 2    K    2 c  1 v2 / c2 c mo c 2

 K  

mo c 2 1 v / c 2

2

 mo c 2  

Ket : moc2  = Eo  = Energi diam (potensial) 2 m c   = E  = Energi total K = Energi kinetik

mo v  p  = momentum linier 1  v 2 / c2 

 K   mc 2  mo c 2  

…

…(1.6.2)

Contoh Soal :

1.  Diketahui massa dari elektron = 9,1 x 10-31 kg. Tentukan energi diam elektron dinyatakan dalam joule dan elektron volt

 Fisika Modern 15

 

Jawab : Eo  = mo c2  = (9,1 x10-31 kg) (2,998 x108 m/det)2  = 8,187 x 10-14 J dan 1.eV    1.MeV    (8,187 x1014 J ) x    0, 511.MeV    19   6  1, 60 x10 J   10 eV   2.  Sebuah benda dalam keadaan diam membelah secara spontan menjadi dua bagian yang bergerak dengan arah berlawanan. Bagian yang bermassa diam 3 kg bergerak dengan kelajuan 0,8 c dan yang 5,33 kg dengan kelajuan 0,6 c. Carilah massa diam  benda semula : Jawab: Karena

Eawal 

= Eakhir   mo1 c 2

mo c  2

2

mo

 2

1  v /2 c 3kg .c

mo c 2 

1 v / c 2

=

mo 2 c 2 2

2

1  v / c2 5,33.kg .c

 



1 v / c

2

2

2

   

11,66 kg .

3.  Berapa kelajuan sebuah elektron yang dipercepat melalui suatu potensial sebesar 105  V? Jawab: Karena :

K = e V = 105  eV = 0,1 MeV mo c 2

2

Maka kita dapatkan :  K   1  v / c  m c   2

2

o

Dengan mensubsitusikan mo c 2   0,511. Me  MeV  V   maka didapat v = 0,548 c 4.  Hitung momemtum elektron yang energinya 1 MeV Jawab :

E2 

= (pc)2  + Eo2 

(1 MeV MeV + 0,511 MeV)2  = (pc)2  + (0,511)2   p = 1,42 MeV/c  Fisika Modern 16

 

5.  Hitung energi kinetik elektron yyang ang momentumnya 2 MeV/c = (pc)2  + Eo2

E2 

Jawab :

( K + 0,511 MeV)2

1.8

= 2 MeV x c c K = 1,55 MeV

2

  + ( 0,511 MeV)2 

HUBUNGAN MOMENTUM DAN ENERGI

Karena momentum kekal, sedangkan kecepatan tidak, maka seringkali bermanfaat untuk menyatakan energi benda dalam momentumnya daripada dalam kecepatannya.untuk maksud ini kita lihat hubungannya : 2

 E   2

 

mo c 4

 P   2

,

1  v  2 / c 2  E    p c  2

2

 

,

1  v  2 / c 2

 p c  2

2  

mo v 2 c 2

 

1  v  2 / c 2

2

2

2

mo v 2

 

mo c 4



mo v 2 c 2

1 v2 / c2   1 v2 / c2

mo c 4 (1  v 2 / c 2 )

 

2

 E    p c  2

2

2

1 v / c 2

 E 2   p 2 c 2  mo c 4    E  

mo c 4   p 2 c 2

2

2

 mo c 4   4

 E   E  =moc

 + p2c2 

 

……..(1.7.1) 

untuk partikel tak bermassa , m o= 0 , v < c maka E =P = 0 sehinggga :  E = p c 

1.9

………….(1.7.2 )

SATUAN UNTUK ENERGI DAN MOMENTUM

Satu elektron volt (eV) adalah energi kinetik sebuah benda yang muatannya sama dengan muatan sebuah elektron, setelah bergerak melewati satu beda potensial sebesar satu volt.  Fisika Modern 17

 

1 eV = (1.602 x 10-19 C ) (1 V) = 1.602 x 10-19 J Satuan baku untuk momentum adalah Kg. M/s. Tetapi, dalam perhitungan relativistik, satuan yang sering kali dipakai untuk momentum adalah MeV/c. Satuan ini muncul dari  pernyataan energi momentum :  P  

 E   2   E O c

2

 Faktor konversinya  P  

1. MeV 

c

 0  , 534 x10 21 kgm / s  

Kesalahan yang umum terjadi dalam membahas soal-soal massa dan energi adalah menggunakan pernyataan yang salah untuk energi kinetik seperti : K = ½ mo v2  dan K = ½ m v2  Pernyataan yang benar untuk energi kinetik adalah : K = ( m –   m mo) c2  begitu pula terhadap momentum : P = mo v 

 Fisika Modern 18