Teori Estimasi 11

 

TEORI ESTIMASI

PENDAHULUAN

Inferensi statistik mencakup semua metode yang digunakan dalam penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai populasi. Inferensi statistik dapat dikelompokkan dalam 2 bidang utama: 1.  PENDUGAAN PARAMETER Contoh : -  Seorang calon dalam suatu pemilihan ingin menduga proporsi yang sebenarnya  pemilih yang akan memilihnya, dengan cara mengambil 100 orang secara acak untuk ditanyai ditanyai pendapatnya. Proporsi pemilih yang menyukai calon tersebut dapat digunakan sebagai dugaan bagi proporsi populasi yang sebenarnya. 2.  PENGUJIAN HIPOTESIS Contoh : -  Seorang peneliti masalah kedokteran diminta untuk memutuskan, berdasarkan bukti bukti hasil percobaan, apakah suatu vaksin baru lebih baik daripada yang sekarang  beredar di pasaran. -  Seorang insinyur ingin memutuskan, berdasarkan data contoh apakah ada perbedaan ketelitian antara dua jenis alat ukur. Metode Pendugaan Parameter suatu populasi dapat dibedakan menjadi dua : 1.  METODE PENDUGAAN KLASIK Pendugaan dilakukan berdasarkan sepenuhnya pada informasi sampel yang diambil dari  populasi. 2.  METODE PENDUGAAN BAYES Pendugaan dengan menggabungkan informasi yang terkandung dalam sampel dengan informasi lain yang telah tersedia sebelumnya yaitu pengetahuan subyektif mengenai distribusi probabilitas parameter.

4.2 .2.. ME TO TODE DE PEND UGAAN KL ASI K Statistik

  ˆ

yang digunakan untuk memperoleh sebuah dugaan bagi parameter

 populasi    disebut penduga atau fungsi keputusan. Sedangkan    adalah sebuah nilai dugaan  berdasarkan sampel acak berukuran n. Misal : Fungsi keputusan S 2 (yang merupakan fungsi dari sampel acak yang bersangkutan) 2 adalah suatu penduga bagi    , sedangkan nilai dugaan  s2  merupakan “realisasinya”.   “realisasinya”. Sifat-sifat yang seharusnya dimiliki oleh penduga : 1.  TAKBIAS ˆ

Statistik 2. 

  dikatakan ˆ

penduga takbias bagi parameter    bila  

EFISIEN Diantara semua kemungkinan penduga takbias bagi parameter terkecil adalah penduga paling efisien bagi   .

ˆ

  ()    .   E   ˆ

  , yang ragamnya

 

ESTIMASI TITIK

Sebuah nilai tunggal yang digunakan untuk mengestimasi sebuah parameter disebut titik estimator, sedangkan proses untuk mengestimasi titik tersebut disebut estimasi titik ( point ( point estimation). estimation ). Biasanya disepakati bahwa

   adalah ˆ

lambang untuk estimator untuk   .

Definisi 5.1

Jika    adalah suatu parameter dari suatu populasi X, maka suatu statistik

  disebut ˆ

estimator tak bias dari parameter   apabila dipenuhi E(   ) =   , bila syarat tersebut tidak ˆ

dipenuhi, maka   disebut estimator bias dari   . ˆ

ESTIMASI INTERVAL

 Nilai titik taksiran untuk sebuah parameter akan tergantung kepada sampel yang diperoleh. Oleh karena itu, orang lebih suka melakukan estimasi dengan menggunakan interval. Proses untuk melakukan estimasi dengan menggunakan interval disebut estimasi interval. Tentu saja, makin lebar interval estimator yang dipakai, kebenaran estimasi akan semakin besar. Namun demikian, pada praktiknya orang akan mencari interval estimator yang sempit dengan derajat kepercayaan yang memuaskan. Derajat kepercayaan dalam mengestimasi disebut koefisien kepercayaan (konfidensi) yang merupakan pernyataan dalam  bentuk peluang. Misalnya    merupakan estimator untuk parameter   , sedangkan A dan B adalah nilai-nilai estimator tersebut berdasarkan suatu sampel tertentu, maka koefisien kepercayaannya dinyatakan dengan: ˆ

P(A <    < B) = 1  –  α 

Interval A <    < B disebut interval kepercayaan (interval konfidensi), sedangkan A dan B disebut batas-batas kepercayaan. Interval kepercayaan disebut juga selang kepercayaan. Perhatikan bahwa P(A <    < B) = 1  –   α diartikan bahwa kita merasa 100(1 –   α)% percaya (yakin) bahwa    terletak di antara A dan B.

 

INTERVAL KONFIDENSI UNTUK RATAAN

Untuk melakukan estimasi rataan, digunakan teorema-teorema berikut: 2

Teorema 1 (I nt nte er va vall konfi konfid densi untuk µ jjii ka    diketahui )

Jika

 X 

adalah rataan sampel random berukuran n yang diambil dari populasi normal (atau

 populasi tidak normal dengan ukuran sampel n konfidensi 100(1 –  100(1 –  α)% bagi µ ditentukan oleh:  oleh:    X    z 1 2

   

n



2

  

30) dengan

 

     X    z 1 2

   

n

diketahui, maka interval

 

Contoh 1:

Suatu sampel random berukuran 100 diambil dari sebuah populasi yang mempunyai deviasi  baku 2,93. Rataan sampel tersebut ialah 67,45. Tentukan interval estimator untuk µ dengan interval konfidensi: a.  95%  b.  99% Solusi:

a.  Karena interval konfidensinya 95%, maka α = 0,05 dan ½ α = 0,025 , sehingga z 0,025 = 1,96. Kemudian,

2,93

   

n



10

0,293 . Dengan melakukan substitusi ke dalam formula

interval konfidensi pada Teorema 1, diperoleh: 67,45 –  67,45  –  (1,96)(0,293)  (1,96)(0,293) < µ < 67,45 + (1,96)(0,293) 66,876 < µ < 68,024    b.  Karena interval konfidensinya 99%, maka α = 0,01 dan ½ α = 0,005 , sehingga z 0,005 = 2,576. Berarti: 67,45 –  67,45  –  (2,576)(0,293)  (2,576)(0,293) < µ < 67,45 + (2,576)(0,293)   66,695 < µ < 68,204

2

Teorema 2 (I nt nte er va vall konfi konfid densi untuk µ jjii ka    ta takk di ketahui  tahui )

Jika

 X 

dan s2 adalah rataan dan variansi dari sampel random berukuran kecil (n < 30) yang

diambil dari populasi normal dengan  bagi µ ditentukan oleh:

2

  

 X   t  1  ; n 1 2

tak diketahui, maka interval konfidensi 100(1 –  100(1  –  α)%

 s 

n

  X   t  1  ; n 1   2

 

 s n

 

 

Contoh 2:

Dari populasi kontainer yang diasumsikan berdistribusi normal, diambil 7 buah kontainer, yang ternyata masing-masing isinya ialah 9,8 ; 9,6 ; 10,2 ; 10.0 ; 9,8 ; 10,4 ; dan 10,2 liter. Tentukan interval konfidensi 95% untuk rataan populasi. Solusi:

Setelah dicari, ditemukan  X  = 10,0 dan s = 0,283. Karena interval konfidensinya 95%, maka ½ α = 0,025 , sehingga t0,025;6 = 2,447. Kemudian, 0,283

 s 

n



7

0,107 sehingga diperoleh:

10,0 –  (2,447)(0,107) 10,0 –   (2,447)(0,107) < µ < 10,0 + (2,447)(0,107) 9,738 < µ < 10,262  

INTERVAL KONFIDENSI UNTUK BEDA RATAAN

Untuk melakukan estimasi beda rataan, digunakan teorema-teorema berikut: Teorema 3 (I nt nte er va vall kko onfi nfid densi unt untuk uk µ1 - µ 2  ji  jika ka  2 dan  2 diketahui ) 1

2

Jika  X  1   dan  X  2 adalah rataan sampel random yang independen berukuran n 1  dan n2, yang diambil dari populasi-populasi normal (atau populasi tidak normal dengan ukuran sampel n 1   30

dan n2   30) dengan

  

2

1

dan

  

2

2

 diketahui, maka interval konfidensi 100(1 –  100(1  –   α)% α)% bagi  bagi

µ1 dan µ2 ditentukan oleh: 2

( X 1   X  2 )  z 1 2

 1  

n1

2



 2

 

n2

 

  1   2 

2

( X  1   X  2 )   z 1

 1  

2

n1

2



 2 n2

 

Contoh 3

Sampel bola lampu A dengan ukuran sampel 150 menunjukkan bahwa masa pakainya mempunyai rataan 1400 jam dengan deviasi baku 120 jam. Sampel bola lampu B dengan ukuran sampel 200 menunjukkan bahwa masa pakainya mempunyai rataan 1200 jam dengan deviasi baku 80 jam. Tentukan interfal konfidensi 95% untuk selisih rataan populasi bola lampu A dan B. Solusi:

Karena sampelnya besar, walaupun deviasi baku populasi tidak diketahui, namun deviasi  baku tersebut dapat didekati dengan nilai deviasi baku dari sampel. sampel. Interval konfidensinya 95%, sehingga ½ α = 0,025 dan z0,025 = 1,96.

 

Kemudian,

2    1



n

2    2 n

1

120



2

150

2

 

80



2

128  11,314 sehingga:



200

(1400 1200)  (1,96)(   11,34)   1   2  (1400   1200)  (1,96)(11,31 314 4)   177 17 7,82 825   5   1      2  37 377 7,82 825 5 



Perhatikan kembali interval konfidensi pada Teorema 3. Jika diketahui pula bahwa

  

2

1

=

  

2

2



n1

 

2

1

dan

  

2

2

  diketahui dan

, maka interval konfidensinya ialah:

  

1

( X 1  X  2 )  z 1   2

2

 =

  

1 n2



   1     2  ( X  1   X  2 )  z 1   2

 

1 n1



1 n2

 

Apabila variansi populasi pertama dan variansi populasi kedua tidak diketahui, tetapi diketahui bahwa kedua variansinya sama, dan tambahan pula ukuran masing-masing populasi kecil (n1  < 30 dan n2  < 30), maka interval konfidensi untuk selisih rata-rata populasi diberikan oleh teorema berikut. Teorema 4

Jika

 s

2

  dan

1

 s

2

1

  berturut-turut merupakan variansi-variansi dari sampel-sampel yang

independen dengan ukuran-ukuran n1  dan n2  yang diambil dari populasi-populasi normal dengan variansi-variansi yang sama, yaitu 2

 s p

Adalah estimator tak bias dari

2

  

.



2

  

, maka estimator gabungan

(n1 1) s12  (n2 1) s22 n1

2

 s  p sering



n2



2

2

 s  p dengan

 

disebut variansi gabungan ( pooled  pooled variance). variance).

nter va vall kko onfi nfid densi unt untuk uk µ1 - µ 2  ji ka  2 dan  2 tidak diketahui, tetapi     12 = Teorema 5 (I nte 1

2 2

  

 =

2

  

2

)

Jika  X  1  dan  X  2  adalah rataan sampel random yang independen, yang berukuran n 1 dan n2  (dengan masing-masing sampel n1  < 30 dan n 2  < 30) yang diambil dari populasi-populasi normal dengan variansi-variansi sama namun tidak diketahui, maka interval konfidensi 100(1  –  α)% bagi µ1 - µ2 ditentukan oleh:

( X 1  X 2 )  t 1

 s p

 ;n1 n2 2

2

1 n1



1 n2

  1   2   

( X  1   X 2 )  t 1  ;n1   2



 s p

n2 2

1 n1



1 n2

 

 

Contoh 4

Metode pembelajaran konvensional diberikan kepada 12 siswa. Kepada kelompok yang kedua, sebanyak 10 siswa, diberikan pembelajaran dengan metode kerja kelompok. Setelah satu periode waktu tertentu, kepada siswa siswa di kedua kelompok tersebut diberi ujian dengan soal yang sama. Siswa-siswa pada kelompok pertama memperoleh rataan 85 dengan deviasi baku 4, sedangkan siswa-siswa pada kelompok kedua mempunyai rataan 81 dengan deviasi baku 5. Carilah interval kepercayaan 90% untuk selisih rataan populasi, jika distribusi nilai-nilai pada masing-masing kelompok dianggap normal dan kedua populasi mempunyai variansi yang sama. Solusi:

Misalnya µ1  dan µ2 masing-masing merupakan rataan siswa-siswa yang diberi metode  pembelajaran konvensional dan metode kerja kelompok. kelompok.  X  1  -  X     2= 2

 s  p



1 n

1

85 –  81 85 –   81 = 4; n1 + n2  –  –  2  2 = 12 + 10 –  10 –  2  2 = 20; t0,05;20 = 1,725.

(11)(16)  (9)(25)  

20



1

1



12

n

2



1 10



20,050;

s  p



20,050  4,478;  

0,083  0,100  0,428;  



sehingga

4  (1,72 725 5)(4,47 478 8)(   0,42 428 8)   1   2   4  (1,72 725 5) (4,47 478 8)(0,42 428 8)   

0,69 694   4   1      2  7,30 306 6 

Apabila variansi populasi pertama dan variasi populasi kedua tidak diketahui, tetapi diketahui  bahwa kedua variansinya nilainya tidak sama, dan tambahan pula ukuran masing-masing  populasi kecil (n1 < 30 dan n2 < 30) maka interval konfidensi untuk selisih rata-rata populasi diberikan oleh teorema berikut.

Teorema 6 (I nt nte er va vall kko onfid nfi densi unt untuk uk µ1 - µ 2  ji  jika ka

2

  1

 

2

2

dan    tidak diketahui, tetapi     



1

2

 

 22 ) Jika

 X  1   dan  X  2 adalah

rataan-rataan sampel ramdom yang independen, yang berukuran n1 

dan n2  (dengan masing-masing n1  < 30 dan n2  < 30), dengan variansi-variansi

 s

2

1

  dan

 s

2

1

,

yang diambil dari populasi-populasi normal dengan variansi-variansi yang tidak diketahui dan tidak sama, maka interval konfidensi 100(1 –  100(1 –  α)% α)% bagi  bagi µ1 - µ2 ditentukan oleh: 2

( X 1   X  2 )  t 1 2 ;v

 s1

n1

2



 s2

 

n2

2



 1   2  ( X  1   X  2 )  t 1 2 ;v

 s1

n1

2



 s2

n2

 

dengan,

 

( v



2 1

 s



2 2

 s

n

)2

n

1

2

    s 2   2       /(n1  1)   2  /(n2  1)    n2     n1   2

2  s 1

 

Contoh 5

Catatan selama 15 tahun, rataan curah hujan di bulan Mei untuk Kabupaten A adalah 4,93 cm dengan deviasi baku 1,14 cm, sedangkan catatan selama 10 tahun untuk Kabupaten B rataan curah hujan untuk bulan yang sama adalah 2,64 cm dengan deviasi baku 0,66 cm. Carilah interval konfidensi 95% untuk untuk selisih rataan curah hujan tersebut, jika dianggap pengamatan pengamatan tersebut berasal dari populasi normal dengan variansi yang berbeda. berbeda. Solusi:  X  1  -  X  2  =

4,93 –  2,64 4,93 –   2,64 = 2,29;

1,14 2 0,66 2 2 ( )  15 10

v

1,14      15

2

2

0,66   / 14          10  

 22,7  23;   2

2

  / 9    

t0,025;23 = 2,069; 2 1

 s

n

1

 s



2 2

n

2



1,14 15

2

 



0,66

2



10

0,087  0,044



0,362  

Sehingga,

2,29  (2,06 069 9)(0,36 362   2)   1   2   2,29 (2,06 069 9)(0,36 362 2)   

  2 1,541 54 1   1   



3,039 039  

Teorema 7 (I nt nte er va vall kko onfi nfid densi unt untuk uk µ1 - µ 2  pa  pada obse serr vasi b be er pasanga sangan n)

Jika  D  adalah rataan dari beda nilai-nilai pada observasi berpasangan pada sampel random yang berukuran n yang diambil dari populasi normal dengan rataan µ D  =  µ1  - µ2 , maka interval konfidensi100(1 –  konfidensi100(1 –  α)% untuk µD ditentukan oleh:  D

 t 1 2

 s D  ;n 1

n

     D  D  t 1

 

2

 s D  ;n 1

dengan sD adalah deviasi baku variabel random D = X 1 –   –   X X2 

n

 

 

Contoh 6

Dua kelompok siswa masing-masing beranggotakan 10 orang. Kedua kelompok tersebut mempunyai IQ yang kurang lebih sama. Kepada kelompok I diminta untuk mempelajari  bahan belajar mandiri A dan kepada kelompok II diminta untuk mempelajari bahan belajar mandiri B. Setelah selesai, kepada mereka diberikan tes yang sama, dan nilai-nilai mereka adalah sebagai berikut: Tabel 1

Distribusi Nilai-nilai Kelompok I dan Kelompok II  No Kelp I Kelp II

1 78 83

2 62 54

3 87 89

4 60 72

5 93 88

6 77 79

7 84 92

8 66 65

9 81 87

10 90 85

Carilah interval konfidensi 98% untuk selisih rataan kelompok I dan kelompok II, jika dianggap pengamatan-pengamatan tersebut berasal dari populasi normal. Solusi: Tabel 2

Tabel kerja untuk mencari rataan dan deviasi baku Kelompok I 78 62 87 60 93 77 84 66

Kelompok II 83 54 89 72 88 79 92 65

81 90

87 85 Jumlah

n = 10;  D

 n

= 3,162

= - 1,6

2

S  D

S  D



(10)(392)   (16) 2 (10)(9)



40,711 6,381 381    





3664 90

 40,711  

t 0,01 ; 9



2,281 

D -5 8 -2 -12 5 -2 -8 1

D2 25 64 4 144 25 4 64 1

-6 5 D = -16

36 25 392

 

 6,381   6,381       1    2  (  1,6 )  (2,821) 3 , 162 3 , 162        

(  1,6 )  (2,821) 

sehingga,



7,29 292 2 

  1      2 

4,09 093 3 

INTERVAL KONFIDENSI UNTUK PROPORSI Teorema 8 (I nte nterr va vall K onfi nfi densi Un Untuk tuk Pr P r opor si p p pa ada Sam Samp pel B esar  sar )

Jika   p adalah proporsi sukses pada sampel random yang berukuran besar (n ˆ

   30),

maka

interval konfidensi 100(1 –  100(1 –  α)% hampiran untuk parameter binomial p ditentukan oleh:  p (1   p ) ˆ

 p   z 1

 p (1   p )

ˆ

ˆ

ˆ

  p   p   z 1

ˆ

ˆ

 

2

n

 

2

 

n

Contoh 7

Pada sampel random yang terdiri dari 500 orang yang makan di café pada malam Minggu, ternyata 160 orang di antaranya menyenangi sea menyenangi  sea food . Carilah interval konfidensi 95% untuk  proporsi orang yang menyenangi menyenangi sea  sea food . Solusi:  p ˆ

= 160/500 = 0,320;  p(1 ˆ



 p)

1 -  p = 0,680; ˆ

(0,320)(0,680

ˆ





500

n

 z 0, 025  



1,96  

0,000435 0,0209   

Sehingga, 0,32  (1,96)(0, 0209 ) p   

0, 279   

p 



0,32  (1,96)(0,0209)  

0,361  

INTERVAL KONFIDENSI UNTUK BEDA PROPORSI Teorema 9 (I nt nte er va vall K Ko onfi densi U Unt ntuk uk p1  –   –  p 2 pa  pada Sa Sam mpel B esar  sar )

Jika

 p1 dan  p2  adalah

  30

ˆ

ˆ

proporsi sukses berturut-turut pada dua sampel random berukuran n 1 

dan n2    30, maka interval konfidensi 100(1  –   α)% hampiran hampiran untuk beda parameter  binomial p1 –   –  p  p2 ditentukan oleh:

 

( p1   p2 )  z 1 ˆ

 p1 (1   p1 ) ˆ

ˆ

ˆ



 p2 (1   p2 ) ˆ

ˆ

ˆ

n1

 

2

  p1   p2  ( p1   p2 )   z 1

n2

 p1 (1   p1 ) ˆ

ˆ

ˆ

 

2



 p2 (1   p2 ) ˆ

n1

ˆ

 

n2

Contoh 8

Banyaknya pemilih di kota A adalah 5000 orang dan banyaknya pemilih di kota B adalah 2000 orang. Seorang kandidat mendapatkan 2400 suara di kota A dan 1200 suara di kota B. Tentukan interval konfidensi 90% untuk selisih rasio yang memilih kandidat di dua kota tersebut. Solusi:  p1 =

2400/5000 = 0,480;

 p1

 p 2

ˆ

ˆ



ˆ

 

0   ,120;

 p1 (1   p1 ) ˆ

 

ˆ

n1

z 0, 05

ˆ

1,645;  

ˆ

n2

1200/2000 = 0,600;



 p2 (1   p2 ) ˆ



 p 2 =



(0,48)(0,52) 5000

(0,60)(0,40)





2000

0,0130  

Sehingga, 

0,12 120 0  (1,64 645 5)(  0,0130)   p1  p2





0, 1414   p1  p 2

 

  

0,12 120 0  (1,64 645 5)(0,0130)  

0,0986  

Tampak bahwa kedua ujung interval bertanda negatif. Hal ini berarti bahwa proporsi yang memilih kandidat tersebut lebih besar di kota B dibandingkan di kota A.

INTERVAL KONFIDENSI UNTUK VARIANSI 2

T eor ema 10 (I nte nterr val val K onfi nfi densi untuk    ) Jika s2  adalah suatu variansi suatu sampel random dengan ukuran n yang diambil dari  populasi normal, maka interval konfidensi 100(1 –  100(1 –  α)% untuk ( n  1) s 2 2

    2

; n 1

2

   

 

( n  1) s 2 2

 1  2

2

  

 ditentukan oleh:

 

; n 1

Contoh 9

Dalam eksperimen untuk melihat diameter sekrup dengan mengambil 10 buah sekrup sebagai sampel, diperoleh variansi diameter sekrup sebesar 0,286 milimeter. Tentukan interval konfidensi 95% untuk variansi diameter sekrup yang sesungguhnya dengan menganggap  bahwa diameter-diameter sekrup berdistribusi normal.

 

Solusi:

n = 10; s2 = 0,286;

  

2 0, 025; 9

19,023 ;

  



2 0 ,975; 9



2,700  

Sehingga,

(9)(0,286   )



 

2



(9)(0,286)

19,023

2,700  

0, 135    



 

2



0,953  

INTERVAL KONVIDENSI UNTUK RASIO DUA VARIANSI

T eor ema 11 (I nte nterr val val K onfi nfi densi untuk   12  /   12 ) Jika

 s

2

1

  dan

 s

2

1

adalah variansi-variansi dari sampel-sampel random independen dengan  

2

 

2

ukuran n1 dan n2 yang berasal dari populasi normal dengan variansi  1 dan  2 , maka interval konfidensi 100(1 –  100(1 –  α)% untuk

  

2

1

2

  /   1

2

 

ditentukan oleh:

1

 s1

2

 s2  F   2

 

; n1 1, n 2 1

2 2  s1   1   2 2  s2   1

 F   2

; n 2 1, n1 1

 

Contoh 10

Sebuah tes dikenakan kepada 25 mahasiswa laki-laki dan 16 mahasiswa perempuan. Rataan skor mahasiswa laki-laki adalah 82 dengan deviasi baku 8, sedangkan rataan skor mahasiswa  perempuan adalah 78 dengan deviasi baku 7. Carilah interval konfidensi 98% untuk

 1 /  2 dengan mengasumsikan bahwa distribusi nilai-nilai mereka adalah normal. n1 = 25;

n2 = 16;

s1 = 8; s2 = 7;

Sehingga,

 64    1      49 3 , 29         

0,397 



0,630



2

 1

2  1

 12  12  1  2

 64    (2,89)    49   3,775  



1,943  

 F 

 

0 , 01; 24 ,15



3,29 ;

 F 

 

0 , 01;15, 24



2,89  

 

LATIHAN

1.  Suatu sampel random berukuran 40 diambil dari sebuah populasi yang mempunyai deviasi baku 2,5. Rataan sampel tersebut ialah 65. Tentukan interval estimator untuk µ dengan interval konfidensi 90%! 2.  Dari nilai-nilai ujian akhir Statistika yang diasumsikan berdistribusi normal, diambil nilai dari 9 anak yang adalah 66, 73, 65, 70, 72, 80, 85, 60, 70. Tentukan interval konfidensi 90% untuk rataan populasi! 3.  Sampel bola lampu A dengan ukuran sampel 60 menunjukkan bahwa masa pakainya mempunyai rataan masa hidup 1000 jam dengan deviasi baku 80 jam. Sampel bola lampu B dengan ukuran sampel 50 mempunyai rataan masa hidup 900 jam dengan deviasi baku 100 jam. Tentukan interval konfidensi 95% untuk selisih rataan populasi  bola lampu la mpu A dan bola lampu B ! jika diasumsikan distribusi masa pakai kedua bola lampu normal dan kedua populasi mempunyai variansi yang sama! Diasumsikan  bahwa variansi kedua populasi tidak sama 4.  Pada sampel random yang terdiri dari 400 orang, ternyata 300 orang di antaranya gemar menonton sepak bola. Tentukan interval konvidensi 90% untuk proporsi orang yang menyenangi sepak bola! 5.  Dari 1000 siswa SMU I, yang menyenangi sepak bola ada 450 orang. Dari 900 siswa SMU II, yang menyenangi sepak bola ada 350 orang. Tentukan interval konfidensi 95% untuk selisih rasio siswa yang menyenangi sepak bola di SMU I dan di SMU II! 6.  Dalam suatu penelitian untuk melihat diameter sekrup, dengan 10 buah sekrup diperoleh diameter-diameter berikut (dalam cm). 0,55

0,56

0,60

0,53

0,55

0,56

0,50

0,53

0,51

0,56

Tentukan interval konfidensi 90% untuk variansi diameter sekrup pada populasinya dengan menganggap bahwa diameter-diameter sekrup itu berdistribusi normal! 7.  Sebuah tes dikenakan kepada mahasiswa. Dari kelompok mahasiswa laki-laki diambil 21 orang, dan dari 21 orang tersebut mempunyai rataan skor 82 dengan deviasi baku 9. Dari kelompok mahasiswa perempuan diambil 16 orang, dan dari 16 orang tersebut mempunyai rataan skor 85 dengan deviasi baku 10. Tentukan interval konfidensi 90% untuk perbandingan deviasi baku mahasiswa laki-laki dan perempuan dengan menganggap bahwa distribusi nilai-nilai mereka adalah normal! 8.  Suatu stimulant akan diuji akibatnya terhadap tekanan darah. Dua belas orang pria telah diambil secara random dari kelompok umur 30  –   40 tahun. Hasil pengukuran tekanan darah sebelum dan sesudah diberi stimulant adalah sebagai berikut.  No

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Y X

120 128

124 130

130 131

118 127

140 132

128 125

140 141

135 137

126 118

130 134

126 129

127 130

 

Keterangan: Y = sebelum diberi stimulant; X = setelah diberi stimulan Tentukan interval konfidensi 95% untuk selisih rataan setelah diberi stimulan dan sebelum diberi stimulant, jika pengamatan-pengamatan tersebut dianggap berasal dari  populasi normal!  Akan diduga rataan pendapatan dari pelayan restoran di kota-kota besar di Jawa. Diambil sampel secara acak sebanyak 75 orang pelayan restoran, didapatkan rataan pendapatannya adalah Rp 130.000,- dengan simpangan baku Rp 20.000,kantong sedang diambil secara acak dari suatu penyalur beras dimana masing-masing beratnya 5.4 , 5.3 , 4.7 , 4.6 kg. Berapakah 90% selang kepercayaan untuk rataan berat kantong beras di penyalur tersebut? Jika dianggap kantong-kantong beras tersebut sebarannya mendekati normal. Suatu Pabrik yang membuat suku cadang menduga proporsi cacat dari hasil produksinya, diambil sampel sebanyak 400 didapatkan cacat sebanyak 34. Berapa 85% selang kepercayaan proporsi hasil produksi yang cacat?