TEORI ELASTISITAS

TEORI ELASTISITAS Metode seismik memanfaatkan sifat penjalaran gelombang mekanik yang dijalarkan dijalarkan melewati melewati bumi. Karena Karena penjalaran penjalaran gelombang gelombang sangat bergantung pada sifat elastis dari batuan yang ada di bawah permukaan bumi, maka perlu terlebih dahulu dibahas mengenai konsep dasar elastisitas. Ukur Ukuran an dan dan bent bentuk uk sebu sebuah ah bend benda a pada padatt dapa dapatt beru beruba bah h deng dengan an cara cara memberikan gaya ke bagian permukaan luar dari benda tersebut. Gaya luar ini akan akan dilaw dilawan an oleh oleh gaya gaya inte interna rnall yang yang akan akan melaw melawan an peruba perubahan han bentuk bentuk dan ukuran benda tersebut. Sebagai akibat dari gaya internal tersebut, benda akan berusaha untuk kembali ke bentuk semula ketika gaya luar dihilangkan. Fluida akan akan mempe mempert rtaha ahanka nkan n peruba perubahan han volu volume me,, tetap tetapii tidak tidak dengan dengan peruba perubahan han bentuk. Sifat melawan perubahan perubahan bentuk atau ukuran dan kembali kembali ke bentuk awal ketika gaya luar dihilangkan dikenal dengan istilah elastisitas. Sebuah benda yang elastis sempurna adalah benda yang benar-benar kembali ke bentuk dan ukura ukuran n asal asal denga dengan n semp sempur urna na sete setelah lah gaya gaya luar luar dihi dihila langk ngkan. an. Batu Batuan an bisa bisa diangga dianggap p elasti elastis s sempur sempurna na dengan dengan melihat melihat bahwa bahwa deform deformasi asi benda benda terse tersebut but (perubahan (perubahan bentuk atau atau ukuran) cukup cukup kecil, seperti seperti dalam kasus gelombang gelombang seismik, kecuali untuk bahan yang berada dekat sumber seismik.   Teori Teori elasti elastisit sitas as akan akan mengh menghubu ubungka ngkan n gaya gaya yang yang diber diberikan ikan terhad terhadap ap suat su atu u bend benda a deng dengan an peru peruba baha han n bent bentuk uk dan dan ukur ukuran an yang yang diak diakib ibat atka kan. n. Hubungan antara gaya yang dikenakan pada benda terhadap deformasi benda tersebut dinyatakan dalam konsep stress dan strain (tegangan dan regangan).

Tegangan (Stress) Stress atau tegangan didefinisikan sebagai gaya per satuan luas. Ketika sebuah gaya diberikan kepada sebuah benda, tegangan adalah perbandingan antara besar gaya terhadap luas dimana gaya tersebut dikenakan. Jika gaya yang yang dike dikena naka kan n tega tegak k luru lurus s terh terhada adap p perm permuk ukaan aan bend benda a (lua (luas s yang yang akan akan diperhitungkan), maka tegangan tersebut adalah tegangan normal. Jika gaya yang dikenakan berarah tangensial terhadap elemen luas permukaan benda, tegangan tersebut adalah tegangan geser. Jika gaya tersebut tidak tegak lurus maup maupun un para parale lell terh terhada adap p elem elemen en luas luas perm permuk ukaan aan bend benda a ters terseb ebut ut,, gaya gaya tersebut dapat diuraikan ke komponen yang paralel dan tegak lurus terhadap eleme elemen n luas luas permuk permukaan aan benda benda terseb tersebut. ut. Dengan Dengan demiki demikian, an, segala segala bentuk bentuk tegangan dapat diuraikan dalam komponen normal dan tangensial.

TEORI ELASTISITAS

1

 Jika kita mempertimbangkan sebuah elemen kecil volume, tegangan yang bera beraks ksii pada pada enam enam buah buah perm permuk ukaa aan n dapat dapat diur diurai aikan kan menj menjad adii komp kompon onen en-komponen, seperti yang terlihat pada Gambar 1. z

σzz

A σzx

E

B

σzy F σyz

dz σxz

O

σyy

dy

σyx C

dx σxy σxx

D

y

G

x Gambar 1. Komponen tegangan.

Pada Pada saat benda benda berada berada dalam dalam keadaan keadaan setimb setimbang ang statis statis,, gaya-g gaya-gaya aya akan seimba seimbang. ng. Ini berart berartii bahwa bahwa tiga tiga kompon komponen en teganga tegangan n σ   xx  , σ   yx  , σ   zx  yang beraksi pada permukaan OABC harus sama dan berlawanan dengan tegangan pada permukaan permukaan DEFG, deng dengan an hubu hubung ngan an yang yang seru serupa pa pula pula untu untuk k empa empatt permukaan yang lainnya. Sebagai tambahan, sejumlah tegangan geser, seperti

σ  cenderung ung memutar memutar elemen elemennya nya pada pada sumbu z. z.  yx , merupakan kopel yang cender Besarnya kopel tersebut adalah : =( a le n g an p en g u ng k i)t σ  ( g a y×  yx

d yd)z  

  Jika Jika kita kita pertim pertimban bangkan gkan teganga tegangan n pada empat empat permuk permukaan aan lain lain benda benda tersebut, kita akan menemukan bahwa kopel ini akan dilawan hanya oleh kopel yang disebabkan oleh pasangan tegangan σ  Karena  xy dengan besar (σ  xy dxdz)dy . Karena elemen tersebut dalam keadaan setimbang, maka momen total haruslah nol, dengan demikian σ   xy  = σ   yx . Secara umum, harus memenuhi σ  ij ij = σ   ji.

 σ xx σ xy  Tensor stress =  σ yx σ yy   σ zx σ zy

σ xz     σ yz   σ zz    

Normal Stress

Regangan (Strain) Ketika benda elastis mendapat tegangan, maka akan terjadi perubahan bentuk dan dimensi. Perubahan ini, yang dikenal dengan strain atau regangan, dapat diuraikan dalam beberapa tipe dasar. Perhatikan bidang segiempat PQRS pada bidang xy (Gambar (Gambar 2). Pada saat stress stress berlaku, P akan berpindah ke P’; PP’’ memi PP memili liki ki kompon komponen en u dan dan v. Jika Jika titi titik k su sudu dutt lain lain Q, R dan S memi memili liki ki perpin perpindaha dahan n yang yang sama sama dengan dengan P, bidang bidang segiemp segiempat at tersebut tersebut akan hanya hanya TEORI ELASTISITAS

2

akan berpindah berpindah secara secara keseluruhan keseluruhan dengan besar besar u dan v. Dalam hal ini tidak ada perubahan bentuk maupun ukuran dan tidak ada regangan yang timbul. Namun jika besar u dan v berbeda untuk titik sudut yang berbeda, bidang segiempat tersebut akan mengalami perubahan bentuk dan atau ukuran, dan regangan akan timbul.

 y

 R’ 

(du/dy)dy S’  (dv/dy)dy

S 

R

δ2

Q’  dy

(dv/dx)dx

δ1

u  P’ 

v Gambar 2. Analisis regangan 2 dimensi.  P 

dx

Q

(du/dx)dx

Asumsikan u = u(x u(x,y) ,y), v = v(x, v(x,y y), lalu lalu koor koordi dina natt dari dari PQRS dan P’Q’R’S’   x dinyatakan sebagai berikut: P( x, y) : P '( '( x + u, y + v);

∂u ∂v dx , y + v + dx ); ∂ x ∂x ∂u ∂v S ( x, y + dy dy ) : S '( x + u + dy , y + dy dy + v + dy ); ∂ y ∂y ∂u ∂u R( x+ dx dx, y+ dy dy) : R'( x+ dx dx+ u+ dx+ dy, y+ ∂x ∂y

Q( x + dx dx, y ) : Q '( x + dx dx + u +

dy dy+ v+

∂v ∂v dx+ dy). ∂x ∂y

secara umum perubahan u dan v  jauh lebih kecil daripada besar dx  dan dy . Berda Berdasar sarkan kan hal tadi tadi dapat dapat diasum diasumsik sikan an bahwa bahwa bentuk bentuk (∂u ∂ x ) ,( ∂u ∂ y ) dan lainnya akan sangat kecil sehingga dapat diabaikan. Strain Strain didefi didefinis nisikan ikan sebagai sebagai perubah perubahan an relat relatif if (perub (perubahan ahan fraksi fraksiona onal/k l/keci ecil) l) dalam alam dim dimensi ensi atau atau bent bentuk uk dar dari su suat atu u bend benda. a. Kuan Kuanti tita tas s ∂u ∂ x dan

∂v

∂ y

merupakan merupakan pertambahan pertambahan panjang panjang yang relatif relatif terhadap sumbu-x dan sumbu-y sumbu-y dan meruju merujuk k kepada kepada normal normal strain strain. Kuantitas Kuantitas (∂v ∂ x + ∂u ∂y ) merupakan merupakan jumlah jumlah dari sudut sebelah kanan dalam bidang  xy  yang berkurang ketika ada gaya yang bekerja pada benda dan menyebabkan perubahan bentuk dari medium, TEORI ELASTISITAS

3

dikenal sebagai shearing strain yang dinotasikan oleh ε  xy . Kuantitas (∂v ∂ x − ∂u ∂y ) merepres merepresentas entasikan ikan rotasi dari benda di sekitar sekitar sumbu-z sumbu-z yang tidak meliputi meliputi perubahan dalam ukuran atau bentuk sehingga ini bukan merupakan strain. Kuantitas ini dinotasikan dengan simbol θ  z  . Strain atau regangan didefinisikan sebagai perubahan relatif (perubahan kecil) dimensi atau bentuk dari suatu benda. Nilai kuantitas du/dx  dan du/dy  adalah pertambahan relatif dimensi panjang dalam arah sumbu  x  dan  y  dan berkenaan dengan regangan normal (normal (normal strain). strain). Sedangkan Sedangkan nilai kuantitas kuantitas (du/dx + du/dy ) adalah besar dimana sudut sebelah kanan pada bidang  xy  berkurang pada saat tegangan diberikan, dengan demikian merupakan ukuran perubahan bentuk dari medium tersebut, yang dikenal dengan regangan geser (shearing shearing strain strain) yang yang dinota dinotasika sikan n dengan dengan simbol simbol ε xy . Dala Dalam m perl perlua uasa san n ke bidang tiga dimensi, elemen dasar dari regangan dinotasikan sebagai berikut :

Regangan Normal

∂u  ∂ x   ∂u  ε   yy =  ∂ y  ∂w  ε   zz  =  ∂ z  

∂v ∂ u  + ∂ x ∂ y  ∂w ∂ v  +  yz= ε  zy= ∂ y ∂ z   ∂u ∂ w  ε  = = +  zx xz   ∂ z ∂x 

(2)

ε    xx

ε

ε

ε

=

xy ε 

=

(1)

Rega Regang ngan an

Gese Geser  r 

=

yx

Sebagai Sebagai akibat akibat dari dari regang regangan an tersebut tersebut,, benda benda mengal mengalami ami rotasi rotasi sederhana terhadap ketiga sumbu, yang diberikan oleh :

 ∂w ∂v   = 1  −   2  ∂ y ∂z   1  ∂u ∂w    θ  y =  −    2  ∂ z ∂x   1  ∂u ∂w   θ  z  =  −   2  ∂ z ∂x    θ  x

(3)

Perub Perubahan ahan dimens dimensii yang yang diberi diberikan kan oleh oleh regang regangan an akan mengha menghasil silkan kan perubahan volume benda, perubahan volume per unit volume disebut dilatasi dan direpresentasikan oleh Δ yang diberikan oleh : ∂u ∂v ∂w ∆ = ε xx+ ε yy+ ε  zz=  + + (4) ∂x ∂y ∂z  

TEORI ELASTISITAS

4

 ε xx ε xy ε xz      ε ε ε  Tensor strain = yx yy yz  , Rotasi Posisi benda =     ε zx ε zy ε zz  

θ θy θz      x    ∂ / ∂x ∂ / ∂y ∂ / ∂z    u v w      

Hukum Hooke Hukum Hukum Hooke Hooke menya menyatak takan an bahwa bahwa ketika ketika regang reganganny annya a kecil, kecil, regang regangan an yang diberikan akan proporsional dengan tegangan yang menimbulkannya atau deng dengan an kata kata lain lain,, masi masing ng-m -masi asing ng rega regang ngan an meru merupa pakan kan fung fungsi si lini linier er dar keselu keseluruh ruhan an tegang tegangan an dan sebali sebalikny knya. a. Untuk Untuk medium medium homoge homogen n isotro isotropik pik,, pernyataan tersebut dapat diekspresikan dalam bentuk : σ ii

= λ∆ + 2µε ii  

i = x,y,z 

σ ij

= µε ij

i,j = x,y,z, i ≠ j

(5)

(6) Persamaan (5) menyatakan bahwa tegangan normal dapat menghasilkan tegan eganga gan n dal dalam arah arah sel selain ain arah arah dar dari teg teganga angan n terse ersebu but, t, seda sedang ngka kan n pers persam amaan aan (6) (6) meny menyata atakan kan bahw bahwa a tega tegang ngan an gese geserr hany hanya a meng mengha hasi silk lkan an regangan geser (tidak ada regangan normal). Besaran λ Besaran  λ dan μ dan  μ dikenal dengan konstanta Lame. Jika dituliskan ε ij = σ ij / µ  ,   jelas bahwa nilai ε ij berbanding berbanding terbalik terbalik dengan  μ.  μ. Oleh karena itu  μ yang merupakan ukuran tahanan terhadap regangan geser sering merujuk kepada besaran modulus kekerasan atau modulus geser . Ketika tegangan dinaikkan hingga melebihi limit elastis, elastis , maka Hukum Hooke tak lagi berlaku dan regangan yang yang diaki diakibat batkan kan oleh oleh tega tegang ngan an ters terseb ebut ut tida tidak k sepe sepenu nuhn hnya ya hila hilang ng keti ketika ka tegangannya dihilangkan.

Konstanta Elastis Walaupun konstanta Lame sesuai untuk digunakan dalam peristiwa fisika yang melibatkan sifat elatisitas benda, beberapa konstanta elastis lain sering digunakan, diantaranya Modulus Young yang dirumuskan dengan :

 E  =

σ  xx ε xx

=

µ (3 λ + 2 µ ) λ+ µ 

(7)

dan perbandingan Poisson (Poisson’s Ratio) yang dirumuskan dengan : σ  =

−ε  yy ε

= xx

−ε zz  λ  = ε xx 2(λ + µ )  

(8)

Medium yang mengalami penegangan hidrostatis sebesar –p atau : σ  xx = σ yy = σ zz  = -p

σ  xy = σ yz  = σ zx = 0

akan memiliki perbandingan antara tegangan terhadap dilatasi sebesar k : k :

TEORI ELASTISITAS

5

k  =

− p 3λ + 2µ  = 3 ∆

∆ = ε xx+ ε yy+ ε  zz= 

(9)

∂u ∂v ∂w + + ∂x ∂y ∂z  

(10)

Persamaan Gelombang Gelombang yang berada pada keadaan tidak teredam dapat dinyatakan dengan persamaan berikut : 2

∇ ψ  =

1 ∂ 2 ψ  v 2 ∂t 2

(11) dengan ∇ = ˆi

∂ ˆ ∂ + k  ˆ ∂ + j ∂x ∂y ∂z

(12) Persamaan rambat gelombang P dan S dapat diturunkan dari Hukum Hooke yang yang meny menyat atak akan an hubu hubung ngan an stress (gay gaya per persat satuan uan luas) uas) dan strain (perubahan dimensi) sebagai: σii = λ∆ + 2µ εii

(13)

σij = µεij ; i≠ j (14) dalam dalam persam persamaan aan terseb tersebut ut i,j = x,y,z x,y,z sedang sedangkan kan λ

dan µ

dikenal dikenal sebagai

konstanta lame. lame. konstanta µ didefinisikan sebagai kemampuan menahan strain geser, geser, sehingga sehingga µ sering seringkali kali dis disebu ebutt sebagai sebagai modulu modulus s geser geser.. ∆ perubahan volume sebagai akibat dari tekanan :

adalah

∆ = ∂u + ∂v + ∂w ∂ x ∂ y ∂ z  Persamaan (13) menyatakan hubungan antara stress ( σ    ) dan strain ( ε   ) ii

ii

pada pada keadaa keadaan n satu satu arah arah sedangk sedangkan an persam persamaan aan (14) (14) menyat menyatakan akan hubung hubungan an stress dan strain yang saling tegak lurus.

TEORI ELASTISITAS

6

tekanan strain searah stress

strain tegak lurus stress

Kondisi benda pada keadaan awal Kondisi benda pada keadaan akhir 

Gambar 3. Penggambaran stress dan strain yang ditimbulkan oleh tekanan. Dalam hukum Newton, gaya (F) pada suatu benda setara dengan massa benda (M) dikali dengan percepatannya (a). Sehubungan dengan pergeseran (u) sebagai akibat dari tekanan sepanjang sumbu-x, hukum Newton tersebut diungkapkan sebagai berikut: Hukum newton :

F

=

m.a

= ρ .a

volum

2 ∂σ ∂σ ∂σ ∂ ρ u2 = ∂x + ∂y + ∂z ∂t xx

xy

xz

(15) dimana σ

xx

= Stress normal arah x, σ

xy

= Stress geser arah x ke y dan σ

xz

= Stress geser arah x ke

z. Dengan mengunakan Hukum Hooke :

σii = λ∆ + 2µ εii dan σij = µεij dimana i≠ j

 Jika Hukum Hooke dimasukkan ke persamaan (15), akan mendapatkan :

∂ ∂ ∂ ρ ∂ u2 = ∂x (λ∆ + 2µε ) + ∂y (µε ) + ∂z (µε ∂t 2

xx

xy

xz

)

(16) 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ u2 = λ ∂x (∆) + 2µ ∂x (ε ) +µ ∂y (ε ) +µ ∂z (ε ∂t xx

xy

xz

)

(17)  Jika dilakukan operasi divergensi arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z : 2 ∂   ∂ ∂   ∂ ∂ ∂   ρ 2    (u )    = λ x  x (∆)  + 2µ x  x (ε ∂  ∂ ∂t  ∂x   ∂  ∂  

xx

   

)  + µ

∂   ∂ ε  + µ ∂   ∂ ε    ( )    ( )   ∂y  ∂x xy   ∂z  ∂x xz  

(18) TEORI ELASTISITAS

7

ρ

∂2 ∂t 2

  ∂           ∂   ∂ ∂   ∂ ∂   ∂ ∂   ∂              ( v)   λ ( ∆ ) + 2 µ ( ε ) + µ ( ε ) + µ ( ε ) = yy yx yz  ∂y    ∂y   ∂x  ∂y   ∂z  ∂y     ∂ y ∂ y ∂ y                    

(19) 2 ∂   ∂ ∂   ∂ ∂   ∂ ∂   ∂ ∂           ρ ∂ 2    ( w )  = λ ∂z  ∂z (∆)  + 2µ ∂z  ∂z (εzz )  + µ ∂x  ∂z (εzx )  + µ ∂y  ∂z (εzy )   ∂t  ∂z                  

(20) Kita kembangkan kembangkan lebih jauh, lakukan lakukan operasi operasi pada 3 arah ”displacem ”displacement” ent” u, v, w:

∇ .D = ∇ x.u + ∇ y.v +∇ z.w (21) ∂

∂

∂

∇ .D = ∂x (u ) + ∂y ( v) + ∂z ( w ) (22) Kita jumlahkan persamaan (18), persamaan (19), dan persamaan (20) :

ρ

∂2 ( .D ) λ∇ ∆+2µ∇ ∆ ∇ = ∂t 2 2

2

(23)

∂2 ( .D ) (λ+2µ)∇ ∆ ρ 2 ∇ = ∂t 2

(24) Persamaan (24) adalah persamaan untuk gelombang P karena beroperasi pada pada arah arah seja sejaja jarr (sea (seara rah) h) deng dengan an kompo kompone nen n gaya gaya.. Jika Jika pers persam amaan aan (18) (18) dibandingkan dengan persamaan gelombang umum (11), maka akan diperoleh perumusan kecepatan gelombang P, yaitu: Vp

=

λ + 2µ ρ

(19) dengan λ  adalah konstanta Lame dan  ρ  adalah densitas. Selanjutnya sehubungan dengan gerak puntir seperti dikemukakan dalam lampiran B, diperoleh persamaan:

∂ 2θx ρ 2 = µ∇ 2 θ x ∂t (20) dengan θ=∇xζ, yang menyatakan menyatakan vektor vektor sudut sudut puntir. puntir. Persam Persamaan aan (20) (20) ini disebutt juga disebu juga sebagai sebagai persam persamaan aan gelomb gelombang ang S karena karena gelomb gelombang ang meramb merambat at dengan gerakan memutar (curl). Dengan Dengan memba membandi ndingk ngkan an persam persamaan aan (9) dan persam persamaan aan gelomb gelombang ang umum (1) maka diperoleh kecepatan gelombang S, yaitu : TEORI ELASTISITAS

8

=

Vs

 µ   ρ 

(21) dengan µ adalah adalah modulu modulus s geser geser dan ρ adalah adalah massa massa jenis. jenis. Berdas Berdasark arkan an persamaan ini, gelombang S tidak dapat merambat pada medium cair maupun udara karena cairan dan udara mempunyai modulus geser bernilai nol.

Gambar 4. Perambatan gelombang P dan gelombang S

Konsep Tensor Stress, Strain dan Tensor Anisotropi Dari Hukum Hooke yang menyatakan hubungan stress (gaya persatuan luas) dan strain (perubahan dimensi) sebagai:

σ = C.ε (22) dimana : σ = tensor stress, ε = tensor strain dan C = tensor stiffness (derajat kekakuan), atau

σ

ij

= Cijkl.ε

kl

(23) Cijkl adalah tensor stiffness berukuran 9x9

σ

ij

=ζ

.ε

ijkl

kl

(23)

ζ

ijkl

adalah tensor compliance berukuran 9x9, ζ

dimana σ 4) σ 11 C1123. σ 12 C1223. σ 13 C1323. σ 21 C2123. σ 22 C2223.

IJ

: Stress (rank 2), ε

KL

= 1/(Cijkl)

: Strain (rank 2) dan CIJKL : Tensor Elastisitas (rank

= C1111. ε 11 + C1112. ε 12 + C1113. ε 13 + C1121. ε 23 + C1131. ε 31 + C1132. ε 32 + C1133. ε 33 = C1211. ε 11 + C1212. ε 12 + C1213. ε 13 + C1221. ε 23 + C1231. ε 31 + C1232. ε 32 + C1233. ε 33 = C1311. ε 11 + C1312. ε 12 + C1313. ε 13 + C1321. ε 23 + C1331. ε 31 + C1332. ε 32 + C1333. ε 33 = C2111. ε 11 + C2112. ε 12 + C2113. ε 13 + C2121. ε 23 + C2131. ε 31 + C2132. ε 32 + C2133. ε 33 = C2211. ε 11 + C2212. ε 12 + C2213. ε 13 + C2221. ε 23 + C2231. ε 31 + C2232. ε 32 + C2233. ε 33

TEORI ELASTISITAS

ijkl

ε

21

+ C1122. ε

22

+

ε

21

+ C1222. ε

22

+

ε

21

+ C1322. ε

22

+

ε

21

+ C2122. ε

22

+

ε

21

+ C2222. ε

22

+

9

= C2311. ε 11 + C2312. ε 12 + C2313. ε 13 + C2321. ε 21 + C2322. ε σ 23 C2323. ε 23 + C2331. ε 31 + C2332. ε 32 + C2333. ε 33 = C3111. ε 11 + C3112. ε 12 + C3113. ε 13 + C3121. ε 21 + C3122. ε σ 31 C3123. ε 23 + C3131. ε 31 + C3132. ε 32 + C3133. ε 33 = C3211. ε 11 + C3212. ε 12 + C3213. ε 13 + C3221. ε 21 + C3222. ε σ 32 C3223. ε 23 + C3231. ε 31 + C3232. ε 32 + C3233. ε 33 = C3311. ε 11 + C3312. ε 12 + C3313. ε 13 + σ 33 C3323. ε

23

+ C3331. ε

31

+ C3332. ε

32

+ C3333. ε

22

+

22

+

22

+

C3321. ε

21

+

C3322. ε

22

+

33

Matriks Stiffness Ordo 9x9

ε

σ C1111 C1112 C1113 C1121 C1122 C1123 C1131 C1132 C1133

11

ε

σ C1211 C1212 C1213 C1221 C1222 C1223 C1231 C1232 C1233

12

C1311 C1312 C1313 C1321 C1322 C1323 C1331 C1332 C1333

13

C2111 C2112 C2113 C2121 C2122 C2123 C2131 C2132 C2133

21

=

22

C2211 C2212 C2213 C2221 C2222 C2223 C2231 C2232 C2233 C2311 C2312 C2313 C2321 C2322 C2323 C2331 C2332 C2333

23

C3111 C3112 C3113 C3121 C3122 C3123 C3131 C3132 C3133

31

C3211 C3212 C3213 C3221 C3222 C3223 C3231 C3232 C3233

32

C3311 C3313 C3315 C3321 C3322 C3323 C3331 C3332 C3333

33

 Jika σ

31 32 33

32

ε

σ

23

31

ε

σ

22

23

ε

σ

13

22

ε

σ

21

21

ε

σ

12

13

ε

σ

11

12

ε

σ

σ σ σ σ σ σ σ σ σ

11

IJ

= σ  JI, CIJKL = CIJLK, CIJKL = C JIKL dan ε

= C1111. = C1211. = C2111. = C1311. = C2211. = C2311. = C3111. = C3211. = C3311.

ε ε ε ε ε ε ε ε ε

+ 2 C1112. 11 + 2 C1212. 11 + 2 C2112. 11 + 2 C1312. 11 + 2 C2212. 11 + 2 C2312. 11 + 2 C3112. 11 + 2 C3212. 11 + 2 C3312.

11

ε ε ε ε ε ε ε ε ε

+ 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 +

12

2C1113. 2C1213. 2C2113. 2C1313. 2C2213. 2C2313. 2C3113. 2C3213. 2C3313.

ε ε ε ε ε ε ε ε ε

+ 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 +

13

KL

C1122. C1222. C2122. C1322. C2222. C2322. C3122. C3222. C3322.

=ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

33

LK 

+ 22 + 22 + 22 + 22 + 22 + 22 + 22 + 22 +

22

2C1123. 2C1223. 2C2123. 2C1323. 2C2223. 2C2323. 2C3123. 2C3223. 2C3323.

ε ε ε ε ε ε ε ε ε

+ 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 +

23

C1133. ε 33 C1233. ε 33 C2133. ε 33 C1333. ε 33 C2233. ε 33 C2333. ε 33 C3133. ε 33 C3233. ε 33 C3333. ε 33

atau : σ

11

= C1111. ε

11

(C1211 + C2111)ε 2σ 12 = (C + C2133)ε 33 (C1311 + C3111)ε 2σ 13 = (C + C3133)ε 33

+ 2 C1112. ε

12

+ 2C1113. ε

13

+ C1122. ε

22

+ 2C1123. ε

23

+ C1133. ε

33

11

+ 2( C1212 + C2112)ε

12

+ 2(C1213 + C2113) ε

13

+ (C1222 + C2122) ε

22

+ 2(C1223 +C2123)ε

23

+ ( C1233

11

+ 2( C1312 + C3112)ε

12

+ 2(C1313 + C3113) ε

13

+ (C1322 + C3122) ε

22

+ 2(C1323 +C3123)ε

23

+ ( C1333

TEORI ELASTISITAS

10

σ

= C2211. ε

22

11

+ 2 C2212. ε

12

+ 2C2213. ε

13

+ C2222. ε

22

+ 2C2223. ε

23

+ C2233. ε

33

(C2311 + C3211)ε 11 + 2( C2312 + C3212)ε 12 + 2(C2313 + C3213) ε 13 + (C2322 + C3222) ε 22 + 2(C2323 +C3223)ε 2σ 23 = (C + C3233)ε 33 σ 33 = C3311. ε 11 + 2 C3312. ε 12 + 2C3313. ε 13 + C3322. ε 22 + 2C3323. ε 23 + C3333. ε 33

23

+ ( C2333

Matriks Stiffness Ordo 6x6

σ 11 2σ

C1111

12

2C1112

2C1113

2C1123

C1133

ε

11

2(C1223 +C2123)

( C1233 + C2133)

ε

12

2(C1323 +C3123) 2C2223

( C1333 + C3133)

ε ε

( C2333 + C3233)

C3322

2(C2323 +C3223) 2C3323

C3333

ε ε

C1122

(C1211 + C2111)

2( C1212 + C2112) 2(C1213 +

(C1311 + C3111)

2( C1312 + C3112) 2(C1313 + C3113) 2C2212 2C2213

(C1322 + C3122)

2( C2312 + C3212) 2(C2313 + C3213) 2C3313 2C3315

(C2322 + C3222)

C2113) (C1222 + C2122)

2σ =

13

σ 22 2σ

C2211 (C2311 + C3211)

23

σ

C3311

33

C2222

C2233

13 22

23 33

σ 11 2σ

C1111

2C1112

2C1113

C1122

2C1123

C1133

ε

11

12

2C1211

4C1212

4C1213

2C1222

4C1223

2C1233

ε

12

2C1311

4C1312 2C2212

4C1313 2C2213

2C1322

4C1323 2C2223

2C1333

ε ε

4C2312 2C3313

4C2313 2C3315

4C2323 2C3323

2C2333

2σ =

13

σ 22 2σ

C2211

23

2C2311

σ

33

C3311

TEORI ELASTISITAS

C2222 2C2322

C3322

C2233

ε ε

C3333

11

13 22

23 33