Teori Bilangan

BAB 1 TEORI BILANGAN 1. BILANGAN ASLI N  1, 2, 3,  

Sifat Aljabar k , m, n  N . (i ) (k  m)  n  k  (m  n)



(i ' ) (k .m).n  k .(m.n) (Asosiatif )

(ii) m  n  n  m

(ii' ) m.n  n.m

(Komutatif )

(iii) k .(m  n)  k .m  k .n)

(iii' ) n.1  1.n  n

(Distributif - unsur identitas )

(iv) m  k  n  k  m  n

(iv' ) m.k  n.k  m  n (Hk. Penghapusan )

Sifat Urutan (i) (ii) (iii) (iv)

Untuk setiap m, n  N berlaku (tepat satu) : m  n, m  n, n  m (Trikotomi) Jika k  m dan m  n, maka k  n (Transitif ) Jika m  n , maka m  k  n  k , k  N (Monoton ) Jika m  n , maka m.k  n.k , k  N (Monoton .)



Sifat Terurut Rapi: Setiap subset tak kosong dari N mempunyai unsur terkecil.



Prinsip Induksi Matematika (i) Prinsip Induksi I

Misalkan

P(n)

n  N  himpunan pernyataan.

(1) Jika P(1) benar dan (2) jika P(k ) benar mengakibatkan P(k  1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar n. (ii) Prinsip Induksi II

Misalkan

P(n)

n  N  himpunan pernyataan.

(1) Jika P(1) benar dan (2) jika P(k ) benar m  k mengakibatkan P(k  1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar n. 

CONTOH n(n  1) , n  N 2 n(n  1)(n  2) 2. 1.2  2.3  3.4    n(n  1)  , n  N 3 n(n  1)(2n  1) 3. 12  2 2  32    n 2  , n  N 6 1 1 1 1 n 4.       , n  N 1.2 2.3 3.4 n(n  1) n  1

1. 1  2  3    n 

a (r n  1) , r 1 r 1 1 1 1 1 1 6. 2  2  2    2  2  , n  N 1 2 3 n n

5. a  ar  ar 2    ar n 1 

1

7. n  N  (2  3 ) n  (2  3 ) n adalah bilangan bulat 8. n  N  (3  5 ) n  (3  5 ) n habis dibagi 2 n 9. a n  b n  (a  b)(a n 1  a n 1b    ab n  2  b n 1 ), n  N n n n  n  a b n 1  b n 10. (a  b) n  a n   a n 1b   a n  2 b 2     a n  k b k     1  2 k   n  1 n n!    C kn  dan n! n(n  1)(n  2)  2.1 k!(n  k )! k 



Penyajian Bilangan 1. Setiap bilangan asli a dapat ditulis dalam basis 10,

a  an (10n )  an1 (10n1 )    a1 (101 )  a0 (100 ), 0  ai  9; i  0,1, n  an an1  a1a0 Contoh : 3624  3000  600  20  4  3(103 )  6(102 )  2(101 )  4(100 ) 2. Misalkan b  1 adalalah basis sistem bilangan. Untuk setiap bilangan asli a dapat disajikan dalam basis b sebagai a  anb n  an1

n 1

   a1b1  a0b 0 , 0  ai  b  1 (i  0, 1,, n)

 (an an1  a1a0 )b Contoh : 221  3(64)  3(8)  5  3(82 )  3(81 )  5(80 )  3358

Jadi, ekivalensi bilangan berbasis 8 (oktal) dari bilangan desimal 221 adalah 335.

2. BILANGAN BULAT Z    ,3,  2,  1, 0, 1, 2, 3,  

Sifat Aljabar Untuk setiap a, b, c  Z . berlaku : (i ) (a  b)  c  a  (b  c) (i ' ) (a.b).c  a.(b.c) (ii) a  b)  b  a

(ii' ) a.b  b.a

(iii) a  0  0  a  a

(iii' ) a.1  1.a  a

(iv) a  b  0 (b invers dari a terhadap )



Terdapat N  Z   Z dengan sifat (i) a  Z

berlaku ( tepat satu) :  a  N , a  0 atau a  N

(ii) Jika a, b  N, maka a  b  N (iii) Jika a, b  N, maka ab  N



Untuk setiap a, b  Z, a  b  b  a  N



Untuk setiap a  N, 0  a 2



Sifat Urutan (i) a, b  Z berlaku (tepat satu) : a  b, a  b, b  a. (ii) Jika a  b dan 0  c, maka a  c  b  c (iii) Jika a  b dan 0  c, maka ca  cb

3. KETERBAGIAN 

Definisi

a  0 , a dikatakan membagi b jika terdapat

Untuk bilangan bulat a dan b di mana

bilangnan bulat lain c sehingga b  ac . Dengan kata lain, a pembagi dari b atau b kelipatan dari a atau b habis dibagi a dan ditulis sebagai a b .



SIFAT 1) Untuk setiap a  Z,

(refleksif)

aa

2) Untuk setiap a, b, c  Z ,

a b dan b c  a c

3) Untuk setiap a, b, c, x, y  Z ,

Untuk setiap a, b, c  Z, a b  ca cb

5)

Untuk setiap a, b, c  Z, ca cb dan c  0  a b

6)

Untuk setiap a  Z, 1 a

(perkalian) (kanselasi/pencoretan)

a0

8) Untuk setiap a, b  Z ,



a b dan a c  a ( xb  yc) (linear)

4)

7) Untuk setiap a  Z,

(transitif)

a b dan b a  a  b

(a dan b disebut berasosiasi)

SIFAT 1. Uji Bilangan Habis Dibagi a. Suatu bilangan habis dibagi 2  digit terakhirnya habis dibagi 2 (yaitu: 0, 2, 4, 6 atau 8). Contoh: 21570, 149752, 3987484, 2974596, 3974638 habis dibagi 2, sebab digit terakhirnya masing-masing adalah 0, 2, 4, 6, 8. b. Suatu bilangan habis dibagi 2n  n digit terakhirnya habis dibagi 2n. Contoh: 356568 habis dibagi 8 (= 23), sebab 568 habis dibagi 8 (568 : 8 = 71). 4971248 habis dibagi 16 (= 24), sebab 1248 habis dibagi 16 (1248:16=78). c. Suatu bilangan habis dibagi 3  jumlah dari digit-digitnya habis dibagi 3 . Contoh : 653535 habis dibagi 3, sebab 6+5+3+5+3+5=27 dan 27 habis dibagi 3. d. Suatu bilangan habis dibagi 9  jumlah dari digit-digitnya habis dibagi 9. Contoh : 2326752 habis dibagi 9 sebab 2+3+2+6+7+5+2=27 dan 27 habis dibagi 9. 3

e. Suatu bilangan habis dibagi 5  digit terakhirnya habis dibagi 5 (yaitu: 0 atau 5). Contoh: 621580, 24649775 habis dibagi 5. f. Suatu bilangan habis dibagi 5n  n digit terakhirnya habis dibagi 5n. Contoh: 2457375 habis dibagi 125 (= 53), sebab 375 habis dibagi 125 (375:125=3). g. (i) N bilangan yang dapat dipartisi ke dalam bilangan-bilangan 3 digit dari kanan ( , d 4 d 5 d 6 , d 7 d 8 d 9 ). Jumlah alternating ( d 7 d 8 d 9  d 4 d 5 d 6  ) habis dibagi 7 

N habis dibagi 7. Contoh: 1369851 habis dibagi 7, sebab 851-369+1=483 habis dibagi 7 (483:7=69). (ii) Suatu bilangan habis dibagi 7  Kurangi 2 kali digit terakhir dari digit sisanya habis dibagi 7. Contoh: 483 habis dibagi 7, sebab 48-(3x2)=42 habis dibagi 7. (iii) Suatu bilangan habis dibagi 7  Tambah 5 kali digit terakhir ke digit sisanya habis dibagi 7. Contoh: 483 habis dibagi 7, sebab 48+(3x5)=63=7(9) habis dibagi 7. h. (i) Suatu bilangan habis dibagi 11  jumlah alternating dari digit-digitnya (selisih antara jumlah digit pada posisi ganjil dan jumlah digit pada posisi genap dari bilangan tersebut) habis dibagi 11. Contoh: 3718814 habis dibagi 11, sebab (3+1+8+4)-(7+8+1)=16-16=0 habis dibagi 11 (ii) Suatu bilangan habis dibagi 11  Tambah 2 digit terakhir ke digit sisanya habis dibagi 11. Contoh: 627 habis dibagi 11, sebab 6+27=33 habis dibagi 11. (iii) Suatu bilangan habis dibagi 11  Kurangkan digit terakhir dari digit sisanya habis dibagi 11. Contoh: 627 habis dibagi 11, sebab 62-7=55 habis dibagi 11. 2. Jika bilangan N habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka N akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima. Berlaku sebaliknya. Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

4. BILANGAN PRIMA 

Definisi Suatu bilangan bulat p  1

disebut bilangan prima jika p hanya memiliki pembagi

1 dan p sendiri. Jika bilangan bulat n > 1 bukan prima, maka n disebut bilangan komposit

4

Bilangan prima : 2, 3, 5, 7,  Bilangan komposit : 4, 6, 8, 9, 

TEOREMA: 1) Ada tak hingga banyak bilangan prima. 2) Teorema Faktorisasi Prima. Sebarang bilangan bulat n > 1 mempunyai penyajian tunggal sebagai perkalian bilangan prima. 3) Misal bilangan asli n memiliki penguraian prima n  p1 1 . p2 2 . p3 3 ....pk n

n

n

nk

dengan

p1, p 2 , p3 ,...., p k adalah bilangan-bilangan prima yang berbeda, maka

a) Banyaknya faktor berbeda dari n adalah  ( n)  ( n1  1) ( n2  1) ( n3  1)....(nk  1) . b) Banyaknya cara berbeda untuk memfaktorkan n adalah 1 1  ( n)  ( n1  1) ( n2  1) ( n3  1)....(nk  1) . 2 2

4) Jika n bilangan komposit, maka n memiliki faktor prima p dengan p  n .

5. FPB, KPK DAN ALGORITMA PEMBAGIAN 

Definisi (i) Bilangan c disebut faktor persekutuan bilangan a dan b jika c membagi a dan b. (ii) Bilangan d disebut faktor persekutuan terbesar bilangan a dan b jika (1) d faktor persekutuan a, b (2) Untuk setiap faktor persekutuan e dari bilangan a dan b, maka e d , Notasi: d ditulis sebagai (a,b) atau FPB(a,b) atau gcd(a,b). (iii) Dua bilangan bulat a dan b disebut relatif prima atau koprima jika FPB(a,b)=1.



Definisi (i)

Bilangan k disebut kelipatan persekutuan bilangan a dan b jika k dapat dibagi oleh a dan b.

(ii) Bilangan k disebut kelipatan persekutuan terkecil bilangan a dan b jika (1) k kelipatan persekutuan a, b (2) Untuk setiap kelipatan persekutuan l dari bilangan a dan b, maka k l , Notasi: k ditulis sebagai KPK(a,b) atau lcm(a,b). Contoh: 1. FPB(45,75)=15. 2. Bilangan 8 dan 9 adalah relatif prima, sebab FPB(8,9)=1. 3. KPK (12,20)=60. 

SIFAT 1) Algoritma Pembagian 5

Misalkan b bilangan positif, maka untuk setiap bilangan bulat a ada tunggal bilangan q dan r sehingga a  qb  r , 0≤ r< b.

Jika b a , maka r=0. 2) Jika a dan b bilangan bulat dan d= FPB(a,b), maka ada bilangan m dan n sehingga d  ma  nb

3) Jika p bilangan prima, a, b bilangan bulat dan p ab , maka p a atau p b .

a c , b c dan FPB(a, b)  1, maka ab c .

4) Jika

5) Pemfaktoran Tunggal Setiap bilangan bulat a dengan a  1 , maka a dapat ditulis sebagai perkalian bilangan prima (Penulisan ini tunggal kecuali urutannya). 

TEOREMA 1. Teorema Bachet Bezout, Faktor persekutuan terbesar dari sebarang bilangan bulat a dan b, dapat ditulis sebagai kombinasi dari a dan b, yaitu ada bilangan bulat x, y sehingga (a, b)  ax  by . 2. Lemma Euclid Jika a bc dan ( a, b)  1, maka a c .

a b 3. Jika (a, b)  d , maka  ,   1. d d  4. Misalkan c adalah bilangan bulat positif, maka ca, cb   c a, b  . 5.

a , b   a, b 2

2

2



6. Jika a  p1 1.... pk

k



dan b  p1 1.... pk

min(1,1)

FPB(a, b)  p1 

7. Jika a  p1 1.... pk

KPK(a, b)  p1

k

.....pk

min( k , k )



.....pk

max( k ,  k )

,  i , i  0,  i  i  1 , i  1, 2, ..., k maka

k

,  i , i  0,  i  i  1 , i  1, 2, ..., k maka

.

dan b  p1 1.... pk

max(1 , 1 )

k

.

8. Jika a = b q + r, maka FPB(a, b)  FPB(b , r ) 9. Jika a1, a2, a3 , ...., an bilangan bulat yang tidak semuanya nol, maka

a1, a2, a3, ..., an 1, an   a1, a2, a3, ..., an 1, an . 10. FPB dari dua bilangan asli berurutan adalah 1. FPB(n,n+1) = 1 dengan n bilangan asli.

6. BILANGAN BULAT TERBESAR 

Definisi Jika x bilangan real, maka x  menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. 6

Contoh : 7,25   7 dan  3,74   4 . 

Nilai x   x jika dan hanya jika x bilangan bulat.



Tanda   dapat digunakan untuk menentukan nilai k bulat terbesar sehingga a membagi

k

n! dengan a merupakan bilangan prima dan “!” menyatakan faktorial. n  n   n  Nilai k terbesar =     2    3    a a  a  k

Contoh: Nilai k terbesar sehingga 3 membagi 28! Adalah  28   28   28  k      2    3   9  3  1  13 .  3  3  3 



Untuk setiap bilangan real x, y berlaku x    y   x  y  .



 n   n  1   2n  Untuk setiap bilangan bulat positif n, k (k>1) berlaku     .   k   k   k 



Untuk setiap bilangan rteal x dan bilangan asli n berlaku n 1

       nx . x    x     x       x  n  n n    1



2

Jika p, q dua bilangan bulat yang relatif prima, maka

 p   2 p  3 p   (q  1) p  ( p  1)(q  1) .  q    q    q    q   2        

7. RELASI KONGRUENSI 

Definisi Misalkan m > 0. Jika a dan b adalah bilangan bulat sehingga a-b dapat dibagi m, maka a dan b dikatakan kongruen modulo m dan ditulis a  b (mod m)

Dengan kata lain, a-b=km untuk k bilangan bulat. 

Definisi Misalkan m > 0. Bilangan bulat a dikatakan invers dari bilangan bulat b jika ab  1 (mod m)

Contoh: (1) 31  1 (mod 6) , sebab 31-1=30=6(5) (2) 100  2 (mod 7) , sebab 100-2=98=7(14). (3) 2 adalah invers dari 6 modulo 11, sebab 2.6  12  1.11  1  2.6  1 (mod 11) 

Sifat  Misal a, b, c, d , m  Z , m > 0 , k  Ζ  dengan a  b (mod m) dan c  d (mod m) . Maka: 1) a  c  b  d (mod m) 7

2) a  c  b  d (mod m) 3) a.c  b.d (mod m) 4) a k  b k (mod m) 5)

a b m  (mod ) , e adalah bilangan bulat positif yang membagi a dan b. e e FPB (m, e)

6) Jika f polinomial dengan koefisien bilangan bulat maka f (a)  f (b) (mod m)  Jika a  b (mod m) , maka untuk setiap bilangan p berlaku: 1) a  p  b  p (mod m) 2) a  p  b  p (mod m) 3) ap  bp (mod m)  Jika a, b, c, dan m bilangan yang memenuhi ca  cb (mod m) dan FPB(c,m)=1, maka a  b (mod m) .

 Jika a, b, n, m adalah bilangan bulat dan m > 0, maka ( an  b ) m  b m (mod n ) .

8. TEOREMA FERMAT, WILSON’S, & EULER 1. Teorema Kecil Fermat Jika p adalah bilangan prima dan FPB( p, a)  1 , maka a p 1  1 (mod p ) [atau a p 1  1  0 (mod p) ].

2. Akibat Jika p bilangan prima, maka untuk setiap bilangan bulat a berlaku a p  a (mod p ) [atau a p  a  0 (mod p) ].

3. Lemma Jika a 2  1 mod p  , maka berlaku tepat satu a  1 (mod p) atau a  1 mod p  . 4. Teorema Wilson Jika p bilangan prima, maka ( p  1)!  1  0 (mod p) [atau ( p  1)!  1 (mod p) ]. 5. Kebalikan Teorema Wilson Jika ( p  1)!  1  0 (mod p) , maka p adalah bilangan prima. 6. Fungsi Euler 



Jika n  p1 1 . p2 2 .... pk



 ( n)  n 1  

k

adalah faktorisasi prima dari n > 1, maka

 1  1  1  .  1   ......1  p1   p2  pk  

7. Teorema Euler Jika FPB(a,n) = 1, maka a  ( n )  1 (mod n ) .

8

8. Persamaan kuadrat

x 2  1  0 (mod p) dengan p bilangan prima ganjil mempunyai jawab jika

dan hanya jika p  1 (mod p)

9.

PERSAMAAN DIOPHANTINE  Definisi Persamaan Diophantine adalah persamaan yang solusinya harus dicari di himpunan bilangan bulat. Koefisien dari persamaan juga hanya melibatkan bilangan bulat. Contoh: 56 x  72 y  40 . 

Jika persamaan Diophantine mempunyai solusi banyak tak hingga, maka bentuk parametrik digunakan untuk menyatakan relasi antara variabel-variabel persamaan. Contoh: Solusi dari 56 x  72 y  40 adalah

x  20  9t dan y  15  7t , t bilangan bulat.

10. SOAL LATIHAN 1. Diantara bilangan-bilangan 2006, 2007 dan 2008, bilangan yang memiliki faktor prima berbeda terbanyak adalah ……. 2. Ada berapa banyak diantara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang habis dibagi 9 ? 3. Bilangan 2004 memiliki faktor positif selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak... 4. Jumlah empat bilangan asli berurutan senantiasa habis dibagi p. Maka nilai p terbesar adalah … 5. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positif dari 2007. Banyaknya himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah.... m 6. Bilangan 2,525252... adalah bilangan rasional, sehingga dapat ditulis dalam bentuk n ,

di mana m, n bilangan-bilangan bulat, n  0 .Jika dipilih m dan n relatif prima, berapakah m+n ? 7. Berapakah bilangan bulat positif k terkecil sehingga 20032003…2003 (dengan k kali 2003) habis dibagi 9? 8. Misalkan N adalah bilangan bulat terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5, sisa 3 jika dibagi 7, sisa 4 jika dibagi 9. Tentukan jumlah digit N. 9. Jika a679b adalah bilangan 5 angka yang habis dibagi 72, tentukan nilai a dan b. 10.Diketahui FPB(a, 2008)=251. Jika a>2008 maka nilai terkecil yang mungkin bagi a adalah... 11.Nilai dari



2009 k 1

FPB(k ,7) adalah .....

12.Jika 10999999999 dibagi 7, maka sisanya adalah.... 13.Carilah sisa hasil bagi jika 61987 dibagi 37? 14. Buktikan bahwa 7, 13 dan 181 adalah faktor dari 3 9

105

105

+4

15. Untuk setiap bilangan real  , kita definisikan   sebagai bilangan bulat yang kurang dari atau sama dengan  . Jika x dan y bilangan real sehingga

 x 9

dan

 y   12 , maka nilai

terkecil yang mungkin dicapai oleh y  x adalah? 16. Untuk sebarang bilangan real a, notasi a  menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih





kecil dari atau sama dengan a. Jika x bilangan real yang memenuhi x  3  x 

 3 ,

maka x  x  tidak akan lebih besar dari ….. 17.Suatu bilangan terdiri dari 2 angka. Bilangan tersebut sama dengan 4 kali jumlah kedua angka tersebut. Jika angka kedua dikurangi angka pertama sama dengan 2. Tentukan bilangan tersebut. 18.Suatu bilangan terdiri dari 3 angka. Bilangan tersebut sama dengan 12 kali jumlah ketiga angkanya. Tentukan bilangan tersebut. 19.Diketahui bahwa 5k  n 2  2005 untuk k dan n bulat serta n2 adalah bilangan yang terdiri dari tiga digit dengan ketiga digitnya semuanya berbeda. Tentukan semua nilai n2 yang mungkin. 20.Tentukan A dan B jika AB B ___  BA

10

10. SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Diantara bilangan-bilangan 2006, 2007 dan 2008, bilangan yang memiliki faktor prima berbeda terbanyak adalah ……. (OSP, 2007) Jawab: 2006=2.17.59  Banyaknya faktor prima berbeda dari 2006 adalah 3. 2007=32.27  Banyaknya faktor prima berbeda dari 2007 adalah 2. 2008=23.251  Banyaknya faktor prima berbeda dari 2008 adalah 2. Jadi, bilangan yang memiliki faktor prima berbeda terbanyak adalah 2006. 2. Ada berapa banyak diantara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang habis dibagi 9 ? Jawab : Penjumlahan digit 20000002 = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 4 (tidak habis dibagi 9) Penjumlahan digit 20011002 = 2 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2 = 6 (tidak habis dibagi 9) Penjumlahan digit 20022002 = 2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 0 + 0 + 2 = 8 (tidak habis dibagi 9) Penjumlahan digit 20033002 = 2 + 0 + 0 + 3 + 3 + 0 + 0 + 2 = 10 (tidak habis dibagi 9) Karena semua penjumlahan digit tidak ada yang habis dibagi 9 maka tidak ada bilanganbilangan tersebut yang habis dibagi 9. 3. Bilangan 2004 memiliki faktor positif selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak... (OSK, 2004) Jawab: 2004  4 .501  2 2. 3 .167

(2, 3 dan 167

bilangan prima)

Banyaknya faktor positif dari 2004 (termasuk 1 dan 2004) adalah (2+1)(1+1)(1+1)=12. adi, faktor positif selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak (12-2)=10. 4. Jumlah empat bilangan asli berurutan senantiasa habis dibagi p. Maka nilai p terbesar adalah … (OSK, 2008) Jawab: Jumlah empat bilangan asli berturutan senantiasa dapat dinyatakan dengan (n  1)  n  (n  1)  (n  2)  4n  2  2(2n  1) , n>2.

Dengan demikian, 2 senantiasa membagi habis jumlah empat bilangan asli berurutan.

11

Andaikan p>2, maka p harus membagi 2n+1. Hal ini tidak mungkin karena nilai p tetap sedangkan nilai n berubah-ubah. Jadi, nilai p terbesar adalah 2. 5. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positif dari 2007. Banyaknya himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah.... (OSK, 2007) Jawab: 2007=9.223=32.223 Banyak faktor positif=(2+1)(1+1)=6. Maka H  6 dan banyak himpunan bagian dari H yang tidak kosong=26-1=63. m 6. Bilangan 2,525252... adalah bilangan rasional, sehingga dapat ditulis dalam bentuk n ,

dimana m, n bilangan-bilangan bulat, n  0 . Jika dipilih m dan n relatif prima, berapakah

m n ?

(OSP, 2002) Jawab: Misalkan

x  2,525252..... Maka 100x  252,5252....

100x  x  252,5252.... 2,525252...  99 x  250 250  x 99 Karena 250 dan 99 relatif prima, maka m=250 dan n=99. Jadi, m+n=349. 7. Berapakah bilangan bulat positif k terkecil sehingga 20032003…2003 (dengan k kali 2003) habis dibagi 9? (OSP, 2003) Jawab:

... 2003 Misalkan a  20032003   . k

Agar a dapat dibagi 9, maka jumlah digit-digitnya harus habis dibagi 9. Jumlah digit a adalah k(2+0+0+3)=5k. Jadi, bilangan bulat positif k terkecil sehingga 20032003…2003 (dengan k kali 2003) habis dibagi 9 adalah k=9. 8. Misalkan N adalah bilangan bulat terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5, sisa 3 jika dibagi 7, sisa 4 jika dibagi 9. Tentukan jumlah digit N. A. 4

B. 8

C. 13

D. 22

(OSK, 2003) Jawab: 12

E. 40

N  5k  2, k  Z  N  { ,8,  3, 2, 7, 12 , 17 , 22 , } N  7m  3, m  Z  N  { ,11,  4, 3, 10 , 17 , 24 , } Bilangan persekutuan terkecil adalah 17. Maka bilangan bulat terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5 dan sisa 3 jika dibagi 7 berbentuk

N  (5.7)n  17, n  Z  N  { ,18, 17, 52, 87, 122, 157, 192, } . (*) N  9n  4, n  Z  N  { ,5, 4, 13, 22, 31, 40, 49, , 148, 157, 166, } (**) Dari (*) dan (**), bilangan persekutuan terkecil adalah 157. Maka bilangan bulat terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5, sisa 3 jika dibagi 7 dan sisa 4 jika dibagi 9 berbentuk

N  (3.5.7)t  157  135t  157, t  Z

.

Nmin terjadi jika t=0, yaitu Nmin=157. Jadi, jumlah digit N adalah 1+5+7=13. 9. Jika a679b adalah bilangan 5 angka yang habis dibagi 72, tentukan nilai a dan b. Jawab: 72 = 9 ⋅ 8. Karena 9 dan 8 relatif prima maka a679b harus habis dibagi 8 dan 9. Karena a679b habis dibagi 8 maka 79b habis dibagi 8. Agar 790 + b habis dibagi 8 maka b = 2. Karena a6792 habis dibagi 9 maka a + 6 + 7 + 9 + 2 habis dibagi 9. Nilai a yang memenuhi hanya 3. Jadi bilangan tersebut adalah 36792.

10. Diketahui FPB(a, 2008)=251. Jika a>2008 maka nilai terkecil yang mungkin bagi a adalah... (OSK, 2008)

11. Nilai dari



2009 k 1

FPB(k ,7) adalah .....

(OSK, 2009) Jawab: FPB(a,7) = 1 bila a bukan kelipatan 7 FPB(b,7) = 7 bila b kelipatan 7 Jumlah bilangan kelipatan 7 antara 1 sampai 2009 ada 287, jumlah bilangan bukan kelipatan 7 antara 1 sampai 2009 ada 1722. Maka FPB(1,7) + FPB(2,7) + .. + FPB(2009,7) = 287 . 7 + 1722 . 1 = 2009 + 1722 = 3731. 12. Jika 10999999999 dibagi 7, maka sisanya adalah.... (OSK, 2009) Jawab: Karena 7 membagi 1001, maka 10 3  1 (mod 7) . 10 999...9  (1) 333...3 (mod 7)  1 (mod 7)  6 (mod 7)

13

Jadi, sisanya 6.

13. Carilah sisa hasil bagi jika 61987 dibagi 37 Jawab: Akan dicari b sedemikian hingga 61987  b (mod 37 ) . Karena 6 2  1 mod 37  dan 61987  6. (6 2 )993 maka

 

61987  6. 6 2

993

 6.(1)993 mod 37  6 (mod 37)  31 mod 37

Jadi, b = 31.

14. Buktikan bahwa 7, 13 dan 181 adalah faktor dari 3

105

105

+4

.

Jawab : Karena 105 ganjil maka 3 105

3

105

+4

3 35

105

3 35

105

+4 35

habis dibagi 3 + 4 = 7. 35

= (3 ) + (4 ) = 27 + 64

Karena 35 ganjil maka 3

105

105

+4

habis dibagi 27 + 64 = 91. Karena 91 = 7 ⋅ 13 maka 3

105

105

+4

habis dibagi 13. 105

3

105

+4

5 21

5 21

Karena 21 ganjil maka 3 105

3

105

+4

21

21

= (3 ) + (4 ) = 243 + 1024 105

105

+4

habis dibagi 243 + 1024 = 1267. Karena 1267 = 7 ⋅ 181 maka

habis dibagi 181.

15. Untuk setiap bilangan real  , kita definisikan   sebagai bilangan bulat yang kurang dari atau sama dengan  . Sebagai contoh 4,9  4 dan 7  7 . Jika x dan y bilangan real sehingga

 x 9

dan

 y   12 , maka nilai terkecil yang mungkin dicapai oleh

y  x adalah?

(OSK, 2003) 16. Untuk sebarang bilangan real a, notasi a  menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih





kecil dari atau sama dengan a. Jika x bilangan real yang memenuhi x  3  x 

 3 ,

maka x  x  tidak akan lebih besar dari ….. (OSP, 2005) Jawab:

17. Suatu bilangan terdiri dari 2 angka. Bilangan tersebut sama dengan 4 kali jumlah kedua angka tersebut. Jika angka kedua dikurangi angka pertama sama dengan 2. Tentukan bilangan tersebut. 14

Jawab: Misalkan bilangan tersebut adalah ab, maka 10a + b=4 (a+b) 2a=b b-a=2  2a-a=2  a=2 dan b=4. Jadi bilangan tersebut adalah 24.

18. Suatu bilangan terdiri dari 3 angka. Bilangan tersebut sama dengan 12 kali jumlah ketiga angkanya. Tentukan bilangan tersebut. Jawab: Misal bilangan tersebut adalah abc dengan 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 ; 0 ≤ c ≤ 9, maka : 100a + 10b + c = 12 ( a + b + c) 88a = 2b + 11c  2b = 11 (8a − c) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) Karena a, b dan c bilangan bulat, maka b kelipatan 11 atau b = 11k dan (8a − c) = 2k. Karena 0 ≤ b ≤ 9, maka nilai k yang memenuhi adalah k = 0  b = 0 dan c = 8a Karena 0 ≤ c ≤ 9, maka a = 0 (tidak memenuhi) atau a = 1 (memenuhi)  c = 8 ⋅ 1 = 8. ∴ Bilangan tersebut adalah : 108. 2

2

19. Diketahui bahwa 5k = n + 2005 untuk k dan n bulat serta n adalah bilangan yang terdiri dari 2

tiga digit dengan ketiga digitnya semuanya berbeda. Tentukan semua nilai n yang mungkin. Jawab: 2

Karena 5k dan dan 2005 habis dibagi 5 maka n habis dibagi 5 yang berakibat n habis dibagi 5. n tidak akan habis dibagi 10 sebab akan membuat dua angka terakhirnya 00. 2

n < 1000  n < 34. Nilai n yang mungkin adalah 15 atau 25. 2

2

2

Karena 15 = 225 yang membuat terdapat dua digit yang sama maka n = 25 = 625 sebagai 2

satu-satunya nilai n yang memenuhi. 20. Tentukan A dan B jika : AB + B = BA Jawab: (10A + B) + (B) = (10B + A) dengan 1 ≤ A ≤ 9 ; 1 ≤ B ≤ 9 ; A dan B bilangan bulat. 9A = 8B  A = 8t dan B = 9t dengan t adalah bilangan bulat. 1 ≤ 8t ≤ 9  Nilai t yang memenuhi hanya t = 1. ∴ A = 8 dan B = 9

21. Misalkan M dan m berturut-turut menyatakan bilangan terbesar dan bilangan terkecil di antara semua bilangan 4-angka yang jumlah keempat angkanya adalah 9. Berapakah faktor prima terbesar dari M - m ? (OSP, 2002) Jawab: 15

Misalkan bilangan yang ditanyakan adalah abcd dengan a+b+c+d=9.  Agar bilangan abcd sebesar-besarnya, haruslah a=9 Karena a+b+c+d=9, maka b=c=d=0.  M  9000 .  Agar bilangan

abcd sekecil-kecilnya dan a  0 , haruslah sekecil mungkin, yaitu a=1.

Demikian juga b dan c, yakni b=c=0. Karena a+b+c+d=9, maka d=8.  m  1008 .  Maka M  m  9000  1008  7992  8 (999 )  8 (27 ) (37 )  2 . 3 .37 . 3

3

 Jadi, faktor prima terbesar dari M - m adalah 37. 22. Misalkan a, b, c, d, e, f, g, h, i adalah bilangan-bilangan asli berbeda yang kurang atau sama dengan 9. Jika jumlah tiga bilangan dalam setiap lingkaran nilainya sama, tentukan nilai a+d+g.

(OSK, 2003) Jawab: Karena a, b, c, d, e, f, g, h, i adalah bilangan-bilangan asli berbeda dengan 1≤ a, b, c, d, e, f, g, h, i ≤9, maka a  b  c    i  1  2  3    9  45 . Misalkan n adalah jumlah tiga bilangan dalam setiap lingkaran. Maka

(1  a  i )  (2  b  a )  (3  c  b)    (9  i  h)  9n (1  2  3    9)  2(a  b  c    i )  9n 45  2(45)  9n 135 n  15. 9 Perhatikan 1  a  i  15  a  i  14  (a, i ) : (5, 9), (6, 8), (8, 6), (9,5) 9  h  i  15  h  i  6  (h, i ) : (1, 5), (2, 4), (4, 2), (5,1)

Dari (*) dan (**), diperoleh nilai i=5, a=9 dan h=1. 16

(*) (**)

2  a  b  15  b  15  2  a  4; 5  d  e  15  e  15  5  d  7; 3  b  c  15  c  15  3  b  8;

6  e  f  15 

f  15  6  e  2

4  c  d  15  d  15  4  c  3; 7  f  g  15  g  15  7  f  6,

Jadi, a  d  g  9  3  6  18 .

23. Tentukan sisa pembagian jika

dibagi 73.

Jawab: 73 adalah bilangan prima, maka dari Fermat's Little Theorem kita tahu bahwa

.

Maka, kita kelompokkan berdasarkan modulo 73. . Selanjutnya, kita gunakan cara biasa.

_________ _________ _________ _________

.

Jadi, sisa pembagiannya adalah 32.

24. Tentukan dua angka terakhir dari 31234 Jawab: Dua angka terakhir 31234  sisa pembagian 31234 oleh 100. 31234  3 5 x 206  4 (mod 100 )

 

 35

206

. 3 4 mod 100

CONTOH: 1. Untuk menentukan FPB dari tiga bilangan bulat 105, 140, dan 350, kita gunakan sifat 8) untuk melihat bahwa: 105, 140, 350   105, 140,350   105, 70   35 . 2. Tentukan FPB(252, 198) dengan menggunakan algoritma pembagian. JAWAB

252  1.198  54 198  3.54  36 54  1.36  18

36  2.18 Jadi FPB(252,198)=18

17





3. Misalkan (a,b) = 1, maka buktikan a  b, a 2  ab  b 2  1 atau 3 . JAWAB





Misal d  a  b, a 2  ab  b 2 . Sekarang d membagi ( a  b )2  a 2  ab  b 2  3ab . Olehkarena itu d membagi 3b( a  b)  3ab  3b2. Dengan cara yang sama d 3a 2 , maka









d 3a 2, 3b2  3 a 2, b2  3 a, b   3 . Jadi, d = 1 atau 3. (Terbukti) 2

4. Barisan bilangan 101, 104, 109, 116, .... adalah barisan yang berbentuk an  100  n2 , n  1, 2, 3, 4, 5, .... untuk masing-masing n misal d n  an , an 1  . Tentukan nilai max d n . n 1

JAWAB



 

 



Karena dn  100  n2, 100  (n  1)2  100  n2, 100  n2  2n  1  100  n2, 2n  1 . Jadi





d n 2(100  n2 )  n(2n  1)  200  n . Jadi, dn 2(200  n)  (2n  1)  401. Ini berarti dn 401

untuk semua n. Apakah ini yang paling maksimum? Jawabnya ya... Misal untuk n = 200, maka a200  100  2002  100(401) dan a201  100  2012  101(401) . Jadi Max dn  401 n 1

6. Tentukan angka satuan bilangan 1997 1991 Jawab: Angka satuan 1997 1991  sisa pembagian 1997 1991 oleh 10.  (199 x 10  7)1991 (mod 10 )  71991 (mod 10 )  7 4 x 497 3 (mod 10 )

 

 74

497

. 73 (mod 10)

 (2421) 497 . 343 (mod 10 )  1.3 (mod 10)  3 (mod 10)

Jadi angka satuan 1997 1991 adalah 3.

18