Teori Bilangan Keterbagian FPB

 

Teori Bilangan Keterbagian FPB KETERBAGIAN FPB  pengertian teori bilangan keterbagian FPB, sifat-sifat teori bilangan keterbagian FPB, Dalil-dalil teori bilangan keterbagian, contoh soal teori bilangan keterbagian, Pengertian keterbagian, definisi keterbagian, sifat-sifat keterbagian, dalil-dalil keterbagian, contohcontoh keterbagian, keterbagian, makalah keterbagian, makalah teori bilangan,  

Pengertian I keterbagian 

Keterbagian atau divisibility artinya, sudut pandang matematika yang mempelajari suatu  bilangan yang habis oleh bilangan lain. Misalkan a dan b bilangan-bilangan bulat sebarang; b pembagi a jika dan hanya jika ada  bilangan bulat c sedemikian sehingga a = bc. Jika ba maka b adalah suatu faktor atau suatu  pembagi a, dan a adalah suatu kelipatan dari b. Jangan dikacaukan antara ba dan b/a yang diterjemahkan sebagai b : a. ba merupakan suatu relasi benar atau salah. Sedangkan b/a merupakan suatu operasi yang mempunyai suatu nilai  bilangan tertentu. Untuk lebih memantapkan pengertian pen gertian ini, bandingkan antara 0 : 0 dan 00. Kita tahu bahwa 0 : 0 tidak terdefinisi, tetapi 00 adalah pernyataan yang benar karena 0 = 0 . a untuk

setiap bilangan bulat a. Kita menulis 5┼12 untuk menyatakan bahwa 12 tidak dapat dibagi (tidak habis dibagi) oleh 5, atau 5 tidak membagi 12. Penulisan 5┼12 juga untuk menyatakan bahwa 12 adalah bukan kelipatan 5 dan 5 adalah bukan faktor dari 12. Contoh : 1)

3 │12, sebab ada bilangan bulat 4 sedemikian sehingga 12 = (4) 3.  

2)

30 = (-10)3. 3 │-30, sebab ada bilangan bulat -10 sedemikian sehingga – 30

 

Pengertian II Keterbagian  Keterbagian 

Jika a Jika  dan b adalah bilangan bulat dengan a dikatakan membagi b, jika  a dan b, jika terdapat sebuah bilangan  bulat m sedemikian sehingga b = am  am dan  dan ditulis a│b dan jika a tidak membagi b,maka b,maka ditulis a ł b.  Pengertian III Keterbagian  Divisibility itu artinya keterbagian, sudut pandang matematika yang mempelajari suatu

 bilangan yang habis oleh bilangan lain. Definisi Keterbagian : Suatu bilangan bulat a disebut membagi b jika ada bilangan bulat lain c sehingga b = ac. Kita juga akan menyebut bahwa a pembagi dari b atau b kelipatan dari a dan

ditulis a│b. Jika a tidak membagi habis b maka ditulis a | b   Misalnya kita ingin mengatakan “10 habis dibagi 5”, kita bisa mengilmiahkannya dengan  berkata “5 membagi 10”. Nah, lebih ilmiah lagi jika ditulis: 10 mod 5 = 0 atau  atau  habis dibagi, kita dapat mencoret miring lambangnya. lamban gnya. Misalnya Misalnya::

. Jika tidak

. (10 tidak habis dibagi

6).

B. Teori-teori Keterbagian 

Teori Keterbagian  Keterbagian Bilangan Bulat

a. Suatu bilangan habis dibagi 2^n apabila n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n Contoh : 134576 habis dibagi 8 = 2^3, sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72) 4971328 habis dibagi 16 = 2^4 sebab 1328 habis dibagi 16  b. Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5 Contoh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5. c. Suatu bilangan habis dibagi 3 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3. Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.

 

d. Suatu bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9. Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9. e. Suatu bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut pada  posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11. Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) - (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11. Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784. f. Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima. Berlaku sebaliknya. Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12. g. Misalkan N jika dibagi p akan a kan bersisa r. Dalam bentuk persamaan N = pq + r dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan hasil bagi dan r menyatakan sisa. Persamaan di atas sering pula ditulis N=r (mod p) h. Kuadrat suatu bilangan bulat bulat, habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4. maka suatu bilangan bulat yang bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadrat. i. Angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9.  j. Bilangan pangkat tiga (kubik) jika dibagi 7 akan bersisa 0, 1 atau 6. k. Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) sama dengan 1. Contoh : 26 dan 47 adalah prima relatif sebab FPB 26 dan 47 ditulis FPB(26,47) = 1

C. Sifat-sifat keterbagian 

Sifat-Sifat Keterbagian  B er i kut si sifat fat-si -sifat fat ket kete er bagi an :   Beberapa sifat-sifat / Teorema keterbagian   Teorema 1

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan a│b dan Bukti 

b│c maka a│c. 

 

a│b dan dan  b│c maka menurut Definisi  , terdapat , terdapat bilangan bulat m bulat m dan  dan n sedemikian sehingga

c=

bn = (am am))n = a( a(mn mn). ). Jadi, c Jadi, c = a(mn). a(mn). Untuk suatu mn = p anggota bilangan Bulat maka c = ap Akibatnya ap Akibatnya menurut Definisi ,  , a│c.  Untuk lebih jelasnya, diberikan Contoh  berikut. Contoh 

Jika 2│6 dan 6│90 maka menurut Teorema 2│90 karena terdapat bilangan bulat 45 sedemikian sehingga (45)(2) = 90 Teorema 2 

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan c│a dan dan  c│b maka maka  c│(am+bm). untuk suatum,n suatu m,n anggota bilangan Bulat Bukti 

c│a dan dan  c│b maka terdapat bilangan bulat x bulat xdan dan y  y sedemikian sehingga a =cx  =cx  dan dan b  b =cy Sehingga , am = c(xm) dan dan   bn =c(yn). untuk suatu xm suatu xm = p dan dan (yn)=q,  (yn)=q, Maka:  am + bn = c(p+q). Akibatnya ,c│(am+bn).  Teorema 3 (Buchmann, 2002: 3)

a. Jika Jika  a│b dan b ≠ 0 maka |a| ≤ |b|.  b. Jika  Jika a│b dan b│a maka |a |a| = |b |b|. Bukti  a. Jika a│b dan b ≠ 0 maka menurut Definisi  , terdapat , terdapat m ≠ 0 sedemikian sehingga b = am.  am.  Karena b = am maka |b |b| = |am |am| ≥ |a| sehingga, |a |a| ≤ |b|.  b. Andaikan a│b dan b│a.  Jika a Jika a =  = 0 maka b = 0 dan jika a ≠ 0 maka b ≠ 0.  Selanjutnya,  Jika a ≠ 0 dan b ≠ 0 maka sesuai dengan Teorema 3a , |a| ≤ |b| dan |b |b| ≤ |a| sehingga |a |a| = |b |b|.

P enj nje elasa lasan nS Sii fat-Si fat-Sifat fat K Ke ete terr bagi agian an d dii ata tass :   1. 

Jika suatu bilangan b dibagi oleh bilangan a, dan bilangan c dibagi oleh bilangan b, maka  bilangan c dapat dibagi bilangan a.

2.  Jika suatu bilangan c dibagi oleh ab (ab merupakan perkalian dua buah bilangan), maka c dapat dibagi oleh bilangan a dan dapat dibagi oleh bilangan b. 3.  Jika suatu bilangan b dan c dapat dibagi oleh bilangan a, maka ketika bilangan b dan c tersebut dikali dengan suatu bilangan bulat, akan dapat pula dibagi oleh bilangan a.

B er i kut a ad dala alah h si sifat-si fat-sifat fat ke kete terr bag i an y ya ang lainnya :  

 

a. 

Suatu bilangan habis dibagi 2^n apabila n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n. Contoh : 134576 habis dibagi 8 = 2^3, sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72) 4971328 habis dibagi 16 = 2^4 sebab 1328 habis dibagi 16

 b. 

Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5. Contoh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.

c.  Suatu bilangan habis dibagi 3 apabila ap abila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3. Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3. d.  Suatu bilangan habis dibagi 9 apabila ap abila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9. Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9. e. 

Suatu bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut pada  posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11. Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) - (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11. Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.

f. 

Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima. Berlaku sebaliknya. Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

g.  Misalkan N jika dibagi p akan bersisa r. Dalam bentuk persamaan N = pq + r dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan hasil bagi dan r menyatakan sisa. Persamaan di atas sering pula ditulis N=r (mod p) h. 

Kuadrat suatu bilangan bulat bulat, habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4. maka suatu bilangan bulat yang bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadrat.

i. 

Angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9.

 j. 

Bilangan pangkat tiga (kubik) jika dibagi 7 akan bersisa 0, 1 atau 6.

k.  Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) sama dengan 1. Contoh : 26 dan 47 adalah prima relatif sebab FPB 26 dan 47 ditulis FPB(26,47) = 1

B er i kut a ad dala alah h si sifat fat-si -sifat fat ket kete er bag i an sua suatu tu b bii langa langan n:  1. 

Bilangan kelipatan 2 

8)   Jika bilangan tersebut merupakan bilangan genap (satuan 0, 2, 4, 6, atau 8)

 

Contoh:   Contoh: 3.560, 467.792, 687.904, 7.586.436, 8.765.368 8.765.368   2. 

Bilangan kelipatan 3 

Jika jumlah angka-angka pembentuk bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 3. Contoh ::   564.741 ------ jumlah angka-angkanya 5 + 6 + 4 + 7 + 4 + 1 = 27 ---- 2 + 7 = 9  9  9 merupakan bilangan kelipatan 3, jadi 564.741 juga merupakan bilangan kelipatan 3.  3.   3. 

Bilangan kelipatan 4 

Jika nilai 2 angka terakhir dari bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 4. Contoh: Contoh:   53.632 -------- 32 merupakan bilangan kelipatan 4, jadi 53.632 juga merupakan bilangan kelipatan 4.  4.  4. 

Bilangan kelipatan 5 

5   Jika bilangan tersebut bersatuan 0 atau 5 Contoh: 5.095, 53.890 53.890   5. 

Bilangan kelipatan 6  Jika bilangan tersebut merupakan bilangan genap, dan jumlah angka-angkanya pembentuk

 bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 3  3  Contoh:  Contoh:  24.576 ---------- bersatuan 6, berarti merupakan bilangan genap  genap   kelipatan3)   Jumlah angka-angkanya 2 + 4 + 5 + 7 + 6 = 24 ----- 2 + 4 = 6 ( 6 kelipatan3) Karena memenuhi kedua syarat tersebut, maka 24.576 merupakan bilangan kelipatan 6. 6.   6. 

Bilangan kelipatan 7 

Sampai saat ini belum diketemukan formulan formulanya ya   7. 

Bilangan kelipatan 8 

Jika nilai 3 angka terakhir dari bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 8. Contoh: Contoh:   5.768.144  ----- 144 merupakan bilangan kelipatan 8, jadi 5.768.144 juga merupakan bilangan kelipatan 8.  8.  8. 

Bilangan kelipatan 9 

Contoh:   Jika jumlah angka-angka pembentuk bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 9. Contoh: 43.785 --------- jumlah angka-angkanya 4 + 3 + 7 + 8 + 5 = 27 ---- 2 + 7 = 9  9  9 merupakan bilangan kelipatan 9, jadi 43.785 juga merupakan bilangan kelipatan 9  9  9. 

Bilangan kelipatan 10 

 

Jika nilai satuanya adalah 0  0  Contoh : 5.640, 67.000, 435.790 435.790  

D. Dalil-dalil Keterbagian 

Bulat   Keterbagian Dalam Bilangan Bulat  Sifat-sifat yang berkaitan dengan keterbagian telah dipelajari oleh Euclid 350 SM (Niven, 1999:4). Pengembangan selanjutnya telah banyak dikembangkan oleh beberapa ahli matematika yang lain, misalnya yang berkaitan dengan bilangan komposit, perkalian dalam usaha untuk mengembangkan teori bilangan. Karena pentingnya sifat keterbagian maka akibatnya konsep tersebut sering muncul dalam Aljabar Modern dan Struktur Aljabar (Muhsetyo, 1994:18)  1994:18)    Definisi   Definisi 

Suatu bilangan bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat y ≠ 0, jika terdapat satu  bilangan bulat p sedemikian sehingga x = py. Jika hal ini dipenuhi maka y dikatakan membagi x dan dinotasikan dengan y │ x yang dapat diartikan sebagai y adalah faktor (pembagi) x, atau x adalah kelipatan y. Jika y tidak membagi x dinotasikan dengan y  ┼  x.   x.  Contoh :  :  1)

3 │12, sebab ada bilangan bulat 4 sedemikian sehingga 12 = (4) 3.  3.  

2)

3 │-30, sebab ada bilangan bulat -10 sedemikian sehingga  sehingga  

 – 30 30 = (-10)3.  (-10)3.   Dalil   Jika a,b,c Z maka berlaku: berlaku:   1)

a│ b →  a │bc,  untuk setiap c

2)

(a │ b, b │c) → a │ c. 

3)

(a │ b, b │a) → a = ± b. 

4)

(a │ b, a │c) → a │ (b ± c). 

5)

(a │ b, a │c) → a │ (ax + by) untuk setiap   x,y

Z.   Z.

Z.   Z.

c  Untuk selanjutnya ax + by disebut kombinasi linear dari b dan c 

 

6)

( a>0, b > 0 dan a │b) → a ≤ b. 

7)

a │b ↔ ma │ mb untuk setiap m

Z dan m ≠ 0 

8) ( a│b dan a │ b+c ) → a │c.  (Dalil Algoritma Pembagian) Pembagian)   Jika a > 0, dan a,b Z, maka ada bilangan-bilangan q, r Z yang masing-masing tunggal (unique) sehingga b = qa + r dengan 0 ≤ r < a.  

Jika a ┼ b maka r memenuhi ketidaksamaan 0 < r < a.  Bukti.  Bukti.  Misal a, b Z, maka dapat dibentuk suatu barisan aritmatika b –  na,   na, n Z, yaitu: yaitu:  

…, b – 3a, 3a, b –  2a,  2a, b-a, b, b + a, b + 2a, ….    na.  Barisan di atas mempunyai bentuk umum b –  na.  Selanjutnya, misal S adalah suatu himpunan yang unsur-unsurnya suku yang bernilai positip dari  barisan b –  na,  na, sehingga:  sehingga:   na > 0 }  }  S = { (b –  na) │n Z, dan b –  na mempunyai yai unsur terkecil, sebut saja r.  r.   Menurut prinsip urutan, maka S mempun Karena r S, maka r dapat dinyatakan sebagai r = b –  qa, dengan q Z. Z.   Dari r = b –  qa  qa dapat diperoleh b = qa + r.  r.   Jadi jika a > 0 dan a,b Z maka ada q,r Z sedemikian sehingga b = qa + r. r.   berikut:   Untuk menunjukkan bahwa 0 r < a, maka digunakan bukti tidak langsung sebagai berikut: Anggaplah bahwa 0 r < a tidakbenar, tidakbenar, maka r a dan dalam hal ini r tidak tidak mungkin negatip karena r S. S.    a 0. 0.   Jika r a maka r –  a r = b –  qa r –  a  a = b –  qa  qa –  a   a   ( q +1) a.  a.  = b –  ( 0.   r –  a 0 dan r-a = b –  ( q + 1 ) a 0. r –  a   a 0 dan r –  a  a mempunyai bentuk b  –  na,  na, maka r –  a  a S. S.  

 

Karena a > 0 maka r –  a  a < r sehingga r –  a  a merupakan unsur terkecil dari S dan lebih kecil dari r. Hal ini bertentangan dengan pengambilan r sebagai unsur unsur terkecil S. Jadi haruslah haruslah 0 r < a.  a.  Untuk menunjukkan ketunggal q dan r, dimisalkan q dan r tidak tunggal yaitu q 1, q2, r 1, r 2 Z dan memenuhi hunbungan persamaan  persamaan   b = q1a + r 1   b = q2a + r 2  Sehingga berlaku q1a+ r 1 = q2a+ r 2  ( q1 –  q2 ) a + ( r 1 –    –  r   r 2 ) = 0  0  ( r 1 –    –  r   r 2 ) = ( q2 –  q1 )a )a  

a │ 

( r 1 –    –  r   r 2 )  )  

a │ 

( r 1 –    –  r   r 2 ) r 1 –    –  r   r 2 = 0 atau r 1  –   –  r   r 2 a ( a r 1 –    –  r   r 2 )  )  

r 1  –  r   r 2 = 0 r 1 = r 2 (q1 –  q2 ) a = 0 q1 = q2  r 1 –    –  r   r 2 a > 0, r 1 > 0 , r 2 > 0 r 1 a = 0.  0.  Jadi r 1 = r 2 dan q1 = q2 yaitu q dan r masing-masing adalah tunggal.  tunggal.  

Selanjutnya jika a ┼ b, maka tidak ada q

Z sehingga b = qa. Hal ini berarti b qa atau b = qa + r dengan 0 < r < a. ( r 0, sebab jika r = 0 diperoleh b = qa).  qa).  Definisi  Definisi  Ditentukan x,y Z yang keduanya tidak bersama-sama bernilai 0, a Z disebut pembagi  persekutuan dari x dan y jika a │x dan a │y.  a Z disebut pembagi persekutuan terbesar (FPB) dari x dan y jika a adalah bilangan bulat positip terbesar  sehingga a│x dan a│y.  Untuk selanjutnya jika a adalah pembagi persekutuan terbesar dari x dan y dinyatakan dengan (x,y) = a.  a.  Perlu diperhatikan bahwa (x,y) = a didefinisikan untuk setiap pasangan bilangan bulat x,y Z kecuali untuk x = 0 dan y = 0. Demikian pula perlu dipahami bahwa (x,y) selalu bernilai  positip yaitu (x,y) > 0, atau (x,y) ≥ 1.  Contoh: Contoh:   8.  1.  Faktor dari 8 adalah -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8. 

 

2.  Faktor dari 20 adalah – 20, 20, -10, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 10, 20  20   3.  Faktor Persekutuan 8 dan 20 adalah – 4,-2,-1, 4,-2,-1, 1, 2, 4  4  4.  Faktor Persekutuan terbesar 8 dan 20 adalah 4 atau (8,20) = 4  4  Selanjutnya perhatikan bahwa  bahwa  seterusnya.  (12,16) = 4, (60,105) = 15, (3,5) = 1, (17,19)= 1. dan seterusnya.  Dalil  Dalil  1.  Jika d = (x,y) maka d adalah bilangan bulat positip terkecil terkecil yang mempunyai bentuk umum aox + boy dengan ao, bo Z  Z   Bukti.   Bukti. Dibentuk kombinasi linear (ax + by) dengan a,b Z. Barisan bilangan ax + by memuat bilangan bilangan negatip, bilangan nol (untuk a = 0 dan b = 0), dan bilangan-bilangan yang bernilai  positip.    positip.

Ambil S = {ax + by │ ax + by > 0 }, maka dapat ditentukan bahwa S  N. Karena N adalah

himpunan terurut dan S N, maka S mempunyai unsur terkecil terkecil dan sebutlah dengan t, dan t S, maka tentu ada a = ao dan b = bo s  sehingga ehingga t = aox + boy dan selanjutnya dapat dibuktikan bahwa t │ x  dan t │ y. 

Untuk membuktikan apakah t │ x, digunakan bukti tidak langsung .   Misal

t ┼ x, maka menurut dalil sebelumnya ada q,  r Z sehingga sehingga  

x = qt + r dengan 0 < r < tt    qt  r = x –  qt  = x –  q(a  q(aox + boy) y)   r = ( 1-aoq)x + (-boq)y q)y   dan   r = a1x + b1y dengan a1 = 1-aoq Z, dan  b1 = -boq Z. Z.   Jadi r = a1x + b1y Z dengan r, t S, t merupakan unsur terkecil S ran r < t. Hal ini bertentangan dengan dengan pemisalan t ┼ x. Dengan demikian anggapan t ┼ x tidaklah benar. Jadi haruslah t │ x. 

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa t │ y.  

 

Dari t │ x dan t │ y berarti t adalah pembagi persekutuan dari x dan y.  d = (x,y) berarti d │ x sehingga  p

S sehingga x = dp.  dp.  

d = (x,y) berarti d │ y sehingga  p

S sehingga y = dp.  dp.  

t = aox + boy   (dp)   = ao (dp) + b o (dp)

d │ t,  d 0, t > 0 maka sesuai dengan dalil sebelumnya d

t dan d tidak lebih kecil dari t,

sedangkan d adalah pembagi persekutuan dari x dan y.  y.   Jadi d = t = aox + boy  Berdasarkan urian di atas jelaslah bahwa d = (x,y) merupakan bilangan bulat positip terkecil yang mempunyai bentuk (ax + by) dengan a,b Z. Z.   Dengan demikian terlihat bahwa tidak ada bilangan positip selain d yang membagi x dan y dan mempunyai bentuk (ax + by)  by)  1.  Jika t Z dan t > 0, maka (tx,ty) (tx,ty) = t (x,y)  (x,y)  Bukti  Bukti  Sesuai dengan bukti dalil 1 di atas, maka:  maka:  (tx,ty) = bilangan bulat positip terkecil yang mempunyai bentuk(atx + bty) dengan a,b Z  Z  = atx + bty bty   by)   = t (ax + by) = t merupakan bilangan bulat positip terkecil yang mempunyai bentuk (ax+by) (ax+by)   +by)   = t (ax +by) 1.  Jika x,y Z dan d = (x,y) maka (,) = 1  1  Bukti  Bukti 

d = (x,y) berarti d │x dan d │y dan , (x,y) = (d. , d.) = d (, )  )  Karena d > 0 maka d (, ) atau 1 = (, )  ) 

Z 

bilangan

 

Dengan demikian (, ) = 1  1  1.  Jika x,y,w Z,

w │xy, dan (y,w) = 1 maka w │ x. 

Bukti  Bukti  (y,w) = 1 maka menurut definisi definisi FPB 1 adalah bilangan bulat positip terkecil yang mempunyai  bentuk ay + bw dengan a,b Z  ay + bw = 1 berarti ayx + bwx = x x  

w │ xy → w │ axy  w │ axy dan w │ bxw → w │ axy + bxw  w │ axy + bwx dan axy + bxw = x → w │ x.  1.  Jika (x,t) = 1 dan (y,t) = 1, maka ma ka (xy,t) = 1  1  Bukti:   Bukti: t=1   (x,t) = 1 → terdapat a o dan bo Z sedemikian sehingga aox+bot=1

(y,t) = 1 → terdapat a o dan bo Z sedemikian sehingga a1y+b1t=1 t=1   aox+bot=1

→ aox = 1 –  b  bot 

a1y+b1t=1

→ a1y = 1 –  b  b1t 

 bot dan a1y = 1 –  b  b1t maka:  maka:  a1x = 1 –  b (aox)(a1y) = (1 –  b  bot)(1 –  b  b1t) t)   = 1- (bo - b1 + bo b1t)t t)t   (aoa1)(xy) = (1- b2)t atau (xy) a2 +b2t=1 dengan  dengan  a2 = aoa1 dan b2 = bo - b1 + bo b1t  Karena (xy,t) = 1 adalah bilangan bulat positip tekecil yang mempunyai bentuk (xy) a2 +b2t=1 maka (xy,t) haruslah 1 sehingga (xy,t) = 1  1  1.  Ditentukan x,yZ , (x,y) = d. Ekuivalen dengan d > 0, d │x,    pembagi persekutuan x dan y.  y.   Bukti   Bukti

d│y dan f │d untuk setiap f

 

d = (x,y) maka menurut definisi de finisi d adalah bilangan bulat positip terbesar sehingga d │x,  hal ini berarti bahwa d > 0. Demikian pula d = (x,y) berarti d adalah bilangan bulat positip terkecil dan berbentuk (ax + by), dengan a,bZ.  a,bZ.  

d│y,

Jadi d = ax + by. by.   Misal f adalah sebarang pembagi persekutuan dari x dan y, maka berlaku f │x dan f │y, sehingga f │ax dan f │ay dan menurut sifat keterbagian berlaku f │ ax + by.  

f │ ax + by  dan d = ax + by → f │d.  Sebaliknya, jika d > 0 dan d │ x   d│ y serta f │ d, dengan f adalah sebarang pembagi  persekutuan x dan y maka d f ( karena d = kf, k Z ) untuk sebarang f pembagi persekutuan x dan y.   y. (x,y)  Jadi d adalah pembagi persekutuan terbesar dari x dan y. Atau d = (x,y)  1.  Untuk setiap a, x, y Z, berlaku:  berlaku:  ( x,y ) = ( y,x ) = ( x,-y) = ( x, y + ax ).  ).   Bukti  Bukti  d = (x,y) maka menurut definisi d efinisi d adalah bilangan bulat positip terbesar hal ini berarti bahwa d > 0.  0. 

sehingga d │x,

d│y,

(y,x).  Jadi d = (x,y) atau d = (y,x).  Karena d merupakan bilangan bulat positip terbesar yang membagi x dan y, dan y membagi (-y), maka d juga merupakan bilangan bulat positip terbesar yang membagi x dan (-y), sehingga d = (x,-y).   (x,-y).

Selanjutnya (x,y) │x berarti (x,y) │ax.   (x,y) │ax  dan (x,y) │y → (x,y) │ax + y.  (x,y) │ax dan (x,y) │ax + y →(x,y) adalah pembagi persekutuan dari x dan y+ax, sehinggga  menurut dalil sebelumnya berarti (x,y) │(x,y+ax)   d ari x dan (y+ax), hal ini berarti  (x,y+ax) adalah pembagi persekutuan dari berarti  

(x,y+ax) │x  dan (x,y+ax) │ (y+ax)   (x,y+ax) │x  (x,y+ax) │ax  (x,y+ax) │x  dan (x,y+ax) (x,y+ax) │y+ax (x,y+ax) │y 

 

Karena (x,y+ax) adalah suatu pembagi persekutuan dari x dan y,  y,  maka

(x,y+ax) │  (x,y) . Jadi (x,y+ax) = (x,y)  (x,y) 

Cara Lain Menentukan Faktor Persekutuan Terbesar dan Kombinasi

Linear  

Marilah kita ingat kembali dalil Algoritma Pembagian Euclides Euclides   Jika r 1, r 2 Z, dan r 1 > r 2 dan dengan proses algoritma pembagian dibentuk   Suatu barisan menurun bilangan-bilangan bulat r 1, r 2, r 3, … , r k-1 =0   k-1, r k  k,  r k+1 k+1=0 Yaitu:  Yaitu:  r 1 = q1r 2 + r 3 ,

0 ≤ r 3 < r 2.2. 

r 2 = q2r 3 + r 4 ,

0 ≤ r 4 < r 2.2. 

r 3 = q3r 4 + r 5 ,

0 ≤ r 5 < r 2.2. 

r 4 = q4r 5 + r 6 ,

0 ≤ r 6 < r 2.  ………………………………………   r k-2    , k-2 = qk-2r k-1 k-1 + r k  k ,

0 ≤ r k k <    < r 2. 2. 

r k-1    + r k+1 k-1 = qk-1r k  k + k+1 ,

r k+1 0  k+1 = 0 

Maka (r 1,r 2) = r k  k.    Sehingga diperoleh ::   r 3 = r 1 –    –  q  q1r 2   q2r 3  r 4 = r 2  –  q r 5 = r 3 –    –  q  q3r 4    –  q  q4r 5  r 6 = r 4 –    –  q  qi-2r i-1 r i = r i-2 i-2 –  i-1  Berdasarkan persamaan tersebut di atas dapat diketahui bahwa bilangan bulat r i ditentukan oleh r 1-1 1-1 dan r i-2 i-2  Andaikata Algoritma pembagian Euclid di atas dinyatakan dalam bentuk x dan y, yaitu:  yaitu:   x1 = q1x2 + x3 ,

0 ≤ x3 < x2. 

 

y1 = q1y2 + y3 ,

0 ≤ y3 < y2. 

maka dengan cara yang sama (analog) diperoleh bentuk persamaan dalam x dan y yang secara umum dinyatakan oleh x i = xi-2 –    –  q  qi-2xi-1 dan yi = yi-2 –    –  q  qi-2yi-1 .  Sehingga terdapat 3 persamaan dalam bentuk r i, xi, dan yi dan selanjutnya masing-masing konstanta tersebut dapat dimulai dengan syarat syarat awal yang berbeda.  berbeda.  r -1 -1 = r 1, r o = r 2  x-1 = 1, xo = 0  0  y-1 = 0, r o = 1  1  Secara lengkap langkah untuk menentukan masing-masing konstanta dapat dilihat pada table  berikut ini:  ini:  i 

qi+1 

r i 

xi 

yi  

-1  -1 

* 

r 1 (b) (b)  

1 

0 

0 

… 

r 2 (a) (a)  

0 

1 

1 

… 

….. 

…. 

….. 

2 

….. 

….. 

…. 

….. 

3 

….. 

….. 

…. 

….. 

Dstnya. Dstnya.  

….. 

….. 

…. 

….. 

persamaan   Titik-titik pada masing-masing kolom diisi dengan menyesuaikan bentuk persamaan r i = r i-2   –  q  qi-2r i-1 i-2 –  i-1  xi = xi-2  –  q  qi-2xi-1    –  q  qi-2yi-1  yi = yi-2 –  Contoh. Contoh.   1.  Tentukan (42823,6409) dan tentukan selesaian kombinasi linearnya.  linearnya.  17   42823 x + 6409 y = 17 Jawab   Jawab adalah   Tabel untuk masing-masing konstanta adalah

 

i 

qi+1 

r i 

xi 

yi  

-1  -1 

- 

42823  42823 

1 

0 

0 

6 

6409  6409 

0 

1 

1 

1 

4369  4369 

1 

-6  -6 

2 

2 

2040  2040 

-1  -1 

7 

3 

7 

289  289 

3 

-6-2(7)=-20  -6-2(7)=-20 

4 

17  17 

17  17 

-1-7(3)=-22 -1-7(3)=-22  

7-7(20)=147   20)=147

5 

- 

0 

- 

- 

6409(147)   Diperoleh (42823,6409) = 17 dan 17 = 42823(-22) + 6409(147)

E. FPB 

FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)  FPB merupakan faktor paling besar dari gabungan beberapa bilangan   Cara mencari FPB  Menggunakan Himpunan Faktor Persekutuan   Contoh  Tentukan FPB dari bilangan 18 dan 24   Faktor 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}  Faktor 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}  Faktor persekutuan dari 18 dan 24 = { 1, 2, 3, 6}

 

FPB dari 18 dan 24 = 6  Tentukan FPB dari bilangan 75 dan 120   Faktor 75 = {1, 3, 5, 15, 25, 75}  Faktor 120

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}  

Faktor persekutuan dari 75 dan 120 = {1, 3, 4, 15}  FPB dari 75 dan 120 = 15  Tentukan FPB dari bilangan 36, 48 dan 72   Faktor 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}  Faktor 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 12, 16,24, 48}  Faktor 72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}  Faktor persekutuan dari 36 dan 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}  FPB dari 36 dan 48 = 12

 

 

Menggunakan Pohon Faktor    

Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari FPB-nya.  

 

Tulis faktorisasi primanya.  

 

Pilihlah bilangan pokok yang sama pada kedua faktorisasi prima. 

 

Jika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, ambillah bilangan prima dengan pangkat

 

 

yang terendah.  Contoh  Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30  

 

2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.  

 

Pangkat terendah dari 2 adalah 1.  

 

Pangkat terendah dari 5 adalah 1.  

 

Maka FPB = 2 X 5 = 10 

 

 

Tentukan FPB dari bilangan 48 dan 60  

 

   

2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.  

 

Pangkat terendah dari 2 adalah 2.  





 

Pangkat terendah dari 3 adalah 1.  

 

Maka FPB = 22 X 3 = 12 





Tentukan FPB dari bilangan 18, 30, dan 36  

 



 



2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima ketiga pohon faktor.   Pangkat terendah dari 2 adalah 1.  

 

 

Pangkat terendah dari 3 adalah 1. 

 

Maka FPB = 2 X 3 = 6 





Menggunakan Tabel   

Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya. 

 

Beri tanda faktor prima yang sama.  

 

Contoh  Tentukan FPB dari bilangan 21 dan 35   35  21  3 

7 

5 

5 

7 

1 

7 

1 

1 

FPB = 3  Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 54   36 

54 

2 

18 

27 

2 

9 

27 

3 

3 

9 

3 

1 

3 

3 

1 

1 

FPB = 2 X 3 X 3  = 2 X 32 = 18  Tentukan FPB dari bilangan 75, 105 dan 120   75 

105 

120 

2 

75 

105 

60 

2 

75 

105 

30 

2 

75 

105 

15 

3 

25 

35 

5 

5 

5 

7 

1 

5 

1 

7 

1 

7 

1 

1 

1 

FPB = 3 X 5 = 15 

 

 

FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR TEORI BILANGAN  BILANGAN  Definisi 3… ( Sukirman,2006 )  )   Jika a dan b bilangan bulat yang sekurangnya sekurangnya satu diantaranya tidak sama deng dengan an nol, maka faktor  persekutuan terbesar ( FPB ) dari a dan b diberi diberi simbol (a,b) adalah suatu suatu bilangan bulat positif, misalnya d yang memenuhi :  :  (i) d|a dan d|b, serta  serta  (ii) Jika e|a dan e|b, maka e ≤ d  

Contoh :  a. ( -12,30) = 6 b. (8,15) = 1 c. (0,5) = 5

Teorema 3….( Rosen,2011 )  )   Jika a dan b bilangan bulat dengan dengan (a,b) = d, maka (a/d,b/d) = 1 ( a/d da dan n b/d relatif prima ))  

Bukti  Diketahui : - 

a dan b Є Bilanga bulat  bulat  

- 

(a,b) = d

Dibuktikan - 

( a/d, b/d ) = 1

Pembuktian

 

Misal c Є Bilanga bulat positif sehingga c|( a/d) dan c|(b/d) maka dibuktikan c = 1 1   c|(a/d) maka ada bilangan bulat k sehingga (a/d ) = kc c|(b/d) maka ada bilngan bulat l sehingga (b/d) = lc ( a/d ) = kc berarti a = dck (b/d) = lc berarti b = dcl dc l a = dck dan b = dcl maka dc adalah faktor persekutuan a dan b Karena d adalah FPB dari a dan b maka dc ≤ d berarti berart i c = 1  1  Jadi terbukti ( a/d,b/d ) = 1

Teorema 3….( Rosen, 2011 )  )  Untuk a,b dan c bilangan bulat, maka ( a + cb,b ) = ( a,b ))  

Bukti Diketahui a,b dan c bilangan bulat. Dibuktikan Faktor Persekutuan a+cb dan b = Faktor Persekutuan a dan b Pembuktian (i) (i)  Jika  Jika e faktor persekutuan a + cb dan b maka e faktor persekutuan a dan b b   e faktor persekutuan a + cb dan b, dengan teorema keterbagian maka e | ( a + cb )) –  – cb=  cb= e|a sehingga e faktor persekutuan a dan b (ii) Jika f faktor persekutuan a dan b maka f faktor persekutuan a + cb dan b  b  f |a dan f | b dengan teorema linearitas keterbagian maka f | ( a + cb ) sehingga f fa faktor ktor persekutuan a + cb dan b Dari (i) dan (ii) maka terbukti ( a + cb,b c b,b ) = ( a,b )

)  Definisi 3….( Rosen,2011 )   Jika a dan b bilangan bulat, maka terdapat terdapat kombinasi linear a dan b dalam bentu bentuk k ma + nb, dengan m dan n bilangan bulat  

 

Contoh : Kombinasi linear dari 9m + 15n diantaranya -6 = 1.9 + (-1).15 ; -3 = (-2).9 + 1.15 dsb.

Bezout’s Theorem 3….( Rosen,2011 ))    Jika a dan b bilangan bulat, maka ada bilangan bilangan bulat m dan n sehingga ma + nb = (a,b (a,b)) 

Bukti Diketahui a dan b bilangan bulat Dibuktikan ma + nb = (a,b) Pembuktian Ambil S = { ma + nb > 0, dengan m dan n bilangan bul bulat at } maka ada bilangan positif terkecil dari S, misal d maka d = ma + nb, dengan m dan n bilangan bulat, akan ditunjukkan d|a dan d|b  d|b  d|a berdasarkan  berdasarkan Algoritma pembagian a = dq + r , 0 ≤ r < d   (i) d|a sehingga r = a – a – dq  dq = a – a  – q(ma  q(ma + mb) =a a –  – qma  qma –  – qmb  qmb = a( 1 – 1 – qm  qm ) – ) – qmb  qmb Ini berarti r adalah kombinasi linear a dan b, karena 0 ≤ r < d dan d bilangan positif terkecil maka r = = 0  0 sehingga a = dq atau d|a (ii) d|b berdasarkan Algoritma pembagian pembagian b = dq + r , 0 ≤ r < d   sehingga r = b – b – dq  dq = b – b  – q(ma  q(ma + mb) = b – b – qma  qma –  – qmb  qmb = b( 1 – 1 – qm  qm ) – ) – qma  qma Ini berarti r adalah kombinasi kombinasi linear a dan b, karena 0 ≤ r < d dan d bilangan positif terkecil maka r = 0 sehingga b = dq atau d|b

 

Dari (i) dan (ii) telah ditunjukkan bahwa d bilangan bulat terkecil te rkecil dari kombinasi linear a dan b adalah faktor persekutuan a dan b. Selanjutnya dibuktikan bahwa (a,b) = d Misal diambil c adalah sembarang faktor persekutuan a dan b, maka c|a dan c|b dengan sifat linearitas keterbagian c|( ma + nb ) atau c|d sehingga c|d Maka terbukti (a,b) = d atau ma + nb = (a,b)  (a,b) 

Teorema 3. ( Rosen,2011) Rosen,2011)   Bilangan bulat a dan b relatif prima jika dan hanya jika ada bilangan bulat m dan n yang memenuhi ma + nb = 1  1 

Bukti  (i) Diketahui (a,b) = 1  1  Dibuktikan ma + nb = 1 Pembuktian (a,b) = 1 berdasarkan teorema Benzout maka m aka ada m dan n bilangan bulat ma + nb = 1 (ii) Diketahui ma + nb = 1  1  Dibuktikan (a,b) =1 Pembuktian Misal (a,b) = d harus dibuktikan (a,b) = 1 (a,b) = d maka d|a dan d|b, menurut me nurut sifat linearitas keterbagian maka d|(ma + nb) = d|1 sehingga d = 1. Terbukti (a,b) = 1 Dari (i) dan (ii) teorema terbukti.

Contoh :  1. Untuk a bilangan positif, tentukan FPB dari a dan a2 ( Rosen,2011: 99 )

Penyelesaian : 

 

Faktor a : 1,a Faktor a2 : 1,a,a2 Maka ( a, a2 ) = a 2. Buktikan bahwa FPB dari bilangan genap dan ganjil adalah ganjil!( Rosen,2011 : 99 )

Penyelesaian :  Diketahui : a bilangan genap , maka a = 2k 2 k untuk bilangan bulat k b bilangan ganjil, maka b = 2l + 1 untuk bilangan bulat l Buktikan : ( a, b ) = ganjil Pembuktian : Misal (a,b) = d menurut teorema Benzout d = ma + nb d = m2k + n(2l + 1) = 2mk + 2nl + n = 2(mk + nl ) + n Menurut algoritma pembagian 0 ≤ n < 2, sehingga n = 1 maka maka   d = 2 (mk + nl nl ) + 1 merupakan bilangan ganjil. ganjil. Terbukti ( a, b ) = bilangan ganjil. 3. Buktikan Jika a dan b bilangan bulat dengan ( a,b ) = 1 maka ( a + b, a – a –  b ) = 1 atau 2 )

Penyelesaian Diketahui ; ( a,b ) = 1 Dibuktikan : ( a + b, a – a – b  b ) = 1 atau 2 Pembuktian :

( Rosen,2011 : 99

 

Misal ( a + b, a – a – b  b ) = d dibuktikan d = 1 atau 2 ( a + b, a – a – b  b ) = d maka d | ( a + b ) dan d | ( a – a  – b  b ) Menurut sifat teorema keterbagian maka d | ( a + b + a a –  – b  b ) sehingga d | 2a Menurut sifat teorema keterbagian maka d | ( a + b b –  – a  a + b ) sehingga d | 2b d | 2a dan d | 2b menurut sifat teorema keterbagian d | (2a + 2 b) sehingga d | 2 ( a + b ) yang berarti d | 2 sehingga d = 1 atau d = 2 Jadi terbukti ( a + b , a –  – b  b ) = 1 atau 2

Diskuisikan :  1. Untuk a dan b bilangan bulat positif, Tentukan FPB dari a dan a + 2 ! 2. Buktikan bahwa jika a dan b bilangan ganjil dan keduanya tidak nol, maka ( a,b ) = 3. Buktikan bah bahwa wa jika a,b dan dan c bilangan bulat sehingga sehingga (a,b) = 1 dan c | ( a + b ), maka 1

Jawaban diskusi  1. Faktor a = a ,1 Faktor a + 2 = 1, ( a+b ) Jadi ( a, ( a + 1 ) ) = 1 2. Diketahui a dan b bilangan ganjil dan keduanya tidak nol Dibuktikan ( a, b ) = 2( ) Pembuktian

2( ) ( c,a ) = ( c,b ) =

 

a = 2k + 1 → k = b = 2l + 1 → l = Misal ( a,b ) = d maka d | a dan d | b Sehingga d | ( 2k + 1 ) dan d | ( 2l + 1 ) berdasarkan sifat linearitas keterbagian kete rbagian maka d | ( 2k + 1 + 2l + 1 ) d | ( 2k + 2l + 2 ) d | 2( +

+1)

d | 2(  –   –  + - + 1 ) d|2( + )   d = ( a,b ) = 2 ( + )   3. Diketahui ( a, b ) = 1 dan c | ( a + b ) Dibuktikan ( c,a ) = ( c,b ) = 1 Pembuktian c | ( a + b ) sehingga c | a dan c | b dengan c ≤ ( a,b ) sehingga c ≤ 1 karena c bilangan bilangan bulat maka c = 1  1  ( c,a ) = ( 1,a ) = 1 ( c,b ) = ( 1,b ) = 1 Terbukti ( c,a ) = ( c,b ) = 1

 

MATEMATIKA 3  3  Minggu, 06 Juli 2014

teori bilangan ( sifat - sifat FPB )

FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR ( FPB )  Bag. Sifat  – Sifat FPB 

Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah “Teori Bilangan”  

Disusun oleh: Alivatul Nurnandia NIM. 210611085

 

  Dosen Pengampu:

Kurnia Hidayati, M. Pd. 

Jurusan/Prodi/Semester  Tarbiyah/PGMI/6  SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI  (STAIN) PONOROGO  2014 

SIFAT – SIFAT FPB 

A.  Definisi dan sifat  – sifat FPB I  1.  Definisi Sebuah bilangan bulat “b”dikatakan habis dibagi bilangan bulat “a”dan “ a”dan a bilangan bulat “c”, sehingga b = a . c, c , ditulis a | a | b Contoh: 12 habis dibagi 4, karena 12 = 4 . 3 sehingga ditulis 4 | 12 Istilah lain untuk a | b ; a faktor dari b, a pembagi b, atau b kelipatan a. 2.  Sifat – Sifat – sifat  sifat

0 dan terdapat

 

Beberapa sifat yang merupakan akibat dari definisi “faktor”. Meskipun pembagi tidak dicantumkan, akan tetapi pembago diasumsikan tidak nol. a.  a | 0, 1 | a, a | a 

a 0 dapat ditulis a . 0 = 0

 

Contoh : 2 | 0

2.0=0

1 | a dapat ditulis 1 . a = a

 

Contoh: 1 | 3

1.3=3

a | a dapat ditulis m . a = a, dimana m = 1

 

Contoh: 5 | 5

1.5=5

b.  a | 1 jika dan hanya jika a = ± 1  

Contoh: - 1 | 1 , 1 | 1 c.   Jika a | b dan c | d maka ac | bd  

Contoh : 2 | 6 dan 4 | 8 maka 2 . 4 | 6 . 8 → 8 | 48 d.   Jika a b dan b c maka a c  

Contoh : 2 4 dan 4 16 maka 2 16 e.  a b dan b a jika dan hanya jika a = ± b 

Contoh : - 2 2 dan 2 2 maka 2 - 2  f.   Jika a b dan b

0 maka

Contoh : 3 6 dan 6

a

0 maka

b

3

6

g.   Jika a b dan a c maka a ( bx + cy ) untuk x dan y bilangan bulat sebarang

Contoh : : 5 10 dan 5 25 maka 5 ( 10 . 2 + 25 . 1) 5 ( 20 + 25 ) 5 45

B. 

Definisi dan sifat  – sifat FPB II 

1.  Definisi FPB ( a, b ), memenuhi: a.  d | a dan d | b b.  Jika c | a dan c | b maka c | d dengan c

b dan d

0

Contoh : a.  12 | 36 dan 12 | 48 b.  6 | 36 dan 6 | 48 maka 6 | 12 dengan

6 ≤ 48 dan 12 > 0  0 

 

  Sebagai ilustrasi:

36 = ( 1, 2, 3, 4, 9, 6, 6, 12, 18, 36 ) 48 = ( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 ) Jadi faktor persekutuannya adalah ( 1, 2, 3, 4, 6, 12 ) Maka FPB ( 36, 48 ) = 12   Kombinasi linier

FPB ( 36, 48 ) = 36 . ( -1 ) + 48 . 1 = - 36 + 48 = 12 2.  Sifat Sifat –  – sifat  sifat a.  Sifat 1 

Jika a dan b bilangan – bilangan – bilangan  bilangan bulat dan keduanya tidak nol maka ada bilangan bilangan –  – bilangan  bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga FPB (a,b) = ax + by Contoh : FPB (6,15) = 6 . 3 + 15 . ( -1 ) = 18 + ( - 15 ) =3 Bukti . 1)  Himpunan S adalah himpunan semua kombinasi linier positif dari a dan b S = {au + bv | au + bv

0; u, v bilangan – bilangan – bilangan  bilangan bulat }

Contoh : jika a = 6 dan b = 15, maka S adalah : S = { 6 . (-2) + 15 . 1, 6 . (-1) (-1) + 15 . 1, 6 . 1 + 15 . 0, … }  }  = {3, 9, 6, … }  }  Kita mengamati bahwa 3 adalah bilangan bulat terkecil di dalam S. Jadi 3 = FPB ( 6, 15 ) 2)  Dengan menggunakan alogaritma pembagian, kita dapat memperoleh q dan r sedemikian sehingga a = qd + r, dimana dimana 0

r

d.r dapa dapatt kita tulis dalam dalam bentuk bentuk

a = a – a – qd  qd = a – a  – q  q ( ax + by ) = a ( 1 – 1 – qx  qx ) + b( - qy ) Jika r = 0 dan a = qd, atau ekuivalen dengan d | a. dengan demikian penalaran yang serupa, d | b. Akibatnya d adalah faktor sekutu dari a dan b. Contoh : a = 12, b = 28, q = 2, d = 4, r = 4, maka 12 = 12 – 12 – 2  2 . 4 = 12 – 12 – 2  2 ( 12 . (-2) + 28 . 1 ) = 12 ( 1 – 1 – 2  2 . (-2)) + 28 ( - 2 . 1) = 12 . 5 + 28 . ( - 2 ) = 60 + ( - 56 ) =4 Jadi 4 adalah FPB ( 12, 28 )

 

b.  Sifat 2 

Jika a dan b bilangan – bilangan  – bilangan  bilangan bulat tidak nol maka himpunan T = { ax + by | x, y bilangan – bilangan – bilangan  bilangan bulat } Adalah himpunan semua kelipatan d = FPB ( a, b ) Bukti. Karena d | a dan d | b, kita mengetahui d | ( ax + by ) untuk se setiap tiap x, y bilangan bulat. Dengan demikian setiap anggota T adalah kelipatan dari d. d dapat ditulis d =

+

untuk suatu

dan

bilangan

bulat. Sedemikian sehingga sebarang kelipatan d adalah berbentuk nd = n (

+

)=a(n

)+b(n

)

Dengan demikian, nd adalah kombinasi arah dari a dan b, dengan definisi terletak di T. Definisi. Apabila bilangan bulat a dan b keduanya tidak nol di sebut bilangan prima jika FPB ( a, b ) = 1 Contoh : 6 = FPB ( 12, 30 ) Bukti. T = { 12 . (-2) + 30 . 1, 12 . (-1) (-1) + 30 .1, 12 . 1 + 30 . 0, … }  }  = { 6, 18, 12, … }  }  Jadi FPB ( 12,30 ) = 6 c.  Sifat 3 

Jika a dan b bilangan prima dan keduanya tidak nol maka FPB ( a, b ) = 1. 1 . Sifat satu menjamin bahwa ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi 1 = ax + by. Konversnya, misalkan 1 = ax + by untuk suatu x dan y, dan d = FPB ( a, b ). Karena d | a dan d | b, d | ( ax + by ), atau d | 1 Contoh : FPB ( 3, 7 ) = 1 1 = 3 . (-2) + 7 . 1 = -6 + 7 =1 Karena 1 | 3 dan 1 | 7, 1 | ( 3 . (-2) + 7 . 1), atau 1 | 1 d.  Sifat 4

Jika FPB ( a, b ) = d maka FPB (a/d, b/d ) = 1 Contoh : FPB ( 8, 12 ) = 4 maka FPB (  

,

) = 1 → ( 2, 3 ) = 1  1 

e.  Sifat 5 

Jika a | c dan a | c, dengan FPB ( a, b ) = 1 maka ab | c Contoh : Jika 2 | 28 dan 2 | 28, dengan FPB ( 2, 7 ) = 1 maka 2.7 | 28 → 14 | 28  28   f. 

Sifat 6

Jika a | bc, dengan FPB ( a, b ) = 1, maka a| c

 

Contoh : Jika 2 | 5.10, dengan FPB ( 2, 5 ) = 1, maka 2 | 10 g.  Sifat 7  

Misalkan a, bilangan – bilangan – bilangan  bilangan bulat, keduanya tidak nol dan d bilangan bulat positif. d = FPB ( a, b )  jika dan hanya jika: 1)  d | a dan d | b 2)  Jika c | a dan c | b maka c | d Contoh : 2 = FPB ( 6, 8 ) jika dan hanya jika 1)  2 | 6 dan 2 | 8 2)  Jika 2 | 6 dan 2 | 8 maka 2 | 2