Teori Antrian

&

DASAR TEORI 1. Teori Antrian a. Pengertian umum sistem antrian

Kejadia Kejadian n antrian antrian adalah adalah kejadi kejadian an yang yang biasa biasa dijump dijumpai ai dalam dalam bidang bidang teknik  teknik  konstru konstruksi ksi dan teknik teknik pertam pertamban bangan gan.. Kejadia Kejadian n antrian antrian akan akan timbul timbul bila bila tingka tingkatt  permintaan untuk memperoleh akan suatu pelayanan melebihi kapasitas pelayanan yang ada. Ada dua sistem teori antrian yaitu sistem antrian terbuka dan sistem antrian tertutup. Disini yang akan dibahas adalah sistem antrian tertutup. Sistem antrian adalah suatu kesatuan fasilitas pelayanan sejak dari masukkan, yaitu yaitu pelang pelanggan gan yang yang akan akan menggu menggunak nakan an jasa pelay pelayanan anan,, hingga hingga keluar keluar yaitu yaitu  pelanggan yang telah memperoleh pelayanan. b . K a ra r a k te t e r is i s t ik i k d a s a r m o de de l a n t ri ri a n 1. Su Sumb mber er masu masukk kkan an

Unit masukkan dari sebuah sistem diperoleh dari beberapa populasi. Populasi ini bisa tidak terbatas dan bisa pula terbatas ukurannya. Tidak terbatas yaitu keti ketika ka juml jumlah ahny nyaa sanga sangatt besar besar,, namu namun n bisa bisa pula pula terb terbat atas, as, yaitu aitu keti ketika ka  jumlahnya sangat sedikit,mudah didefinisikan, dan setiap pelanggan yang datang datang akan akan mempen mempengaru garuhi hi kedata kedatanga ngan n pelang pelanggan gan yang yang lain. lain. Popula Populasi si  pelanggan adalah sumber permintaan pelayanan sistem. Kedatan Kedatangan gan pelang pelanggan gan biasany biasanyaa diciri dicirikan kan oleh oleh adany adanyaa aktu aktu edar edar antar  antar  kedatangan !interarrival !interarrival time", time", yakni aktu antar kedatangan dan pelanggan yang berturut#turut pada suatu fasilitas pelayanan. Tingkat kedatangan itu dapat diketahui secara pasti !deterministic !deterministic", ", atau berupa suatu $ariabel acak  distribusi probabilitasnya telah diketahui. Sebaga Sebagaii pelang pelanggan gan yang yang masuk masuk kedala kedalam m sistem sistem akan akan memben membentuk tuk sebuah sebuah garis tunggu dan antrian dengan tingkat kedatangan, atau arrival rate tertentu rate tertentu atau random. random. %erdasarkan %erdasarkan keadaan tersebut, tersebut, maka kedatangan pelanggan diasumsikan mengikuti distribusi poison. Dalam hal ini, pelanggan yang telah masuk kedalam sisitem kemudian keluar lagi tidak diperhitungkan. 2. Sifa Sifatt-si sifa fatt antr antria ian n

)

'al yang menarik dalam kejadian antrian, apakah para pelanggan yang masuk  kedalam fasilitas datang satu#persatu atau secara berombongan dan apakah  penolakan !balking " atau pembatalan !reneging " diperkenankan !(ambar )".

Disiplin antrian   Sumber  Unit masukan Kedatangan terlayani

Unit Antrian

Sumber Sistem antrian

*ekanisme Pelayanan

Terbatas

Penolakan

Pembatalan

(A*%A+ ) DASA+#DASA+ P+S-S AT+/A %alking terjadi bila seorang pelanggan menolak untuk memasuki suatu fasilitas pelayanan karena antriannya terlalu panjang. +eneging terjadi apabila seorang pelanggan yang telah berada dalam suatu antrian meninggalkan antrian dan fasilitas pelayanan yang dituju karena menunggu terlalu lama. . Disi!lin Pela"anan

Disiplin pelayanan adalah suatu aturan dimana para pelanggan dilayani. Tipe aturan antrian terdiri dari 0 a". 1/1 !1irst /n 1irst ut" Aturan yang mendasar pada yang pertama masuk, pertama keluar atau  pertama datang

pertama yang akan dilayani !1irst come first ser$ed".

Aturan ini umum digunakan pada pemindahan tanah.  b". 2/1 !2ast /n 1irst ut"

7

Aturan pelayanan yang mendasarkan pada pelanggan yang terakhir masuk   pertama keluar. c". S/+ !Ser$ice /n +andom rder" Aturan pelayanan dalam urutan acak. d". P+/ !Priority Disciplines" Aturan pelayanan berdasarkan prioritas. #. $ekanisme Pela"anan

%erdasarkan mekanisme pelayanannya sistem antrian dapat dibedakan menjadi 0 a". Pelayanan tunggal !single ser$er" *odel antrian yang hanya memiliki satu fasilitas pelayanan. *odel ini merupakan konfigurasi dasar model antrian dan akan menjadi dasar bagi  pembahsan sistem#sistem lainnya.  b". *ulti pelayanan i. Sistem antrian dengan pelayanan paralel *odel antrian apabila fasilitas pelayanannya lebih dari satu dan disusun secara berjajar, artinya sejumlah pelanggan bisa dilayani oleh sejumlah fasilitas secara bersaman. ii.

Sistem antrian pelayanan seri *odel antrian apabila fasilitas pelayanannya lebih dari satu yang disusun secara berurutan, artinya pelanggan dalam fasilitas pelayanan akan dilayani secara bertahap.

%. &otasi $odel Antrian

Terdapat banyak $arian yang mungkin dari model antrian. 3iri#ciri dari masing# masing model akan diringkas dalam notasi Kendall.  otasi Kendall yang asli 0 !a4b4c" 5 yang diperluas 0 !a4b4c4d4e4f" Dimana0 a 6 distribusi kedatangan  b 6 distribusi keberangkatan atau aktu pelayanan Untuk a dan b

* menunjukkan poisson -k menunjukkan erlang D menunjukkan deterministik 

?

c 6 banyaknya pelayanan paralel d 6 disiplin antri e 6 jumlah maksimum pengantri dalam sistem !antri dan dilayani" f 6 jumlah sumber kedatangan 8ika tiga dari notasi Kendall yang diperluas tidak disebutkan berarti 0 9 #4#4#4131S4:4:; Artinya disiplin antri 131S, jumlah maksimum pengganti dalam sistem dan jumlah sumber kedatangan tak terbatas.  otasi#notasi untuk model#model antrian sumber tak terbatas 0

λ

6 tingkat kedatangan rata#rata, unit4jam

)4λ

6 aktu antara kedatangan rata#rata , jam4unit

µ

6 tingkat pelayanan rata#rata , unit 4jam

)4µ

6 aktu pelayanan rata#rata, jam4unit



6 de$iasi standart tingkat pelayanan, unit4jam

n

6 jumlah indi$idu dalam sistem pada suatu aktu, unit

n<

6 jumlah indi$idu rata#rata dalam antrian

nt

6 jumlah indifidu dalam sistem total !antrian dan fasilitas pelayanan", unit

t<

6 aktu rata#rata dalam antrian4jam

tt

6 aktu rata#rata dalam sistem total,jam

S

6 jumlah fasilitas pelayanan , unit pelayanan

P

6 tingkat kegunaan fasilitas pelayanan, ratio

=

6 kepanjangan maksimum sistem !antrian > ruang pelayanan", unit

Pn

6 probabilitas jumlah n indi$idu dalam sistem frekensi relatif 

Po

6 probabilitas tidak ada indi$idu dalam sistem

P

6 probabilitas menunggu dalam antrian

3s

6biaya pelayanan persatuan aktu perfasilitas pelayanan, +p4jam4ser$er 

3 6 biaya untuk menunggu persatuan akyu perindi$idu, +p4jam4unit 3t

6 biaya total 6 S 3s > nt.3

Untuk Single Ser$er rumus#rumus yang digunakan 0 P 6 λ4µ

B

Po 6 ) # λ 4µ → Po 6 ) @P Pn 6 Po !λ .4µ"n

λ7 n ). Dimana i 6 ),7,?,E.,*, dan

* 6 8umlah

total tahap.

Tahap 1 TEORI A&TRIA&

Tahap M

Tahap 2 

Tahap ? 

(ambar 7 Tahap#tahap dalam sistem antrian putaran 'asil dari tahap i adalah masukkan untuk tahap i > ) sehinnga antrian yang terjadi pada tahap aal akan terulang pada tahap berikutnya. Karena operasi antrian merupakan sirkuit tertutup, maka jumlah pelanggannya terbatas. Sebagai contoh, pada operasi penambangan yang melibatkan sebuah loader, unit  stockpile dan beberapa dump truck. Pada operasi ini terdiri dari empat tahap, yaitu 0 ). 2oader atau eFca$ator ! merupakan pelayanan pemuatan dump truck" 7. Dump truck bermuatan !merupakan pelayanan pengangkutan ke stockpile" ?. 2okasi stockpile !merupakan pelayanan dump truck menumpahkan muatannya".

G

B. Dump truck kosong ! merupakan pelayanan dump truck kembali ke front  penambangan". Pada model antrian putaran ini seluruh aktifitas pemuatan dan pengangkutan kedua alat mekanis ini dianggap sebagai aktifitas pelayanan pada setiap tahapnya. Dimana pada masing#masing tahapnya memiliki aktifitas pelayanan yang berbeda#  beda. Pada (ambar 7, tahap ke#7 dan tahap ke#B dianggap sebagai tahap pelayanan sendiri !self ser$ice". Dari skema penambangan yang dapat dilihat pada (ambar ? sudah dapat dipastiikan pula baha aktu pelayanan dari masing#masing tahap adalah berlainan. Disiplin antrian pada model antrian putaran ini harus benar#benar dilaksanakan guna mengurangi aktu tunggu yang terlalu lama dari peralatan mekanis untuk  dilayani sehingga sasaran produksi yang diinginkan dapat tercapai. Tahap 1

2oader 

Dump truck kosong

Dump truck  bermuatan

Tahap 4

Tahap 2 

Stockpile

Tahap 3 Dump Truck  (ambar ? Skema operasi penambangan a. Probabilitas keadaan stead" state (keseimbangan)

Untuk perluasan model antrian putaran tiap#tiap tahap dapat dianggap sama, seperti keadaan untuk seluruh sistem putaran yang dapat ditunjukkan dengan !n ), n 7,

H

E,n*" dimana, n)  unit truck pada tahap ), ada n 7  unit truck dalam tahap 7 dan seterusnya hingga tahap *. Untuk K unit putaran diperoleh 0  M 

∑

n) 6 K 

i=1

Keadaan probabilitasnya ditunjukkan dengan P!n ), n7,E., n*" yang didefinisikan sebagai probabilitas yang ada pada tahap i sejumlah n ) unit. Pada gambar dibaah adalah contoh untuk metode antrian dua tahap dimana ada tiga kemungkinan keadaan yaitu !7,&"5 !),)" dan !&,7" menyatakan baha ada dua dump truck pada tahap ) dan & dump truck pada tahap 7. +ata#rata tingkat pelayanan untuk tahap ) dan 7 adalah µ) dan µ7. Persamaan keadaan tetap dapat diperoleh dengan 0 & 6 µ7P !),)" # µ)P !7,&" & 6 µ) P !7,&" @ ! µ) > µ7 "P !),)" > µ7 P!&,7" & 6 µ) P !),)" # µ7 P !&,7"

Tahap )

Tahap 7

µ7 µ7

7,&

),)

&,7

µ) µ)

I

(ambar B Skema Sistem Antrian Putaran Dua Tahap Dengan memperhatikan probabilitas keadaan P !7,&", maka penyelesaian persamaan diatas dapat diberikan 0 P !7,&" 6 P !7,&" P !),)" 6 !µ) 4µ7 " P !7,&" P !&,7" 6 !µ) 4µ7 "7 P !7,&" Secara umum dapat ditulis 0

µ) 7 @ n)  P (n1 , n2 ) =   

 P (2,0)

µ) n7 Untuk jumlah K truck diperoleh 0  µ 1

 K – n1

 P (n1 , n2 ) =   

 P (K,0)  µ 1

n2

Persamaan keadaan tetap dari kasus * tahap dan K truck menjadi 0 K+M–1

(K + M – 1)  =   

  

K

(M – 1) K

Probabilitas keadaan tetap dapat diselesaikan berkenaan dengan satu yang tidak  diketahui, P!K,&,E.,&" yang dapat diberikan dengan 0  µ 1

P !n), n7,..,n*" =   

P (K,0,!,0)  µ 2

=

 K – n1

n1

 µ 1     µ 1

n2

 µ 1       µ 2

 µ 1 !##   

n2

 µ "

n"

!! µ  M

n M 

nM 

P (K,0,!,0)  µ  M 

P !K,&,E.&" diperoleh dengan ketentuan jumlah probabilitas keadaan tunak 6 ) yaitu

∑ P !n1, n2,E., n M  " 6 ) Sehingga 0 #)

 µ 1

n1

 µ 1

n2

 µ 1

nM 

J

 P(K,0,!,0)

= ∑

  

  

  !##     µ 1

 µ 2

 µ  M 

b. Karakteristik sistem

Probabilitas baha ada n dump truck dalam beberapa tahap dapat dihitung dengan menjumlahkan seluruh probabilitas pada keadaan n dump truck dari tahap tersebut. Pada probabilitas keadaan dari sebuah tahap dalam keadaan menganggur, dimana n 6 & 5 maka 0 Pr !tahap / menganggur" 6 ) # ηi 6 ∑ P !n1 , n2 ,E.., ni @ ), & , ni > ), E. n M  "

ηi 6 Tingkat penggunaan tahap / Untuk probabilitas keadaan baha sebuah tahap sedang bekerja. Pr !tahap / bekerja" 6 ηi 6 ) @ Pr !tahap / menganggur". 'asil tiap tahap !pelanggan yang telah dilayani4unit aktu" adalah 0

σ 6 ηi µ j Untuk proses antrian yang mendasarkan kesetimbangan, harga σ  harus sama tiap tahap !σ) 6 σ j 6 &". 8umlah dump truck dalam tahap ke#i adalah 0 2 j 6 ∑ ni P!n) , n7 ,E.. ni ,E. n * " i 6 &,),7,EK  8umlah dump truck dalam antrian pada tahap ke#/ adalah 0 2