teori antrian

[email protected]

Crazynet……………………………………. M.Nur, S.Kom

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Antrian yang sangat panjang dan terlalu lama untuk memperoleh giliran  pelayanan  pelayanan sangatlah sangatlah menjengkelkan. menjengkelkan. Rata – rata lamanya lamanya waktu menunggu menunggu (waiting time) time) sangat tergantung tergantung kepada ratrata ratrata tingkat kecepatan pelayanan pelayanan (rate of serv servic ices es). ). Teor Teorii tent tentan ang g antr antria ian n dike dikete temu muka kan n dan dan dike dikemb mban angk gkan an oleh oleh A.K.Erlang,seorang insinyur dari Denmark yang bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen Kopenhagen pada tahun 1910. 1910. Erlang melakukan melakukan eksperimen eksperimen tentang fluktuasi fluktuasi  permintaan  permintaan fasilitas telepon yang berhubungan berhubungan dengan dengan automatic automatic dialing equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis.Dalam waktu –  waktu aktu

yang ang

sib sibuk

 peneleponsece  peneleponsecepatnya, patnya,

ope operato ratorr sehingga sehingga

sang sangat at

kew kewalah alahaan

untu untuk k

mela melay yani ani

para

penelepon penelepon

harus

antri

para para

menunggu menunggu

giliran giliran,mu ,mungk ngkin in cukup cukup lama. lama. Persoal Persoalan an aslinya aslinya Erlang Erlang hanya hanya memper memperlaku lakukan kan  perhitungan  perhitungan keterlambatan keterlambatan (delay) dari seorang seorang operato operator, r, kemudia kemudian n pada pada tahun tahun 1917 penelitian dilanjutkan untuk menghitung kesibukan beberapa operator.Dalam  periode ini Erlang menerbitkan bukunya bukunya yang terkenal berjudul berjudul Solution of some  problems  problems in the theory of probabilities probabilities of significance significance in Automatic Automatic Telephone Telephone  Exhange.  Exhange.Ba Baru ru setel setelah ah peran perang g dunia dunia kedu kedua, a, hasil hasil pene penelit litian ian Erlan Erlang g diper diperlu luas as  penggunaa  penggunaa nya nya antara lain dalam dalam teori teori antrian (Supranto (Supranto,, 1987). 1987).

1

Teori antrian adalah cabang dari terapan teori probabilitas yang awalnya digun digunak akan an untu untuk k memp mempel elaja ajari ri kema kemacet cetan an lalu lalu linta lintass telep telepon on,, Perta Pertama ma kali kali diperkenalkan oleh seorang ahli matematika dari Denmark, Agner Kramp Erlang (187 (18788-19 1929 29). ). Pros Proses es antri antrian an adala adalah h suatu suatu pros proses es yang yang berh berhub ubun unga gan n deng dengan an kedatangan seorang pelangan pada suatu fasilitas pelayanan kemudian menunggu dalam dalam suatu suatu baris baris atau antrian karena pelayan pelayannya nya sedang sedang sibuk dan akhirnya akhirnya meninggalkan sistem setelah selesai dilayani. Sedangkan yang dimaksud dengan sistem antrian adalah himpunan pelanggan, pelayan dan suatu aturan yang mengatur  kedatangan para pelanggan dan pemrosesan masalahnya. Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian -antrian atau baris-baris penungguan. Fenomena menunggu adalah hasil langsung dari keacakan dalam operasi sarana pelayanan secara umum, kedatangan pelangan dan waktu waktu pelayana pelayanan n tidak tidak diketah diketahui ui sebelum sebelumnya nya karena karena jika bisa diketah diketahui, ui,  pengoperasian  pengoperasian sarana tersebut tersebut dapat dijadwalkan dijadwalkan sedemikian sedemikian rupa sehingga sehingga akan sepenuh sepenuhnya nya menghi menghilang langkan kan keharus keharusan an untuk untuk menung menunggu. gu. Tujuan Tujuan mempel mempelajari ajari  pengoprasian  pengoprasian sebuah sarana pelayanan pelayanan dalam kondisi kondisi acaka dalah untuk  mempero memperoleh leh beberap beberapaa karakte karakteristi ristik k yang yang mengu mengukur kur kinerja kinerja sistem sistem yang sedang sedang dipelaj dipelajari. ari.Dala Dalam m model model antrian, antrian, interak interaksi si antara antara pelangg pelanggan an dan pelayan pelayan adalah adalah  berkaitan  berkaitan dengan dengan periode waktu yang diperoleh diperoleh pelanggan pelanggan untuk menyelesaikan menyelesaikan sebuah pelayanan, dalam antrian kedatangan pelanggan umumnya disebut sebagai distribusi kedatangan (arrival distribution) dan distribusi waktu pelayanan (service time distribution).

2

Teori Antrian memiliki sedikitnya 3 elemen utama, yaitu elemen customer,  service facility, dan queue.Customer adalah istilah generic untuk pihak yang meminta pelayanan.Service Facility adalah fasilitas dari sebuah sistem untuk  memberikan proses pelayanan terhadap customer. Sedangkan Queue adalah antrian itu sendiri, yaitu tempat dimana customer-customer yang sedang tidak dilayani  berada sambil menunggu giliran untuk dilayani.

1.2 Tujuan

Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah sebagai berikut : 1. Mengerti apa itu pengertian Teori Antrian 2. Memahami teori sistem antrian 3. Memahami struktur dam model-model sistem Teori Antrian

3

BAB II PEMBAHASAN

2.1

Pengertian Teori Antrian

Teori antrian merupakan teori yang menyangkut studi matematis dari antrianantrian atau beris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan yang terjadi apabila kebutuhan akan suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia. Dalam hal ini, apabila pelayanan terlalu banyak, maka akan memerlukan ongkos yang  besar, sebaliknya jika kapasitas pelayanan kurang, maka akan terjadi baris  penungguan dalam waktu yang cukup lama dan juga akan menimbulkan ongkos. Sebenarnya tujuan utama dari teori antrian ini adalah mencapai keseimbangan antara ongkos pelayanan dengan ongkos yang disebabkan oleh adanya waktu menunggu tersebut.

Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian -antrian atau baris-baris penungguan. Fenomena menunggu adalah hasil langsung dari keacakan dalam operasi sarana pelayanan secara umum, kedatangan pelangan dan waktu pelayanan tidak diketahui sebelumnya karena jika bisa diketahui,

4

 pengoperasian sarana tersebut dapat dijadwalkan sedemikian rupa sehingga akan sepenuhnya menghilangkan keharusan untuk menunggu.

Tujuan mempelajari pengoprasian sebuah sarana pelayanan dalam kondisi acaka dalah untuk memperoleh beberapa karakteristik yang mengukur kinerja sistem yang sedang dipelajari. Dalam model antrian, interaksi antara pelanggan dan pelayan adalah berkaitan dengan periode waktu yang diperoleh pelanggan untuk  menyelesaikan sebuah pelayanan, dalam antrian kedatangan pelanggan umumnya disebut sebagai distribusi kedatangan (arrival distribution) dan distribusi waktu  pelayanan (service time distribution).

2.1.1 Struktur Dasar Model-Model Antrian

Dalam teori antrian terdapat beberapa struktur dasar model-model antrian, salah satu diantaranya adalah unit-unit (langganan) yang memerlukan  pelayanan yang diturunkan dari suatu sumber input memasuki sistem antrian dan ikut dalam antrian. Dalam waktu tertentu, anggota antrian ini dipilih untuk dilayani. Pemilihan didasarkan pada suatu anturan yang disebut “disiplin pelayanan” dan “mekanisme pelayanan”. Setelah itu kemudian unit-unit meninggalkan sistem antrian.

2.1.2 Disiplin Pelayanan

Disiplin pelayanan dapat dikelompokkan menjadi dua bagian, yaitu  preemptive dan non preemptive.

5

1. Disiplin preemptive

Merupakan disiplin yang menggambarkan situasi dimana pelayan sedang melayani seseorang, kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orang sebelumnya.

2. Disiplin non preemptive

Disiplin non preemptive merupakan disiplin yang menggambarkan situasi dimana pelayan akan menyelesaikan pelayanannya baru kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan.

2.1.3 Mekanisme Pelayanan

Mekanisme pelayanan terdiri atas satu atau lebih fasilitas pelayanan yang masing-masing terdiri atas satu atau lebih saluran paralel. Jika ada lebih dari satu fasilitas pelayanan, maka unit-unit yang memerlukan pelayanan akan dilayani oleh serangkaian fasilitas.

2.1.4 Input (Populasi)

Karakteristik dari populasi yang akan dilayani (calling population) dapat dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang akan dilayani bisa terbatas ( finite) bisa juga tidak terbatas (infinite).

2.2 Model Sistem Antrian

6

Pada

teori

antrian,

suatu

model

antrian

digunakan

untuk 

memperkirakansuatu situasi antrian sesungguhnya , sehingga kelakuan antrian dapat dianalisasecara

matematik.

Dengan

model

sistem

antrian

maka

akan

dimungkinkanuntuk menentukan ukuran performansi pada kondisi  steady, antara laintermasuk:

•

Jumlah rata-rata pelanggan yang berada dalam antrian atau sistem,

•

Waktu rata-rata dalam antrian atau sistem,

•

Distribusi statistik dari jumlah pelanggan dan waktu dalam antrian,

•

Probabilitas antrian penuh atau kosong, dan

•

Probabilitas mendapatkan sistem dalam suatu kondisi tertentu.

Ukuran-ukuran performansi tersebut sangat penting sebagai isu atau  problem yang disebabkan oleh situasi antrian yang biasanya terkait dengan masalah kepuasan pelanggan terhadap layanan. Analisa terhadap model antrian yang tepat akan memungkinkan penyebab antrian dapat diidentifikasi dan akibat-akibatnya dapat diminimisasi. Secara umum, model-model antrian sendiri dapat direpresentasikandengan menggunakan notasi Kendall sebagai berikut :  A/B/S/K/N/Dis

Dimana : •

A adalah distribusi waktu antar kedatangan

•

B adalah distribusi waktu layanan

•

S adalah jumlah dari server  7

•

K adalah kapasitas sistem

•

N adalah populasi pendudukan ( yang sedang melakukan pendudukan )

•

Dis adalah asumsi dari disiplin layanan

Umumnya, 3 parameter terakhir diabaikan, sehingga notasi hanya terdiri dari A/B/S dan diasumsikan bahwa K = infinitely (=

), N = infinitely, dan

∾

Dis = FIFO.  Notasi standar yang sering digunakan untuk distribusi (A atau B) adalah: •

M untuk suatu distribusi Markovian (exponential)

•

Eκ untuk suatu distribusi Erlang dengan fase κ 

•

D untuk distribusi (konstan) Degenerate (atau Deterministic)

•

G untuk distribusi General (arbitrary)

•

PH untuk suatu distribusi Phase-type

Sebagai

contoh,

"G/D/1"

akan

mengindikasikan

suatu

proses

kedatanganGeneral  (bisa apa pun), suatu proses layanan  Deterministic (constant  time) dan suatu server tunggal ( single). Pada sistem switching, implementasi sistem antrian memungkinkan  pelanggan-pelanggan yang belum terlayani untuk antri sampai tersedianya sarana (resources) untuk proses pelayanan. Ini berarti bahwa jika level intensitas trafik  melebihi kapasitas yang tersedia, maka panggilan dari pelanggan yang tidak dapat dilayani tidak harus langsung hilang; tapi dibuat menunggu sampai dapat dilayani. Model sistem antrian dapat diilustrasikan secara sederhana pada gambar 2.1.

8

Disiplin suatu antrian ditentukan oleh cara sistem switching menangani  panggilan. Secara umum ada empat disiplin antrian yang dikenal, yaitu:

 A. First in first out 

Prinsip disiplin ini, hanya satu pelanggan yang dapat dilayani pada suatu waktu tertentu dan pelanggan yang sudah menunggu paling lama yang akan dilayani lebih dulu.  B. Last in first out 

Pada disiplin ini hanya satu pelanggan juga yang dapat dilayani pada suatu waktu tertentu, tapi pelanggan dengan waktu menunggu paling pendek yang akan dilayani lebih dulu.

Gambar 2.1 Model Sistem Antrian

C. Processor sharing 

9

Pelanggan-pelanggan akan dilayani secara sama. Kapasitas jaringan dibagi ( shared ) diantara para pelanggan dan para pelanggan secara efektif akan mengalami delay yang sama.

 D. Priority

Pelanggan dengan prioritas tinggi akan dilayani lebih dulu. Proses antrian ditangani oleh sistem prosesor perangkat switching dan dapat dimodelkan dengan menggunakan persamaan kondisi. Sistem antrian biasanya menggunakan suatu  bentuk persamaan kondisi tertentu yang dikenal sebagai  Markov chain yang menjadi model sistem pada setiap kondisi. Trafik yang datang ke sistem di-modelkan dengan suatu distribusi Poisson dan menjadi subyek dari asumsi sistem antrian Erlang, yaitu : 1.  Pure-chance traffic  – Kelahiran dan kematian panggilan bersifat random

dan kejadian-kejadiannya bersifat independent . 2. Statistical equilibrium – Probabilitas dalam sistem tidak berubah. 3.  Full availability – Semua trafik yang datang dapat di-routing-kan ke semua

 pelanggan lainnya dalam jaringan. 4. Congestion di clear kan segera setelah server-server bebas.

Asumsi (1) sampai (3) merupakan faktor umum pada sistem rugi. Dalamhal ini, asumsi (2) mengimplikasikan bahwa A ≤ N ( A, trafik yang ditawarkan,dan N, kapasitas  server sistem switching ). Jika A ≥ N, maka panggilanpanggilanakan masuk ke sistem dengan rateyang jauh lebih besar disbanding keluarnya. Sebagai

10

hasilnya, panjang antrian secara kontinyu akan bertambah ke arah tidak terhingga (infinity). Ini berarti tidak terjadi keseimbangan statistic ( statistical equilibrium). Jika k  merupakan jumlah total panggilan dalam sistem, maka jika k  N, jika semua server sibuk maka panggilan-panggilan yang dating pada saat itu akan mengalami delay. Jadi akan ada N panggilan yang dilayani dank  – N panggilan dalam antrian •

Jika k ≤ N

Tidak ada antrian dan perilaku sistem sama dengan sistem rugi tanpa congestion. Dimana

untuk 0 ≤ k ≤ N .................................................... (2-1)

•

Jika k ≥ N

Probabilitas dari suatu panggilan datang pada suatu periode waktu yang sangat  pendek, δt , dari persamaan terdahulu di bab 2, yaitu probabilitas suatu panggilan datang yang dinyatakan dengan P(a) = A δt / h dimana h adalah waktu pendudukan rata-rata. Maka, probabilitas suatu transisi dari panggilan k  – 1 ke k  pada sistem selama δt , dapat dinyatakan dengan P(k-1 → k ) = P(k-1) A δt / h

11

Karena semua  server  sibuk, hanya N panggilan yang sedang dilayani yang akanditerminasi, sehingga probabilitas panggilan berakhir (ending ) dapatdinyatakan dengan P(e) = N δt / h dan probabilitas suatu transisi dari k ke k -1 adalah P(k → k-1) = P(k ) P(e) = P(k ) N δt / h Dan, ……………………………….………………... (2-2) Maka, secara umum untuk k ≥ N : ………...……………………….(2-3)

Selanjutnya, dari persamaan (2-1) dan (2-3) : ……………………………………..(2-4)

Sehingga didapat, ………………………………(2-5)

Dalam hal ini, persamaan (2-1) dan (2-3) tergantung pada apakah k ≤ N atau k ≥N , dimana P(0) adalah berdasarkan persamaan (2-5). Ini dikenal sebagai Distribusi Erlang Kedua (Second Erlang Distribution).

2.3 Spesifikasi sistem antrian 1. Terdapat c server dalam sistem antrian

12

2. Customer masuk ke sistem dengan rata-rata kedatangan persatuan waktu

(arrival rate) λ, dan jarak antar kedatangannya (interarrival rate) adalah τ 3.

Server malayani customer rata-rata (service rate)dalam waktu μ per  customer per server.

2.3.1 Faktor faktor penting dalam pengembangan model antrian

Α.

FCFS (First Come First Served) atau biasanya di dalam studi struktur  data sering disebut dengan FIFO (First In First Out). Maksud dari sistem pelayanan FCFS adalah melayani duluan customer yang masuk  ke dalam sistem paling awal. Disiplin FCFS paling banyak ditemukan di kehidupan sehari-hari, misalnya antrian di bank atau di supermarket.

Β.

LCFS (Last Come First Served) atau biasa juga disebut LIFO (Last In  First Out). Kebalikan dari FCFS, disiplin ini membuat sistem antrian melayani customer yang datang paling terakhir.

 Χ.

RSS (random-selection service) atau biasa juga disebut SIRO ( service in random order). Sesuai dengan namanya disiplin pada sistem antrian  jenis ini akan mengacak urutan customer yang akan dilayani lebih dahulu tidak peduli urutan customer-customer tersebut masuk ke dalam sistem.

13

∆.

Yang terakhir adalah PRI (priority service). Disiplin ini menyebabkan service facility pada sistem antrian akan melayani customer tertentu terlebih dahulu sesuai dengan tingkat prioritas yang sebelumnya telah ditentukan di dalam sistem.

2.4 Little’s Formula

J.D.C Little menunjukkan dalam sebuah sistem antrian yang  steady state memiliki kasus umum yang memenuhi dua kondisi berikut : - L = λW Jumlah customer dalam sebuah sistem antrian yang  steady state adalah hasil kali dari tingkat kedatangan rata-rata customer per satuan waktu dengan waktu total sistem antrian tersebut. - Lq = λWq Sedangkan jumlah customer dalam antrian diperoleh dari hasil kali tingkat kedatangan rata-ratanya dengan waktu tunggu antrian.

2.5 Performance dalam sistem antrian

Sedangkan ukuran dari sebuah performance antrian di pengaruhi oleh varianvarian berikut: E. E[s] = 1/μ adalah waktu layanan rata-rata per  server;

F. E[τ] = 1/λ adalah waktu antar kedatangan rata-rata G. u = E[s]/E[τ] = λ/μ adalah intensitas antrian (traffic intensity)

14

H. ρ = u/c adalah utilisasi server ( server utilization) biasanya dinyatakan

dalam (%). Server utilization adalah parameter yang menunjukan tingkat kesibukan sebuah server dalam melakukan pelayanan relatif terhadap tingkat kedatangan customer.

2.6 Model Antrian M/M/1

Sistem antrian M/M/1 adalah salah satu sistem antrian yang paling sederhana. Sesuai dengan notasi Kendalnya, sistem M/M/1 menunjukkan sistem antrian tersebut memiliki distribusi interarrival time dan distribusi  service time  berbentuk distribusi eksponensial dan juga memiliki jumlah server = 1.

Gambar 2.2 Model Antrian M/M/1

Biasanya dalam analisis problem sebuah sistem antrian M/M/1, diberikan 2 buah nilai variabel yaitu : •

λ : Tingkat kedatangan rata-rata customer per-satuan waktu

15

•

μ : Tingkat pelayanan sistem antrian per customer per  server.

Dan dicari beberapa nilai variabel lain yaitu : •

L : jumlah rata-rata customer di dalam seluruh sistem antrian

•

Lq : jumlah rata-rata customer di dalam antrian

•

W : waktu rata-rata yang di perlukan customer dalam menjalani sebuah sistem antrian secara utuh.

•

Wq : waktu tunggu rata-rata customer dalam antrian

Hubungan antara variabel-variabel tersebut adalah sebagai berikut : •

L = λW

•

Lq = λWq (berada dalam keadaan steady state. Sesuai dengan perumusan Little’s Formula)

•

W = Wq + (1/μ)

•

Tingkat kesulitan mencari nilai L tergantung dari tipe sistem antrian yang digunakan. Secara umum :

Dengan Pn(t) adalan probabilitas seuah sistem antrian terdiri dari n buah customer saat waktu t. Dari perumusan L tersebut, kemudian akan dicari hubungan nilai Pn dengan nilai λ dan μ. Hal ini dilakukan dengan tujuan agar L bisa dinyatakan oleh variabel λ dan μ saja dan kemudian diketahui nilainya. Apabila

16

nilai L dapat diketahui, maka nilai Lq, W dan Wq juga dapat ditemukan dengan mudah.Berikut perumusan nilai L.

2.7 Model Antrian M/M/C

Dalam teori matematika dari proses acak, model M / M / c adalah model antrian multi-server. Ini adalah generalisasi dari model M/M/1. Berikut ini notasi Kendall itu menunjukkan sistem di mana:

•

Kedatangan adalah proses Poisson

•

Waktu layanan eksponensial didistribusika

•

Ada server c

•

Panjang antrian di mana pengguna tiba menunggu sebelum dilayani tidak  terbatas

•

Populasi pengguna (yaitu kolam pengguna), atau permintaan, tersedia untuk   bergabung sistem ini terbatas

Jenis sistem muncul dalam banyak situasi, termasuk jalur di bank, sistem telepon antrian,aplikasi sumber daya komputer, dll .. Sama seperti model M/M/1, model M / M / c dapat dianggap sebagai kelahiran dan proses kematian, mengambil dalam asumsi bahwa server tidak  kosong jika ada pelanggan yang menunggu di antrian, kita mendapatkan parameter  sebagai berikut:

17

Dimanaintensitastrafficyang diberikan,

Jika

intensitastrafficlebih

besar

darisatu

makaantrianakan

bertambahtanpa

 batastetapi jikaλ