TEORI ANTRIAN

TUGAS TEORI ANTRIAN

Oleh, David Budiman Hutomo (0804405068)

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS UDAYANA 2011

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Sejarah

Antrian yang sangat panjang dan terlalu lama untuk memperoleh giliran pelayanan sangatlah menjengkelkan. Rata  –  rata lamanya waktu menunggu (waiting time) sangat tergantung kepada ratrata tingkat kecepatan pelayanan (rate of services). Teori tentang antrian diketemukan dan dikembangkan oleh A.K.Erlang,seorang insinyur dari Denmark yang bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen pada tahun 1910. Erlang melakukan eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas telepon yang berhubungan dengan automatic dialing equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis. Dalam waktu  –  waktu yang sibuk operator sangat kewalahan untuk melayani para penelepon secepatnya, sehingga para penelepon harus antri menunggu cukup lama.

giliran,mungkin

Persoalan aslinya Erlang hanya memperlakukan perhitungan

keterlambatan (delay) dari seorang operator, kemudian pada tahun 1917 penelitian dilanjutkan untuk menghitung kesibukan beberapa operator. Dalam periode ini Erlang menerbitkan bukunya yang terkenal berjudul Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in Automatic Telephone Exhange. Baru

setelah perang dunia kedua, hasil penelitian Erlang diperluas penggunaa nya antara lain dalam teori antrian (Supranto, 1987).

Teori antrian adalah cabang dari terapan teori probabilitas yang awalnya digunakan untuk mempelajari kemacetan lalu lintas telepon, Pertama kali diperkenalkan oleh seorang ahli matematika dari Denmark, Agner Kramp Erlang (1878-1929). Proses antrian adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan seorang pelangan pada suatu fasilitas pelayanan kemudian menunggu dalam suatu baris atau antrian karena pelayannya sedang sibuk dan akhirnya meninggalkan sistem setelah selesai dilayani. Sedangkan yang dimaksud dengan

sistem antrian adalah himpunan pelanggan, pelayan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan para pelanggan dan pemrosesan masalahnya. Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian antrian atau baris-baris penungguan. Fenomena menunggu adalah hasil langsung dari keacakan dalam operasi sarana pelayanan secara umum, kedatangan pelangan dan waktu pelayanan tidak diketahui sebelumnya karena jika bisa diketahui, pengoperasian sarana tersebut dapat dijadwalkan sedemikian rupa sehingga akan sepenuhnya menghilangkan keharusan untuk menunggu. Tujuan mempelajari pengoprasian sebuah sarana pelayanan dalam kondisi acaka dalah untuk  memperoleh beberapa karakteristik yang mengukur kinerja sistem yang sedang dipelajari. Dalam model antrian, interaksi antara pelanggan dan pelayan adalah berkaitan dengan periode waktu yang diperoleh pelanggan untuk menyelesaikan sebuah pelayanan, dalam antrian kedatangan pelanggan umumnya disebut sebagai distribusi kedatangan (arrival distribution) dan distribusi waktu pelayanan (service time distribution).

Teori Antrian memiliki sedikitnya 3 elemen utama, yaitu elemen customer, service facility , dan queue. Customer adalah istilah generic untuk pihak yang

meminta pelayanan. Service Facility adalah fasilitas dari sebuah sistem untuk  memberikan proses pelayanan terhadap customer. Sedangkan Queue adalah antrian itu sendiri, yaitu tempat dimana customer-customer yang sedang tidak  dilayani berada sambil menunggu giliran untuk dilayani.

BAB II MODEL SISTEM ANTRIAN

2.1 Model Sistem Antrian

Pada teori antrian, suatu model antrian digunakan untuk memperkirakan suatu situasi antrian sesungguhnya , sehingga kelakuan antrian dapat dianalisa secara matematik. Dengan model sistem antrian maka akan dimungkinkan untuk  menentukan ukuran performansi pada kondisi steady, antara lain termasuk: 

Jumlah rata-rata pelanggan yang berada dalam antrian atau sistem,



Waktu rata-rata dalam antrian atau sistem,



Distribusi statistik dari jumlah pelanggan dan waktu dalam antrian,



Probabilitas antrian penuh atau kosong, dan



Probabilitas mendapatkan sistem dalam suatu kondisi tertentu.

Ukuran-ukuran performansi tersebut sangat penting sebagai isu atau problem yang disebabkan oleh situasi antrian yang biasanya terkait dengan masalah kepuasan pelanggan terhadap layanan. Analisa terhadap model antrian yang tepat akan memungkinkan penyebab antrian dapat diidentifikasi dan akibatakibatnya dapat diminimisasi. Secara umum, model-model antrian sendiri dapat direpresentasikan dengan menggunakan notasi Kendall sebagai berikut :  A/B/S/K/N/Dis Dimana : 

A adalah distribusi waktu antar kedatangan



B adalah distribusi waktu layanan



S adalah jumlah dari server 



K adalah kapasitas sistem



N adalah populasi pendudukan ( yang sedang melakukan pendudukan )



Dis adalah asumsi dari disiplin layanan

Umumnya, 3 parameter terakhir diabaikan, sehingga notasi hanya terdiri dari A/B/S dan diasumsikan bahwa K = infinitely (= ∾), N = infinitely , dan Dis = FIFO. Notasi standar yang sering digunakan untuk distribusi (A atau B) adalah: 

M untuk suatu distribusi  Markovian (exponential)



Eκ untuk suatu distribusi Erlang dengan fase κ 



D untuk distribusi (konstan)  Degenerate (atau Deterministic)



G untuk distribusi General (arbitrary )



PH untuk suatu distribusi Phase-type

Sebagai contoh, "G/D/1" akan mengindikasikan suatu proses kedatangan General (bisa apa pun), suatu proses layanan  Deterministic (constant time) dan

suatu server tunggal ( single). Pada sistem switching, implementasi sistem antrian memungkinkan pelanggan-pelanggan yang belum terlayani untuk antri sampai tersedianya sarana (resources ) untuk proses pelayanan. Ini berarti bahwa jika level intensitas trafik  melebihi kapasitas yang tersedia, maka panggilan dari pelanggan yang tidak dapat dilayani tidak harus langsung hilang; tapi dibuat menunggu sampai dapat dil ayani. Model sistem antrian dapat diilustrasikan secara sederhana pada gambar 2.1. Disiplin suatu antrian ditentukan oleh cara sistem switching menangani panggilan. Secara umum ada empat disiplin antrian yang dikenal, yaitu:  A.  First in first out Prinsip disiplin ini, hanya satu pelanggan yang dapat dilayani pada suatu waktu tertentu dan pelanggan yang sudah menunggu paling lama yang akan dilayani lebih dulu.  B.  Last in first out Pada disiplin ini hanya satu pelanggan juga yang dapat dilayani pada suatu waktu tertentu, tapi pelanggan dengan waktu menunggu paling pendek yang akan dilayani lebih dulu.

Gambar 2.1 Model Sistem Antrian

C.  Processor sharing Pelanggan-pelanggan akan dilayani secara sama. Kapasitas jaringan dibagi (shared ) diantara para pelanggan dan para pelanggan secara efektif akan mengalami delay yang sama.  D.  Priority Pelanggan dengan prioritas tinggi akan dilayani lebih dulu. Proses antrian ditangani oleh sistem prosesor perangkat switching dan dapat dimodelkan dengan menggunakan persamaan kondisi. Sistem antrian biasanya menggunakan suatu bentuk persamaan kondisi tertentu yang dikenal sebagai  Markov chain yang menjadi model sistem pada setiap kondisi. Trafik yang datang ke sistem di -modelkan dengan suatu distribusi Poisson dan menjadi subyek dari asumsi sistem antrian Erlang, yaitu : 1.

Pure-chance traffic  –  Kelahiran dan kematian panggilan bersifat random

dan kejadian-kejadiannya bersifat independent . 2.

Statistical equilibrium  – Probabilitas dalam sistem tidak berubah.

3.

Full availability  –  Semua trafik yang datang dapat di-routing-kan ke

semua pelanggan lainnya dalam jaringan. 4.

Congestion di clear kan segera setelah server-server bebas.

Asumsi (1) sampai (3) merupakan faktor umum pada sistem rugi. Dalam hal ini, asumsi (2) mengimplikasikan  bahwa A ≤ N ( A, trafik yang ditawarkan, dan N, kapasitas server sistem switching ). Jika A ≥ N, maka panggilanpanggilan akan masuk ke sistem dengan rate yang jauh lebih besar disbanding keluarnya. Sebagai hasilnya, panjang antrian secara kontinyu akan bertambah ke arah tidak  terhingga (infinity ). Ini berarti tidak terjadi keseimbangan statistic ( statistical equilibrium ).

Jika k  merupakan jumlah total panggilan dalam sistem, maka jika k  < N panggilan-panggilan akan dapat dilayani semuanya dan tidak terjadi delay. Apabila k  > N, jika semua server  sibuk maka panggilan-panggilan yang dating pada saat itu akan mengalami delay. Jadi akan ada N panggilan yang dilayani dan k  – N panggilan dalam antrian 

Jika k ≤ N

Tidak ada antrian dan perilaku sistem sama dengan sistem rugi tanpa congestion . Dimana untuk 0 ≤ k  ≤ N .................................................... (2 1)



Jika k ≥ N

Probabilitas dari suatu panggilan datang pada suatu periode waktu yang sangat  pendek, δt , dari persamaan terdahulu di bab 2, yaitu probabilitas suatu panggilan datang yang dinyatakan dengan P(a) = A δt  / h dimana h adalah waktu pendudukan rata-rata. Maka, probabilitas suatu transisi dari panggilan k  – 1 ke k  pada sistem selama δt , dapat dinyatakan dengan P(k-1 → k ) = P(k-1) A δt  / h

Karena semua server  sibuk, hanya N panggilan yang sedang dilayani yang akan diterminasi, sehingga probabilitas panggilan berakhir ( ending) dapat dinyatakan dengan P(e) = N δ t  / h dan probabilitas suatu transisi dari k ke k -1 adalah P(k → k-1) = P(k ) P(e) = P(k ) N δt  / h Dan, ……………………………….………………... (2-2) Maka, secara umum untuk  k ≥ N : ………...……………………….(2-3)

Selanjutnya, dari persamaan (2-1) dan (2-3) : ……………………………………..(2-4)

Sehingga didapat, ………………………………(2-5)

Dalam hal ini, persamaan (2-1) dan (2-3) tergantung pada apakah k ≤ N  atau k ≥   N , dimana P(0) adalah berdasarkan persamaan (2-5). Ini dikenal sebagai Distribusi Erlang Kedua (Second Erlang Distribution ).

2.2 Spesifikasi sistem antrian

1. Terdapat c server  dalam sistem antrian 2. Customer masuk ke sistem dengan rata-rata kedatangan persatuan waktu (arrival rate) λ, dan jarak antar kedatangannya (interarrival rate) adalah τ 3. Server malayani customer rata-rata (service rate) dalam waktu μ per  customer per server.

2.2.1

Faktor faktor penting dalam pengembangan model antrian

A. FCFS (First Come First Served) atau biasanya di dalam studi struktur data sering disebut dengan FIFO (First In First Out). Maksud dari sistem pelayanan FCFS adalah melayani duluan customer yang masuk  ke dalam sistem paling awal. Disiplin FCFS paling banyak ditemukan di kehidupan sehari-hari, misalnya antrian di bank atau di supermarket.

B. LCFS (Last Come First Served) atau biasa juga disebut LIFO (Last In First Out). Kebalikan dari FCFS, disiplin ini membuat sistem antrian

melayani customer yang datang paling terakhir.

C. RSS (random-selection service) atau biasa juga disebut SIRO ( service in random order). Sesuai dengan namanya disiplin pada sistem antrian

 jenis ini akan mengacak urutan customer yang akan dilayani lebih dahulu tidak peduli urutan customer-customer tersebut masuk ke dalam sistem.

D. Yang terakhir adalah PRI (priority service) . Disiplin ini menyebabkan service facility pada sistem antrian akan melayani customer tertentu terlebih dahulu sesuai dengan tingkat prioritas yang sebelumnya telah ditentukan di dalam sistem.

2.3 Little’s Formula

J.D.C Little menunjukkan dalam sebuah sistem antrian yang steady state memiliki kasus umum yang memenuhi dua kondisi berikut : - L = λW Jumlah customer dalam sebuah sistem antrian yang steady state adalah hasil kali dari tingkat kedatangan rata-rata customer per satuan waktu dengan waktu total sistem antrian tersebut. - Lq = λWq

Sedangkan jumlah customer dalam antrian diperoleh dari hasil kali tingkat kedatangan rata-ratanya dengan waktu tunggu antrian.

2.4 Performance dalam sistem antrian

Sedangkan ukuran dari sebuah  performance antrian di pengaruhi oleh varianvarian berikut: E. E[s] = 1/μ adalah waktu layanan rata-rata per server; F. E[τ] = 1/λ adalah waktu antar kedatangan rata-rata G. u = E[s]/E[τ] = λ/μ adalah intensitas antrian (traffic intensity) H. ρ = u/c adalah utilisasi server (server utilization ) biasanya dinyatakan dalam (%). Server utilization adalah parameter yang menunjukan tingkat kesibukan sebuah server dalam melakukan pelayanan relatif  terhadap tingkat kedatangan customer. I. 2.5 Model Antrian M/M/1

Sistem antrian M/M/1 adalah salah satu sistem antrian yang paling sederhana. Sesuai dengan notasi Kendalnya, sistem M/M/1 menunjukkan sistem antrian tersebut memiliki distribusi interarrival time dan distribusi service time berbentuk distribusi eksponensial dan juga memiliki jumlah server = 1.

Gambar 2.2 Model Antrian M/M/1

Biasanya dalam analisis problem sebuah sistem antrian M/M/1, diberikan 2 buah nilai variabel yaitu : 

λ : Tingkat kedatangan rata-rata customer per-satuan waktu



μ : Tingkat pelayanan sistem antrian per customer per server.

Dan dicari beberapa nilai variabel lain yaitu : 

L : jumlah rata-rata customer di dalam seluruh sistem antrian



Lq : jumlah rata-rata customer di dalam antrian



W : waktu rata-rata yang di perlukan customer dalam menjalani sebuah sistem antrian secara utuh.



Wq : waktu tunggu rata-rata customer dalam antrian

Hubungan antara variabel-variabel tersebut adalah sebagai berikut : 

L = λW



Lq = λWq (berada dalam keadaan steady state. Sesuai dengan perumusan Little’s Formula)



W = Wq + (1/μ)



Tingkat kesulitan mencari nilai L tergantung dari t ipe sistem antrian yang digunakan. Secara umum :

Dengan Pn(t) adalan probabilitas seuah sistem antrian terdiri dari n buah customer saat waktu t.

Dari perumusan L tersebut, kemudian akan dicari

hubungan nilai Pn dengan nilai λ dan μ. Hal ini dilakukan dengan tujuan agar L  bisa dinyatakan oleh variabel λ dan μ saja dan kemudian diketahui nilainya. Apabila nilai L dapat diketahui, maka nilai Lq, W dan Wq juga dapat ditemukan dengan mudah. Berikut perumusan nilai L.

2.6 Model Antrian M/M/C

Dalam teori matematika dari proses acak, model M / M / c adalah model antrian multi-server. Ini adalah generalisasi dari model M/M/ 1.

Berikut ini notasi Kendall itu menunjukkan sistem di mana: 

Kedatangan adalah proses Poisson



Waktu layanan eksponensial didistribusika



Ada server c



Panjang antrian di mana pengguna tiba menunggu sebelum dilayani tidak  terbatas



Populasi pengguna (yaitu kolam pengguna), atau permintaan, tersedia untuk bergabung sistem ini terbatas

Jenis sistem muncul dalam banyak situasi, termasuk jalur di bank, sistem telepon antrian, aplikasi sumber daya komputer, dll .. Sama seperti model M/M/1, model M / M / c dapat dianggap sebagai kelahiran dan proses kematian, mengambil dalam asumsi bahwa server tidak  kosong jika ada pelanggan yang menunggu di antrian, kita mendapatkan parameter sebagai berikut:

Dimana intensitas traffic yang diberikan,

Jika intensitas traffic lebih besar dari satu maka antrian akan bertambah tanpa batas tetapi jika λ