Teori Antrian Dan Aplikasinya

BAB IX TEORI ANTRIAN DAN APLIKASINYA PENDAHULUAN Dalam kehidupan sehari-hari kata antrian yang dalam bahasa Inggris disebut queuing atau waiting line sangat sering kita jumpai sebab memang kita lakukan bilamana kita menunggu giliran untuk menerima pelayanan (services), misalnya antri untuk membeli karcis kereta api di Stasiun Gambir, membeli karcis bioskop di Ratu Theater, membeli karcis untuk menonton pertandingan sepak bola di Senayan, membayar tol di Jagorawi atau antri untuk menyebrang Selat Bali dengan ferry di Gilimanuk. Yang antri belum tentu orang tetapi bias juga barang, misalnya bahan mentah yang akan diproses dijadikan produksi, komoditi ekspor yang akan dimuat di kapal di Tanjung Priok, data yang akan diolah di pusat komputer, atau mobil yang akan diperbaiki di bengkel. Antrian yang sangat panjang dan terlalu lama untuk memperoleh giliran pelayanan sangat menjengkelkan. Rata-rata lamanya waktu menunggu (waiting time) sangat tergantung kepada rata-rata tingkat kecepatan pelayanan (rate of services). Teori tentang antrian ditemukan dan dikembangkan oleh A.K. Erlang, seorang insinyur dari Denmark yang bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen pada tahun 1910. dia melakukan eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas telepon yang berhubungan dengan automatic dialing equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis. Dalam waktu-waktu yang sibuk operator sangat kewalahan untuk melayani para penelepon secepatnya, sehingga para penelepon harus antri menunggu giliran, mungkin cukup lama. Persoalan

aslinya

adalah

Erlang

hanya

memperlakukan

perhitungan

keterlambatan (delay) dari seorang operator. Kemudian, pada tahun 1917 studi atau penelitian dilanjutkan untuk menghitung kesibukan beberapa operator. Dalam periode ini dia menerbitkan bukunya yang terkenal berjudul Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in Automatic Telephone Exchange. Baru setelah perang dunia kedua, hasil penelitian Erlang diperluas penggunaannya, antara lain dalam teori antrian (queus or waiting line).

Situasi keputusan sering kali timbul dimana unit atau satuan yang dating untuk memperoleh pelayanan (orang, barang) harus menunggu sebelum memperoleh pelayanan yang diinginkan. Apabila aturan yang mengatur kedatangan (arrival) unit penerima pelayanan, waktu pelayanan (service time) dan urutan kedatangan satuan penerima pelayanan (spp) diketahui (mungkin berdasarkan pengalaman atau hasil penelitian), maka sifat-sifat atau cirri-ciri dari situasi antrian dapat dipelajari dengan menggunakan peralatan matematika dengan mudah. Kedatangan spp mungkin dari satu barisan dan dilayani melalui satu loket seperti dalam klinik, atau dari satu barisan akan tetapi dilayani oleh beberapa pemberi pelayanan (pp), atau datang dari beberapa barisan dilayani oleh beberapa pp seperti di bank. Prosedur studi yang dibicarakan disini ialah bahwa kedatangan spp melalui sauatu barisan membentuk antrian, dan dilayani berdasarkan prinsip datang pertama menerima pelayana pertama (FIFO = first in in first out). Di dalam hal lain bisa LIFO = last in first out, yaitu datang terakhir menerima pelayanan terlebih dulu, seperti pembongkaran barang dari dalam truk atau kereta api, pasien yang gawat di rumah sakit atau memperoleh giliran pelayanan secara acak (random), seperti dalam pengawasan mutu barang (quality control). Kedatangan spp dapat seragam (uniform) selama dalam periode tertentu atau secara acak, tidak teratur. Rata-rata kedatangan (arrival rate), dingkat rrk merupakan banyaknya atau jumlah kedatangan spp per satuan waktu, misalnya dalam 1 menit, 1 hari, 1 minggu, 1 bulan dan lain sebagainya. Arrival rate merupakan rata-rata, sebab dari waktu ke waktu banyaknya kedatangan spp berubah-ubah. Kalau kedatangan bersifat acak, seperti kedatangan langganan atau nasabah misalnya, sangat tidak teratur, tidak mengikuti pola tertentu. Hal ini merupakan hal yang paling sering terjdi dalam dunia usaha (misalnya datang pesanan atau order). Di dalam situasi dimana kedtaangan dapat dipergunakan untuk menggantikan arrival rate, asal datanya cukup banyak atau sudah terjadi berkali-kali. Rata-rata pelayanan (service rate), disingkat rrpp, merupakan banyaknya pelayanan yang dapat diberikan dalam waktu tertentu. Lamanya waktu pelayanan (service time) bisa juga acak sifatya atau seragam. Pada umumnya waktu pelayanan dalam dunia usaha seragam (uniform service rate).

Perlu ditegaskan sekali lagi satuan penerima pelayanan (spp) sering disebut customer bisa berupa orang (siswa lulusan SLTA mendaftarkan masu FE-UI, pasien akan diperiksa dokter, orang yang selesai belanja di pasar Swalayan akan membayar di kas, penonton, penumpang, orang yang diadili) atau barang (komoditi ekspor akan diangkut oleh kapal, bahan mentah akan diproses, produk diteliti mutunya, mobil antri untuk diparkir, kapal terbang akan mendarat, kapal akan berlabuh). Pemberi pelayanan (pp) sering disebut server bisa berupa orang, misalnya kasir, dokter, penjual karcis, hakim atau barang seperti mesin otomatis (untuk meringankan tangan dengan uap panas yang keluar dari mesin, alat pencuci mobil otomatis). STRUKTUR DASAR MODEL ANTRIAN Proses dasar yang dianggap oleh model antrian ialah bahwa spp (customer) yang memerlukan pelayanan berasal dari suatu populasi yang disebut sumber masukan (input source). Spp memasuki sistem antrian (queuing system) dan menggabungkan diri atau nenbentuk suatu antrian. Pada waktu tertentu, anggota dalam antrian dipilih untuk memperoleh pelayanan dengan menggunakan aturan tertentu yang disebut disiplin pelayanan (service discipline). Pelayanan yang diperlukan oleh spp kemudian dilakukan oleh mekanisme pelayanan (service mechanism), setelah pelayanan diperoleh spp meninggalkan sistem. Proses ini dapat dilihat pada Gambar 9.1. Salah satu karakteristik dari populasi atau input source ialah besarnya (size) atau banyaknya spp. Besarnya populasi (population size) ialah banyaknya spp, mungkin langganan, yang memmerlukan pelayanan dari waktu ke waktu. Populasi ini bisa terbatas (finite) bisa juga tidak terbatas (infinite). Mengingat perhitungan akan dipermudah kalau populasi tidak terbatas, maka biasanya populasi dianggap tidak terbatas, di dalam membahas model antrian. Akan tetapi asumsi mengenai populasi yang terbatas perlu dibuat, seandainya rata-rata (rate) pada saat populasi melahirkan spp baru sangat dipengaruhi oleh beberapa spp dalam sistem. Pola statistik yang diikuti oleh kedatangan spp dalam suatu periode tertentu harus secara spesifik disebutkan, maksudnya mengikuti fungsi apa? Asumsi yang sering dipergunakan ialah bahwa kedatangan spp mengikuti proses Poisson artinya banyaknya spp atau langganan yang datang (untuk memperoleh

pelayanan) sampai pada waktu tertentu mengikuti distribusi Poisson. Distribusi Poisson berkenaan dengan probabilita terjadinya suatu kedatangan (arrival) yang bebas (independent) terhadap kedatangan sebelumnya atau sesudahnya. Asumsi tentang Poisson menunjukkan bahwa kedatangan spp sifatnya acak dan mempunyai rata-rata kedatangan (mean arrival rate) sebesar χ (lamda). Panjangnya interval waktu antara dua kedatangan spp sebesar 1/ χ disebut interarrival time. Disiplin pelayanan (service discipline) merupakan urutan (order) anggota dalam antrian (para spp yang dipilih untuk menerima pelayanan), merupakan aturan permainan, misalnya

FIFO,

berdasarkan

prioritas

(pasien

yang

sakit

keras

didahulukan

memeriksanya), secara acak atau LIFO. Pada umumnya yang digunakan adalah FIFO, kecuali kalau disebutkan cara lainnya selain FIFO, di dalam model antrian. Mekanisme pelayanan (service mechanism) terdiri dari satu atau lebih fasilitas pelayanan (fp), masing-masing fasilitas mempunyai satu atau lebih saluran pelayanan (service channels), yang disbeut servers. Apabila terdapat lebih dari satu fasilitas pelayanan, spp atau langganan mungkin menerima pelayanan melalui suatu urutan-urutan (service in phase) atau fase-fase tertentu. Pada suatu fasilitas tertentu, spp masuk dalam salah satu saluran pelayanan paralel dan menerima pelayanan secara tuntas dari pemberi pelayanan (pp) atau server. Proses pelayanan seperti ini, lihat pada gambar 9.2. Gambar 9.2. suatu sistem antrian elementer Spp

= satuan penerima pelayanan disebut customer disingkat c

Pp

= pemberi pelayanan disebut server disingkat s

Fp

= fasilitas pelayanan disebut server fasility untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa gambar yang menunjukkan fasilitas pelayanan sebagai berikut : 1. Struktur kedatangan satuan penerima pelayanan a. Satu barisan (antrian) dan satu fase pelayanan (single channel single phase). Sebagai contoh adalah seorang pelayan toko (tunggal), seorang tukang cukur, dan sebagainya. Secara skematis digambarkan sebagai berikut :

b. Satu barisan dan beberapa fase pelayanan (single channel multiphase). Proses pelayanan merupakan squencing/urutan pekerjaan. Proses pelayanan semacam inin misalnya mengurus izin usaha melalui beberapa orang pejabat Pemerintah. Secara skematis akan kelihatan sebagai berikut : c. Beberapa barisan dan satu fase pelayanan (multi channel single phase). Sebagai contoh dari proses pelayanan seperti ini adalah pelayanan pembelian tiket yang dilayani lebih dari satu loket, pelayanan potong rambut yang memiliki lebih dari satu tukang potong, pelayanan di suatu bank yang memiliki beberapa loket. Secara skematis digambarkan sebagai berikut : d. Beberapa barisan dan beberapa fase pelayanan (multi channel multi phase). Contoh dari struktur pelayanan semcam ini adalah pelayanan kepada pasien di rumah sakit. Di dalam rumah sakit tersebut, beberapa perawat akan mendatangi pasien secara teratur dan memberikan pelayanan dengan kontinu (sebagai suatu urutan pekerjaan). Secara skematis akan kelihatan sebagai berikut: e. Campuran. Struktur campuran ini merupakan campuran dari dua atau lebih struktur fasilitas pelayanan tersebut di atas. Struktur ini dipergunakan misalnya oleh toko-toko besar, yang memiliki beberapa pelayan toko untuk melayani pembeli (multu channel), namun pembayaran hanya kepada seorang kasir saja (single channel). Ada pula yang mempergunakan struktur campuran yang lain, misalnya pelayanan (service) terhadap pengunjung rumah makan, dan lain sebagainya. 2. Tingkat Pelayanan Tingkat pelayanan bisa konstan/ajek dari waktu ke waktu sama, mengikuti distribusi exponential atau mempunyai bentuk yang lain. Waktu pelayanan (service time) ialah lamanya waktu sejak pelayanan diberikan kepada seorang spp sampai selesai, pada fasilitas pelayanan. Model antrian harus secara khusus menyebutkan distribusi probabilita waktu pelayanan bagi setiap pp (server), kalau mungkin untuk berbagai spp, walaupun dalam praktiknya dianggap setiap pp mempunyai probabilita yang sama. Rata-rata pelayanan (mean server rate) diberi simbol u merupakan banyaknya spp atau langganan yang dapat dilayani dalam satuan (unit) waktu, sedangkan rata-rata waktu

pelayanan (average service time) ialah rata-rata waktu yang dipergunakan untuk melayani per spp atau langganan, diberi simbol I/u unit (satuan). Misalnya dalam waktu 5 menit dapat dilayani 10 langganan. Dalam 1 menit dapat dilayani 10/5 = 2 orang. Jadi, u = 2 merupakan jumlah orang yang dilayani dalam 1 menit, 1 orang dilayani ½ menit. Jadi, I/u merupakan rata-rata waktu pelayanan. KEDATANGAN MENURUT SALURAN TUNGGAL POISSOM DENGAN RATARATA PELAYANAN EKSPONENSIAL Dalam hal kedatangan menurut saluran tunggal Poisson dengan pelayanan mengikuti fungsi eksponensial, hanya ada satu unit pp (pp = pemberi pelayanan) yang melayani. Masukan (input) seperti langganan atau pekerjaan, kedatangannya mengikuti fungsi Poisson. Rata-rata pelayanan yang mengikuti fungsi ekaponensial bebas terhadap banyaknya spp yang berada dalam barisan (antrian). Kedatangan spp diperlakukan atas dasar FIFO, siapa yang datang dahulu akan memperoleh pelayanan terlebih dahulu. Asumsi lainnya yang diperlukan di dalam pengembangan model antrian ialah bahwa rata-rata kedatangan (rate of arrival) lebih kecil dari rata-rata pelayanan (rate of service) artinya χ < u, dengan demikian semua spp akan dapat dilayani. Di dalam model antrian akan dipergunakan notasi (simbol) dan istilah-istilah berikut. Catatan: Kata antrian atau barisan mempunyai arti yang sama. Untuk menyederhanakan simbol Pn(t) = Pn’ asal kita tahu bahwa yang kita bicarakan waktu t. Agar dapat menghitung Pn(t) atau Pn’ kita harus mencari rumusnya, artinya menyatakan Pn(t) dalam χ dan u serta Po. Perhatikan uraian berikut. Apabila n > 0, kejadian (event) bahwa akan ada n spp dalam sistem antrian pada waktu (t + t) dapat terjadi di dalam emapat cara yang mutually exclusive and exchaustive, artinya saling meniadakan, kalau yang satu sudah terjadi, lainnya pasti tidak akan terjadi, perhatikan tabel berikut:

Oleh karena hanya ada satu kejadian dari kemungkinan empat kejadian yang harus terjadi, kita memperoleh ekspresi untuk Pn (t + t), dimana n > 0, dengan jalan menjumlahkan nilai probabailita untuk setiap kejadian yang terpisah tersebut di atas, yaitu:

Di dalam ekspresi ini,

merupakan suku-suku dengan pangkat yang tinggi bagi t.

Apabila t mendekati nol, suku-suku ini nilainya kecil sekali sehingga diabaikan. Dengan demikian ekspresi di atas menjadi lebih sederhana yaitu menjadi :

, setelah dibagi

dengan t, kita peroleh bentuk:

Ini merupakan persamaan diferensial yang menghubungkan Pn’ Pn+1 dan Pn-1 pada waktu t, rata-rata tingkat kedatangan dan rata-rata tingkat pelayanan U. Apabila n = 0, akan terjadi dua kejadian yang saling meniadakan (mutually exclusive), yaitu sebagai berikut. Kejadian I : Nol spp pada waktu t, tidak ada kedatangan selama waktu t sampai dengan t + t dan nol spp dalam waktu t sampai dengan t + t dan nol spp dalam waktu t sampai dengan t + t (spp = satuan penerima pelayanan). Kejadian II : Satu spp pada waktu t, tidak ada kedatanagn selama waktu t sampai dengan t + t dan satu spp dilayani dalam waktu t sampai dengan t + t dan nol spp dalam waktu t sampai dengan t + t. Dinyatakan dalam probabilita, ekspresi dapat ditulis sebagai berikut.

Tanpa menghiraukan suku berpangkat tinggi dari t, persaman menjadi:

Persamaan diferensial ini menghubungkan P0, P1, χ dan U, untuk n = 0. Persamaan (9.1) dan (9.2) memberikan hubungan untuk fungsi kepadatan probabilita (probability density function) Pn(t) untuk semua nilai n. Sekarang, mari kita anggap bahwa Pn(t) bebas terhadap t, sebab kita sebenarnya tidak tertarik pada keadaan mengenai apa yang terjadi ketika antrian disebut settles down atau steady state. Persamaan 9.1 menjadi: Untuk n = 0, menjadi 0 = -χP0 + uP1

Hubungan yang berikut dapat diperoleh dari persamaan (9.3) dengan mengganti n = 1, 2, ..., n. Kalau n = 1.

Kalau n = 2 Pada umumnya, kalau n = n, kita peroleh persamaan Selanjutnya oleh karena Ingat rumus jumlah dari deret geometris yang tidak terbatas (infinite geometric series). Merupakan probabilitas bahwa fasilitas pelayanan sedang menganggur, tidak ada yang dilayani. Memasukkan nilai P0 dalam persamaan (9.5), diperoleh bentuk persammaan berikut:

Sekarang kita dapat menuliskan rumus tentang rata-rata banyaknya spp (langganan) yang harus dilayani dan menunggu dalam barisan atau antrian atau sistem dengan menggunakan nilai harapan (expected value) E(n), sebagai berikut. Urutan suku-suku dari (9.8) mempunyai bentuuk 0, a, 2a2, 3a3, ..., xax, ... . dalam hal a konstan dan kurang dari I, deret ini akan converge menjadi suatu jumlah, dengan rumus: Rata-rata Banyaknya spp dalam Sistem = E(n) Agar dapat menentukan rata-rata banyaknya spp yang harus menunggu untuk memperoleh pelayanan, perlu dibedakan dengan E(n). Misalkan E(m) = rata-rata banyaknya spp dalam sistem sebelum memasuki tempat pelayanan (misalnya masih di luar loket). Oleh karena hanya ada satu spp di dalam tempat pelayanan pada setiap saat, maka

Rata-rata panjangnya antrian (average queue length) = rata-rata banyaknya spp dalam antrian = E(m), di mana E(m) sebagai berikut. E(n) = Rata-rata banyaknya spp dalam sistem, meliputi spp (langganan) yang sedang antri menunggu untuk menerima pelayanan = E(m) dan satu spp yang sedang dilayani di tempat pelayanan (χ/u). Jadi E(m) = E (n) - χ/u. Sekarang kita ingin mendefinisikan rata-rata waktu satu spp (seorang langganan) harus menunggu dalam sistem = E(C). Selama periode (Ev), rata-rata spp atau langganan yang datang sebesar E(v), ini juga merupakan rata-rata spp dalam sistem E(n). Jadi χ E(v) = E(n) E(v) = rata-rata waktu seorang langganan (spp) menunggu dalam sistem (meliputi waktu sebelum dan sesudah menerima pelayanan). E(w) = rata-rata waktu tunggu sebelum menerima pelayanan (average waiting time) = rata-rata waktu menunggu dalam sistem = E(v) dikurangi rata-rata waktu pelayanan satu spp (average service time)= 1/u. ρ (Rho) = χ/u = faktor utilisasi fasilitas pelayanan, menunjukkan secara rata-rtaa bagian waktu pemberi pelayanan (pp) atau server sibuk. Dengan perkataan lain, χ/u merupakan bagian waktu dari kapasitas pelayanan dalam sistem yang secara rata-rata dipergunakan (utilized) oleh spp atau langganan yang datang (arriving customers). Dua rumus berikut disajikan tanpa bukti. 1. E(m / m > 0) =

= average length of non-emty queue.

2. E(W / w > 0) =

= average waiting time of an arrival to wait.

Contoh 9.1. Rata-rata kedatangan (mean arrival rate) satu langganan setiap 4 menit (dalam waktu 4 menit ada satu langganan yang datang), rata-rata waktu pelayanan (1/u) = 2 ½ menit (untuk melayani seorang langganan diperlukan waktu 2 ½ menit). Hitung (1) ratarata langganan (spp = satuan penerima pelayanan) dalam sistem (termasuk yang belum

menerima dan yang sedang menerima pelayanan), (2) rata-rata panjangnya antrian (yang belum menerima pelayanan), (3) rata-rtaa waktu menunggu per langganan dalam sistem (sebelum + sedang menerima pelayanan), (4) rtaa-rata waktu menunggu per langganan sebelum menerima pelayanan (dalam antrian). Pemecahan: χ = ¼ = 0,25 = rata-rata banyaknya kedatangan per menit. Dalam 1 jam (60 menit) = 0,25 X 60 = 15 kedatangan. Jadi rata-rata per menit ada 0,25 kedatangan dan rata-rata per jam ada 15 kedatangan ( χ = ¼ = 0,25). Dengan perkataan lain secara ratarata ada 0,25 langganan per menit atau 15 langganan er jam, dalam sistem 1/u = 2,5 u=

=

= 0,4 = rata-rata banyaknya pelayanan per menit. Jadi pelayanan per jam (60

menit) secara rata-rata = 0,4 X 60 = 24 pelayanan. Artinya secara rata-rata ada 0,4 langganan yang dapat dilayani dalam 1 menit atau ada 24 langganann dalam 1 jam. 1) Rata-rata banyaknya langganan (spp) dalam sistem: 2) Rata-rata banyaknya langganan yang enunggu dalam antrian sebelum menerima pelayanan: 3) Rata-rata waktu seorang langganan menunggu dalam sistem antrian: (termasuk sebelum menerima pelayanan dan yang sedang menerima pelayanan). 4) Rata-rata waktu seorang langganan menunggu sebelum menerima pelayanan: Contoh 9.2 Kedatangan penelepon pada telepon umum mengikuti fungsi Poisson dengan ratarata waktu sebesar 10 menit antara satu kedatangan dengan kedatangan berikutnya. Lamanya satu pembicaraan telepon (a phone call) dianggap mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 3 menit. a) Berapakah probabilitanya bahwa seorang penelepon yang datang ke telepon umum harus menunggu? b) Berpa rata-rata panjangnya antrian yang tidak kosong (average length of non-empty queues). c) Perusahaan telepon akan mendirikan tempat telepon umum yang kedua apabila pihak pimpinan diyakinkan bahwa suatu kedatangan penelepon harus

menunggu memperoleh giliran paling sedikit 3 menit (bisa lebih, yaitu harus menunggu 3 menit atau lebih). Berapa seharusnya banyaknya kedatangan sehingga keputusan untuk mendirikan tempat telepon umum kedua cukup mempunyai alasan yang kuat. Pemecahan χ = 0,1 = rata-rata kedatangn per menit (10 menit 1 kedatangan, jadi 1 menit =1/10 = 0,1 kedatangan) = 0,33 = rata-rata pelayanan per menit (3 menit 1 pembicaraan telepon, jadi 1 menit 1/3 = 0,33 pembicaraan telepon. 1. Prob. (satu kedatangan harus menunggu) = 1 – Prob. (fasilitas pelayanan menganggur): 1 – P0 = 1 – (1 – χ/u) = 1 – 1 + χ/u = χ/u =

= 0,3

2. Rata-rata panjangnya antrian yang tidak kosong (average length of non-empty queue): E(m / m > 0) =

=

= 1,43 spp atau langganan.

3. Rata-rata waktu tunggu untuk satu kedatangan sebelum menerima pelayanan. E(w) = Kalau kita pergunakan nilai u = 0,33, kita ingin mencari nilai χ yang baru, katakan χ’ (= χ aksen), dimana E(w) = 3 menit. Kemudian kita mempunyai persamaan berikut:

χ = 0,1 artinya ada 0,1 kedatangan per menit. Jadi 1 jam = (0,1) (60) = 6 kedatangan. χ’ = 0,16 artinya ada 0,16 kedatangan per menit. Jadi 1 jam = (0,16) (60) = 9,6 = 10 kedatangan.

Agar pimpinan perusahaan telepon mau memutuskan apakah perlu menambah telepon yang kedua, jumlah kedatangan rata-rata harus mencapai 10 orang penelepon per jam. Saluran tunggal dengan biaya pelayanan yang minimum Suatu sistem antrian menjadi topik yang menarik sebab dalam beerapa hal sering terjadi ketidakseimbangan. Mungkin terjadi suatu antrian yang panjang (long queue) yang mengakibatkan spp (langganan) harus menunggu lama untuk memperoleh giliran dilayanai atau mungkin tersedia fasilitas pelayanan yang berlebihan (melebihi daripada seharusnya), yang mengakibatkan fasilitas tersebut tidak dapat dimanfaatkan sepenuhnya (under utilized). Bagaimanapun juga kita lebih tertarik kepada keseimbangan ekonomi (economic balance) dalam sistem antrian, yaitu keseimbangan antara jumlah biaya untuk memberikan pelayanan dan biaya yang harus ditanggung oleh langganan (spp = satuan penerima pelayanan) berupa waktu yang terbuang karena harus menunggu lama untuk menerima pelayanan. Apabila proses antrian sifatnya internal dalam suatu organisasi, misalnya seorang ahli mesin menunggu untuk melayani mesin yang rusak dalam suatu toko. Kalau seandainya biaya yang ditanggung langganan dan biaya yang diperlukan untuk pemberian pelayanan, semuanya ditanggung oleh perusahaan (organisasi), tujuan dari perusahaan mungkin membuat biaya total hrus minimum (minimize cost), lihat Gambar 9.3. Jumlah biaya yang diharapkan merupakan penjumlahan dari biaya tnggu yang diharapkan bagi kedatangan per periode (WC = waiting cost) dan biaya fasilitas yang diharapkan (FC = facility cost) untuk pemberian pelayanan per periode. Ungkapan ini bisa dirumuskan secara matematis, dimana m = mean = rata-rata, yaitu sebagai berikut: Gambar 9.3. Tingkah laku biaya dalam sistem antrian TCm = WCm + FCm Biaya tunggu yang diharapkan (WCm) per periode merupakan hasil kali biaya dalam unit (CW) untuk satu kedatangan per periode dan rata-rata banyaknya spp (satuan penerima pelayanan) dalam sistem periode yaitu WCm = Cw E(n) Biaya pelayanan yang diharapkan per periode (FCm) merupakan hasil kali biaya pelayanan satu unit (Cf) dan tingkat pelayanan (service rate) dalam unit per periode (u).

FCm = Cf.u Jadi kita mempunyai: TCm = Cw Tingkat biaya pelayanan yang minimum dapat diperoleh dengan menurunkan jumlah biaya (total cost) terhadap u, menyamakannya dengan nol dan memecahkannya untuk mencari u sebagai berikut:

(yang berlaku hanya nilai u yang positif) Contoh 9.3 Dalam contoh 9.1, kita ketahui χ = 0,25 kedatangan per menit dan u = 0,4 orang yang dilayani per menit. Misalnya biaya tunggu per spp dan per menit Rp 5 ribu dan biaya untuk melayani per spp Rp 4 ribu. Kemudian kita mempunyai: u=χ±

jadi tingkat biaya pelayanan yang minimum sebesar 0,81 x Rp 1000 = Rp 810 per menit MODEL ANTRIAN SALURAN GANDA Teori antrian saluran ganda (multi channel queuing theory) ialah teori dimana beberapa tempat pelayanan sebanyak k dipasang secara paralel (misalnya ada 5 loket), dan setiap elemen atau spp dalam antrian atau barisan dapat dilayani oleh lebih dari satu tempat pelayanan. Setiap fasilitas pelayanan mempunyai mutu pelayanan yang sama, dilengkapi dengan fasilitas yang sama pula. Spp atau satuan penerima pelayanan memilih satu tempat pelayanan (loket tertentu) tanpa adanya tekanan dari luar (external pressure). Kalau suatu antrian atau barisan (queuing or waiting line) sudah dibentuk, antrian yang mula-mula panjang pecah menjadi beberapa antrian yang pendek berdiri berjejer di depan tempat pelayanan. Kedatangan mengikuti Poisson dalam Saluran Ganda dengan Tingkat Pelayanan Eksponensial

Di dalam sistem antrian saluran ganda, ada beberapa tempat pelayanan yang paralel sebanyak k, dimana keadaan sistem, khususnya ada n spp dalam sistem pada suatu waktu tertentu, dapat mengasumsikan untuk mengambil dua nilai: (1) tidak ada antrian sebab semua spp yang berdatangan sedang menerima pelayanan di tempat pelayanan (di depan loket), dalam hal ini (n ≤ k), atau (2) terjadi pembentukan suatu antrian sebab pelayanan yang diminta oleh spp yang berdatangan lebih besar dari kemampuan tempat pelayanan untuk melayani, dlaam hal ini (n > k ). Dalam hal (1) tidak ada persoalan, sedangkan dalam hal (2) terjadi persoalan. Faktor utilisasi = ∫ρk untuk seluruh sistem merupakan probabilita bahwa suatu tempat pelayanan tertentu sedang melayani spp, yaitu merupakan rasio antara rata-rata tingkat kedatangan (mean arrival rate) dan tingkat kemungkinan pelayanan yang maksimum u, untuk semua saluran sebanyak k, dinyatakan dalam rumus sebagai berikut: χ ρk = ku sekarang kita definisikan, suatu sistem dalam keadaan En kalau n adalah banyaknya spp yang sedang dilayani dan yang sedang menunggu giliran untuk dilayani. Antrian atau barisan akan terbentuk kalau sistem dalam keadaan En dengan n > k dan ada (n – k) spp atau langganan yang sedang menunggu. Dalam keadaan En dimana n > k, maka hanya ada k spp atau langganan yang dilayani, jadi un = k u untuk n ≥ k dan un = n u untuk n < k. Sistem persamaan diferensial yang berikut sangat cocok dengan situasi ini. Pemecahan persamaan ini sangat ruwet, maka dari itu perlu kita tentukan probabilita sebagai batas, sewaktu t

~. Dapat ditunjukkan bahwa limit yang unik

yaitu: Limit Pn(t) = Pn Memang ada untuk semua n. Jadi persamaan diferensial untuk probabilita sebagai batas menjadi:

Dan

Probabilita bahwa tidak ada spp atau langganan di dalam sistem saluran ganda adalah seperti berikut: Rumus diatas hanya berlaku untuk ku > χ atau ρk < 1. Pada umumnya untuk tempat pelayanan sebanyak k, probabilita bahwa satu spp atau seorang langganan yang datang harus menunggu sama dengan probabilita bahwa tidak ada tempat pelayanan yang masih menganggur dalam sistem, nilai probabilita itu adalah sebagai berikut:

Rumus-rumus untuk rata-rata panjangnya antrian (average queue length), ratarata banyaknya spp (langganan) dalam sistem (average number of customers in the system), rata-rata waktu menunggu untuk pelayanan (the average waiting time for service) dan rata-rata waktu menunggu dalam sistem dapat dilihat di bawah ini dan tidak disertai pembuktian.*) 1) Rata-rata panjangnya antrian 2) Rata-rata banyaknya spp atau langganan dalam sistem 3) Rata-rata menunggu bagi spp (langganan) 4) Rata-rata waktu menunggu bagi spp (langganan) dalam sistem Contoh 9.4 Suatu kantor Konsultan Perpajakan mempunyai 4 loket (service station or counter) guna melayani para langganan yang mempunyai persoalan-persoalan dan keluhan mengenai pendapatan mereka, kekayaan dan pajak penjualan. Rata-rata

kedatangan sebanyak 80 orang selama 8 jam pelayanan dalam sehari. Setiap penasihat pajak menghabiskan sejumlah waktu pelayanan yang mengikuti distribusi eksponensial. Rata-rata waktu pelayanan 20 menit. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. 1) Hitung rata-rata banyaknya langganan dalam sistem (baik yang sedang menunggu maupun yang sedang dilayani). 2) Rata-rata banykanya langganan (spp) yang harus menunggu untuk dilayani (panjangnya antrian). 3) Rata-rata waktu seorang langganan menunggu dalam sistem. 4) Rata-rata waktu menunggu bagi seorang langganan (spp) yaitu menunggu sebelum dilayani. 5) Hitung berapa jam setiap minggunya seorang penasihat perpajakan menghabiskan waktunya untuk melayani langganan. 6) Berapakah probabilitanya, seorang langganan harus menunggu sebelum menerima giliran untuk dilayani? 7) Berapakah rata-rata penasihat pajak yang menganggur, karena tidak ada langganan datang untuk dilayani, pada waktu yang telah ditetapkan. Jawaban Mula-mula perlu dihitung nilai Po yaitu probabilita bahwa tidak ada langganan yang datang (n = 0) dalam sistem: Ingat, 8 jam = 80 orang langganan, 1 jam 80/8 = 10 orang. Jadi χ = 10 orang/jam; 20 menit melayani 1 orang; 1 jam = 60 menit melayani

= 3 orang, jadi u = 3 orang/jam;

ada 4 loket atau tempat pelayanan k = 4 dan Po = 0,00213. Berdasarkan apa yang telah diketahui ini, kita peroleh jawaban beriku. 1) Rata-rata banyaknya langganan dalam sistem: 2) Rata-rata banyaknya langganan yang harus menunggu untuk dilayani (rata-rata panjangnya antrian) atau average queue length. 3) Rata-rata waktuu seorang langganan menunggu dalam sistem: 4) Rata-rata menunggu seorang langganan sebelum dilayani:

5) Jumlah waktu yang diperlukan oleh penasihat perpajakan untuk melayani langganan, setiap minggunya dihitung sebagai berikut. Faktor utilisasi ρk diperoleh dengan rumus: ρk = Rata-rata waktu yang diperlukan untuk melayani langganan selama 8 jam pelayanan per hari = 8 x 0,8333 = 6,66 jam. Kalau 1 minggu ada 5 hari kerja yaitu dari Senin sampai dengan Jum’at, maka secara rata-rata penasihat pajak akan sibuk 5 x 6,66 jam = 33,3 jam setiap minggunya. 6) Probabilita bahwa langganan harus menunggu sebelum dilayani: 7) Rata-rata banyaknya penasihat pajak yang menganggur pada waktu yang telah ditentukan. Kita mengetahui bahwa probabilita tidak ada langganan dalam sistem adalah Po berarti 4 loket, tempat pelayanan, kosong, menganggur. Kita harus menentukan P1, P2 dan P3 yaitu probabilita bahwa 3 penasihat pajak menganggur, 2 menganggur dan 1 menganggur (4 loket, langganan yang datang hanya ada 3, jadi satu menganggur). Rata-rata banyaknya penasihat perpajakan yang menganggur: = 4 Po + 3 P1 + 2 P2 + 1 P3 = 4(0,0213) + 3(0,0709) + 2(0,1182) + 0,1314 = 0,666 (kurang dari 1) Jadi kurang dari 1 orang, secara rata-rata penasihat perpajakan setiap waktu menganggur. Model Antrian yang Lain Dalam hal ini hanya akan dibahas satu model yaitu model dengan kedatangan menurut Poisson dan waktu pelayanan distribusi Erlang. Model kedatangan Menurut Poisson dan waktu Pelayanan Menurut Distribusi Erlang

Distribusi Erlang g(t; u, k) didefinisikan sebagai berikut: g(t; u, 1)

= C1 e-1 ut

g(t; u, 2)

= C2t e-2 ut

g(t; u, 3)

= C3t2 e-3 ut

dan pada umumnya: g(t; u, k) = Ck tk-1 e-k ut Oleh karena setiap anggota famili merupakan fungsi kepadatan (density function) dalam range 0 < t < ~, bilangan konstan Ck harus ditentukan sedemikian rupa sehingga integral dari fungsi yang bersangkutan sebesar satu (unity). Nilai Ck ialah: C1

=u

C2

= 4u2

C3

=

u3’ dan pada umumnya Ck =

Distribusi Erlang mempunyai sifat-sifat yang sangat menarik. Rata-ratanya (mean) sebesar 1/u. Nilai modus (mode) terletak pada t = 0 untuk k =1, yaitu pada t = 1/2 u untuk k = 2 dan pada umumnya nilai modus terletak pada t, dimana t sebagai berikut: t= Varian untuk anggota famili yang ke k = . Dengan menentukan k = 1, kita dapat memperoleh satu parameter dari distribusi eksponensial ketika k meningkat nilainya, mode bergerak ke kanan menuju

dan varian mengecil menuju nol. Untuk k = ~, mode

terletak pada t = 1/u dan varian sebesar 0 (nol), sehingga kitabisa menginterpretasikan g(t; u, ~) sebagai situasi untuk mana waktu pelayanan konstan dan mempunyai nilai 1/u. Distribusi Erlang dapat dilihat pada Gambar 9.4 dan mempunyai hubungan yang dekat sekali dengan distribusi eksponensial. Kalau kita mempunyai variabel acak (random variables) x1, x2, ...., xs yang bebas (independent) dan mempunyai distribusi eksponensial yang sama dengan rata-rata (mean) 1/su, maka variabel acak x1 + x2 + ... + xs mengikuti distribusi Erlang ke s dengan parameter u. Jadi suatu tempat pelayanan melalui s fase atau tahapan yang bebas, setiap

eksponensial dengan rata-rata waktu 1/su, akan mempunyai waktu pelayanan yang mengikuti distribusi Erlang ke s dengan parameter u. Penguraian sifat-sifat antrian untuk kasus pelayanan yang mengikuti Erlang, berdasarkan pada penggunaan state probability dimana setiap individu state didefinisikan sebagai banyaknya spp dalam sistem bersama dengan fase pelayanan yang sedang berjalan dari unit yang seharusnya menerima pelayanan, kalau ada. Gambar 9.4. Famili Erlang untuk distribusi waktu pelayanan Akan kita bahas kasus kedatangan yang mengikuti Poisson dengan rata-rata tingkat kedatangan sebesar χ, dan waktu pelayanna mengikuti distribusi Erlang yang ke s dengan rata-rata tingkat pelayanan sebesar u. Hasilnya, tanpa dibuktikan, dapat dilihat di bawah ini. Rata-rata panjang antrian (average queue length) Rata-rata banyaknya langganan dalam sistem Rata-rata waktu menunggu oleh seorang langganan dalam antrian Rata-rata waktu menunggu oleh seorang langganan dalam sistem Contoh 9.5 Perbaikan suatu jenis mesin bubut memerlukan 4 tahapan. Waktu yang diperlukan untuk melaksanakan setiap tahapan mengikuti distribusi eksponensial dnegan suatu ratarata sebesar 10 menit dan independen atau bebas terhadap tahapan lainnya. Kerusakan mesin mengikuti proses Poisson, dengan rata-rata terjadi 3 kerusakan per jam. 1) Berapa rata-rata waktu menganggur (expected idle time) dari mesin rusak ynag memerlukan perbaikan, dengan anggapan bahwa hanya 1 tenaga mekanis dalam bengkel. 2) Berapa rata-rata waktu menunggu dalam antrian bagi mesin rusak yang memerlukan perbaikan. 3) Berapa rata-rata banyaknya mesin rusak dalam antrian.

Jawaban χ = 3 per jam, u = 6 per jam, sebab ada 1 dalam 10 menit. s = 4, sebab ada 4 tahapan yang harus diselesaikan. Dengan menggunakan model dari Erlang. 1) Rata-rata waktu mesin rusak yang perlu perbaikan harus menunggu dalam sistem (average idle time): E(v) = (average time spent by a customer in the system) 2) Rata-rata waktu menunggu dalam antrian bagi mesin rusak yang memerlukan perbaikan: E(w) = (average waiting time of the machine in the queue) 3) Rata-rata banyaknya mesin rusak dalam antrian: E(m) = Contoh 9.6 Seorang penjahit ternama memerlukan 1 hari penuh untuk menjahit 1 stel pakaian. Kedatangan langganan mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata kedatangan sebanyak 1 orang setiap dua hari. Secara rata-rata berapa lama seorang langganan diharapkan menunggu untuk dilayani (dalam antrian). Jawaban χ = ½ , sebab 2 hari 1 orang, jadi 1 hari ½ orang, secara rata-rata. u = 1, satu hari selesai 1 stel. s = ~, waktu pelayanan konstan. Jadi:

Jadi seorang langganan secara rata-rata harus menunggu ½ hari. Contoh 9.7 Seorang tukang cukur dapat menyelesaikan seorang langganan dalam waktu 15 menit. Distribusi waktu pelayana mengikuti distribusi Erlang dengan s = 3. Apabila kedatangan langganan pada umumnya adalah 3 orang per jam, maka ditanyakan: 1) Rata-rata banyaknya langganan dalam antrian (panjangnya antrian). 2) Rata-rata banyaknya langganan dalam sistem. 3) Rata-rata lamanya waktu menunggu dalam antrian. 4) Rata-rata lamanya waktu menunggu dalam sistem. Jawaban χ = 3 = rata-rata kedatangan dan s = 3; 15 menit melayani 1 orang. Jadi, 1 jam melayani 4 orang, maka u = 4 = rata-rata tingkat pelayanan. 1) Rata-rata panjang antrian (banyaknya langganan) E(m) = 2) Rata-rata banyaknya langganan dalam sistem: E(n) = 3) Rata-rata lamanya waktu menunggu dalam antrian: E(w) = 4) Rata-rata lamanya waktu menunggu dalam sistem: E(v) =

SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN 1. a) Berikan contoh antrian dengan menyebutkan satuan penerimaan pelayanan (spp) dan pemberian pelayanan (pp). b) Bilamana kita harus antri? Apa yang di maksud dengan rata-rata panjangnya antrian (average of queue lenght) dan rata-rata banyaknya spp dalam sistem? c) Bagaimana struktur keadaan spp dan tingkat pelayanan? 2. a) Apa yang d maksud dengan disiplin pelayanan (service dicipline) , rata-rata tingkat kedatangan (mean arival rate) rata-rata waktu pelayanan (mean service time). b) jelaskan arti rata-rata bnyaknya spp dalam sistem dan dalam antrian c) jelaskan arti rata-rata lamanya waktu menunggu bagi spp dalam sistem dan dalam antrian. 3. Dalam satu warung yang kecil, setiap 5 menit ada seorang pembeli yang datang. Untuk melayani seorang pembeli, pemilik warung memerlukan waktu 3 menit. Kemudian : a) Berapa rata-rata banyaknya pembeli yang harus menunggu dalam sistem antrian? b) Berapa rata-rata banyaknya pembeli yang harus menunggu dalam antrian (ratarata panjangnya antrian)? c) Berapa rata-rata lamanya waktu seorang pembeli harus menunggu dalam sistem antrian? d) Berapa rata-rata lamanya waktu seorang pembeli harus menunggu dalam barisan (antrian)? 4. Seorang usahwan yang mempunyai pompa bensin di jalan sudirman di kota “X”, mengatakan berdasarkan data yang dikumpulkan bahwa akan datang 10 mobil untuk diisi bensin setiap jam. Petugas yang hanya seorang bisa melayani 1 mobil dalam 4 menit. Hitung: a) Rata-rata banyaknya mobil dalam sistem. b) Rata-rata banyaknya mobil dalam antian. c) Rata-rata lamanya waktu menunggu dalam sistem. d) Rata-rata lamanya waktu menunggu dalam antrian. e) Tingkat kegunaan potensial dari peralatan (pompa) atau faktor utilisasi fasilitas pelayanan.

5. Dari soal no. 3, seandainya biaya untuk menunggu sebesar Rp 50 per pembeli per menit dan biaya untuk melayani per spp sebesar Rp 40. Berapa tingkat biaya pelayanan yang minimum? (ingat Cw = Rp 50 dan

Cf

= Rp 40).

6. Untuk mengambil komponen produk, seorang karyawan harus datang ke bagian pengeluaran komponen produk di dalam perusahaan tersebut. Karyawan akan datang ke bagian pengeluaran komponen dengan mengikuti distribusi poisson, rata-rata 40 orang per jam. Apabila upah karyawan Rp 90,- per jam sedangkn upah penjaga loket dari bagian pengeluaran kompinen produk sebesar Rp 40 per jam maka berapa banyaknya loket atau jalur pelayanan harus diselenggarakan? Petunjuk : lihat contoh soal 9.4. a. Pergunakan 3 jalur (k=3), hitung Po dan E (m). Dalam 1 hari ada 8 jam kerja, kerugian karyawan = E(m) x 8 x Rp 90 (*) b. Pergunakan 4 jalur (k=4) hitung Po dan E (m). kerugian karyawan = E(m) x 8 x Rp 90 (**) penghemat kerugian karyawan = (*)-(**) = (x). penambahan biaya penjaga loket = 8 x Rp 40 = (y). Total penghematan = (X)-(Y) = (A). c. Pergunakan jalur 5 (k=S). hitung Po dan E (m). Kerugian karyawan = E(m) x 8 x Rp 90 (***) Penghematan kerugian karyawan (**)-(***) = (X*). Penambahan biaya penjaga loket = 8 x Rp 40 = (Y). Total penghematan = (X*) - (Y) = B Ternyata kalau dihitung B = negatif. Jadi, banayaknya jalur pelayanan harus 4 saja. 7. Toko swalayan mempunyai dua tempat untuk melayani pembayaran para pembeli. Tingkat kedatangan pembeli untuk membayar ada 8 orang per jam dan kecepatan melayani 6 menit lamanya. a. Hitung probilita bahwa pembeli harus menunggu untuk dilayani. b. Rata-rata banyaknya pembeli dalam sistem c. Rata-rata banyaknya pembeli dalam barisan (antrian)

d. Rata-rata lamanya waktu menunggu dalam sistem. e. Rata-rata lamanya waktu menunggu dalam antrian (ingat k=2). 8. Seorang tukang cukur dapat melayani (selesai mencukur) seorang langganan dalam 25 menit. Langganan yang datang mengikuti distribusi poisson dengan rata-rata sebanyak 1 orang dalam 40 menit. a) Berapa rata-rata lamanya waktu seorang langganan harus menunggu dalam antrian = E(w)? b) Berapa rata-rata banyaknya orang menunggu dalam antrian = E(m)? 9. Di bandara sukarno-Hatta, cengkareng, jakarta suatu kapa terbang memerlukan 5 menit untuk mendarat, setelah tanda mendarat sudah diberikan. Walaupun sudah ada penjadwalan , kedatangan kapal sering tidak teratur dan mengikuti distribusi poisson di mana rata-rata kedatangan ada 6 kapal terbang per jam. a) Hitung rata-rata lamanya waktu kapal terbang harus menunggu, berputar-putar di udara, sampai memperoleh izin mendarat! b) Berapa rata-rata banyaknya kapal terbang harus menunggu di udara sebelum mendarat? 10. Di kantin suatu kantor, para karyawan harus antri untuk makan siang. Kedatangan para karyawan mengikuti distribusi poisson, sedangkan waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial. Rata-rata kedatangan karyawan sebanyak 45 orang per jam, kecepatan melayani sebanyak 50 orang per jam, setiap karyawan di bayar Rp 8 ribu per jam dan petugasnya Rp 5 ribu per jam. Jadi kalau karyawan menunggu terlalu lama, dia akan rugi dan minta ganti rugi kepada pengurus kantin. a) Berapa panjangnya antrian? b) Berapa rata-rata lamanyawaktu karyawan harus menunggu mendafat giliran makan? c) Berapa banyak petugas kantin yang optimum.