Universidad de Antioquia Cálculo Diferencial Teoremas sobre límites Profesor: Manuel Cano Universidad de Antioquia Medellín - Colombia E-mail:
[email protected] La información ha sido levantada con base en el texto guía: Elementos básicos de cálculo diferencial. Autor: Jesús del Valle S. Universidad de Antioquia. Tercera edición 2010.
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Teorema 1: Unicidad del límite
• Si una función tiene límite en un punto 𝑎, dicho límite es único. • De manera equivalente y más práctica:
Teorema 2: Álgebra de límites • Sea n un entero positivo, K una constante real y f y g funciones tales que y existen, entonces: El límite de una constante es la constante.
Límite de la función identidad. Toda constante puede salir del límite. El límite de una suma de funciones es la suma de los límites.
Teorema 2: Álgebra de límites (cont.) El límite de la diferencia de funciones es la diferencia de los límites: El límite del producto de funciones es el producto de los límites:
El límite de un cociente de funciones es el cociente de los límites:
El límite de una función potencia es la potencia del límite:
Consecuencias del teorema 2 (C.L.)
Consecuencias del teorema 2 (C.L.)
Consecuencias del teorema 2 (C.L.)
Consecuencias del teorema 2 (C.L.)
Teorema 3: Límite de funciones iguales Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un intervalo I que contiene al punto y tales que:
Ejemplo
Ejemplo
Forma indeterminada!
Observación • El cociente 0/0 no es un número real y se conoce en el cálculo como una forma indeterminada (no puede determinarse a primera vista el valor exacto del límite). • Se usan manipulaciones algebraicas para transformar las funciones como f(x) en una función equivalente a la cual puede calcularse el límite y de acuerdo con el teorema 3, dicho límite coincidirá con el limite de la función problema f(x). • Efectuar el proceso algebraico y simplificar, se conoce en el lenguaje del cálculo como «eliminar la indeterminación». Aquí generalmente es necesario hacer uso de factorización y/o racionalizando (repasar!!!).
Ejemplo: uso de factorización. • Resolvamos algebraicamente el ejemplo anterior:
Ejemplo: uso de racionalización
Multiplicando numerador y denominador por el conjugado de 𝑥 − 2 Producto notable, recuerde que: 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2 .
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
• Sugerencia: Para factorizar tanto el numerador como el denominador use el teorema del factor.
Ejercicio
Ejercicio
• Nota: Ver solución del problema en el texto guía: sección Ejercicios resueltos y propuestos Módulos 4-5-6-7 pág. 149 – 150.
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejemplo
Ejemplo (Cont.)
Ejercicio
Teorema 4: Teorema del sánduche • Sean f(x), g(x) y h(x) tres funciones definidas en un intervalo I, excepto posiblemente en el punto 𝑎 ∈ 𝐼 y tales que:
Teorema 4: Teorema del sánduche
Ejemplo • Use el teorema del sánduche para demostrar que:
Ecuación de la recta que pasa por O y P.
Ejemplo (cont.)
Ejemplo (cont.)
• Nota: aplicar consecuencia 9 de las propiedades de orden
Ejemplo (cont.) • Condición inicial: (1)
(1):
Ejemplo (Cont.) • En conclusión:
Ejemplo
¡Límites trigonométricos importantes!
Ejemplo • Evaluar el siguiente límite:
Ejemplo (Cont.)
Ejemplo (Cont.)
Ejemplo • Evaluar el siguiente límite:
Ejercicio • Evaluar el siguiente límite:
Ejercicio • Evaluar el siguiente límite:
Ejemplo • Evaluar el siguiente límite:
Ejemplo (cont.)
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Solución
Solución
Solución
