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2011 Teoremas sobre ecuaciones polinomiales

Christiam Huertas www.xhuertas.blogspot.com 21/05/2011

Mathema

TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES

Introducción La búsqueda de fórmulas que permitan hallar las raíces de los polinomios fue un problema central del álgebra durante siglos. Scipione del Ferro (1465-1526), Tartaglia (1499-1557), Cardano (1501-1576) mostraron como resolver ecuaciones de tercer grado, y Ferrari (1522-1565) encontró un método para calcular las raíces de las ecuaciones de cuarto grado

del Ferro

Tartaglia

Cardano

Ferrari Prof.: Christiam Huertas

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El objetivo del álgebra clásica es expresar las raíces de la ecuación de grado
    

 ⋯  

   0 en términos de los coeficientes  ,  ,  , … ,  que pertenecen a un cuerpo . La resolución de ecuaciones polinomiales es un tema que ha sido muy estudiado a lo largo de los años a causa de las distintas aplicaciones, provenientes de diversas áreas de la ciencia y de la tecnología, en las que este tipo de ecuaciones aparecen.

Ordenador cuántico Prof.: Christiam Huertas

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Ecuación polinomial de grado superior Forma general

    

 ⋯ + 

+  = 0

donde  ≠ 0 y
≥ 3.

 −  − 2 + 2 = 0

Ejemplos • • • •

 − 4  + 5  − 16 + 4 = 0  −  − 8  + 8 = 0 ! − 4  −  + 4 = 0

factorización sobre ℂ; aunque a veces no es muy sencillo.

Para resolver estas ecuaciones generalmente se utiliza las técnicas de

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Resuelva la ecuación polinomial  −  − 2 + 2 = 0. Ejemplo 1.

Solución Factorizamos la ecuación y obtenemos

 $% %&% − %' −2  $%%&% +%' 2 = 0

→   − 1 − 2 − 1 = 0 →  − 1  − 2 = 0

→  − 1) − √2+) + √2+ = 0

→ = 1 ∨ = √2 ∨ = −√2 son las soluciones de la ecuación ∴ CS = 01; √2; −√22

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Resuelva la ecuación polinomial  − 4  + 5  − 16 + 4 = 0. Ejemplo 2.

Solución Factorizamos la ecuación por el método de aspa doble especial.  − 4  + 5  − 16 + 4 = 0

 

−4

0

1

4

→   − 4 + 1  + 4 = 0 → $%%%&%%%'  − 4 + 1  + 23  − 23 = 0

−−4 ± √12 ,  = −23,  = 23 2

Aplicamos la fórmula general

; =

∴ CS = 02 − √3, 2 + √3 , − 23, 232

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Teorema fundamental del álgebra

Toda ecuación polinomial de grado
, con coeficientes complejos, posee al menos una raíz compleja.

Por ejemplo, la ecuación 5 −  +  + 2  1  0 posee al menos una raíz. Gauss en su disertación doctoral (1799) dio la primera demostración rigurosa del Teorema Fundamental del Álgebra. D’Alembert había tratado de dar una demostración en 1746.

Gauss dio dos demostraciones más. En la tercera prueba (1816) uso integrales complejas y mostro la gran maestría de Gauss en la teoría de los números complejos. Prof.: Christiam Huertas

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Toda ecuación polinomial de grado
con coeficientes complejos, tiene Corolario

exactamente
raíces contadas cada una de ellas según lo indique su multiplicidad.

Ejemplos • • • •

 −  − 2 + 2 = 0 Tiene exactamente 3 raíces.

 − 4  + 5  − 16 + 4 = 0 Tiene exactamente 4 raíces.  −  − 8  + 8 = 0 Tiene exactamente 5 raíces.  + 1 = 0 Tiene exactamente 12 raíces.

Si la ecuación polinomial  = 0 tiene raíces ,  ,  , … , ; entonces, la ecuación Observación.

se puede expresar como:

 =  −  −   −   …  −  = 0

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La ecuación de tercer grado: fórmula de Cardano-Tartaglia El matemático italiano Scipione del Ferro (14651526) resolvió la ecuación general de grado 3, pero sus descubrimientos no fueron publicados. Otro matemático italiano, Tartaglia (1499-1557), encontró un método para resolver cualquier ecuación cúbica de la forma  + 6 + 7 = 0

y sus resultados fueron publicados por Cardano (1501-1576) en su obra Ars Magna. La fórmula se deduce de la siguiente manera. En primer lugar la ecuación cubica          0 se puede llevar a una de la forma 8   68  7  0 Prof.: Christiam Huertas

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mediante la sustitución 8 = +

9: 

La sustitución anterior se llama de Tchirnhausen. Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (o Tschirnhausen) (1651-1708) fue un matemático, físico, médico y filósofo alemán. Es bien conocida la transformación de Tschirnhaus, mediante la cual eliminaba ciertos términos intermedios de una ecuación algebraica dada; fue publicada en su Acta Eruditorum en 1683. Por ejemplo, para la ecuación  − 3   9  5  0 Hacemos el cambio de variable: 8  

 

  1 de donde,  8  1

Al reemplazar obtenemos: 8   68  2  0. Prof.: Christiam Huertas

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Es decir; vamos a resolver la ecuación

 + 6 + 7 = 0

Sea = < + = y reemplacemos en la ecuación Esto es,

< + = + 6< + =  + 7 = 0