Teoremas sobre adición y multiplicación

1. LEY DE ADICIÓN.

TEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN CANCELACIÓN PARA LA

a + c = b + c → a = b

Demostración

a +c =b+c

a + c + ( −c) = b + c + (−c ) Monotonía en la adición o

unicidad para la adición. a +[c +( −c) ] = b +[c +( −c ) ] Propiedad asociativa a+0 =b+0 Elemento inverso aditivo. a =b Elemento neutro aditivo.

2. LEY DE CANCELACIÓN MULTIPLICACIÓN. a c

PARA

LA

= b c ,c ≠ 0 → a = b

Parte de la matemática que comprende el estudio de los diferentes arreglos o agrupaciones que se pueden formar con un cierto número de objetos. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO:

1) PRINCIPIO DE ADICIÓN.- Si una actividad A, puede realizarse de m maneras diferentes y otra actividad B se realiza de n formas diferentes, entonces la operación que consiste en hacer A ó B (no ambas simultáneamente, sino la una o la otra) podrá ocurrir de ( m + n ) formas distintas. Operación

A

Serealizade mform as.

A

Operación

B

Serealizade nform as.

Serealizade (m +n)form as.

Demostración

ac = bc ( ac )  1  = ( bc ) 1  Monotonía en la multiplicación o c c unicidad para la multiplicación.  1  1 a c ⋅  = b c ⋅  Asociativa en la multiplicación.  c  c a (1) = b(1)

a =b 3.

Elemento inverso multiplicativo. Elemento neutro multiplicativo.

a ⋅ 0 = 0 = 0 ⋅ a, ∀ a ∈ R

Demostración Elemento neutro aditivo. a ⋅ 0 = a ⋅ 0 + [ a + (−a )] Elemento inverso aditivo. a ⋅ 0 = ( a ⋅ 0 + a ) + ( − a ) Asociativa en la adición.

a⋅0 = a⋅0 + 0

a ⋅ 0 = ( a ⋅ 0 + a ⋅1) + ( − a ) Elemento neutro multiplicativo. a ⋅ 0 = a ( 0 + 1) + ( − a ) Propiedad distributiva. a ⋅ 0 = a (1) + ( − a ) Elemento neutro aditivo. a ⋅ 0 = a + ( − a) Elemento neutro multiplicativo.

a ⋅0 = 0 Por lo tanto: a⋅0 = 0 = 0⋅a

Elemento inverso aditivo. a ⋅ 0 = 0 y por conmutatividad:

Otra forma: 0+0 = 0

Elemento neutro aditivo. Monotonía en la multiplicación o unicidad para la multiplicación. a⋅0+ a⋅0 = a⋅0 Propiedad distributiva. a( 0 + 0) = a ⋅ 0

a⋅0 + a⋅0 = a⋅0 + 0 a ⋅0 = 0

Elemento neutro aditivo. Ley de cancelación para la multiplicación.

ó

B

EJERCICIOS: a) Una persona puede viajar de Lima a Cusco por vía aérea, usando 2 líneas de transporte aéreo o por vía terrestre, a través de 3 líneas de ómnibus. ¿De cuántas, formas puede realizar el viaje de Lima a Cusco? Rpta: 5 formas. b) Alfonso desea cruzar un río, para ello puede utilizar 2 botes, 3 lanchas pequeñas o una canoa. ¿De cuántas formas podrá cruzar el río utilizando uno de los medios de transporte señalados? Rpta: 6 formas. 2) PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN.Si una operación o actividad A, puede efectuarse de m maneras diferentes y a continuación de esta actividad, se realiza otra actividad B que puede efectuarse de n maneras diferentes, entonces la operación que consiste en hacer A y B (uno a continuación de otro) podrá efectuarse de ( m × n ) maneras distintas. O peración

A

Serealizade mform as.

O peración

B

Serealizade nform as.

A

y

B

Serealizade (m x n)form as.

EJERCICIOS: a) José tiene 2 polos distintos y 3 pantalones diferentes ¿De cuántas maneras distintas puede vestirse utilizando dichas prendas? Rpta: 6 formas. b) ¿Para ir de Lima a Ica 3 líneas de ómnibus diferentes, para ir de Ica a Arequipa hay 4 líneas de transporte y para llegar a Tacna de Arequipa existen 2 líneas. ¿De cuántas maneras puede ir una persona de Lima a Tacna pasando por Ica y Arequipa? .Tacna

L im a Ica

A requipa

Rpta: 24 formas.

PERMUTACIÓN.- Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación; cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación. Es importante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación, cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos.

EJERCICIOS: a) De cuántas maneras se pueden sentarse 5 personas en 5 asientos uno a continuación de otro. Solución 5 4 3 2 1 5 × 4 × 3 × 2 ×1 = 120 También: Pn =n!

P5 = 5!= 5 × 4 × 3 × 2 ×1 = 120 Rpta: Hay 120 maneras.

Si las permutaciones se forman con una parte de los elementos del conjunto. El número de permutaciones de n objetos, tomados en grupos de K elementos (siendo k ≤ n ) y denotado como Pkn , estará dado por: n! P = ( n − k )! n k

Donde: n, k ∈Ν y 0 ≤ k ≤ n b) En una carrera de 100 metros, participan 10 atletas. ¿De cuántas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros con medallas de oro, plata y bronce? Solución

d) ?

oro

plata

bronce

10

9

8

10 × 9 × 8 = 720

También:

Pkn =

P310 =

n!

( n − k )!

10! (10 −3)!

P310 =

10! 10 ×9 ×8 ×7/! = = 7! 7/!

10 ×9 ×8 ×7/! =10 ×9 ×8 = 720 7/! c) Cuantas palabras de 4 letras se puede hacer con las letras a, b, c, d. Rpta: 24 maneras. d) ¿De cuántas maneras pueden 8 personas sentarse en una banca si sólo hay 4 asientos disponibles? Rpta: 1680 maneras.

=

PERMUTACIÓN CIRCULAR.- Es un arreglo que se puede hacer con los elementos de un conjunto alrededor de un objeto (o centro) señalado. El número de permutaciones circulares, denotado como Pc , de n elementos, esta dado por: ( − P (n ) =n 1)! con n ∈ Ν c

EJERCICIOS: a) ¿De cuántas maneras distintas podrán sentarse 4 niños alrededor de una mesa? Solución Pc ( 4 ) = ( 4 −1)! = 3! = 3 × 2 ×1 = 6 Rpta: 6 maneras.

b) Alrededor de una torta de cumpleaños, se ubican 6 vasos diferentes. ¿De cuántas formas pueden ser ubicados Rpta: 120 c) Alrededor de un árbol, juegan 6 niños formando una ronda. Cada 90 segundos, forman una nueva ronda, diferentes a las ya formadas. ¿Cuánto tiempo pasará hasta haber agotado todas las ordenaciones posibles