Teoremas de Hahn-Banach en versión geométrica

´cnica Nacional Escuela Politecnica e ´lisis Matem atico ´ tico II Analisis a a

Formas geom´ etricas etricas del Teorema de Hahn-Banach

Milton Torres Espa˜ na na 26 de noviembre de 2014

En el presente trabajo se abordar´a la interpretaci´on on geom´ g eom´etrica etrica del Teorema de Hahn-Ban H ahn-Banach, ach, que qu e consiste en encontrar las condiciones suficientes para  separar  dos  separar  dos conjuntos de un espacio vectorial. Espec´ Espec´ıficamente se presentaran dos versiones geom´etricas. etricas. En primer lugar, se mostrar´an an ciertas definiciones y lemas previos que permitir´an an una demostraci´ demostracion o´n m´as as corta de los teoremas. En lo que sigue,   representar´ a un espacio vectorial normado. Adem´as, as, E  representar´ Br (x0 ) =  { x ∈  E  :   x − x0   < r }.

1.

Defin Definic icio ione ness Prev Previa iass

 → Definition 1.1  (Funcional sublineal) .  Se dice que  p  : E  →

R  es

un funcional un  funcional sublineal  si  si satisface las

siguientes condiciones:

∀x ∈  E  y ∀λ >  0 ,

 p(λx) =  λp (x)

 p(x + y)  ≤  p (x) +  p(y)

(1)

∀x, y  ∈  E.  E .

(2)

es  convexo si  si Definition 1.2  (Subconjunto convexo).   Un subconjunto A  ⊂  E  es convexo tx + (1 − t)y  ∈  A

∀x, y  ∈  A, ∀t  ∈  [0 , 1].

 (Hi perpl rplano ano af´ın) ın). Un hipe Un  hiperp rpla lano no af´ın  es ın  es un subconjunto H  de E  de   de la forma Definition 1.3  (Hipe H  =  { x ∈  E  :  f (x) =  α },

donde f  es un funcional lineal no nulo y α  ∈ diremos diremos que  f  =  α  es la ecuaci´on on de H .

R  es

una constante. Lo notaremos como H  = [f  =  α ] y

Definition 1.4.   Sean A  y B  subconjuntos de  E .

1. Un hiperplan hiperplanoo  H  = [f  =  α ]  separa  a  separa  a  A  y  B si f (x)  ≤  α

∀x ∈  A

y

f (x)  ≥  α

∀x ∈  B.  B .

2. Decimos Decimos que H  separa estrictamente  a  a A  y B  si existe ε >  0 tal que f (x)  ≤  α − ε

∀x ∈  A

y

1

f (x)  ≥  α + ε

∀x ∈  B.  B .

2.

Teoremas, lemas y proposiciones previas

Teorema 2.1   (Hahn-Banach).   Sean  E   un espacio vectorial real, F  ⊆ E   un subespacio vectorial,

 p  : E  → R  un funcional sublineal, y  f  :  F  → R  un funcional lineal, tal que  f (x)  ≤  p (x),

Existe entonces un funcional lineal  f ˜ : E  →

∀x ∈  F.

R  que

extiende a  f  y que verifica 

f ˜(x)  ≤  p (x),

∀x ∈  E.

Demostraci´  on.  La demostraci´on detallada de este teorema cl´asico se encuentra en [2].



Proposici´ on 2.2.   El hiperplano H  = [f  =  α ] es cerrado si y solo si  f   es continuo.

Demostraci´  on.  Supongamos que f  es continua. Sea (xn )n∈N  ⊂  H  tal que xn →  x . Por la continuidad de f , f (xn ) → f (x). Adem´as, f (xn ) = α  para cada n ∈ N. Entonces f (x) =  α , se sigue que x  ∈ H . Luego,  H  es cerrado. Rec´ıprocamente, supongamos que  H  es cerrado. Sea x0  ∈  H c , sin p´erdida de generalidad, suponemos que f (x0 ) < α. Es claro que H c es abierto y no vac´ıo, entonces existe r >  0 tal que Br (x0 ) ⊆ H c . Adem´as,

∀x ∈  B r (x0 ).

f (x)  < α

(3)

Caso contrario, existe x1 ∈ Br (x0 ) tal que f (x1 ) > α. Por la convexidad de Br (x0 ), el conjunto de segmentos {xt  = (1 − t)x0  + tx1  : t  ∈  [0 , 1]} est´ a contenido en Br (x0 ), entonces f (x0 )  = α, ∀t ∈ [0, 1]. Sin embargo, tomando t = obtiene que  f (xt ) =  α . Por tanto se verifica (3).

f (x1 )−α f (x1 )−f (x0 )

se

Se sigue de (3),

∀z  ∈  B 1 (0).

f (x0  + rz )  < α

Por la linealidad de f ,

α − f (x0 ) r α − f (x0 ) |f (z )|  < r Sea ε >  1, si  x  ∈  E  entonces εxx ∈  B 1 (0). Adem´as, f (z )  <

     f 

cuando ε →  1

x εx

|f  ( x)| ≤

<

α − f (x0 ) r

α − f (x0 ) x r

∀z  ∈  B 1 (0), ∀z  ∈  B 1 (0).

∀x ∈  E,

∀x ∈  E.

Entonces   f  ≤ 1r (α − f (x0 )). Luego,  f  es continuo.



Lema 2.3. Sea  C  ⊂  E  un conjunto abierto y convexo tal que  0  ∈  C . Para todo x  ∈  E  se define:

 p(x) = ´ınf {α >  0 : α−1 x ∈  C }.

Entonces  p  satisface (1), (2) y las siguientes propiedades: Existe una constante  M  tal que  0  ≤  p(x)  ≤  M x C  =  { x ∈  E  : p(x)  <  1 }.

2

∀x ∈  E ,

(4) (5)

Nota.  Al funcional  p  definido en el lema anterior se lo conoce como el  funcional de Minkowski de  C  o como el gauge de  C . Demostraci´  on.  La condici´on (1) se obtiene directamente de  p(βx ) = ´ınf {α > 0 : α−1 βx  ∈  C }  =  β ´ınf {α >  0 : α−1 x ∈  C }  =  β p(x),

con β > 0. Para probar la condici´ on (4), como C   es abierto y 0  ∈  C  entonces existe r >  0 tal que  B r (0) ⊂  C . Es claro, por la definici´on de ´ınfimo, que 1  p(x)  ≤ x. r Ahora, supongamos que  u  ∈  C . Como  C  es abierto, (1 + ε)u ∈  C  para  ε  suficientemente peque˜no. Por 1 lo tanto  p (u)  ≤ 1+ ıprocamente, si  p (x)  <  1, existe 0  < α <  1 tal que  α −1 u ∈  C  y por tanto, ε <  1. Rec´ como C   es convexo,  u  =  α (α−1 u) + (1 − α)0  ∈  C . Esto prueba la condici´on (5). Probemos la condici´on (2), sean u, v  ∈  C  y  ε >  0. Entonces (1 − t)v tu ∈  C   +  p(u) + ε  p(v ) + ε

u  p(u)+ε

∈  C  y

v  tal  p(v)+ε

que

∀t ∈  [0 , 1].

p(u)+ε Particularmente para t =  p(u)+ , obtenemos entonces que  p(u)+u p+(vv)+2ε ∈ C . Esto nos lleva a  p(v)+2ε  p(u + v )  < p(u) +  p(v ) + 2 ε, para todo ε >  0. Cuando  ε  →  0 se tiene que p(u + v )  ≤  p (u) +  p(v ).



Lema 2.4.   Sean  C  ⊂  E  un conjunto abierto convexo y  u0 ∈  E  con  u0  ∈  C . Entonces existe  f  ∈  E ∗

tal que  f (x)  < f (u0 ), ∀u ∈  C . En particular, el hiperplano H  = [f  =  f (u0 )] separa a  {u0 } y  C . Demostraci´  on.  Realizando una traslaci´on, podemos asumir que 0 ∈ C . Consideremos el funcional p como en el Lema 2.4. Definimos V   =  { αu0  : α  ∈ R}. Tambi´en definimos g  sobre V   por g(tu0 ) =  t, t  ∈

R.

Tenemos que  g (u)  ≤  p (u),  ∀ u ∈  V  . Por el Teorema de Hahn-Banach, existe un funcional lineal  f  sobre E   que extiende  g  tal que f (u)  ≤  p (u)  ≤  M uE . Esto nos dice que  f  es continua. Aplicamos el Lema 2.3. En particular, tomemos  f (u0 ) = 1 y  f (u)  <  1, para todo u  ∈  C , por el mismo lema. En resumen, tenemos que f (u0 )  ≤  f (u0 )

y f (u)  ≤  f (u0 )

∀u ∈  C.

Es decir, H   separa a  { u0 }  y C .

3.



Formas geom´ etricas del Teorema de Hahn-Banach

etrica del Teorema de Hahn-Banach).   Sean  A ⊂ E  y  B ⊂ E  Teorema 3.1   (Primera forma geom´ subconjuntos convexos no vac´ıos tal que  A ∩ B  =  ∅ . Supongamos que uno de ellos es abierto. Entonces  existe un hiperplano cerrado que separa  A y  B .

3

Demostraci´  on. Sea C  =  A − B , definido como A − B  =  { a − b  : a  ∈  A, b  ∈  B }  =



(A − b).

(6)

b∈B

C  es convexo, pues dados x, y ∈ C  y λ ∈ [0, 1] tenemos que si x = a − b, y = c − d con a, c ∈ A y b, d  ∈  B  entonces λx + (1 − λ)y  =  λ (a − b) + (1 − λ)(c − d)

=  λa − λb + (1 − λ)c − (1 − λ)d =  λa + (1 − λ)c − [λb + (1 − λ)d] ∈  C.

          ∈A

∈B

Esto se da por la convexidad de A y B . Tambi´en, C   es abierto y no vac´ıo, ya que es la uni´o n de ∈  C  ya que A  y  B  son disjuntos. abiertos no vac´ıos (observar su definici´on). Adem´as, 0   Aplicando el Lema 2.4, existe  f  ∈  E ∗ tal que

∀z  ∈  C.

f (z )  <  0

Como z  =  x − y , con x  ∈  A  y y  ∈  B . Por la linealidad de  f  y como  z  es arbitrario tenemos que

∀x ∈  A,

f (x)  < f (y )

∀y  ∈  B.

Si fijamos una constante α  tal que sup f (x)  ≤  α  ≤  ´ınf  f (y). x∈B

x∈A

Definimos el hiperplano  H  = [f  =  α ], entonces f (x)  ≤  α

∀x ∈  A

f (y )  ≥  α

∀y  ∈  B.

y Por tanto,  H  separa A  y B . Adem´as, H  es cerrado por la Proposici´on 2.2.



etrica del Teorema de Hahn-Banach).   Sean  A ⊂ E  y  B ⊂ E  Teorema 3.2   (Segunda forma geom´ subconjuntos convexos no vac´ıos tal que  A  ∩  B = ∅. Supongamos que  A   es cerrado y  B   compacto. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa estrictamente  A y  B . Demostraci´  on. Sea  C   definido como en (6). Por la demostraci´on anterior, 0   ∈  C  y  C   es convexo. Ahora probemos que  C  es cerrado, sea ( un )n∈N  ⊂  C  tal que  u n  →  u . Entonces para cada  n  ∈ N,  u n  =  v n − wn tal que  v n  ∈  A  y  w n  ∈  B . Como  B  es compacto entonces existen  ϕ  : N → N  creciente estrictamente y w ∈  B  tales que wϕ(n) →  w . Observemos que vn =  u n  +  wn , de esto vϕ(n) →  v =  u  +  w . Como A es cerrado,  v  ∈  A . Luego,  u  =  v − w y u  ∈  C . Por tanto  C   es cerrado. Vemos que 0  ∈  C c . Como C  es cerrado, entonces C c es abierto. Existe r >  0 tal que Br (0)  ⊂  C c . Por tanto, Br (0) y C  son disjuntos. Aplicando el Teorema 3.1, existe un hiperplano cerrado H  = [f  =  α ] ≡  0 tal que que separa a Br (0) y C . De esto,  f  ∈  E ∗ y f   f (x − y)  ≤  f (rz ),

∀x ∈  A, ∀y  ∈  B , ∀z  ∈  B 1 (0).

Eligiendo −z  (pues −z ∈  B 1 (0)), obtenemos por la linealidad de f  que f (x − y )  ≤ −rf (z ). Adem´as, porque f  es acotada tenemos que f (x − y )  ≤ −rf ,

∀x ∈  A,

∀y  ∈  B .

Tomemos  ε  = 21 rf , se logra por la linealidad de f  f (x) + ε  ≤  f (y) − ε,

∀x ∈  A, 4

∀y  ∈  B.

Escogemos una constante  α ∗ tal que sup f (x) + ε  ≤  α ∗ ≤  ´ınf  f (y ) − ε. y ∈B

x∈A

Por definici´on, el hiperplano  H ∗ = [f  =  α ∗ ] separa estrictamente  A  y  B . Tambi´en, H ∗ es cerrado por la Proposici´ on 2.2. 

Referencias [1]   Brezis, H., Functional Anlaysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations , Universitex, Springer,(2010). [2]   Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications , Wiley. [3]   Bothelo, F., Functional Anlaysis and Applied Optimization in Banach Spaces , Springer Internacional,(2014), Suiza. [4]   Gallier, J., Geometric Methods and Applications , Segunda Edici´on, Springer,(2010).

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