Teorema Wilson dan Teorema Euler.pdf

MATA KULIAH : TEORI BILANGAN TEOREMA WILSON DAN TEOREMA EULER

Nama : Ni Kadek Sumarwati Nim : 1308405036

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS UDAYANA TAHUN AJARAN 2016/2017

TEOREMA WILSON

1. Pengertian Dalam buku yang dipublikasikan tahun 1770, seorang matematikawan Inggris Edward Waring menyatakan bahwa muridnya menemukan (p-1)!+1 habis dibagi oleh p berapapun p yang merupakan bilangan prima. Namun, tidak ada dari keduanya yang mampu membuktikannya. Tahun 1771, Joseph Lagrange membuktikan teorema ini, yang selanjutnya dikenal sebagai teorema Wilson.

2. Teorema

Jika  adalah bilangan prima, maka   1! ≡ 1  

3. Bukti Teorema Sebelum pembuktian, kita lihat ilustrasi ide di balik pembuktian ini. Tentukan sisa pembagian

7  1! dibagi 7 7  1! = 6! = 1.2.3.4.5.6

Selain 1 dan 6, maka kita akan menyusun pasangan-pasangan yang merupakan invers modulo.

2.4 ≡ 1  7 3.5 ≡ 1  7 Oleh karenanya, kita lakukan grouping sebagai berikut:

6! = 1. 2.4. 3.5. 6 Jadi,

6! ≡ 1. 1. 1. 6  7 6! ≡ 6  7 6! ≡ 1  7

1

Bukti Teorema Wilson : Ingat :  adalah invers dari  modulo  , jika . Untuk  = 2 , maka 2  1! ≡

≡ 1  .

1  2 ≡ 1  2 adalah benar. Jadi, teorema itu

benar untuk  = 2 . Sekarang, asumsikan  adalah bilangan prima yang lebih besar 2. Dari bilangan 1,2,3,4,5,..., (p-2), (p-1), bilangan yang memiliki invers modulo p terhadap dirinya sendiri hanya 1 dan (p-1).

Bukti : Kita tahu bahwa 1 memiliki invers modulo dirinya sendiri, karena

1.1 ≡ 1  .

  1 memiliki invers modulo dirinya sendiri, karena:   1  1 ≡ 11   ≡ 1   Lalu bagaimana dengan bilangan selain 1 dan (p-1). Seandainya

 adalah sembarang integer yang mempunyai invers modulo terhadap

dirinya sendiri dan 1 <  <   1, maka kondisi ini harus berlaku:

.  ≡ 1     1 ≡ 0    + 1  1 ≡ 0    | + 1 ∨  |  1  ≡ 1   ∨  ≡ 1   Kondisi ini ternyata berkontradiksi dengan pernyataan awal bahwa Jadi, bilangan

 dalam 1 <  <   1  selalu

1 <  <   1.

mempunyai pasangan invers modulo

dengan bilangan yang lainnya. Selanjutnya, kita dapat melakukan grouping sbb:

  1! = 1. . .(.) … c.̅ .(.  ̅).   1   1! ≡ 1. 1. 1 … 1. 1.   1     1! ≡ 1  ∎

2

4. Contoh Soal 

Soal 1 Berapakah hasil dari 70! Dibagi 71 ?

Penyelesaian : Dik : p=71 (prima)

70! = 71  1! ≡ 70  71 ≡ 1  71 

Soal 2

Tentukan sisa pembagian 14!.12!.10! dibagi 13 !

Penyelesaian :

14!.12!.10! = 14.13.12!.12!.10! ≡ 14.13. 1. 1.10!( 13) ≡ 0 mod 13

3

TEOREMA EULER

1. Pengertian Fermat's Little Theorem (FLT) bekerja dengan baik jika bilangannya adalah prima. Namun, hal ini kurang memuaskan para matematikawan karena kurang praktis. Bagaimana dengan bilangan komposit? Tahun 1736, Leonhard Euler berhasil membuktikan FLT. Kemudian, 24 tahun kemudian, FLT digeneralisasi oleh Euler. Selanjutnya generalisasi ini disebut dengan teorema Euler.

2. Teorema 

Definisi 1 Fungsi phi-euler dalah fungsi pada bilangan asli n yang didefinisikan sebgai berikut :

 adalah banyaknya bilangan pada {1,2,3,4,...,n-1} yang relatif prima ke . Contoh :

8 = 4,

karena ada 4 bilangann asli yang kurang dari 8 yang relatif prima ke

8, ke-4 bilangan tersebut adalah 1,3,5,7.

11 = 10, 

karena semua bilangan pada {1,2,3,4,...,10} relatif prima ke 11.

Teorema

1. Jika  prima maka  =   1 2. Jika  prima dan  ≥

1

maka   =    −

4

Bukti : 1. Jika p prima maka semua bilangan pada {1,2,3,4,...,p-1} relatif prima ke p, itu artinya  =   1. 2. Ada   elemen pada himpunan {1,2,3,4,...,  } . Elemen pada himpunan tersebut tidak relatif prima ke p jika hanya jika dapat dibagi oleh p. Elemen pada himpunan yang dapat dibagi oleh p adalah :

1,2,3,…, − Ada sebanyak −  elemen yang tidak relatif prima ke p maka banyaknya elemen yang relatif prima ke p sebanyak   − 

Definisi

Sistem residu tereduksi mod n adalah himpunan bilangan {1,2,3,4,...,n-1} yang memenuhi : Jika  ≠   maka   ≢    Untuk setiap   relatif prima ke  Dengan demikian sistem residu tereduksi mod n merepresentasikan bilangan-bilangan yang relatif prima ke . •

•

Contoh : 1. {1,5,7,11} merupakan sistem residu tereduksi mod 12 . 

Lemma

Diberikan  =   dan  ,  , … ,   adalah Sistem residu tereduksi mod n, berlaku : Untuk semua bilangan bulat m maka  + ,  + ,… ,  +  merupakan sistem residu tereduksi mod n. Jika m relatif prima ke n maka  ,  , … ,   merupakan sistem residu tereduksi mod n. •

•

Akibatnya : Diberikan  =   dan  ,  , … ,   adalah Sistem residu tereduksi mod n,  jika s relatif prima ke n dan t sebarang bilangan bulat maka

 + ,  +

,…, +  merupakan sistem residu tereduksi mod n.

5

Contoh :

1,5  merupakan

sistem residu tereduksi mod 6. Tambahkan 12=2x6 pada

setiap bilangan diperoleh

13,17 sistem residu tereduksi mod 6 lainnya, Kita

tahu 6 relatif prima ke 25, jika kita kalikan sistem yang awal dengan 25 diperoleh

25,125sistem

residu tereduksi mod 6 lainnya, terakhir

{25 +

12, 125 + 12} = 37,137 juga merupakan sistem residu tereduksi mod 6. 

Teorema Euler

Setiap bilangan bulat  dan  bilangan bulat positif yang relatif prima ke  maka ,

 = 1   Bukti : Ambil

 =    dan  ,  , … ,    adalah

Sistem residu tereduksi mod n,

diasumsikan   termuat di {1,2,3,4,...,n-1} Karena a dan n relatif prima maka

 ,  ,…,  juga merupakan sistem

residu tereduksi mod n. Kedua sistem tersebut haruslah mempunyai hasil perkalian modulus n yang sama

 , ,…,   ≡  ,  , … ,      ,  , … ,   ≡  ,  , … ,    Karean setiap

 relatif

prima ke n, jika dikalikan kedua sisi dengan

 ,   , … ,   diperoleh :  ≡ 1     = 1  

6

3. Contoh Soal 

Soal 1

Tentukan sisa pembagian 7  oleh 3 ! Penyelesaian :

3 = 3  1 = 2 1  3 ( ), ℎ : 7 = 7 . 7 ≡ 1 . 7  3 ≡ 7  3 ≡ 1  7 

Soal 2

Tentukan 8 ! Penyelesaian :

8  = 2.2.2  = 2 . 2 . 2 = 2  2 . 2  2 . 2  2  = 32  16. 32  16. 32  16 = 16.16.16 = 4096

7

DAFTAR PUSTAKA 1. Blogspot : Aria Turns. 2010. Teorema Euler 2. http://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem 3. Kenneth H Rosen. Elementary Number Theory

8