Teorema Teorema Limit

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung limit fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti yang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsinya, semakin rumit pula masalah yang dihadapi. Untuk itu berikut ini diberikan suatu rangkaian rumus-rumus menghitung limit di suatu titik dengan cara sederhana. Kita mulai dengan teorema berikut: (bukti teorema diserahkan kepada pembaca). Teorema 3.2.1 (Ketunggalan limit fungsi) f ( x)  L dan lim f ( x)  M maka L = M Jika lim x a x a Teorema 3.2.2 ( mx  n)  ma  n (i) Jika m dan n konstanta, maka lim xa (ii)

aa Teorema akibat: lim xa

(iii)

mm Teorema akibat, jika m suatu konstanta maka lim xa

(iv)

lim x  a

(v)

lim x  a , a  0

(vi)

lim

x a

xa

x a

1 1  ,a  0 x a

Teorema 3.2.3 (Operasi pada limit fungsi) Misalkan f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada selang buka I yang memuat a kecuali mungkin pada a sendiri dan misalkan limit f dan g di a ada, jika lim f ( x)  M dan lim g ( x)  N , maka: x a x a (i)

lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)  M  N

(ii)

lim ( f ( x)  g ( x ))  lim f ( x)  lim g ( x )  M  N

(iii)

lim ( f ( x ) g ( x))  lim f ( x) lim g ( x)  MN

(iv)

lim 

(v)

lim

(vi)

(kf ( x))  k lim f ( x)  kM k = konstanta. Teorema akibat lim xa x a

xa

xa



x a

x a

xa

xa

x a

xa



xa

x a



f ( x) M  f ( x)  lim   xa  , asalkan lim g ( x)  0 xa  g ( x)  lim g ( x) N xa

xa

n

f ( x)  n lim f ( x)  n M , dengan n bilangan positif dan lim f ( x) >0 x a xa

Teorema 3.2.4 Misalkan Pn(x) dan Pm(x) adalah polinom-polinom (suku banyak) dengan: Pn(x) = cnxn + cn-1xn-1 + cn-2xn-2 + ……+ c1x + c0 dan Pm(x) = cmxm + cm-1xm-1 + cm-2xm-2 + ……+ c1x + c0 cn, cn-1, cn-2, …c0 dan cm, cm-1, cm-2, …c0 adalah konstanta yang merupakan kosefisien-koefisien polinom, maka 123

Limit Fungsi dan Kontinuitas

(i)

lim Pn ( x)  Pn (a)

(ii)

lim

xa

x a

;a 

Pn ( x) P (a)  n ; Pm (a )  0 Pm ( x) Pm (a )

Teorema : Limit nilai mutlak fungsi : jika suatu fungsi mempunyai limit disuatu titik, maka nilai mutlak fungsinya mempunyai limit dititik itu, tetapi kebalikannya tidak berlaku. Sifat-sifat : jika lim f ( x)  L maka lim f ( x)  L x a

xa

Contoh 6: Hitung limit fungsi berikut: 1.

( x  3 x  4) 3. xlim 1 2

lim x 3

x  2

2. lim

x  1

2

3x 3  2 x 2  5 x3

4. lim x 

3

2

sin x 1  sin x

Penyelesaian: x 3  lim ( x.x.x)  lim x . lim x . lim x = (-2)(-2)(-2) = -8 1. xlim  2 x  2 x  2 x  2 x  2

3x 3  2 x 2  5 3(1) 3  2(1) 2  5  3  2  5 0 3x 3  2 x 2  5 xlim   0   1 2. lim x1 2 2 ( 1)  3 x3 lim ( x  3) x1

2 ( x  3 x  4 )  lim x  lim1 3x  lim1 4   lim x   lim x   3 lim x  4 3. lim x 1 2 x 1 2 x 2 x 2 x  x   x  2

1

2

1

1

2

1 3 23   4 4 2 4

lim sin x

4.

1  1 sin x  sin x  2 3     lim 3  3 lim   3 x x  1  sin x  1  sin x lim 1  sin x 1  1  2  2 2 x 

x

2

Contoh 7: Hitung limit fungsi berikut dengan menggunakan rumus-rumus limit: 4x xa lim 1. lim 4. 3 3 x  4 x a x  a 2 x  1  1 x 2  5x  6     2. lim 5. x 2 x  2 lim     x2 x 2 x2 2 x x2 3. lim x 1 2 x 3  3 x  1 124

1

3

2

Penyelesaian:

xa xa  lim ; a0 3 3 x  a x a ( x  a )( x 2  ax  a 2 ) 1 1 1  lim 2  2  2 2 x a ( x  ax  a 2 ) (a  a.a  a ) 3a 2 x  5x  6 ( x  2)( x  3)  lim  lim ( x  3)  1 2. xlim  2 x  2 x  2 x2 ( x  2) 2 ( x  2) 1 2 x  x2 ( x  1)( x  2)  lim  1  lim 3. lim 2 3 2 x1 ( 2 x  2 x  1) x 1 2 x  3 x  1 x 1 ( x  1)( 2 x  2 x  1) 2  2 1

1. lim x a

4. lim x 4

4 x 2

x

 lim

(2 

x )(2  (2 

x4

x)

x)

 lim 2  x4

x 4

 2 x  ( x  2) 1 1   1 ) 1 (  lim  5. 2 x   lim  x 2 x  2 2 x ( x  2) x2 2 x 4 lim  lim x2 x2 x2 x2

3.3 Limit Kiri dan Limit Kanan (Limit Sepihak) Sebelum kita membahas konsep “Limit kiri” dan “limit kanan”, perhatikan dengan seksama fungsi f beserta grafik pada contoh berikut : y

2

Contoh : f ( x) 

1

 1, x  | x |   1,

x0 x0

0 -1

x Gambar grafik f(x) =

-2

x |x|

fungsi f ini terdefenisi pada semua bilangan real kecuali di x = 0 jadi Df = R – {0}. x

Sebagaimana halnya pada contoh 2 maka pada contoh ini kita amati perilaku fungsi f(x) = | x | disekitar x = 0. Bilamana x cukup dekat ke 0, maka f(x) tidak mendekati suatu nilai tertentu, sehingga kita katakan lim f ( x)  lim x 0

x 0



x tidak ada . |x|

Akan tetapi, bilamana x mendekati 0 dari arah kanan (dari arah nilai-nilai x yang besar dari 0), maka f(x) akan mendekati 1. dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi x mempunyai “limit kanan” di 0 dengan nilai limit kanan 1, ditulis lim f ( x)  lim

x 0 



x 0

x 1 |x|

Demikian juga bilamana x mendekati 0 dari arah kiri (dari arah nilai-nilai x yang lebih kecil 0), maka f(x) akan mendekati bilangan -1. Dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi f mempunyai “limit kiri” di 0 dengan nilai limit kirinya -1, ditulis lim f ( x)  lim

x 0

x 0

x  1 | x|

Dari kenyataan ini kita defenisikan limit kanan dan limit kiri sebagai berikut : 125

Limit Fungsi dan Kontinuitas

Definisi 3.3.1: (Definisi Limit Kanan) Misalkan f sebuah fungsi paling sedikit terdefinisi pada selang terbuka (a,b), maka limit kanan f dititik a ditulis sebagai:

lim f ( x)  L atau ( f(x)  L bila x  a+)

xa 

jika  > 0 terdapat bilangan  > 0 sedemikian sehingga 0< x - a <    f(x) - L  <  perhatikan bahwa 0< x–a a yang berarti x terletak disebelah kanan a Definisi 3.3.2: (Definisi Limit Kiri) Misalkan f sebuah fungsi paling sedikit terdefinisi pada selang terbuka (c,a), maka limit kiri f dititik a ditulis sebagai: lim f ( x)  L atau ( f(x)  L bila x  a-) xa

jika  > 0 terdapat bilangan  > 0 sedemikian sehingga 0< a – x <    f(x) - L <  perhatikan bahwa 0< a–x 0 ,   > 0 sehingga xa

0 < | x – a | <   | f(x) – L | <  Bila x  a , maka x > a. Akibatnya x – a > 0, sehingga | x – a | = x – a, yang bila digantikan pada defenisi limit akan menghasilkan defenisi limit kanan. Demikian juga bila x  a , maka x < a. Akibatnya x – a < 0, sehingga | x – a | = a – x, yang bila digantikan pada defenisi limit akan menghasilkan defenisi limit kiri. Catatan : +

126

1. Semua sifat-sifat limit fungsi disuatu titik berlaku juga untuk limit sepihak bilamana x  a diganti x  a+ atau x  a-. 2. Jika lim f ( x) atau lim f ( x ) tidak ada, maka lim f ( x ) juga tidak ada. xa

xa

x a

3. Jika fungsi f terdefenisi pada selang terbuka (c,d) maka lim f ( x) ditulis lim f ( x ) , dan lim f ( x) ditulis lim f ( x ) x c

x d

xc

x d

Berdasarkan catatan nomor 3, maka dapat dipahami bahwa : lim x  0 x 0

karena f terdefinisi pada Df = [ 0,  ) yang berarti f terdefenisi pada interval buka (0,), sehingga menurut catatan no.3 : lim f ( x) ditulis lim f ( x) = 0 x 0

x0

hubungan antara limit fungsi disatu titik dengan limit kiri dan limit kanannya dititik itu diberikan dalam teorema berikut : Teorema 3.3.3.a

lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)  L x a

x a

x a

Catatan : Teorema ini menyatakan bahwa limit kiri dan limit kanan fungsi f di a dapat dihitung dengan cara menghitung limit fungsinya di a, asalkan limit fungsi tersebut ada. Teorema 3.3.3.b Jika

lim f ( x)  L1 dan lim f ( x)  L2 dengan L1  L2 maka

x a 

xa

lim f ( x) xa

tidak ada.

Contoh 1. a. Diberikan fungsi

f (x)   x ; x  1  2 ; x 1

y

2

y = x2 2

f ( x ) tidak ada, dan gambar grafiknya. Tunjukkan bahwa lim x1 Penyelesaian: 2

 x ; x 1 f(x) =   2 ; x 1

y=2

1

-1

0

1

x

Gambar 6

Untuk menghitung limit kiri dari f digunakan persamaan f ( x)  x 2

; x 1 127

Limit Fungsi dan Kontinuitas

(domain dari f di sebelah kiri dari 1). Sebaliknya untuk menghitung limit kanan dari f digunakan persamaan f ( x)  2 ; x  1 . Sehingga

lim f ( x)  lim x 2  1 sedangkan x 1 x 1 lim f ( x)  lim 2  2

x 1

x 1

f ( x) tidak karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka disimpulkan bahwa lim x1 ada. Contoh 2:

 2x  1 ; x  1 Diberikan fungsi f(x) =

a.



2   x ; 1  x  1  x 2  2 x ; x  1 

b.

Gambar grafik f f ( x ) , jika ada Tentukan xlim  1

c.

f ( x ) , jika ada Tentukan lim x1

y

2

Penyelesaian: a. Grafik fungsi f diatur oleh 3 persamaan yaitu : -2 y = 2x + 1, pada selang [1,+) y = -x2 , pada selang [-1,1) y = x2 + 2x,, pada selang (-,-1) sehingga grafik f merupakan gabungan dari tiga kurva diatas (gambar 7) b.

f ( x)  lim ( x 2 )  (1) 2  1 Limit kanan : xlim  1 x  1 karena limit kiri sama dengan limit kanan maka disimpulkan bahwa lim f ( x)  1 x  1

Pada titik a = 1 , maka

f ( x)  lim  x 2  (1) 2  1 dan Limit kiri : xlim 1 x 1 f ( x)  lim (2 x  1)  3 Limit kanan : xlim 1 x 1 karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka disimpulkan bahwa lim f ( x) tidak ada. x1 Contoh 3:

128

1 -1

0 -1

Gambar 7

Dengan menggunakan definisi limit, dapat ditunjukkan bahwa pada titik a = -1 maka:

f ( x)  lim x 2  2 x  (1) 2  2(1)  1 dan Limit kiri : xlim   1 x  1

c.

3

f(x)

x 1

Diberikan fungsi f yang terdefinisi pada selang (-3,9] dan grafiknya menyerupai kata “lim” (gambar 8) sebagai berikut: 8 7 6 5 4 3

Gambar 8

2 1 -3

-2 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

Perhatikan bahwa grafik fungsi f adalah sebuah lengkungan yang tidak terputus pada selang (-3,1) ; [1,3) ; [3,6); (6,9]. Dari grafik di atas mudah diketahui bahwa :

lim f ( x)  7

lim f ( x)  5

x  3

x 3 

lim f ( x )  1

lim f ( x)  4

x 1

x 6 

lim f ( x)  4

lim f ( x)  4

x 1

x 6 

lim f ( x)  3

lim f ( x)  5

x  3

x 9 

Perhatikan bahwa, dititik x = -3, hanya ada limit kanan dan f(-3) tidak terdefinisi sedangkan dititik x = 9, hanya ada limit kiri dan f(9)= 5 ( terdefinisi) Dan dititik x = 1, lim f ( x )  lim f ( x ) sehingga lim f ( x ) tidak ada demikian juga dititik x 1

x 1

x1

f ( x )  lim f ( x ) sehingga lim f ( x) tidak ada x=3, xlim x3  3 x 3 f ( x)  lim f ( x)  4 sehingga Dan dititik x=6, xlim 6  x 6 lim f ( x)  4 dan f(6) = 8 x 6 Catatan: Nilai fungsi disuatu titik tidak mempengaruhi penentuan limit di titik tersebut.

3.4

Limit Tak Hingga Dan Limit Di Tak Hingga

3.4.1. LIMIT TAK HINGGA Definisi 3.4.1.1: Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka yang memuat a, kecuali mungkin pada a sendiri, maka:

129

Limit Fungsi dan Kontinuitas

(i)

Limit f(x) dikatakan “membesar tanpa batas” (+) bilamana x mendekati a, ditulis sebagai: lim f ( x)    xa

jika M > 0,   > 0 sedemikian sehingga 0 xa 

(ii)

 f ( x)  M

Limit f(x) dikatakan “mengecil tanpa batas” (-) bilamana x mendekati a, ditulis sebagai: lim f ( x)    x a

jika M>0, >0 sedemikian sehingga 0 xa 

 f ( x)  M

Sebagai illustrasi perhatikan contoh-contoh berikut: Contoh 1: Selidiki perilaku fungsi f(x) =

1 disekitar 0; (x  0) x

Perhatikan nilai-nilai fungsi f bilamana x dibuat dekat ke 0; (x  0) Tabel 3.4.1.1 x 1 1

1 1 1 1 1 1 … 0 … 2 10 10000 1000000 100000010000 10 2

f(x) 2 10 10000 1000000 … ? …

-10 -2 100000 10000 0 y

Dari tabel 3.4.1.1 terlihat bahwa : Nilai f(x) akan semakin membesar tanpa batas, bilaman x semakin dekat ke 0 dari arah kanan , dalam hal ini dikatakan

lim f ( x)   

f(x) = , x>0

2 1 -4 -3 -2 -1

x 0

Nilai f(x) akan semakin mengecil tanpa batas, bilaman x semakin dekat ke 0 dari arah kiri , dalam hal ini dikatakan

0 f(x) = , x 0 grafik f akan membesar tanpa batas bilamana x mendekati 0, dari sebelah kiri maupun dari sebelah kanan, sehingga dikatakan:

lim f ( x)  lim f ( x)   

x 0 

x 0

Meskipun dalam hal ini limit kiri dan limit kanannya sama-sama menuju , akan tetapi  bukan suatu bilangan, maka dikatakan: lim x 0

1 ; x   x

(membesar tanpa batas atau tidak ada.)

1 x2 Perhatikan bahwa nilai f(x) akan mengecil tanpa batas bilamana x semakin dekat ke nol, baik dari kiri maupun dari kanan, maka kita katakan

b. g(x) =

1 lim   x 0 ( x 2 )

(tidak ada)

1 -3

-2

y

-1 0

1 -1

f(x) = , x0

-2 -4 Gambar 11

131