Teorema - Teorema Isomorfisma

 

Pembukti tia an K-1 bagian (iv), (v), da dan (vi) OLEH : KELOMPOK 7 CICI WIDYA HELIYATI

IYN GURNING RISMA DEWITA

 

(vi) Jika R adalah ring komutatif maka (R) adalah ring komutatif 

 

TEOREMA –TEOREMA ISOMORFISMA OLEH : KELOMPOK 7 CICII WIDYA CIC WIDYA HELIYATI IYN GURNING RISMA DEWITA

 

TEOREMA L-4 : (TEOREMA ISOMORFISMA KETIGA)  Andaikan  Andaik an R adalah suatu ring. Jika Jika M dan N masing-masing adalah ideal dari R dengan M    N maka R / N   (R / M) / (N / M) (Saragih, Sahat, 2015 : 91)

 

Bukti : Definisikan  : R / M  R / N dengan

(r + M) = r + N Akan ditunjukkan R / N  (R / M) / (N / M) Dari teorema Isomorfisma Pertama, 

cukup

   merupa ditunjukkan pak kan ep epim imor orfis fisma ma de deng ngan an Ker(    )  = N / M.   meru

Ambil sebarang r1  + M, r2   + M    R / M dengan r1   + M = r2 + M, maka r1 – r2 M. Karena M     N maka r1   –   r2   N. Akibatnya r1  + N = r2   + N, sehingga   (r1   + M) =   (r2   + M). Jadi,    merupakan pemetaan. Selanjutnya, akan ditunjukkan  merupakan suatu epimorfisma.

 

Terbukti      meru merupak pakan an ho homo momo morfi rfism smaa ring. ring. Sel Selanj anjut utnya nya,, unt untuk  uk  setiap r + N  R / N dengan r   R maka ada r + M  R / M sedemikian sehingga (r + M) = r + N. Jadi,      pemetaan pemetaan surjektif surjektif.. Terbu erbukti kti      merupakan merupakan epim epimorfis orfisma. ma. Terakhir, akan ditunjukkan Ker(  ditunjukkan  Ker(    )  = N / M, yaitu  )       N / M  M,  yaitu Ker(   Ker(   dan   N / M     Ker(   ). dan Perhatikan bahwa Ker() = {(r + M) = N | r + M  R / M}. Andaikan r + M  Ker(), maka (r + M) = r + N = N. Akibatnya, r    N. Sehingga, r + M   N / M. Jadi, Jadi, Ker(   )      N  Ker(     N / M. Sebaliknya, andaikan n + M   N / M, maka  (n + M) = n + N = N. Akibatnya, n + M  Ker(). Jadi, N Jadi,  N / M     Ker(   Ker(    ).   Terbukti Ker(  Terbukti  Ker(    )  = N / M.