Teorema Superposisi.pdf

92 Rangkaian Listrik

BAB V TEOREMA RANGKAIAN Pada bab ini akan dibahas penyelesaian persoalan yang muncul pada Rangkaian Listrik dengan menggunakan suatu teorema tertentu. Dengan pengertian bahwa suatu persoalan Rangkaian Listrik bukan tidak dapat dipecahkan dengan hukum-hukum dasar atau konsep dasar ataupun dengan bantuan suatu analisis tertentu yang dibahas pada bab sebelumnya, tetapi pada bab ini dibahas bahwa penggunaan teorema tertentu dalam menyelesaikan persoalan yang muncul pada Rangkaian Listrik dapat dilakukan dengan menggunakan suatu teorema tertentu. Bahwa nantinya pada implementasi penggunaan teorema tertentu akan diperlukan suatu bantuan konsep dasar ataupun analisis rangkaian. Ada beberapa teorema yang dibahas pada bab ini , yaitu : 1. Teorema Superposisi 2. Teorema Substitusi 3. Teorema Thevenin 4. Teorema Norton 5. Teorema Millman 6. Teorema Transfer Daya Maksimum Teorema Superposisi Pada teorema ini hanya berlaku untuk rangkaian yang bersifat linier, dimana rangkaian linier adalah suatu rangkaian dimana persamaan yang muncul akan memenuhi jika y = kx, dimana k = konstanta dan x = variabel. Dalam setiap rangkaian linier dengan beberapa buah sumber tegangan/ sumber arus dapat dihitung dengan cara : Menjumlah aljabarkan tegangan/ arus yang disebabkan tiap sumber independent/ bebas yang bekerja sendiri, dengan semua sumber tegangan/ arus independent/ bebas lainnya diganti dengan tahanan dalamnya. Pengertian dari teorema diatas bahwa jika terdapat n buah sumber bebas maka dengan teorema superposisi samadengan n buah keadaan rangkaian yang dianalisis, dimana nantinya n buah keadaan tersebut akan dijumlahkan. Jika terdapat beberapa buah sumber tak bebas maka tetap saja teorema superposisi menghitung untuk n buah keadaan dari n buah sumber yang bebasnya. Rangkaian linier tentu tidak terlepas dari gabungan rangkaian yang mempunyai sumber independent atau sumber bebas, sumber dependent / sumber tak bebas linier (sumber dependent arus/ tegangan sebanding dengan pangkat satu dari tegangan/ arus lain, atau sebanding dengan jumlah pangkat satu besaran-besaran tersebut) dan elemen resistor ( R ), induktor ( L ), dan kapasitor ( C ).

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

93 Rangkaian Listrik

Contoh latihan : 1. Berapakah arus i dengan teorema superposisi ?

Jawaban : Pada saat sumber tegangan aktif/bekerja maka sumber arus tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit) :

20

 1 A 10  10 Pada saat sumber arus aktif/bekerja maka sumber tegangan tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit) : maka : i1 

i2 

10

10  10 sehingga :

.1  0,5  A

i  i1  i2  1 0,5  0,5A

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

94 Rangkaian Listrik 2. Tentukan

nilai i dengan superposisi !

Jawaban : Pada saat sumber V s = 17V aktif/bekerja maka sumber tegangan 6 V diganti dengan tahanan dalamnnya yaitu nol atau rangkaian short circuit, dan sumber arus 2 A diganti dengan tahanan dalamnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit :

3 // 0

Rp1  0

2x2  1 22 1 17 x17  V VRp2  1 3 4 VRp2 17  A sehingga : i1  2 8 2 // 2

Rp2 

Pada saat sumber V s = 6V aktif/bekerja maka sumber tegangan 17 V diganti dengan tahanan dalamnnya yaitu nol atau rangkaian short circuit, dan sumber arus 2 A diganti dengan tahanan dalamnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

95 Rangkaian Listrik

3x2

Rp1 

32



6

 5 6 16 2  Rs  Rp1  2  5 5 16 x3 48 5   Rs // 3 Rp2  16  3 31 5 6 6 31   A i2  48 8 Rp2 31 3 // 2

Pada saat sumber Is = 2A aktif/bekerja maka sumber tegangan 17 V diganti dengan tahanan dalamnnya yaitu nol atau rangkaian short circuit, dan sumber tegangan 6 V diganti dengan tahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit :

3 // 2

Rp1 

3 // 0

Rp2

3x2 32  0



6 5



2 5 x2  A 4 26 5 sehingga : i  i1  i2  i3 17 31 5 24 i     3A 8 4 8 8 i3 

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

96 Rangkaian Listrik

3. Tentukan nilai i dengan superposisi !

Jawaban : Pada rangkaian ini terdapat sumber tak bebasnya, maka tetap dalam perhitungan dengan teorema superposisi membuat analisis untuk n buah keadaan sumber bebas, pada soal diatas terdapat dua buah sumber bebas, maka dengan superposisi terdapat dua buah keadaan yang harus dianalisis. Pada saat sumber Is = 8A aktif/bekerja maka sumber arus 4A diganti dengan tahanan dalamnnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit :

3 x(3i1 8) 32 3 i1  x(3i1 8) 5 i1 

5i1  9i1 24

i1 

24  6A 4

Pada saat sumber Is = 4A aktif/bekerja maka sumber arus 8A diganti dengan tahanan dalamnnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

97 Rangkaian Listrik

i2 

3

x(3i2  4) 32 3 i2  x(3i2  4) 5 12  3A 4 sehingga : i  i1  i2  6 3  3A

5i2  9i2  12

i1 

Teorema Substitusi Pada teorema ini berlaku bahwa : Suatu komponen atau elemen pasif yang dilalui oleh sebuah arus yang mengalir (sebesar i) maka pada komponen pasif tersebut dapat digantikan dengan sumber tegangan Vs yang mempunyai nilai yang sama saat arus tersebut melalui komponen pasif tersebut. Jika pada komponen pasifnya adalah sebuah resistor sebesar R, maka sumber tegangan penggantinya bernilai V s = i.R dengan tahanan dalam dari sumber tegangan tersebut samadengan nol.

Contoh latihan :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

98 Rangkaian Listrik

2.2  1  1  22 2 it   1 A 2 2 i2  .1  0,5  A i1  0,5  A 22 Rt 

dengan teorema substitusi : Resistor 1  yang dilalui arus i2 sebesar 0,5 A, jika diganti dengan V s = 1.i2 = 0,5 V, akan menghasilkan arus i1 yang sama pada saat sebelum dan sesudah diganti dengan sumber tegangan.

Dengan analisis mesh : Loop i1 : ' ' ' 2  i1  2(i1 i2 )  0 '

'

3i1 2i2  2 loop i2 : '

'

0,5  i2  2(i2 '

'

i1 )  0

'

2i1  3i2  0,5 dengan metoda Cramer :  3   2

 2   '    2  

i ' 1





3 i2 

 0,5

2 '

2

0,5

3

3

2

2 3 '



6 1  1 A 9 4

3 2

2

0,5

3

2

2



1,5  4 9 4

 0,5  A

3 '

'

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

i1 

i2 

sehingga : i1  i1

i2  1

0,5  0,5  A

99 Rangkaian Listrik

Teorema Thevenin Pada teorema ini berlaku bahwa : Suatu rangkaian listrik dapat disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buah sumber tegangan yang dihubungserikan dengan sebuah tahanan ekivelennya pada dua terminal yang diamati. Tujuan sebenarnya dari teorema ini adalah untuk menyederhanakan analisis rangkaian, yaitu membuat rangkaian pengganti yang berupa sumber tegangan yang dihubungkan seri dengan suatu resistansi ekivalennya.

Pada gambar diatas, dengan terorema substitusi kita dapat melihat rangkaian sirkit B dapat diganti dengan sumber tegangan yang bernilai sama saat arus melewati sirkit B pada dua terminal yang kita amati yaitu terminal a-b. Setelah kita dapatkan rangkaian substitusinya, maka dengan menggunakan teorema superposisi didapatkan bahwa : 1. Ketika sumber tegangan V aktif/bekerja maka rangkaian pada sirkit linier A tidak aktif (semua sumber bebasnya mati diganti tahanan dalamnya), sehingga didapatkan nilai resistansi ekivelnnya.

2. Ketika sirkit linier A aktif/bekerja maka pada sumber tegangan bebas diganti dengan tahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit.

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

100 Rangkaian Listrik

Dengan menggabungkan kedua keadaan tadi (teorema superposisi) maka didapatkan : i  i1  isc V i  isc (1) Rth Pada saat terminal a-b di open circuit (OC), maka i yang mengalir samadengan nol (i = 0), sehingga :

i

V Rth

0

 isc

Voc  isc Rth

Voc  isc .Rth (2) Dari persamaan (1) dan (2) , didapatkan : V V Rth  1 i  isc   isc ( V  isc .Rth ) Rth Rth Rth Rth i.Rth  V  Voc V  Voc

i.Rth

Cara memperoleh resistansi penggantinya (Rth) adalah dengan mematikan atau menon aktifkan semua sumber bebas pada rangkaian linier A (untuk sumber tegangan tahanan dalamnya = 0 atau rangkaian short circuit dan untuk sumber arus tahanan dalamnya = atau rangkaian open circuit). Jika pada rangkaian tersebut terdapat sumber dependent atau sumber tak bebasnya, maka untuk memperoleh resistansi penggantinya, terlebih dahulu kita mencari arus hubung singkat (isc), sehingga nilai resistansi penggantinya (Rth) didapatkan dari nilai tegangan pada kedua terminal tersebut yang di-open circuit dibagi dengan arus pada kedua terminal tersebut yang di- short circuit . Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Thevenin : 1. Cari dan tentukan titik terminal a-b dimana parameter yang ditanyakan. 2. Lepaskan komponen pada titik a-b tersebut, open circuit kan pada terminal a-b kemudian hitung nilai tegangan dititik a-b tersebut (V ab = V th). 3. Jika semua sumbernya adalah sumber bebas, maka tentukan nilai tahanan diukur pada titik a-b tersebut saat semua sumber di non aktifkan dengan cara diganti

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

101 Rangkaian Listrik

dengan tahanan dalamnya (untuk sumber tegangan bebas diganti rangkaian short circuit dan untuk sumber arus bebas diganti dengan rangkaian open circuit) (Rab = Rth). 4. Jika terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari nilai tahanan pengganti V Theveninnya didapatkan dengan cara ththR  . I sc 5. Untuk mencari Isc pada terminal titik a-b tersebut dihubungsingkatkan dan dicari arus yang mengalir pada titik tersebut (Iab = Isc). 6. Gambarkan kembali rangkaian pengganti Theveninnya, kemudian pasangkan kembali komponen yang tadi dilepas dan hitung parameter yang ditanyakan. Contoh latihan : untuk sumber bebas/ independent 1. Tentukan nilai arus i dengan teorema Thevenin !

Jawaban : Tentukan titik a-b pada R dimana parameter i yang ditanyakan, hitung tegangan dititik a-b pada saat terbuka :

Vab  Voc  5  4.6  5  24  19V

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

102 Rangkaian Listrik

Mencari Rth ketika semua sumber bebasnya tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya) dilihat dari titik a-b :

Rth  4 Rangkaian pengganti Thevenin :

sehingga : i

19 A 8

2. Tentukan nilai arus i dengan teorema Thevenin !

Jawaban : Tentukan titik a-b pada R dimana parameter i yang ditanyakan, hitung tegangan dititik a-b pada saat terbuka :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

103 Rangkaian Listrik

dengan analisis node :

Tinjau node voltage v1 : v1 v 12  1 30 6 12 2v1  v1 12 36  0 48  16V 3v1  48 v1  3 sehingga : Vab  Voc  4.3  v1  12  16  28V Mencari Rth ketika semua sumber bebasnya tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya) dilihat dari titik a-b :

Rth 

6x12  4  4  4  8 6  12

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

104 Rangkaian Listrik

Rangkaian pengganti Thevenin :

sehingga : i

28 28   2A 8  6 14

3. Tentukan besarnya tegangan dititik a-b dengan teorema Thevenin !

Jawaban : Cari V ab pada saat titik a-b terbuka :

Vab  Voc  Vax  Vxb 24 x24  12V 24  24 48 x24  16V Vxb  48  24 sehingga : Vab  Voc  12  16  4V Mencari Rth ketika semua sumber bebasnya tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya) dilihat dari titik a-b : Vxa 

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

105 Rangkaian Listrik

24x24



48x24

 12  16  28 24  24 48  24 Rangkaian pengganti Thevenin : Rth 

sehingga : Vab  4  28.2  4  56  52V Contoh latihan : untuk sumber tak bebas/ dependent 1. Tentukan nilai V dengan teorema Thevenin !

Jawaban : Mencari V ab dimana tegangan di R=3Ω, dimana rangkaian tersebut terbuka :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

106 Rangkaian Listrik

Vab  Voc  2i1 1.i1  12  3i1  12 dim ana : i  6 A Voc  ( 3x 6)  12  18  12  30V Karena terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari Rth tidak bisa langsung dengan mematikan semua sumbernya, sehingga harus dicari nilai Isc :

isc  i2  6 v  0 12  1.i2  2i2  0 12  4A 3 sehingga : isc  i2  6  4  6  10 A Voc  30  3 maka : Rth  10 isc Rangkaian pengganti Thevenin : 3i2  12

V 

3 33

i2 

x30  15V

2. Tentukan nilai i dengan teorema Thevenin !

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

107 Rangkaian Listrik

Jawaban : Cari V ab saat titik a-b terbuka :

Vab  Voc  12 3.6  12 18  6V Karena terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari Rth tidak bisa langsung dengan mematikan semua sumbernya, sehingga harus dicari nilai Isc :

v  0 2isc  3(isc  6) 12  0 5isc  6  0

6 A 5

isc  V

6  5 6 i 5 Rangkaian pengganti Thevenin : sehingga : Rth 

i

oc sc



6  1A 6

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

108 Rangkaian Listrik

3. Tentukan nilai V dengan teorema Thevenin !

Jawaban : Mencari V ab :

V1 3V1  V1  4 2 perhatikan..node..c : V1 V  1 2 4 2 V1  2 V1  8V 4 3V1  3.8  12V sehingga : Voc  2 2 Karena terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari Rth tidak bisa langsung dengan mematikan semua sumbernya, sehingga harus dicari nilai Isc : Vab  Voc  2

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

109 Rangkaian Listrik

Substitusikan persamaan (1) dan (2) : i V 4isc isc  2 2 2  2 sc 4 3.4 3 6 4isc A  2 isc  4 3 V 12  8 sehingga : Rth  oc  6 isc 4 Rangkaian pengganti Thevenin :

V 

4 48

x12  4V

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

110 Rangkaian Listrik

Teorema Norton Pada teorema ini berlaku bahwa : Suatu rangkaian listrik dapat disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buah sumber arus yang dihubungparalelkan dengan sebuah tahanan ekivelennya pada dua terminal yang diamati. Tujuan untuk menyederhanakan analisis rangkaian, yaitu dengan membuat rangkaian pengganti yang berupa sumber arus yang diparalel dengan suatu tahanan ekivalennya.

i

V RN

i sc

Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Norton : 1. Cari dan tentukan titik terminal a-b dimana parameter yang ditanyakan. 2. Lepaskan komponen pada titik a-b tersebut, short circuit kan pada terminal a-b kemudian hitung nilai arus dititik a-b tersebut (Iab = Isc = IN). 3. Jika semua sumbernya adalah sumber bebas, maka tentukan nilai tahanan diukur pada titik a-b tersebut saat semua sumber di non aktifkan dengan cara diganti dengan tahanan dalamnya (untuk sumber tegangan bebas diganti rangkaian short circuit dan untuk sumber arus bebas diganti dengan rangkaian open circuit) (R ab = R N = Rth). 4. Jika terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari nilai tahanan pengganti V Nortonnya didapatkan dengan cara RN  oc . IN 5. Untuk mencari Voc pada terminal titik a-b tersebut dibuka dan dicari tegangan pada titik tersebut (V ab = V oc). 6. Gambarkan kembali rangkaian pengganti Nortonnya, kemudian pasangkan kembali komponen yang tadi dilepas dan hitung parameter yang ditanyakan.

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

111 Rangkaian Listrik

Contoh latihan : untuk sumber bebas/ independent 1. Tentukan nilai arus i dengan teorema Norton !

Jawaban : Tentukan titik a-b pada R dimana parameter i yang ditanyakan, hitung isc = i N saat R = 4Ω dilepas :

Analisis mesh : - Tinjau loop I1 : I1  6 A.............................. ..(1) - Tinjau loop I3 : v  0 5  8(I3 I 2 )  0 8(I3

I2 )  5

substitusikan.. pers.(2) : 3I 2 2

I2 )  5

4I 2  5

I2 

8(

5 A 4

sehingga : isc  iN  I1 I 2  6

5 19  A 4 4

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

112 Rangkaian Listrik

Mencari Rth ketika semua sumber bebasnya tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya) dilihat dari titik a-b :

RN  4 Rangkaian pengganti Norton :

i

4

4 19 19 A iN  .  44 8 4 8

2. Tentukan nilai v dengan teorema Norton !

Jawaban : Mencari isc :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

113 Rangkaian Listrik

20.12

Rp 

5.12



15

 20  12 2 15 Rp 2 18  54 V x18  V1  15  5 5 Rp  5 2 V 27 A isc  iN  1  20 50 Mencari R N dititik a-b : 20 //12

Rp 

RN // 40

Rp 



60

 5  12 17 60 400  20   RN  Rp  20  17 17 Rangkaian pengganti Norton : 5 //12

400 17 400

x40



400  27

17  40 27 400  8V sehingga : v  iN xRp  x 50 27

3. Tentukan nilai i dengan teorema Norton !

Jawaban :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

114 Rangkaian Listrik

Mencari isc :

24 x6  2 A 48  24 24 x6  4 A I12  24  12 sehingga : isc  iN  I12 Mencari R N : I 48 

I 48  4

2 2A

Rs1  24  48  72 Rs2  24  12  36 72.36  24 72  36 Rs1  Rs2 Rangkaian pengganti Norton : RN 

Rs1.Rs2



24

 1A 24 sehingga : i  iN  i1  2  1  3A

i1 

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

115 Rangkaian Listrik

Contoh latihan : untuk sumber tak bebas/ dependent 1. Tentukan nilai i dengan teorema Norton !

Jawaban : Mencari isc :

v1  3V v  0 4v1  6isc  0 4.3  6isc  0 12  2A isc  6 sehingga : isc  2 A Mencari R N, harus mencari V oc :

v1  3V 12 12 x12  8V x4v1  12  6 18 V 8 sehingga : RN  oc   4 2 isc Rangkaian pengganti Norton : Vab  Voc 

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

116 Rangkaian Listrik

4 x2 A  1A 44 2. Tentukan nilai i dengan teorema Norton ! i

Jawaban : Mencari isc :

v  0 2isc  3(isc  6) 12  0 6 A 5 Cari R N dengan mencari V ab saat titik a-b terbuka : 5isc  6  0

isc 

Vab  Voc  12

3.6  12 18  6V

6  5 6 5 Rangkaian pengganti Norton : sehingga : RN 

Voc  isc

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

117 Rangkaian Listrik

i

5 5 1

x

6 5

 1A

3. Tentukan tegangan V dengan teorema Norton !

Jawaban : Mencari isc :

v  0 i1 0 2 12 5i1 A  6 i1  5 2 i1 12 sehingga : isc  2 6  5 Mencari V ab : 610  1 A 6  2i1 

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

118 Rangkaian Listrik

Vab  Voc 

i2 2

v  0 i2 0 2 12 5i2 A  6 i2  2 5 i 6 sehingga : Voc  2  V 2 5 6 V maka : RN  oc  5  6 1 isc 5 Rangkaian pengganti Norton : 6  2i2 

2.6  26 1 sehingga : V  Rp x A  5

2 // 6

Rp 

3  2 3 1 3 x  V 2 5 10

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

119 Rangkaian Listrik

Teorema Millman Teorema ini seringkali disebut juga sebagai teorema transformasi sumber, baik dari sumber tegangan yang dihubungserikan dengan resistansi ke sumber arus yang dihubungparalelkan dengan resistansi yang sama atau sebaliknya. Teorema ini berguna untuk menyederhanakan rangkaian dengan multi sumber tegangan atau multi sumber arus menjadi satu sumber pengganti.

Langkah-langkah : - Ubah semua sumber tegangan ke sumber arus

-

Jumlahkan semua sumber arus paralel dan tahanan paralel

V1

 2  3 R1 1 1 1 1    Rt R1 R2 R3

it 

-

Konversikan hasil akhir sumber arus ke sumber tegangan

Vek  it .Rt Rek  Rt

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

120 Rangkaian Listrik

Contoh latihan : 1. Tentukan nilai V dengan transformasi sumber !

Jawaban : Tinjau transformasi sumber di titik a-b :

v  0 16  8i  12i  36  0 20  1A 20 sehingga : V  ix8  ( 1)x8  8V

20i  20  0

i

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

121 Rangkaian Listrik

2. Tentukan ia dengan transformasi sumber !

Jawaban : Tinjau sumber arus 8A dan 4A ,sehingga dihasilkan sumber arus (8-4)=4 A :

Tinjau sumber arus 4A dan 3ia A ,sehingga dihasilkan sumber arus (3ia -4) A :

3 3 x(3ia 4)  x(3ia 4) 3 2 5 5ia  9ia 12 ia 

5ia 9ia  12 4ia  12

ia 

12  3A 4

3. Tentukan tegangan V dengan transformasi sumber !

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

122 Rangkaian Listrik

Jawaban : Tinjau sumber arus 3A :

Tinjau sumber arus 9A :

v  0 72  8i  16i  12i  36  0 36  36i  0

i

36  1A 36

sehingga : V  72 8i  72 8.1  64V

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

123 Rangkaian Listrik

Teorema Transfer Daya Maksimum Teorema ini menyatakan bahwa : Transfer daya maksimum terjadi jika nilai resistansi beban samadengan nilai resistansi sumber, baik dipasang seri dengan sumber tegangan ataupun dipasang paralel dengan sumber arus. Hal ini dapat dibuktikan dengan penurunan rumus sebagai berikut :

PL  VL .i  i.RL .i  i 2 .RL dim ana : i

Vg R g  RL

sehingga : PL  (

Vg R g  RL

)2 .RL

dengan asumsi V g dan Rg tetap, dan PL merupakan fungsi RL, maka untuk mencari nilai maksimum PL adalah : 2 Vg Vg 2 .RL  Vg (Rg  RL ) 2 RL PL  ( )2 .RL  R g  RL (Rg  RL )2 dPL dRL

2



 Vg (Rg  RL )

2

2 1 2 0  Vg   (Rg  RL )

2(Rg  RL ) 3 RL



 2RL 3 (Rg  RL ) 

0  Vg  3  (Rg  RL )  sehingga : RL  Rg Teorema transfer daya maksimum adalah daya maksimum yang dikirimkan ketika beban RL samadengan beban intern sumber Rg. 2 Vg Maka didapatkan daya maksimumnya : PLmax  4Rg

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

124 Rangkaian Listrik

Transformasi Resistansi Star – Delta ( ) Jika sekumpulan resistansi yang membentuk hubungan tertentu saat dianalisis ternyata bukan merupakan hubungan seri ataupun hubungan paralel yang telah kita pelajari sebelumnya, maka jika rangkaian resistansi tersebut membentuk hubungan star atau bintang atau rangkaian tipe T, ataupun membentuk hubungan delta atau segitiga atau rangkaian tipe , maka diperlukan transformasi baik dari star ke delta ataupun sebaliknya.

Tinjau rangkaian Star () : Tinjau node D dengan analisis node dimana node C sebagai ground. VB V VD VA  VD  D 0 R3 R2 R1 VD (

1

1



R1



R2

)

V R

A 1



V B

R3 V V R2 R3  R1R2  R1R3 ) A  B VD ( R1 R3 R1R2 R3 VD 

R3

1

R2 R3 R2 R3  R1R2  R1R 3

 i1 

VA

VD R1



V

VA 

V A 1

R

D 1

R

R2  R3 VA R2 R3  R1R2  R1R3 V VB VD V  B D  i2  R3 R3 R3 i1 

i2 

R1R2  R1R3 R3 (R2 R3  R1R2  R1R3 )



R1R2 R2 R3  R1R2  R1R3 V A 1

R

1

(

VB

R2 R3

VA 

R1R2

R2 R3  R1R2  R1R3 R1 R2 R3  R1R2  R1R3 R2 VB (1) R2 R3  R1R2  R1R3 V 1 ( R2 R3 R1R2  B VA  R3 R3 R2 R3  R1R2  R1R3 R2 R3  R1R2  R1R3 R1R2 VA VB (2) R3 (R2 R3  R1R2  R1R3 )

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

VB )

VB )

125 Rangkaian Listrik

Tinjau rangkaian Delta ( ) Tinjau node A dengan analisis node dimana node C sebagai ground : VA VB V A   i1 RA RB 1 1 1 (  )VA VB  i1 R A RB RA Bandingkan dengan persamaan (1) pada rangkaian Star () : R2  R3 R2 VA VB  i1 R2R3  R1R2  R1R3 R2R3  R1R2  R1R3 1 1  )VA R A RB sehingga :

(



1 RA



1 VB  i1 RA

R2 R2R3  R1R2  R1R3

R2R3  R1R2  R1R3 R2 1 1 R2  R3    R A RB R2 R3  R1R2  R1R3 1 1 R2  R3  RB RA R2 R3  R1R2  R1R3 RA 

1



RB 1

R2  R3 R2 R3  R1R2  R1R3



RB RB 

R2 R2 R3  R1R2  R1R3

R3 R2 R3  R1R2  R1R 3 R2 R3  R1R2  R1R3 R3

Tinjau node B : VB VA V B   i2 RA RC 1 1 1  VA  ( )VB  i2 RA R A RC

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

126 Rangkaian Listrik

Bandingkan dengan persamaan (2) pada rangkaian Star () : R1R2  R1R3 R1R2 VA VB  i2 R3 (R2R3  R1R2  R1R3 ) R3 (R2R3  R1R2  R1R3 ) 1 1 1  VA  ( )VB  i2 RA R A RC sehingga :  1 RC 1

1 RA  

RC 1



RC RC 



1 RC



R1R2 R3 (R2R3  R1R2  R1R3 ) 1 R1R2

R3 (R2R3  R1R2  R1R3 )

RA

R1R2 R3 (R2 R3  R1R2  R1R3 )



R1R2  R1R3 R3 (R2 R3  R1R2  R1R3 )

R1 (R2 R3  R1R2  R1R3 ) R2 R3  R1R2  R1R3 R1

Perumusannya : Transformasi Star () ke Delta ( ) :

RA 

R2 R3  R1R2  R1R3 R2

RB 

R2 R3  R1R2  R1R3 R3

RC 

R2 R3  R1R2  R1R3 R1

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

.

127 Rangkaian Listrik

Transformasi Delta ( ) ke Star ():

R1  R2  R3 

RA RB RA  RB  RC R B RC RA  RB  RC RA RC RA  RB  RC

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

128 Rangkaian Listrik

Soal – soal : 1. Tentukan nilai i dengan teorema Thevenin !

2. Tentukan nilai V dengan teorema Norton !

3. Tentukan nilai i dengan teorema Thevenin !

4. Tentukan nilai ia dengan Norton !

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

129 Rangkaian Listrik

5. Tentukan R agar terjadi transfer daya maksimum !

6. Tentukan tegangan V dengna superposisi :

7. Tentukan arus i dengan superposisi :

8. Tentukan arus i dengan superposisi :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

130 Rangkaian Listrik

9. Tentukan arus i dengan superposisi :

10. Tentukan arus i dengan superposisi

11. Tentukan tegangan V dengan superposisi :

12. Tentukan arus i dengan superposisi :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

131 Rangkaian Listrik

13. Tentukan arus i dengan superposisi :

14. Tentukan tegangan V dengan superposisi :

15. Tentukan tegangan V dengan superposisi :

16. Tentukan i dengan superposisi :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

132 Rangkaian Listrik

17. Tentukan i dengan superposisi :

18. Tentukan Vx dengan superposisi :

19. Tentukan I1 dengan superposisi :

20. Tentukan V dengan superposisi :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

133 Rangkaian Listrik

21. Tentukan arus i degan Thevenin :

22. Tentukan arus i dengan Thevenin :

23. Tentukan tegangan V dengan Thevevnin :

24. Tentukan tegangan V dengan Thevenin pada rangkaian berikut :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

134 Rangkaian Listrik

25. Tentukan arus i dengan Thevenin pada rangkaian berikut :

26. Tentukan tegangan V dengan Thevenin :

27. Tentukan tegangan V dengan Thevenin pada rangkaian berikut :

28. Tentukan i dengan Thevenin :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

135 Rangkaian Listrik

29. Tentukan i dengan Thevenin :

30. Tentukan V dengan Thevenin :

31. Tentukan V1 dengan Thevenin :

32. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin dititik a-b :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

136 Rangkaian Listrik

33. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :

34. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :

35. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :

36. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

137 Rangkaian Listrik

37. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :

38. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :

39. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :

40. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

138 Rangkaian Listrik

41. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :

42. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :

43. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :

44. Tentukan V dengan Thevenin :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

139 Rangkaian Listrik

45. Tentukan V dengan Thevenin :

46. Tentukan V dengan Thevenin :

47. Tentukan V dengan Thevenin :

48. Tentukan Vx dengan Thevenin :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

140 Rangkaian Listrik

49. Tentukan i dengan Thevenin :

50. Tentukan Vx dengan Thevenin :

51. Tentukan i dengan Thevenin :

52. Tentukan nilai i dengan Norton :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

141 Rangkaian Listrik

53. Tentukan i dengan Norton :

54. Tentukan i dengan Norton :

55. Tentukan nilai R pada rangkaian berikut agar terjadi transfer daya maksimum :

56. Tentukan R agar terjadi transfer daya maksimum di R :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

142 Rangkaian Listrik

57. Tentukan nilai R agar terjadi transfer daya maksimum :

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom