Teorema Stokes

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Ada sebuah kasus dimana seorang Ibu dan Bapak sedang mendorong mobil mereka. Jika mobil yang mereka dorong tersebut bergerak, berarti mereka telah melakukan usaha. Sebelumnya, kita telah mempelajari bahwa untuk menghitung besar usaha dapat kita gunakan perkalian titik atau integral garis tergantung pada bentuk lintasan. Namun ada saatnya kita kesulitan untuk menghitung besar usaha, misalnya pada bidang dimensi tiga. Perhitungan untuk mencari besar usaha akan lebih mudah dengan menggunakan Teorema Stokes. (Rahima dkk, 2010). Teorema Stokes dapat dipandang sebagai versi Teorema Green dengan dimensi yang lebih tinggi. Sementara Teorema Green menghubungkan integral lipat dua pada daerah bidang D ke integral garis sekeliling kurva perbatasan bidangnya, sedangkan Teorema Stokes menghubungkan integral permukaan pada permukaan S ke integral garis sekeliling kurva perbatasan S. (James Stewart, 1998).

Gambar 1. Teorema Stokes

1.2

Gambar 2. Teorema Green

Tujuan Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini sebagi berikut : 1. Memudahkan dalam penyederhanaan integral pada dimensi yang lebih tinggi (dimensi tiga), 2. Memudahkan perhitungan besar usaha pada bidang tiga dimensi.

1

BAB II PEMBAHASAN

2.1

Definisi Teorema Stokes Menurut James Stewart (1998), misalkan S adalah permukaan yang dibatasi oleh kurva perbatasan C yang tertutup dan sederhana dengan orientasi positif. Dan F adalah medan vektor yang komponennya mempunyai turunan parsial kontinu pada daerah terbuka R3 yang mengandung S. Maka : ∫

∬

Karena : ∫

∫

∬

∬

Teorema Stokes merupakan integral garis sekeliling kurva perbatasan S dari komponen singgung F adalah sama dengan integral permukaan dari komponen normal dari curl F. Kurva perbatasan yang terorientasikan secara positif dari kurva teorintasikan S biasanya ditulis

, sehingga Teorema Stokes dapat

dinyatakan sebagai : ∬

∫

Terdapat analogi diantara Teorema Stokes, Teorema Green dan Teorema Dasar Kalkulus. Seperti persamaan diatas, terdapat integral yang melibatkan turunan F (curl F adalah semacam turunan F) dan ruas kanan melibatkan nilai F pada perbatasan S. Dalam kasus khusus dimana permukaan S datar dan terletak di bidang xy dengan orientasi ke atas, vektor normal satuan adalah k, integral permukaan menjadi integral lipat dua, dan Teorema Stokes menjadi :

2

∫

∬

)

∬(

Persamaan diatas sama dengan bentuk vektor dari Teorema Green. Jadi dapat dilihat bahwa Teorema Green benar-benar merupakan kasus khusus dari Teorema Stokes.

Bukti Kasus Khusus Teorema Stokes

Gambar 3. z = g (x, y) Misalkan persamaan S adalah z = g (x, y), (x, y)

D, dengan g

mempunyai turunan parsial orde dua kontinu dan D adalah daerah bidang sederhana yang kurva perbatasan C1-nya berkaita C. Jika orientasi S adalah ke atas, maka orientasi positif dari C berkaitan dengan orientasi positif dari C1 (lihat gambar 4). Kita diberi F= P i + Q j + R k, dengan turunan parsial dari P, Q, dan R kontinu. Karena S adalah grafik fungsi, dapat diterapkan rumus : ∬

∬

[(

)

(

)

(

)]

dengan turunan parsial dari P, Q, dan R dihitung di (x, y,g (x, y)). ( )

( )

adalah representasi parametrik untuk C1 maka persamaan parametrik untuk C yaitu : ( )

( )

(

)

Dengan bantuan Aturan Rantai, integral garis tersebut dapat dihitung sebagai berikut :

3

∫

∫(

)

∫[

(

)]

∫ [(

)

(

)

∫(

)

(

)

∬[

(

)

(

]

)]

Dengan mengingat P, Q, dan R adalah fungsi x, y dan z serta bahwa z sendiri adalah fungsi x dan y, diperoleh : ∫

∬ *(

)

(

)+

Empat diantara suku-suku dalam integral lipat dua saling meniadakan dan enam suku sisanya dapat disusun untuk berimpit dengan ruas kanan persamaan ∬

∬

[(

)

(

)

(

)]

sehingga diperoleh : ∫

∬

Jadi jelas terbukti bahwa Teorema Green merupakan kasus khusus dari Teorema Stokes.

4

2.2

Contoh Soal dan Penyelesaiannya 1.

Diketahui lapangan vektor F( x,y,z ) = 3y i – xz j + yz2 k dan S permukaan paraboloida 2 z = x2+ y2 dibatasi oleh z = 2 dengan lintasan C merupakan kelilingnya. Gunakan teorema Stokes untuk menghitung ∬

!

Jawab

:

Lintasan C

∬

∫

∫(

∫

)

(

)

( )

(

)( ) ]

]

∫ ] (

)

(

]

]

(

2.

Hitunglah ∫

)

, dengan (

]) (

)

)

adalah kurva perpotongan dari bidang

dan C dan silinder

. (Orientasikan C berlawanan dengan arah putaran jarum jam ketika dipandang dari atas). Jawab

:

Walaupun ∫

dapat dihitung secara langsung, tapi lebih mudah

menggunakan Teorema Stokes. Adapun caranya sebagai berikut :

5

||

||

|

|

|

( (

|

|

|

)

)

Jika diorientasikan S ke atas maka C mempunyai orientasi terinduksi positif. Proyeksi D dari S pada bidang xy adalah cakram , sehingga dengan menggunakan persamaan ∫ dengan

(

∬ )

yang berasal dari perpotongan bidang

. Maka dapat diselesaikan : ∫

∬

)

∬(

)

∫ ∫(

)

∫ ∫(

∫

]

∫(

) ]

Jadi ∫

, dengan (

)

adalah

6

BAB III KESIMPULAN DAN SARAN

3.1

Kesimpulan Dari uraian materi diatas dapat diambil kesimpulan bahwa Teorema Stokes terbukti dapat menyederhanakan pengintegralan pada permukaan tiga dimensi. Tidak memerlukan jawaban yang panjang tetapi singkat dan jelas. Teorema Stokes juga membuktikan bahwa Teorema Green merupakan kasus Khusus dari teorema Stokes dengan penggunaan Aturan Rantai.

3.2

Saran 1. Pengetahuan yang diperoleh dari sekolah maupun universitas pasti secara tidak langsung ada kaitannya dengan kehidupan sehari-hari, 2. Semoga makalah mengenai Teorema Stokes ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.

7

DAFTAR PUSTAKA Stewart, J. 1998. Kalkulus. Jakarta : Erlangga. Rahma, Anny. 2010. Teorema Divergensi, Stokes, dan Green. februl.files.wordpress.com/.../bahan-ajar-6. Download pada tanggal 14 Desember 2012. Mursita, D. 2010. Integral Permukaan. www.geocities.ws/dmursita/matdas/xi-3.pdf. Download pada tanggal 14 Desember 2012.

8