teorema-pythagoras

Created By:

rininda Wahyuning Bintarti ( A 410 080 2

Awallysa Kumala Sari ( A 410 080 246 ) Katriani ( A 410 080 249 )

Teorema pythagoras

SK & KD

LATIHAN

MATERI

STANDAR KOMPETENSI Menggunakan Teorema Pythagoras dalam Penyelesaian Masalah

KOMPETENSI DASAR Menggunakan Teorema Pythagoras untuk menentukan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku. Memecahkan masalah pada bangun datar yang berkaitan dengan teorema pythagoras.

TEOREMA PYTHAGORA S

Materi prasyarat Pokok materi luas persegi, luas segitiga, kuadrat suatu bilangan, akar kuadrat suatu bilangan, persamaan linear, dan perbandingan seharga (senilai) yang telah dipelajari sebelumnya menjadi dasar dalam mempelajari materi teorema pythagoras pada bab ini.

pengertian Suatu segitiga siku-siku yang selalu berlaku: Luas persegi pada sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah luas persegi pada sisi yang lain (sisi siku-sikunya). Teori ini dinamakan teorema pythagoras.

Pembuktian teorema pythagoras sisinya terdiri ∆ABC atas sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa). Gambar disamping adalah yang siku-siku di A. Sisi yang membentuk sudut siku-siku, yaitu AB dan AC disebut sisi siku-siku. Sisi dihadapan sudut siku-siku disebut sisi miring atau hipotenusa, yaitu BC.

Sisi siku-siku

Pada setiap segitiga siku-siku, sisihip ot en us a

Sisi siku-siku

TUGAS INDIVIDU Membuktikan teorema pythagoras Langkah-langkah: 1. Siapkan kertas berpetak 2. Buatlah dua buah persegi dengan panjang sisi yang sama dengan panjang (b+c) satuan

3. Untuk persegi pertama: Buatlah persegi di dalam salah satu persegi tersebut dengan titik sudut antara perpotongan b dan c 4. Arsirlah segitiga siku-siku yang terbentuk 5. Untuk persegi kedua: Lihat persegi pertama kemudian gabungkan segitiga siku- siku yang terbentuk sehingga terbentuk dua buah persegi panjang dengan panjang b dan lebar c.

6. Bandingkan antara persegi pertama dan kedua 7. Buatlah kesimpulannya.

Gambar 5.1 dan 5.2 diatas menunjukkan persegi yang memiliki panjang sisi yang sama , yaitu (b+c). Karena panjang sisinya sama → luasnya juga sama. Daerah yang di arsir pada gambar 5.1 dan 5.2 memiliki luas yang sama, berarti daerah yang tidak di arsir juga memiliki luas yang sama.

Jadi a 2 = b 2 + c 2 Perhatikan gambar 5.3! Gambar tersebut dirangkai dari bangun-bangun pada gambar 5.1 dan 5.2. Luas persegi pada hipotenusa adalah a 2 , dan b 2 + c 2 adalah jumlah luas persegi pada sisi − sisi siku − siku nya .

Berdasarkan uraian di atas dapat di simpulkan sebagai berikut: Untuk setiap segitiga siku-siku selalu berlaku: Luas persegi pada hipotenusa sama

dengan

jumlah

luas

persegi pada sisi yang lain (sisi siku-siku nya).

CONTOH SOAL Pada gambar disamping, segitiga ABC siku-siku di A. panjang AB

C

3

= 4 cmdan AC = 3 cm. Hitunglah panjang BC! Penyelesaian

A

4

B

BC = AB + AC 2

2

= 4 +3 2

2

2

= 16 + 9

C

3

4

= 25 BC = 25 = 5

Jadi panjang BC = 5 cm

A

B

KEBALIKAN TEOREMA PYTHAGORAS Teorema pythagoras menyatakan:

Dalam ∆ABC , jika ∠A siku - siku, maka a = b + c 2

2

2

Kebalikan teorema pythagoras adalah:

Dalam ∆ABC , jika a = b + c , maka ∠A siku - siku. 2

Kuis

2

2

BUKTIKAN KEBALIKAN TEOREMA PYTHAGORAS DI ATAS!!!!!!! BERIKAN KESIMPULANNYA!!!!!!! Teo Bukti

PEMBUKTIAN C

R a

x

b A

b

c (i)

B

P

c (ii)

Q

Pada gambar (i) diketahui bahwa a 2 = b 2 + c 2 , apakah ∠CAB siku - siku? Pada gambar (ii), panjang PQ = c, PR = b, QR = x, dan ∠QPR siku - siku, maka x 2 = b 2 + c 2 .

Dari gambar (i) a = b + c (diketahui ). 2

2

2

Dari gambar (ii) x = b + c (teorema pythagoras ). 2

2

2

Karena ruas kanannya sama yaitu b + c , maka ruas kirinya 2

2

juga harus sama yaitu a 2 = x 2 , berarti a = x.

Jadi, ketiga sisi pada segitiga ABC berturut-turut tepat sama dengan sisi-sisi pada segitiga PQR.

Dengan demikian : ∆ABC sama dan sebangun dengan ∆PQR ⇒ ∠CAB = ∠RPQ. Karena ∠RPQ siku - siku ⇒ ∠CAB juga siku - siku.

Hal ini menunjukkan bahwa kebalikan teorema pythagoras merupakan pernyataan yang benar.

KESIMPULAN Dalam ∆ABC , apabila a adalah sisi di hadapan sudut A, b adalah sisi di hadapan sudut B, c adalah sisi di hadapan sudut C , maka berlaku kebalikan teorema pythagoras , yaitu : Jika a 2 = b 2 + c 2 , maka ∆ABC siku - siku di A. Jika b 2 = a 2 + c 2 , maka ∆ABC siku - siku di B. Jika c 2 = a 2 + b 2 , maka ∆ABC siku - siku di C.

Menentukan jenis segitiga Dengan menggunakan prinsip kebalikan teorema pythagoras, kita dapat menentukan jenis segitiga, apakah segitiga lancip atau segitiga tumpul.

Gambar (a), segitiga ABC adalah segitiga lancip dan a sehingga :

a b +c 2

2

2

Perhatikan gambar berikut:

a

< a1

b

> a1

Dalam segitiga ABC, dengan panjang sisi a, b, c, berlaku: Jika a < b + c , maka segitiga ABC adalah 2

2

2

segitiga lancip di A. Sisi a terletak di hadapan sudut A. Jika b < a + c , maka segitiga ABC adalah 2

2

2

segitiga lancip di B. Sisi a terletak di hadapan sudut B. Jika a > b + c , maka segitiga ABC adalah 2

2

2

segitiga tumpul di A.

Contoh soal: Pada segitiga DEF, FG ⊥ DE, panjang DG = 10 CM, GE = 24 cm, dan FG = 14 cm. a. Hitunglah panjang DF dan EF! b. Tentukan jenis segitiga DEF!

PENYELESAIAN

DF 2 = DG 2 + FG 2

F

= 10 2 + 15 2 = 100 + 225 = 325 DF = 325 EF 2 = FG 2 + GE 2 = 15 2 + 24 2

= 225 + 576 = 801 EF = 801

15

a.

D

10 G

24

E

b. segitiga DEF, sisi terpanjang adalah Pada DE 2 = (10 + 24) 2 = 1.156 DF 2 + EF 2 = ( 325 ) 2 + ( 801) 2

= 325 + 801 = 1.126

Karena DE > DF + EF , maka ∆DEF adalah segitiga tumpul di A 2

2

2

Perbandingan Sisi-sisi Segitiga Siku-siku 0 0 30 atau 60 Yang Salah Satu Sudutnya

C

A

D (a)

B

Pada segitiga ABC di samping sama sisi dan CD adalah garis tinggi.

AB = BC = AC ∠BAC = ∠ABC = ∠ACB = 60 ∠ACD = ∠BCD = 30

0

0

1 AD = BD = AB atau 2 1 AD = BD = AC sebab AB = AC 2 1 AD = BD = BC sebab AB = BC 2

Jika ∆ADC pada gambar (a) digambar terpisah, maka diperoleh : ∠ACD = 300 dan ∠DAC = 600 1 AD = AC 2

Karena sudut ACD menghadap sisi AD dan sisi AC sebagai sisi miring, maka dapat dinyatakan sebagai berikut: Dalam setiap ∆ siku - siku yang salah satu sudutnya 30 0 1 panjang sisi di hadapan sudut 30 adalah hipotenusa (sisi miring) 2 0

PERBANDING AN SISI SEGITIGA SIKU - SIKU YANG SALAH SATU SUDUTNYA 45

C

∆ABC disamping adalah segitiga siku - siku sama kaki Sehingga :

a

AB = AC , dan A

0

450

a Gambar b

B

∠ABC = ∠ACB = 450

KEGIATAN SISWA Lengkapilah tabel berikut berdasarkan gambar (b)! Panjang AB

Panjang AC

Panjang BC

1

...

...

2

...

...

...

3

...

...

4

...

...

...

50

Berdasarkan tabel di atas, tentukan perbandingan panjang AB : AC : BC ! Apa yang dapat kalian simpulkan?

Penyelesaian Pada gambar (b) diketahui AB = AC Karena gambar (b) merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku teorema pythagoras. BC merupakan sisi miring, maka:

BC = AB + AC 2

2

2

Panjang AB

Panjang AC

Panjang BC

1

1

2

2

2

3

3

4

4

5

5

8=2 2 18 = 3 2 32 = 4 2 50 = 5 2

Berdasarkan data pada tabel diatas dapat kita cari perbandingan panjang ketiga sisi-sisinya yaitu: Perbandingan AB : AC : BC = 1 : 1 :

2

Penggunaan teorema pythagoras pada bangun ruang. Pada kubus ABCD.EFGH di bawah ini, panjang AB = 8cm. Hitunglah luas ∆ABH ! H E

G F

D A

C B

H E

∆ABH siku - siku di A, maka : AH

2

= AB + BH 2

2

F D

C

= 82 +82 ←AD = DH = AB = 8 cm A = 64 +64

B

H

PENYELESAIAN

G

=128 AH = 128 = 64 ×2 =8 2 1 Luas ∆ABH = × AB × AH 2 1 = ×8 ×8 2 2 = 32 2cm 2

H

A

A

B

B

Penerapan teorema pythagoras pada soal cerita Langkah-langkah menyelesaikan soal-soal dalam bentuk cerita: 1.Buatlah gambar atau sketsa berdasarkan cerita dalam soal! 2.Isikan ukuran-ukuran yang diketahui ke dalam gambar!

3. Gunakan rumus dengan tepat! 4. Jawablah pertanyaan sesuai dengan yang di tanyakan!

CONTOH SOAL Sebuah kapal berlayar kearah barat sejauh 80 km, kemudian kearah utara sejauh 60 km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari tempat semula!

Penyelesaian:

OU = OB + BU 2

2

2

OU 2 = 80 2 + 60 2 = 6400 + 3600 = 10000 OU = 10000 = 100

Jadi, jarak kapal sekarang dari tempat semula = 100 km.