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DEFLEXIONES UTILIZANDO MÉTODOS DE ENERGÍA

Los métodos energéticos son muy importantes dentro del cálculo de estructura y se basan fundamentalmente en la energía de deformación  como consecuencia de la aplicación de cargas cargas en una estructura.

Carlos Alberto Castigliano Italiano 1847-1884

Trabajo externo y energía de deformación Los métodos semigráficos presentados en los capítulos anteriores son muy efectivos para encontrar los desplazamientos y pendientes en puntos de vigas sometidas a cargas bastantes simples.  Para cargas más complicadas o en estructuras estructuras como armaduras y marcos, se sugiere realizar los cálculos siguiendo los métodos de energía.

La mayoría de métodos se basan en el  principio de conservación conservación de la energía, que establece que el trabajo realizado por todas las fuerzas externas que actúan sobre una estructura, se transforma en trabajo de energía interna o de deformación. la cual se desarrolla al deformarse la estructura. Como ya se sabe, si no se excede el límite elástico del material, la energía de deformación elástica regresará a la estructura a sus estado sin cargas sean retiradas. Matemáticamente Matemáticamente deformar , cuando las cargas

 

=   Antes de desarrollar cualquier método método de energía, primero nos centraremos en determinar el trabajo externo y la energía de deformación causada por una fuerza y un momento

1. TRABAJO EXTERNO

1. Trabajo Externo de una Fuerza: Nos acordaremos de física, cuando una fuerza F   experimenta un desplazamiento dx  en la misma dirección que la fuerza, el trabajo realizado es:

=

Obviamente, el trabajo que se ha trabajado es un trabajo externo, por ende la expresión queda como:

 = Esto por principios físicos, se sabe que todo trabajo genera una Energía, por ende

 =  Si consideramos en toda su longitud el desplazamiento, entonces el trabajo se convierte en:

 =  =

Ahora consideremos una carga axial que se le aplica a una, a medida que la Fuerza F se incrementa gradualmente desde 0 hasta un valor máximo P, la elongación final se convierte en  Si el cuerpo tiene un comportamiento elástico lineal

∆. ∆  ∆   =  ∆ = 2∆ ∆ = 2 …..(1)

Como se ve la energía que se guarda, es el área bajo la gráfica, lo que representa un área triangular.

Suponga ahora que la carga P ya esta aplicado sobre la Barra y que ahora se aplica otra fuerza F’, por lógica la barra se deforma más ( . Entonces el trabajo ahora realizado por P y no por F’ cuando experimenta la deformación ( es:

∆′)

∆′)  = P∆ ……(2)

Puede afirmarse entonces de manera resumida que al aplicar una fuerza P a la barra, seguida por la aplicación de una fuerza F’, el trabajo total realizado por las dos fuerzas esta representado por el área triangular ACE de la figura

2. Trabajo Externo momento: El trabajo de un momento se define por el producto de la magnitud del momento M y el ángulo d

.

Si consideramos en toda su longitud el desplazamiento, entonces el trabajo se convierte en:

     =   = 2  = 2 …..(3)

Igual que para el caso anterior:

′=

2. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

Energía de deformación para fuerzas Axiales Cuando se aplica una fuerza axial  de manera gradual a la barra que se muestra en la figura, se deformará. Toda la energía externa que se genere por esta carga   se almacenará en la barra. Siempre que el material sea elástico lineal, barra sea constante.

  ∆=  , =   ∆ = P=N Si todo, lo reemplazamos en la ecuación 1, obtenemos:

   = 2 ,    í 

Energía de deformación en flexión Considere la viga de la figura que se distorsiona por la aplicación gradual de las cargas y Como se ve estas cargas generan un momento interno   en la viga en una sección situada a una distancia x de soporte izquierdo. La rotación puede deducirse con la ecuación:

  =  

En consecuencia toda la energía que se esta almacenando en el elemento se determina al reemplazar la ecuación anterior en (3)

  =  …..(3)

Se convierte en interna ya que toda la energía externa que se utiliza, se ingresa a su interior, por eso se puede deformar, obteniendo

 ²  =  2 …..(3)

3. PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGÍA

Visto entonces la Energía de Deformación dependiendo las cargas a utilizarse y el trabajo que genera en el mismo una fuerza y un momento, ahora podemos aplicar el principio de trabajo o conservación de la energía para determinar el desplazamiento de un punto sobre una estructura.

Ejemplo: Determinar el desplazamiento donde se aplica la carga.

Sabemos que la carga externa, genera una energía externa.

  =  ∆ .

Para obtener la

energía interna se debe determinar el momento interno, para la cuál hacemos un corte y obtenemos M=-Px, de modo que:

 ²   =  2 = 

− ² = 1 ²³ 2 6 

 =       í    1 ²³ = ∆ 6  2 ³ ∆= 3

 =  PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA O TRABAJO.

3. PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL

Fue introducido por Johan Bernoulli en 1717, es una poderosa herramienta analítica en muchos problemas de mecánica estructural. También conocido como el método de la carga unitaria o método de fuerzas virtuales “Si 

un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio bajo un sistemas de fuerzas y si se sujeta a cualquier desplazamiento virtual de cuerpo rígido, el trabajo virtual realizado por las fuerzas externas es cero”. Este método proporciona un medio general para obtener el desplazamiento y la pendiente en un punto específico de una estructura, sea una viga, marco o armadura Ahora vamos a deducir dicho teorema manera:

de la siguiente

Antes de empezar con el teorema, haremos unas deducciones del principio de trabajo y energía, tomaremos una estructura deformable de cualquier forma y tamaño y se le aplica una serie de cargas P, se producirán entonces cargas internas u  en puntos a través de toda la estructura. Relacionaremos las cargas internas y externas mediante las ecuaciones de equilibrio. Como consecuencia de estas cargas, ocurrirán desplazamientos externos por las cargas P y desplazamientos internos en cada punto por cargas internas u. (Pueden ser elásticos e inelásticos)

∆

Todo lo anterior se resume en que si se conocen los desplazamientos externos, los desplazamientos internos correspondientes estarán definidos por ellos. Con esto el principio de trabajo o energía  se expresa de la siguiente manera.

∆= Trabajo por Cargas Externas.

Trabajo por Cargas Internas

Con todas estas consideraciones, ahora desarrollaremos el principio de trabajo virtual. Para ello consideremos que la estructura o cuerpo tiene una forma arbitraria como se muestra en la figura (a)

Suponer que es necesario determinar el desplazamiento   del punto A en el cuerpo causado por las cargas reales P1, P2 y P3(Estas cargas no generan movimientos en soportes pero si deforman el material más allá del estado elástico)

∆

Como ninguna carga externa actúa sobre el cuerpo en A ni en la dirección , tendremos que asumir una consideración que se detalla en la siguiente diapositiva.

∆

Se supone-para que pueda existir ese desplazamiento- que se aplica una carga, que llamaremos carga virtual(P’) sobre el cuerpo de modo que actúe en la misma dirección que , ver las figura siguiente.

∆

Nota: Se llama virtual porque es una carga imaginaria y en realidad no existe como parte de la carga real.

Por conveniencia y facilidad, que se explicará mas adelante, se elegirá una carga P’  con una magnitud unitaria (módulo de P’=1). Si nos damos cuenta, esta carga virtual crea una carga virtual interna u en un elemento representativa del cuerpo.

Una vez aplicada estas cargas virtuales, el cuerpo esta sometido a las cargas reales P1, P2 y P3,

El punto A en la figura se desplazará una cantidad , la cual causará que el elemento(fibra o elemento representativo) se deforme una cantidad dL.

∆

Como consecuencia de esto la carga P’ y u se “pasearán a lo largo de  y dL, respectivamente. Por lo tanto realizará un trabajo virtual externo de 1. sobre el cuerpo y un trabajo virtual interno de u.dL sobre el elemento-

∆

∆

Por principio de energía

∆= Trabajo por Cargas Externas.

Trabajo por Cargas Internas

∆=.

De lo anterior se deduce que:

∆=. De manera similar si se quiere determinar el desplazamiento rotacional en un punto de una estructura, se aplica un momento virtual M’=1. Obteniéndose:

1.= .

4. MÉTODO TRABAJO VIRTUAL PARA VIGAS Y MARCOS

Método del trabajo virtual: Vigas y Marcos Como se sabe las deformaciones debidas a flexión son las causas principales de las deflexiones en vigas o marcos, podemos utilizar bajo este principio estas deformaciones.

MÉTODO DE TRABAJO VIRTUAL VIGAS Para determinar por ejemplo el desplazamiento , de un punto A. Se empezará colocando una carga virtual unitaria que actúa en la dirección sobre la viga en A.

∆

∆

El momento virtual interno m  se determina mediante el método de las secciones en una ubicación arbitraria x medida en este caso, desde el soporte izquierdo

Cuando las cargas reales actúan sobre la viga, en este caso w, el punto A se desplaza . Siempre que estas cargas causen una respuesta material elástica lineal, entonces el elemento dx, gira

∆

 =

 

, donde M es el momento interno en x causado por

las cargas reales.

Por lo tanto, el trabajo virtual externo realizado por la carga unitaria y el trabajo virtual interno realizado por el momento m es m

.∆

 .∆= .=∗     .∆=∆=   m

.

De la misma manera si se quiere determinar la pendiente o rotación se debe aplicar un par o momento unitario

 .=.= ∗     .==  

La x seleccionada para determinar el momento M real en una región debe ser la misma x para el m virtual.

EJEMPLO VIGAS

1. Determinar el desplazamiento del punto B de la viga de acero que se muestra en la figura. Considere que E=200 GPa y

=50010  4

2. Determinar la pendiente en el punto B de la viga de acero. Considere E=200 Gpa, I=60x10^6(mm4)

EJEMPLO MARCOS O PÓRTICOS