Teorema Lain Pada Segitiga

Modul Daring 4.1.7. Teorema-teorema lain pada segitiga

Berikut ini adalah teorema-teorema yang dapat Anda manfaatkan dan sering digunakan dalam menyeesaikan masalah-masalah geometri. Teorema

Dalam segitiga sama kaki sudut alasnya sama besar

Bukti

Seperti biasa, Anda diharapkan membuat ilustrasi dari teorema tersebut. Sehingga akan dengan mudah menerjemahkan dalam proses berpikir.  AC  = Misal ∆ ABC  sama  sama kaki ( AC   = BC )

Pada kondisi ini Anda diminta untuk membuktikan bahwa ∠ A = ∠ B

Untuk membuktikan, yang harus Anda lakukan adalah menarik garis berat CD,  BDC . Diperoleh fakta-fakta sebagai berikut. nah, sekarang perhatikan ∆ ADC  dan  dan ∆ BDC 

 =  BC  (diketahui)   (diketahui)  AC  =  AD =  BD (diketahui) CD  = CD (berimpit) ∴∆ ADC  ≅ ∆ BDC  (S  (S

Akibatnya :

∠A

S S)

= ∠ B  (terbukti) ∎

Teorema

Dalam segitiga sama kaki, ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbu alas  berimpit.

Bukti:

Ilustrasi dari pernyataan dalam teorema adalah sebagai berikut. Kita mulai dari menarik garis istimewa (misal garis bagi) pada sudut C.

Pada kasus ini, maka Anda diminta utuk membuktikan bahwa ketiga garis istimewa lainnya (garis berat, garis tinggi, garis sumbu) berimpit satu dengan lainnya.

Misal CD   garis bagi, akan dibuktikan CD  juga garis berat, garis tinggi, dan garis sumbu. Perhatikan ∆ ADC  dan ∆ BDC, maka akan diperoleh fakta sebagai berikut.  AC  = BC  (diketahui) ∠ ACD  = ∠ BCD ( CD garis

bagi)

CD  = CD berimpit ∴∆ ADC ≅ ∆ BCD  (S

Sd S)

Akibatnya : 1.

 AD  =  BD Karena AB=CD, CD disebut garis berat

2.

∠ ADC  = ∠ BDC ,

padahal

∠ ADC  + ∠ BDC  =

180° maka

 BDC  = 90° atau CD ⊥ AB maka CD garsi tinggi.

∠ ADC  = ∠

3.

 AD  =  BD dan CD ⊥ AB maka CD garis sumbu.

Jadi terbukti ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbu alas berimpit. 

Teorema

Dalam segitiga siku-siku, garis berat ke sisi miring sama dengan setengah sisi miring.

Ilustrasi dari teorema tersebut adalah sebagai berikut.

Misalkan ∆ ABC , ∠ A = 90°,  AD garis berat ( BD = DC ) Anda diminta untuk membuktikan bahwa  A D =

1 2

 BC 

Langkah-langkah berikut, membantu dalam proses pembuktian Tarik dari titik  B garis yang sejajar  AC , hingga memotong perpanjangan  AD di E . Maka ∆ ADC ≅ ∆ BDE . Akibatnya AC  = BE . Perhatikan ∆ ABC  dan ∆ ABE, maka diperoleh fakta-fakta sebagai berikut.  AC  =  BE   (sudah dibuktikan) ∠ BAC  = ∠ ABE  =

90°

 BA = AB (berimpit) ∴∆ BAC ≅ ∆ ABE  (S

Akibatnya

Sd S)

∠ ABC  = ∠ BAE  atau ∆ ABD  sama 1

kaki.

Kesimpulan : AD  =  BD atau AD =  BC  (terbukti) 2

∎

Teorema °

°

Dalam segitiga siku-siku dengan sudut 30 , sisi di hadapan sudut 30 itu sama dengan setengah sisi miring.

Ilustrasi dari pernyataan yang terdapat dalam teorema adalah sebagai berikut.

Bukti:

misalkan

∆  ABC , ∠ A =

90° dan

∠ C  =

30° 1

 pada kondisi ii, Anda diminta untuk membuktiikan bahwa  AB =  BC  2

 Nah, untuk membuktikannya, terlebih dahulu Anda menarik garis berat dari sudut A ke sisi miringnya. Sebut AD (dengan Ad garis berat). ∠ C   =

 berarti

30°, maka

∠  B  =

∆  ABD sama

1

1

2

2

60°.  AD =  BC   dan  BD =

kaki yang berakibat

+ ∠ ABB  = 180° maka

∠ ADB =

∠ BAD  =

 BC   maka  AD =  BD. Ini

60°. Karena

∠ ABD + ∠ BAD

60°. 1

Jadi ∆ ABD sama sisi sehingga AB = BD =  BC 2

