Teorema Fundamental Kalkulus i

TEOREMA FUNDAMENTAL KALKULUS I Kita telah mampu menghitung beberapa integral tentu dari defenisi secara langsung, tetapi hanya karena kita mempunyai rumus-rumus manis untuk 1 + 2 + . . . + n, 12 + 22 + . . . + n2, dan seterusnya. Penghitungan integral tentu cara ini selalu membosankan, biasanya sukar, dan kadangkadang praktis tidak mungkin. Untung saja terdapat suatu cara yang lebih baik; yaitu yang menjadikan pokok dari pasal ini. Kita menghargai penemuan kalkulus oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz secara bersamaan, tidak selalu bebas. Namun konsep garis singgung atau turunan dan luas suatu daerah melengkung (integral tertentu) telah dikenal lebih dahulu. Mengapa Newton dan Leibniz merupakan tokoh yang terkemuka dalam sejarah kalkulus ? Jawabannya adalah karena mereka memahami dan memanfaatkan hubungan erat yang ada antara anti turunan dan integral tertentu, suatu hubungan yang memungkinkan kita untuk menghitung secara mudah nilai yang sebenarnya dari banyak integral tentu tanpa perlu memakai jumlah Reimann. Hubungan ini sedemikian pentingnya sehingga ia disebut TEOREMA DASAR KALKULUS atau disebut juga dengan rumus yang mengaitkan integral tentu dengan integral tak tentu.

TEOREMA DASAR

Dalam karir matematika Anda, sebelumnya Anda telah bertemu dengan beberapa teorema dasar. Teorema dasar dari aritmatika mengatakan bahwa sebuah bilangan bulat dapat difaktorkan secara tunggal menjadi hasil kali dari bilangan-bilangan prima. Teorema dasar aljabar mengatakan bahwa semua persamaan polinom derajat n tepat mempunyai n penyelesaian (akar), termasuk yang berulang. Teorema apapun yang berjudul ini harus dipelajari secara seksama dan harus di ingat secara permanen. Teorema A (Teorema Dasar Kalkulus 1). Andaikan f kontinu (karenanya terintegralkan) pada [a,b] dan andaikan F sebarang anti turunan dari f di sana. Maka, ∫ Bukti:

( )

( )

( )

Misalkan x1, x2, x3, x4,…xn-1 sebarang titik pada [a,b] sedemikian hingga A=x0