Teorema Del Impulso en Mecanica de Fluidos

TEOREMA DEL IMPULSO EN MECANICA DE FLUIDOS

El teorema del impulso o de la cantidad de movimiento junto con la ecuación de continuidad y el teorema de bernoulli son las tres ecuaciones básicas en la resolución de los problemas de mecánica de fluidos.

Multiplicando los dos miembros de la ecuación por dt e integrando tendremos:

Y siendo m una constante

Donde: Impulso de la fuerza F que en general variara con el tiempo en l intervalo t2 –t1 mv – cantidad de movimiento de la partícula.

La ecuación es el teorema del impulso aplicado a una partícula de fluido. El teorema del impulso en mecánica de fluidos se obtiene -

Integrando entre dos secciones de un tubo de corriente Expresando la ecuación en función del caudal Q y de la densidad, P.

Entre las aplicaciones de este teorema citaremos dos muy importantes: a) En él se basa el cálculo de la fuerza que el fluido ejerce sobre un conducto en un cambio de dirección (codo por ejemplo) necesaria para el cálculo de los anclajes de una tubería forzada. b) Este teorema es el fundamento para la deducción de la ecuación de Euler, ecuación fundamental de las turbo maquinas.

DEDUCCIÓN DEL TEOREMA DEL IMPULSO O DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Sea el tubo de la corriente de la siguiente figura. Consideremos aislada la porción del fluido comprendida entre las secciones de control 1y2 normales a la corriente. Sean v1 y v2 las velocidades de una partícula en las secciones 1y2. El fluido ha cambiado su cantidad de movimiento al variar la sección del tubo, así como al

Variar la dirección de v, luego ha estado sometido a una fuerza. Se trata de averiguar la relación que existe entre la fuerza y la variación de la cantidad de movimiento. Las fuerzas que actúan sobre la masa aislada de fluido están dibujadas en la figura. Esta fuerzas son: -

-

-

Las fuerzas normales de presión: Fp1 ejercido por el fluido eliminado a la izquierda de la sección 1 y : Fp2 a la derecha de la sección 2, sobre la masa aislada. Las fuerzas tangenciales T1 y T2 en estas mismas secciones debidas a la viscosidad. Estas fuerzas que se han dibujado en la figura a pueden despreciarse, por lo cual se han omitido en el diagrama de fuerzas b. La resultante R’ de todas las fuerzas normales y tangenciales ejercida por las paredes laterales del tubo o por el fluido circundante (según se trata de un tubo material o de un tubo de fluido aislado en el interior del resto del fluido). La fuerza de la gravedad W, que es la fuerza de atracción de la tierra sobre el fluido aislado.

En este tubo de corriente aislado aislemos a su vez un filamento de corriente (dibujado con trazos en la figura), y consideremos en este filamento un elemento diferencial de longitud infinitesimal o partícula de fluido de masa m, indicada en la figura. En la demostración seguiremos los pasos siguientes: 1. Aplicar, como en la deducción de la ecuación, la segunda ley de newton a una partícula. 2. Integrar incluyendo todas las partículas de un mismo filamento de corriente. 3. Integrar incluyendo todos los elementos del tubo de corriente.

1.- la segunda ley de newton expresada vectorialmente dice

Que es equivalente a las tres ecuaciones cartesianas siguientes:

Deduciremos solo la ecuación según el eje x, ya que las otras dos se deducirán de la misma manera.

Donde: dFX – resultante según el eje x de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. m - masa de la partícula que en realidad es infinitesimal, a que m= p dt (donde dt- volumen de la partícula)=p dQ dt, por que por definición dQ= Dt/dt (donde dQ- caudal volumétrico que circula por el filamento). Por tanto,

2.- integrando la ecuación a lo largo de todo el filamento de corriente desde la sección 1 a la 2, y utilizando las hipótesis ordinarias en este libro: p = C (fluido comprensible) y dQ= C (movimiento permanente) se tendrá:

TEOREMA DEL IMPULSO O DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Donde FX – resultante de todas las fuerzas exteriores a la masa de fluido aislada enumeradas al principio y dibujadas en la figura. Las fuerzas interiores, o sea las que unas partículas de la masa de aislada ejercen sobre otras de la misma masa aislada, por la tercera ley de newton (principio de acción y reacción) son iguales dos a dos de signo contrario y se reducen a cero. En efecto, si suponemos que las secciones 1y2 son zonas de régimen uniforme VX1 será constante en la sección 1 y VX2 será constante en la sección dos. En la práctica se escogen las secciones de control de manera que se cumpla lo más aproximadamente posible esta condición. Entonces para todas las partículas en la sección 1

Y para todas las de la sección 2

EXPRESIÓN PRÁCTICA DEL TEOREMA DEL IMPULSO O DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

O vectorialmente

Donde F( FX,FY,FZ)- resultante de todas las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el fluido aislado ( limitado por el tubo de corriente y de dos secciones de control convenientemente escogidas). Esta resultante incluye también las fuerzas de la viscosidad que las paredes del tubo ejercen sobre el fluido aislado. V(VX,VY,VZ)- Velocidad media de la corriente en la sección respectiva. APLICACIONES Para la aplicación del teorema de la cantidad de movimiento a la deducción de la ecuación fundamental de las turbomaquinas, estudiaremos en las tre secciones sucecivas otras tantas aplicaciones de este teorema. Fuerza de un codo El fluido, al cambiar en un codo su cantidad de movimiento, esta sometido a un sistema de fuerzas cuya resultante viene dada por la ecuación. Según la tercera ley de newton (o principio de de acción y reacción) el fluido reacciona contra el conducto con una fuerza igual y sentido contrario. El calculo previo de esta ultima fuerza (reacción) es necesario, por ejemplo, para el proyecto de los anclajes de la tubería forzada que conduceel agua desde el embalse a las turbinas en una estación hidroeléctrica. En la figura se representa una tal tubería forzada. El agua cambia su cantidad de movimiento en 1 y 2, precisamente donde se han situado los anclajes.

Fuerza sobre un alabe y potencia de una turbina de accion En la ecuación se explica el funcionamiento de una turbina de acción. En el rodete de una turbina de acción los alabes, que tienen forma de cucharas, se fijan en su periferia. El agua al incidir en uno de estos alabes con una velocidad, por ejemplo, de 100m/s, como en la figura, es desviada, variando asi su cantidad de movimiento. El agua ha estado sometida a una fuerza que viene dada por la ecuación. El alabe experimenta una fuerza F igual y contrario a la expresada por la misma ecuación.

-

Si el rodete esta fijo (puesta en marcha del grupo) esta fuerza multiplicada por el radio del rodete es la contribución de dicho alabe al par de apar de arranque. Si el rodete gira, el alabe tendrá una velocidad u ( 50 m/s en el caso de la figura); la misma multiplicada por u será la contribución de dicho alabe a la potencia del rodete:

Existen otros casos para esta aplicación como son: 1) Un solo alabe fijo 2) Un solo alabe en movimiento 3) Un rodete que consta de muchos alabes

Propulsión a chorro El turborreactor de la figura siguiente se desplaza hacia derecha con la velocidad v.el turborreactor acelera al aire creando un chorro en dirección contraria al

Vuelo, cuya velocidad relativa con relación al avión es w. esta aceleración requiere una fuerza que el turborreactor ejerce sobre el fluido, (tomando como eje x el eje del turborreactor) cuya reacción igual y de sentido contrario es el empuje o fuerza propulsiva del avión. Para deducir el valor del empuje sumemos como otras veces al conjunto aire-reactor una velocidad igual y de sentido contrario a la velocidad relativa con respecto al reactor w1=-v, y sale de la tobera de escape con una velocidad relativa con respecto al reactor w2=w. llamando G=Qp al caudal másico del aire que circula por el avión (1) y E el empuje, aplicando la primera ecuación. Tendremos:

Y finalmente

Donde w- velocidad del chorro con relación al turborreactor v- velocidad del turborreactor.