Teorema de transporte de Reynolds
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Demostración del Teorema de Transporte de Reynolds. Wilmer Medina e-mail:
[email protected]
RESUMEN:
Se demostró mediante una forma directa el teorema de transporte de Reynolds y también se realizo una aplicación para observar la validez del mismo, que nos muestra cómo podemos hallar una propiedad extensiva y su cambio a través del tiempo mediante propiedades intensivas, las aproximaciones que nos brinda el teorema simplifican mucho el cálculo y además se pueden agregar factores de corrección para eliminar los errores de dicha fórmula . PALABRAS CLAVE: Sencillo, completo, útil.
1 INTRODUCCIÓN
Figura 1. Teorema unidimensional de Leibnitz. El ya mencionado teorema toma en cuenta el cambio de los limites respecto del tiempo, así como los cambios no estacionarios del integrando con el tiempo y este teorema en tres dimensiones seria:
En la dinámica de fluidos se pueden usar sistemas donde la posición y la forma pueden cambiar a medida que transcurre el tiempo en un proceso pero en la vida real se utilizan mayormente volúmenes que son fijos e indeformables donde la masa puede entrar y salir de sus fronteras lo cual se conoce como volumen de control que es mucho más conveniente para trabajar por lo tanto resulta muy útil poder relacionar las variaciones del sistema con los cambios en los volúmenes de control. Este informe contiene una deducción del teorema de transporte de Reynolds (TTR) que tiene ese nombre en honor al ingeniero ingles Osborne Reynolds (18421912), quien relaciona en este teorema el sistema con el volumen de control lo cual es de gran utilidad para analizar estos sistemas abiertos los cuales son usados en la dinámica de fluidos.
Donde v(t) es un volumen en movimiento o deformación (función del tiempo), A(t) es su superficie (frontera) y es la velocidad absoluta de esta superficie (en movimiento) (fig. 2). La ecuación 2 es válida para cualquier volumen, que se mueve o se deforma arbitrariamente en el espacio y tiempo. Para que sea más orientado hacia mecánica de fluidos se integra G sea pb para su aplicación al flujo de fluidos:
2 TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS 2.1 DEMOSTRACIÓN Para deducir el teorema de manera más sencill a se hará uso del Teorema de Leibnitz, en la versión unidimensional de este teorema se permite derivar una integral cuyos límites de integración son funciones que depende de la variable con la cual se va a derivar. En la fig. 1 se observa un ejemplo donde se puede aplicar el teorema de Leibnitz: (1) Figura 2. Volumen de cambios Si se aplica el teorema de Leibnitz a un caso especial de un volumen de sustancia (un sistema de
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Teorema de transporte de Reynolds
. masa fija que se mueve con el flujo de fluido), entonces = en todas partes sobre la superficie de este volumen de sustancia, porque se mueve con el fluido. En este caso, es la velocidad local del fluido y la Ec. 3 queda como: (4) La ecuación 4 es válida en cualquier instante t. Se define el volumen de control de manera tal que, en este instante t, el volumen y el sistema ocupen el mismo espacio; en otras palabras, que sean coincidentes. En algún instante posterior t + ∆t, el sistema se movió y deformó con el flujo, pero el volumen de control puede haberse movido y deformado de manera diferente como lo muestra en la Fig. 3. Sin embargo, la clave es que en el instante t, el sistema (volumen de sustancia) y el volumen de control son uno y el mismo. Así, se puede evaluar la integral de volumen de la parte derecha de la Ec. (4) sobre el volumen de control en el instante t, y la integral de superficie se puede evaluar sobre la superficie de control en el instante t; donde el RTT general para un volumen de control fijo es:
2.2 APLICACIÓN Descarga de agua de un tanque, un tanque cilíndrico de agua con 4 pies de alto y 3 pies de diámetro cuya parte superior está abierta a la atmósfera esta al principio lleno con agua. Ahora, se quita el tapón de descarga que está cerca del fondo del tanque cuyo diámetro es de 0,5m y un chorro de agua se vierte hacia fuera como se observa en la Fig. 4, la velocidad promed promedio io del chorro chorro se da por V= , en don donde de h es la altura del agua en el tanque medida desde el centro del agujero (una variable) y g es la aceleración gravitacional. Determine cuanto tiempo transcurrirá para que el nivel del agua en el tanque descienda hasta 2 pies, medido desde el fondo.
Figura 4. Esquema de ejemplo. Suponiendo la distancia entre el fondo del tanque y el centro del agujero es despreciable en comparación con la total del agua y que la aceleración gravitacional es 32.2 32.2 pies/ pies/ . La relación de conservación de la masa para un volumen de control que pasa por cualquier proceso se da en la forma de razón como: (6)
Figura 3. Volumen de sustancia y volumen de control en el mismo espacio con diferentes deformaciones y movimientos. Esta expresión es la misma que se obtendría por
En el transcurso de este proceso nada de masa entr entra a al volu volume men n de cont contro roll por por lo que ( ) y el gasto de masa del agua descargada se puede expresar como:
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Teorema de transporte de Reynolds
. Donde es el área de la base del tanque cilíndrico. Si se sustituyen las Ec. 7 y 8 en la relación de balance de masa (Ec. 6) da:
(9) Simplificando las densidades y otros términos comunes, y se separa las variables, da:
Si se integra desde t = 0, en el cual en el cual = , da:
=
, hasta t =t,
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Al sustituir, se determina que el tiempo de descarga es:
Se vaciara la mitad del tanque en 12.6 minutos después de quitar el tapón del agujero de descarga.
