Teorema de Thevenin en AC

Teorema de Thevenin en AC Se puede sustituir cualquier combinación de fuentes sinusoidales de AC (corriente alterna) e impedancias entre dos puntos (terminales), por una simplefuente de voltaje e y una simple impedancia en serie z. El valor de e es el voltaje entre los dos puntos en circuito abierto, y el valor de z es e dividido por la corriente que circula con los dos puntos en cortocircuito. En este ejemplo, esa evaluación de la impedancia está formada por una combinación serie-paralelo.

TEOREMAS DE THÉVENIN y NORTON en corriente alterna

Introducción

El teorema de Thévenin establece que en un circuito de corriente alterna con dos terminales se puede sustituir por otro sencillo que consta de un generador de corriente alterna VTH y una impedancia en serie ZTH. Su utilidad consiste en que cuando se hacen cálculos repetitivos se ahorra mucho tiempo y la ventaja es tanto mayor cuanto más complicado es el sistema eléctrico. El teorema de Norton establece que se puede sustituir el circuito òr una Intensidad y una impedancia.

En este experimento utilizamos un circuito relativamente sencillo, del que establecemos el equivalente de Thévenin y el de Norton y con ellos realizamos cálculos repetitivos cuyos resultados contrastamos con los valores experimentales.

Material Condensador de 1 F (5) Resistencias de 100 (3) ; 470 , (1) , 1000  (4) Soldador eléctrico Panel de corcho Chinchetas Cable de hilo de cobre Fuente de corriente alterna (inferior a 30 V eficaces). Polímetro comercial

Nota. Los valores de las resistencias y de los condensadores pueden ser diferentes a los que indicamos. Con un solo polímetro se puede realizar el experimento, pero se ahorra tiempo si se dispone de dos. Por seguridad no recomendamos trabajar directamente con la red de alterna de 125 V ni de 220 V.

Cálculos El circuito sobre el que calculamos el equivalente de Thévenin es el que aparece en la figura 1. El circuito real corresponde a la fotografía 1. Observe que C1 son dos condensadores de 1 F colocados en paralelo y C2 son tres condensadores de 1 F en paralelo, por tanto, los valores nominales son, respectivamente C1= 2 F y C2 = 3 F.

RL es una resistencia que cambiaremos en el experimento y Vt es un voltímetro en corriente alterna que medirá la tensión eficaz para cada resistencia RL. Comparamos finalmente los valores experimentales proporcionados por el voltímetro con los que obtenemos del circuito equivalente de Thévenin. El experimento consiste en hallar el Thévenin equivalente al circuito de la figura 1. Antes de realizar los cálculos mida con el polímetro la tensión eficaz de la fuente de corriente alterna y los valores de las resistencias R1 y R2. Si dispone de un multímetro que mida capacidades mida las de las agrupaciones C1 y C2. En caso de no disponer de este polímetro realice los cálculos con los valores nominales que son C1 = 2 u F y C2 =3 uF.

Para el circuito de la fotografía 1 los valores que medimos son los siguientes: Vef= 27,2 V ; R1=101  ; R2=202  ; C1=1,90 F ; C2= 3,04 F

El voltaje máximo de la fuente es: que la representa 38,5//0º

y el número complejo

Cálculo de VTH Observe la figura 1 y elimine mentalmente el voltímetro y RL.

Impedancia de C1 y R1

Impedancia de C2 y R2

Impedancia total

Intensidad por la malla

Cálculo de ZTH Si desde A observamos el circuito,

están en paralelo.

Modo de operar Monte el circuito de la figura 1. El circuito real corresponde a la fotografía 1.

SOLUCIONARIO

Fig.1

Fotografía 1 Circuito real que corresponde al de la figura 1. Durante el experimento se cambiará la resistencia RL y se medirá el voltaje eficaz que indica el voltimetro Vt. Con los valores de VTH y ZTH hallados anteriormente se calcula el voltaje que proporciona el teorema de Thévenin Coloque distintas resistencias RL, por ejemplo las que figuran en la tabla I, combinando las nominales que tiene de 100 , 470  y 1000. Para cada valor de RL debe medir la resistencia real con el polímetro, y el voltaje eficaz. Para cada RL se calcula el voltaje eficaz de acuerdo con el circuito equivalente de Thévenin. El procedimiento de hacerlo es el siguiente:

Supongamos que RL = 100  Como RL y RTH están en serie resulta que la impedancia del circuito es:

La intensidad que pasa por el circuito es:

Si solamente se desea calcular el voltaje eficaz, esto es, dejando aparte el ángulo, el procedimiento es muy rápido.

La formula general es:

Complete la tabla I. Tabla I Resistencia nominal

Resistencia real , RL,

en ohmios

en ohmios

100 200

ZRL en ohmios

Voltaje eficaz Thévenin

Voltaje eficaz experimental

300 470 570 670 770 1000 1200 1470 2000 3000 4000 Dibuje en una misma gráfica la resistencia real RL frente a los voltajes. Teorema de Thevenin

Cualquier circuito, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos, es equivalente a un generador ideal de tensión en serie con una resistencia, tales que: La fuerza electromotriz del generador es igual a la diferencia de potencial que se mide en circuito abierto en dichos terminales La resistencia es la que se "ve" HACIA el circuito desde los terminales en cuestión, cortocircuitando los generadores de tensión y dejando en circuito abierto los de corriente Para aplicar el teorema de Thévenin, por ejemplo, en el caso de la Figura 6, elegimos los puntos X e Y y, suponemos que desconectamos todo lo que tenemos a la derecha de dichos puntos, (es decir, estamos suponiendo que las resistencias R3 y R4, las hemos desconectado físicamente del circuito original) y miramos atrás, hacia la izquierda.

FIGURE 6. CIRCUITO ORIGINAL En esta nueva situación calculamos la tensión entre estos dos puntos (X,Y) que llamaremos la tensión equivalente Thévenin Vth que coincide con la tensión en Bornes de la resistencia R2 y cuyo valor es :

El siguiente paso es, estando nosotros situados en los puntos indicados (X Y) mirar hacia la izquierda otra vez y calcular la resistencia que vemos, pero teniendo en cuenta que debemos suponer que los generadores de tensión son unos cortocircuitos y los generados de corriente son circuitos abiertos, en el caso de nuestro circuito original, sólo hay un generador de tensión que, para el cálculo que debemos hacer lo supondremos en cortocircuito y ¿ que es lo que vemos ? Pues si miráis la figura 6, lo que vemos es que, las resistencias R1 y R2 están en paralelo. Por lo que la resistencia equivalente Thévenin, también llamada impedancia equivalente, Z th. vale:

El circuito estudiado a la izquierda de los puntos X, Y se reemplaza ahora por el circuito equivalente que hemos calculado y nos queda el circuito de la figura 7, donde ahora es mucho más fácil realizar los cálculos para obtener el valor Vo

FIGURE 7. CIRCUITO EQUIVALENTE THEVENIN La otra forma de calcular Vo es, la de la teoría de mallas, que calculamos en la figura 8 y donde observamos que los resultados son los mismos. Pero las ecuaciones resultantes son bastante más laboriosas.

FIGURE 8. ANALISIS DEL MISMO CIRCUITO de LA FIGURA 6 PERO APLICANDO LAS ECUACIONES POR MALLAS Así pues, hemos observado que, aplicando el Teorema de Thévenin para el análisis de circuitos, seremos capaces de simplificar nuestros cálculos, lo que nos será siempre muy útil, sobre todo, en otros circuitos más complejos. 2.-Superposición El principio de superposición establece que la ecuación para cada generador independiente puede calcularse separadamente, y entonces las ecuaciones (o los resultados) pueden acumularse para dar el resultado total. Cuando usemos dicho principio de superposición la ecuación para cada generador se calcula con los otros generadores (si son de tensión: se cortocircuitan; y si son de corriente se dejan en circuito abierto). Las ecuaciones para todos los generadores se acumulan para obtener la respuesta final.

FIGURE 9. EJEMPLO DE SUPERPOSICION En primer lugar se calcula la tensión de salida Vo, proporcionada por el generador V1, suponiendo que el generador V2 es un cortocircuito. A esta tensión así calculada la llamaremos V01 (cuando V2 = 0) Seguidamente se calcula la tensión de salida Vo, proporcionada por el generador V2, suponiendo que el generador V1 es un cortocircuito. A esta tensión así calculada la llamaremos V02 (cuando V1 = 0)

El valor de Vo será igual a la suma de los valores V01 + V02 obtenidos anteriormente.

3.-Teorema de Norton Cualquier circuito, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos, es equivalente a un generador ideal de corriente en paralelo con una resistencia, tales que: La corriente del generador es la que se mide en el cortocircuito entre los terminales en cuestión. La resistencia es la que se "ve" HACIA el circuito desde dichos terminales, cortocircuitando los generadores de tensión y dejando en circuito abierto los de corriente.-( Coincide con la resistencia equivalente Thévenin)

FIGURA 10 CIRCUITO EQUIVALENTE NORTON Aplicando el Teorema de Norton al circuito de la figura 6, nos quedará el siguiente circuito:

Donde hemos cortocircuitado los puntos X Y de la figura 6. La corriente que circula por entre estos dos puntos la llamaremos Ith y lógicamente es igual a la tensión V del generador de tensión dividido por la resistencia R1 (Ley de OHM) Ith = V / R1 la resistencia Thévenin es la misma que la calculada anteriormente, que era el paralelo de

R1 y R2 Zth =R1//R2 = R1 x R2 / (R1 + R2) Equivalencia entre Thevenin y Norton Sea cual sea el equivalente obtenido es muy fácil pasar al otro equivalente sin más que aplicar el teorema correspondiente, así por ejemplo, supongamos que hemos calculado el equivalente Thévenin de un circuito y hemos obtenido el circuito de la izquierda de la figura siguiente : Aplicando el teorema de Norton a la figura de la izquierda, cortocircuitaremos la salida y calcularemos la corriente que pasa entre ellos que será la corriente : Ith = 10 / 20 = 0,5 A. y la resistencia Norton es 20 W . por lo que nos quedará el circuito equivalente Norton de la derecha

Procedimientos del laboratorio .- Valores de los elementos para los montajes - Voltaje de la fuete: 5V rms - R1: 21 - R2: 21 - R3: 14.9 - C1: 99µf - C2: 218.3µf 1.- Se monta el circuito de la siguiente figura

.- Mediciones realizadas: - Voltaje medido en la carga AB conformada por R3 y capacitor C2, Vab: 1.9668V - Corriente en la carga AB, Iab: 53.66mA .- Desfasaje de voltaje entre la fuente y el voltaje en R2 - Grafica obtenida con el osciloscopio:

- La linea roja representa en voltaje de la fuente y la azul el voltaje en R2 Por medio de una regla de tres y el método de barrido obtenemos el valor del desfasaje que es de: 32.72 grados 2.- Ahora montamos el circuito de la siguiente figura

.- Desfasaje de voltaje entre la fuente y el voltaje en la carga AB - Grafica obtenida con el osciloscopio:

- La linea roja representa en voltaje de la fuente y la azul el voltaje en AB Por medio de una regla de tres y el método de barrido obtenemos el valor del desfasaje que es de: 58.90 grados 3.- Ahora se desconecta la carga AB .- Voltaje de circuito abierto que va a ser igual al voltaje de thevenin Vth : 3.9008V .- Desfasaje de voltaje entre la fuente y el voltaje en el capacitor C1 - Grafica obtenida con el osciloscopio:

- La linea roja representa en voltaje de la fuente y la azul el voltaje en el capacitor C1 Por medio de una regla de tres y el método de barrido obtenemos el valor del desfasaje que es de: 45.81 grados 4.- Ahora cortocircuitamos los extremos del circuito abierto (terminales AB) .- Medimos la corriente que pasa por el cortocircuito que va a ser igual a la In: 78.32mA .- Desfasaje de voltaje entre la fuente y el voltaje en la resistencia R2 - Grafica obtenida con el osciloscopio:

- La linea roja representa en voltaje de la fuente y la azul el voltaje en R2 Por medio de una regla de tres y el método de barrido obtenemos el valor del desfasaje que es de: 39.27 grados 5.- Ahora se monta el circuito equivalente con Vth y Zth - Se monta el circuito de la siguiente figura

.- Medimos el voltaje en la carga AB formada por C1 y R3 , Vab: 1.4296V .- Desfasaje de voltaje entre la fuente (Vth) y el voltaje en la carga AB - Grafica obtenida con el osciloscopio:

- La línea roja representa en voltaje de la fuente y la azul el voltaje en la carga Por medio de una regla de tres y el método de barrido obtenemos el valor del desfasaje que es de: 19.28 grados Datos y procedimientos analíticos Calculo de errores Valores

Teóricos

Medidos

Error

Vab

1.44V

1.9668V

26.78%

Iab

75mA

53.66mA

28.45%

Vth

3.85V

3.9008V

1.31%

In

109mA

78.32mA

28.14%

Vab (en el circuito equivalente de thevenin)

1.44V

1.4296V

0.72%

Conclusión A través de la experiencia obtenida en el laboratorio pude constatar la aplicación de los favores en la resolución de circuitos a través de los teoremas de thevenin y norton, es importante el uso de los favores ya que estos nos permiten visualizar la magnitud y desfasaje que cada uno de los elementos produce a la señal original proveniente de la fuente. Ya que trabajamos con una fuente de alimentación AC cada elemento reacciona de forma diferente a la excitación senoidal de la fuente, teniendo así los valores de las corrientes y los voltajes a través de todo el circuito en función de los ángulos de desfase. En lo que respecta a la aplicación del teorema de thevenin se basa en el análisis del circuito con la finalidad de poder hallar el voltaje de circuito abierto luego cortocircuitando los terminales abiertos del Vth, calculamos la corriente que pasa por el cable que nos cortocircuita los terminales siendo esta la corriente de norton (In), luego de tener estos dos valores Vth y In, procedemos a calcular la impedancia de thevenin, estos cálculos se hacen con la finalidad de poder sustituir todas las fuentes de corrientes o voltajes del circuito por única fuente con el valor de Vth en serie con la impedancia calculada de thevenin colocando luego en los terminales abiertos la carga para la que fueron hallados los parámetros de thevenin y norton. Al analizar los resultados obtenidos teóricamente en función de los medidos obtenemos errores porcentuales que van desde 2% a 28%, lo que puede ser resultado de la inexactitud de los instrumentos utilizados para las mediciones o errores a la hora de tomar las medidas, así como también pueden darse esos márgenes de errores debido al margen de valores de los elementos utilizados como las resistencias, los capacitares y la bobina que por lo general poseen un valor diferente que el que se otorga de fabrica Conclusión En esta práctica estudiamos, medimos y calculamos el voltaje de thevenin, la corriente de norton y la impedancia de thevenin. El teoría de thevenin nos dice que en un circuito que tenga una o mas fuentes de voltaje o de corriente puede reemplazarse por una fuente única de voltaje en serie con la resistencia o por una fuente de corriente en paralelo con una resistencia pero en nuestro caso fue en vez de resistencias fueron impedancias por que demostraos los dos teoremas, en corriente alterna o en frecuencia. Es importante el uso de los fasores ya que estos nos permiten visualizar la magnitud y desfasaje que cada uno de los elementos produce a la señal original proveniente de la fuente, ya que trabajamos con una fuente de alimentación AC cada elemento reacciona de forma diferente a la excitación senosoidal de la fuente, teniendo así los valores de las

corrientes y los voltajes a través de todo el circuito en función de los ángulos de desfase. Nuestros resultados estuvieron en sus porcentaje del 2% de error pero también tuvimos resultados del 28% error eso se pudo dar por los componentes que no eran de el valor adecuado.