Teorema de Stokes (demostracion).pdf

UNI- F I E E

M ATEMÁTICA III  I II

T EOREMA DE S TOKES El teorema de Stokes es muy importante en cuanto relaciona a una integral de línea con una de superficie. Considerado una generalización teorema de Green, este teorema permite elegir en relación a una sencillez de cálculo entre integrar un campo vectorial con una integral de línea o a través de una integral de superficie aplicada al rotacional del mismo. Para enunciar este teorema es necesario tener en cuenta la orientación positiva de la curva que a su vez constituye la frontera de la superficie  S . Esta orientación va ser inducida por la de la superficie que está limitando. De esta manera en caso que uno se dirigiese dirigiese alrededor alrededor de la curva  C  con una orientación positiva con la cabeza apuntando en la dirección de la normal a S (nˆ ), la superficie siempre estará a la izquierda de uno. Sea S una superficie paramétrica simple simple con borde ∂S, parametrizada por Φ :  D → S donde D es la región interior a una curva simple cerrada simple C regular a pedazos en R2 orientada positivamente,  y ∂ S  = Φ(C) se supone orientada en el sentido que resulte de componer C con Φ. Sea F un campo vectorial de clase C 1 definido en un entorno abierto de S en R2 , y con valores en R3 . Entonces se tiene: Teorema  1

 

∂S

  

F · dr  =

    

    

rotF · dS

    

    

S

Con los conocimientos anteriormente adquiridos podemos deducir que, si r(u, v) es una parametrización regular de la superficie, y F = ( P, Q, R)  es el campo vectorial sobre el cual se requiere calcular la integral de línea, entonces se obtiene lo siguiente:     

    

dS  = nˆ dS  =     

 iˆ rotF  =   P

∂ ∂x

    

∂u

×

 ∂r

∂v

 iˆ   =  

∂x ∂u ∂x ∂v

∂u

×

∂r ∂v



dud v

ˆ k 

 jˆ

   = ∂R ∂Q  ˆi +  ∂P ∂ y ∂ z ∂ z R  

∂ ∂ y

∂ ∂ z

Q

−

∂r ∂r × ∂u ∂v

Además si desarrollamos la expresión

 ∂r

 ∂r

 jˆ

ˆ k 

∂ y ∂u ∂ y ∂v

∂ z ∂u ∂ z ∂v

   = ∂ y ∂ z  ∂u ∂v

  ∂Q

∂ R  ˆ  j + ∂x

−

∂x

−

∂P ∂ y

 ˆ

k 

 obtenemos:

−

∂ z ∂ y ∂u ∂v

 ˆ  ∂ z ∂x i +

∂u ∂ v

−

  ∂x ∂ y

∂ x ∂ z  ˆ  j + ∂ u ∂v

∂u ∂v

−

∂ y ∂ x ∂u ∂ v

 ˆ

k 

Recordando la definición de Jacobiano de  x  e  y con respecto a u y  v : ∂( x, y) = ∂ ( u, v )

La expresión se reduce a:

 ∂r

∂u

×

 

∂x ∂u ∂ y ∂u

∂x ∂v ∂ y ∂v

 ∂x ∂ y  = ∂u ∂v

−

∂ y ∂ x ∂u ∂ v

∂r ∂ ( y, z) ˆ ∂ ( z, x) ˆ  ∂ ( x, y) ˆ  = i +  j + k  ∂v ∂ ( u, v ) ∂ ( u, v ) ∂ ( u, v )



De aquí que la expresión del teorema de Stokes se convierte en:

 

∂S

Pdx + Qd y + Rd z  =

CICLO 2011-3

    ∂R D

∂ y

−

∂Q ∂ z

 ∂( y, z)  ∂P ∂ ( u, v )

 +

1

∂ z

−

∂ R  ∂ ( z, x )  + ∂ x ∂ ( u, v )



 ∂Q ∂x

−

∂ P  ∂ ( x, y) ∂ y ∂(u, v)





dud v

Luighi A. Vitón Zorrilla

UNI- F IEE

M ATEMÁTICA III

En caso de que la parametrización escogida esté en función de  x  y  y, entonces la expresión se reduce a:

 

∂S

    ∂R

Pdx + Qd y + Rd z  =

−

∂ y

S

∂Q ∂ z

−

 ∂ z  ∂P −

∂x

−

∂ z



∂ R  ∂ z  ∂ Q  + ∂ x ∂ y ∂x

−

∂P ∂ y



dxd y

Si la curva se encontrase en una superficie plana paralela a uno de los planos coordenados, por ejemplo al plano  xy, nos conducirá a la expresión que conocemos como el teorema de Green:

 

∂S

Pdx + Qd y  =

   ∂Q ∂x

S

−

∂P ∂ y



dxd y

D EMOSTRACIÓN La demostración de este teorema se reduce a comprobar las siguientes igualdades:

 

∂S

 

∂S

 

∂S

Pdx  =

  

∂ P ∂( x, y)  ∂ P ∂( z, x) −  + ∂ y ∂(u, v) ∂ z ∂(u, v)

Qd y  =

  

−

Rd z  =

  

−

D

D

D

 dudv  ∂Q ∂( y, z)  ∂ Q ∂( x, y) dudv  + ∂ z ∂(u, v) ∂ x ∂ ( u, v )  ∂ R ∂( z, x)  ∂ R ∂( y, z) ∂ x ∂( u, v)

 +

dudv

∂ y ∂( u, v)

Como las tres igualdades tienen la misma estructura entonces solo será necesario demostrar una de ellas. De esta manera, nos centraremos en la primera expresión:

 

∂S

Pdx  =

   D

∂ P ∂( x, y)  ∂ P ∂( z, x) −  + ∂ y ∂(u, v) ∂ z ∂(u, v)



dudv

Denotando f (u, v) =  P ( x(u, v), y(u, v), z(u, v))  podemos obtener: ∂ f  ∂ P ∂ x  ∂ P ∂ y  ∂ P ∂ z =  +  + ∂u ∂ x ∂u ∂ y ∂u ∂ z ∂u ∂ f  ∂ P ∂ x  ∂ P ∂ y ∂ P ∂ z =  +  + ∂v ∂ x ∂v ∂ y ∂v ∂ z ∂v

Ahora también:

∂ f  ∂ x ∂u ∂ v

Además:

∂ ∂u

−

∂ f  ∂ x = ∂v ∂u

  ∂ x   f 

∂v

∂ P ∂( x, y) ∂ P ∂( z, x )  + ∂ y ∂( u, v) ∂ z ∂( u, v)

  ∂ x 

∂ ∂v

−

−

 f 

∂u

 =

∂ f  ∂ x ∂u ∂ v

−

∂ f  ∂ x ∂v ∂u

Combinado adecuadamente las ecuaciones podemos llegar a la siguiente igualdad:

   D

∂ P ∂( x, y)  ∂ P ∂( z, x ) −  + ∂ y ∂(u, v) ∂ z ∂(u, v)



dudv  =

  ∂ f  ∂x D

∂u ∂v

−

∂ f  ∂ x ∂v ∂u

Aplicando el teorema de Green en esta expresión se obtiene:

  ∂ f  ∂x D

∂u ∂v

−

∂ f  ∂ x = ∂v ∂u

 

C

 ∂ x  ∂ x du + f  dv ∂u ∂v

 f 

Sea γ = (u(t), v(t)) , t ∈ [ a, b], una parametrización de C ⊂ R2 recorrida en sentido positivo, entonces Φ = ( x, y, z)  donde x = x (u (t ), v (t )) , y = y (u ( t ), v (t )) , z = z (u (t ), v (t )) ,  t ∈ [ a, b ]  es una parametrización admisible de  ∂ S, y

 

∂S

Pdx  =

CICLO 2011-3

b

  a

 d P( x, y, z) x( u(t), v(t)) dt  = dt

b

  a

P( x, y, z)

2

 ∂ x du

 ∂ x dv + ∂ u dt ∂ v dt



dt  =

 

C

 ∂ x  ∂ x du + f  dv ∂u ∂v

 f 

Luighi A. Vitón Zorrilla

UNI- F IEE

M ATEMÁTICA III

Comparando las ecuaciones encontradas podemos llegar a comprobar la expresión del teorema de Stokes:

 

∂S

Pdx  =

   D

∂ P ∂( x, y)  ∂ P ∂( z, x) −  + ∂ y ∂(u, v) ∂ z ∂(u, v)



dudv

Para las otras expresiónes se sigue un proceso similar quedando finalmente demostrado este teorema al sumar las tres ecuaciones.

B IBLIOGRAFÍA C ÁLCULO:  C ONCEPTOS Y CONTEXTOS. James Stewart. Recursos en internet: http://www.mat.ucm.es/ dazagrar/docencia/cap13.pdf 

CICLO 2011-3

3

Luighi A. Vitón Zorrilla