Teorema de Steiner

Teorema eorema de Steiner o de los ejes eje s paralelos. El teorema de Steiner Steiner nos permite permite calcular el momento momento de inercia de un sólido rígido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas. Esta relación es: 2

 I = I cm + m d

donde donde I es el momento momento de inercia del cuerpo cuerpo respecto al eje paralelo paralelo al original, original,  I cm es el momento de inercia del eje que pasa por el centro de masas, m es la masa total del cuerpo y d es la distancia entre estos ejes paralelos. Deduzcamos este teorema. Si el mom momento ento de iner inerci ciaa del del sóli sólid do resp respec ecto to de un eje eje que pasa asa por O es: es:  I o=∑ m i r i

2

y el momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es: Si se relacionan ri

2

2

2

ri

 I C =∑ m i Ri

2

 y  Ri mediante la epresión: 2

2

2

= x i + y i ¿ ( x ic + d ) + y ic = R i + 2 d xic + d

2

El t!rmino intermedio en el segundo miem"ro es cero ya que o"tenemos la posición #c del centro de masas desde el centro de masa. El momento de inercia de un determinado cuerpo se puede determinar sa"iendo que: $. %a simetría simetría del cuerpo cuerpo permite permite a &eces &eces realizar realizar sólo parte parte del c'lculo. c'lculo. (. Como Como el momento momento de inerci inerciaa es aditi&o aditi&o el c'lculo c'lculo de un momen momento to de inercia inercia de un cuerpo compuesto se puede tomar como la suma de los momentos de inercia de sus partes.

). *uc+as &eces se o"tiene el momento de inercia de un cuerpo respecto a un cierto eje mediante el momento respecto a otro eje usando el teorema de Steiner.

Ejemplo: El momento de inercia de un paralelepípedo usando el teorema de Steiner. Sea un  paralelepípedo de masa * y de lados a, " y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.

Di&idimos el paralelepípedo en placas rectangulares de lados a y " y de espesor d. El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es 1 12

2

b dm

plicando el teorema de Steiner, se calcula el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia  es:

El momento de inercia del sólido en -orma de paralelepípedo es:

Momentos de Inercia de Cuerpos Compuestos En la pr'ctica de ingeniería, es -recuente que el cuerpo en cuestión pueda descomponerse en &arias -ormas sencillas, tales como cilindros, es-eras, placas y &arillas, cuyos momentos de inercia +an sido calculados y ta"ulados. l momento de inercia del cuerpo compuesto, respecto a un eje cualquiera, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dic+o eje de las distintas partes del cuerpo. or ejemplo:

 I  x =∫ ( y + z ) dm 2

2

m

 I  x =∫ ( y + z ) d m 1 +∫ ( y + z ) d m 2+ … +∫ ( y + z ) d m n 2

m1

2

2

m2

2

2

2

mn

 I  x = I  x 1+ I  x 2+ I  x 3 + … + I  xn Cuando una de las partes componentes sea un +ueco, su momento de inercia de"er' restarse del momento de inercia de la parte total para o"tener el elemento de inercia del cuerpo compuesto. En el ejemplo que sigue se ilustran m!todos para determinar  momentos de inercia de cuerpos compuestos utilizando &alores conocidos para sus  partes componentes. ara un cuerpo consistente en &arias de estas -ormas simples, el momento de inercia con respecto a un eje dado puede o"tenerse calculando primero los momentos de inercia de sus partes componentes alrededor del eje deseado y despu!s sum'ndolos en conjunto.

Ejemplo: Determinar el momento de Inercia del &olante de +ierro colado representado en la -igura respecto a su eje de rotación. %a densidad del +ierro colado es /)012g3 m

3

.

Solución: %a llanta y el cu"o del &olante son cilindros +uecos y los radios son prismas rectangulares. oniendo en metros todas las dimensiones, el momento de inercia de la llanta es:

El momento de inercia del cu"o es:

El momento de inercia de cada radio es:

El momento de inercia total del &olante es:

Bibliografía:

+ttp:33444.ual.es35mna&arro36ema)Dinamicasolidorigido.pd-  +ttps:33"oo2s.google.com.ec3"oo2s7id89lqacr 92C;pg8