Teorema de Schwartz

TEOREMA DE SCHWARTZ. INTRODUCCIÓN ¿QUE ES UNA DERIVADA PARCIAL? En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial. La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Donde

es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.

Cuando una magnitud

es función de diversas variables ( , , ,

), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función

en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la

incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.

Supongamos que es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso,

Un gráfico de z = x2 + xy + y2. Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3) que deja a y constante; la correspondiente línea tangente es paralela al eje x.

Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que mas interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.

Este es un corte del gráfico a la derecha de y = 1.

Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que escribimos:

en el punto (1, 1, 3), o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."

TEOREMA DE SCHWARTZ (Derivadas parciales de orden superior) En matemáticas y más concretamente en cálculo diferencial el teorema de Clairaut, también conocido como teorema de Schwartz o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas es una condición suficiente de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de una función de varias variables. El teorema establece que si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuas entonces son iguales. ENUNCIADO GENERAL:

Sea : y son continuas en A.

, A un conjunto abierto, tal que existen las segundas derivadas cruzadas

Entonces para cualquier punto

se cumple que:

ENUNCIADO EN DOS VARIABLES: Sea

una función de dos variables, definida en un conjunto abierto segundas derivadas cruzadas y son continuas en

(

del plano

. si existen las

) estas son iguales, es decir:

.

Demostración Sea . Y sean

,

reales tales que

cual es posible, ya que Se definen dos funciones

. Lo

es un abierto de

.

y , ,

de modo que: . , Aplicando dos veces el teorema de Lagrange:

, y análogamente:

, con

,

, por comodidad de escritura

pero sin perder generalidad, se suponen Luego haciendo tender

y

a

.

se logra la tesis.

Veremos ahora un ejemplo en el que las derivadas cruzadas no son iguales por que la función f(x ,y) no tiene derivadas cruzadas continuas en (0,0) Calcular las derivadas cruzadas de la siguiente función en (0,0) por definición: xy .

x2 - y2 x2 + y2

si (x ,y) (0,0)

f(x,y) = 0

si (x,y) = (0,0)

Por definición de derivada parcial cruzada de segundo orden : f (h,0) - f(0,0)  f (0,0) = lim y y x y h0 h 2

(A)

Pero como no conocemos los valores de las derivadas que aparecen en el numerador del cociente debemos calcularlas: h k . h 2 – k2 - 0 f (h,0) = lim f (h,k) - f (h,0) = lim h 2 + k2 = h y k0 k k0 k f (0,0) = lim f (0,k) - f (0,0) = lim y k0 k k0

0 - 0 k

=0

Reemplazando los valores obtenidos en la fórmula (A), nos queda:  2 f (0,0) = lim h - 0 = 1 x y h0 h Proponemos al alumno que calcule la  2 f (0,0) de manera similar y obtendrá como y x resultado el valor - 1, demostrando así que las derivadas cruzadas no son iguales .

EJEMPLOS: 1) Encontrar las derivadas parciales segundas de

y calcular el

valor de fxy(-1,2) Solución Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:

Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta

Finalmente, fxy(-1,2)=12-40=-282

2)