Teorema de Reciprocidad

TEOREMA DE RECIPROCIDAD Primer Enunciado: Si la excitación o fuente de entrada de un circuito produce una corriente i a la salida, la misma excitación o fuente aplicada en la salida del circuito producirá la misma corriente i a la entrada del mismo circuito. Es decir, el resultado es el mismo si se intercambia la excitación y la respuesta del circuito. Esto se ilustra en la Figura 9.2.

Figura 9.2 a) Una fuente de excitación F aplicada en la entrada del circuito produce una corriente de salida i; b) La misma fuente de excitación F aplicada en la salida produce una corriente i en la entrada. Segundo Enunciado: La intensidad i que circula por una rama a de un circuito lineal y pasivo, cuando se intercala una fuente de tensión en otra rama b, es la misma que circularía por la rama b si la fuente de tensión se intercala en la rama a. Esto se muestra en la Figura 9.3.

Figura 9.3 a) Una fuente de tensión E en la rama a-b produce una corriente i en la rama c-d; b) la misma fuente de tensión E aplicada a la rama c-d produce la misma corriente i en la rama a-b.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Teorema de reciprocidad Utilice el teorema de reciprocidad para comprobar que la fuente de tensión de entrada E que produce la corriente I en la rama de la resistencia R4, produce la misma corriente I en la entrada si esta fuente de tensión se coloca en la rama de R4.

Si se usa el teorema de Thévenin, tenemos:

La corriente I = 1.5 A se obtuvo dividiendo entre dos la corriente Is, ya que I se obtiene de un divisor de corriente entre dos resistencias en paralelo de 6 Ω (R4 = 6 Ω está en paralelo con la serie R3 + R4 = 6 Ω). Por lo tanto, la resistencia en ambas ramas en paralelo es igual y la corriente en cada una de ellas será la mitad de Is. Si se cambia la fuente de tensión a la rama de la resistencia R4, tenemos

Por lo tanto, si aplicamos de nueva cuenta el teorema de Thévenin, obtenemos

Con esto se demuestra el teorema de reciprocidad. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN Los sistemas lineales obedecen el principio de superposición, que establece que, cuando se excita un sistema lineal mediante más de una fuente de energía independiente (fuentes de tensión y/o corriente), la respuesta total es la suma de las respuestas individuales. Una respuesta individual es el resultado de la actuación de una única fuente independiente. Puesto que estamos tratando con circuitos formados por elementos lineales de circuito interconectados, podemos aplicar el principio de superposición directamente al análisis de tales circuitos cuando éstos están excitados por más de una fuente de energía independiente. Por el momento, restringiremos nuestro análisis a las redes resistivas simples; sin embargo, el principio es aplicable a cualquier sistema lineal. La superposición se aplica tanto en el análisis como en el diseño de circuitos. Al analizar un circuito complejo con múltiples fuentes independientes de tensión y de corriente, normalmente habrá un número menor de ecuaciones y éstas serán más simples de resolver cuando se consideren por separado los efectos de las distintas fuentes independientes. Por tanto, la aplicación de la superposición puede simplificar el análisis de los circuitos. Sin embargo, debe tenerse presente que, en ocasiones, la aplicación del principio de superposición complica en la práctica el análisis, produciendo un sistema de ecuaciones para resolver más complicado que el que se obtendría con un método alternativo. La superposición sólo es necesaria si las fuentes independientes en un circuito son fundamentalmente distintas. Se ilustrará el principio de superposición utilizándolo para calcular las corrientes de rama en el circuito mostrado en la Figura 9.6. Comencemos calculando las corrientes de rama resultantes de la fuente de tensión de 120 V. Se denotarán dichas corrientes mediante un símbolo de prima. Sustituyendo la fuente de corriente ideal por un circuito abierto, podemos desactivar dicha fuente, como se muestra en la Figura 9.7. Las corrientes de rama en este circuito son las resultantes, exclusivamente, de la fuente de tensión. Se puede calcular fácilmente las corrientes de rama del circuito de la Figura 9.7 una vez que sepamos la tensión de nodo en las terminales de la resistencia de 3 Ω. Si designamos esta tensión como v1 , se puede escribir

de donde

Figura 9.6 Circuito utilizado para ilustrar el principio de superposición.

Figura 9.7 El circuito mostrado en la Figura 9.6, con la fuente de corriente desactivada. Ahora se puede escribir directamente las expresiones de las corrientes de rama i'1 a i'4

Para calcular la componente de la corriente de rama debida a la fuente de corriente, se desactiva la fuente de tensión ideal y resolvemos el circuito mostrado en la Figura 9.8. La notación de doble prima utilizada para las corrientes indica que son las componentes de la corriente total resultantes de la fuente de corriente ideal.

Figura 9.8 El circuito mostrado en la Figura 9.6, con la fuente de tensión desactivada.

Se determinan las corrientes de rama en el circuito mostrado en la Figura 9.8 calculando primero las tensiones de nodo en las terminales de las resistencias de 3 y 4 Ω, respectivamente. La Figura 9.9 muestra las dos tensiones de nodo.

Figura 9.9 El circuito mostrado en la Figura 9.6, indicando las tensiones de nodo v3 y v4. Las dos ecuaciones de tensión de nodo que describen el circuito serán

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (9.11) y (9.12), obtenemos

Ahora podemos escribir directamente las corrientes de rama i"1 a i"4 en términos de las tensiones de nodo v3 y v4 :

Para calcular las corrientes de rama en el circuito original, es decir, las corrientes i1, i2, i3 e i4 de la Figura 9.6, simplemente sumamos las corrientes proporcionadas por las Ecuaciones (9.16) a (9.19) a las corrientes dadas por las Ecuaciones (9.9) a (9.11):

Se deja al alumno utilizar otro método para solucionar las corrientes de rama el circuito de la Figura 9.6 y comprobar con esto que los resultados obtenidos con el método de superposición, según las Ecuaciones (9.20) a (9.23), son iguales. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Utilización del principio de superposición para resolver un circuito

EJEMPLOS ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Utilice el principio de superposición para calcular la tensión vo en el circuito de la siguiente figura:

Solución: Con la fuente de 10 V actuando de forma solitaria:

Con la fuente de 20 V actuando de forma solitaria:

Con la fuente de corriente de 6 A únicamente:

Las ecuaciones de tensiones de nodo son:

Que en forma estándar son equivalentes a:

Resolviendo, se obtiene: Nótese que Entonces,

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Utilice el principio de superposición para calcular la tensión vo en el circuito de la siguiente figura:

Solución: Fuente de voltaje actuando únicamente:

Simplificando,

Ahora, con la fuente de corriente actuando únicamente:

Simplificando,