Teorema de Pappus
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Descripción: un trabajo sobre teorema de pappus, que da por entender sus ecuaciones asociadas ademas de practicarlas....
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Trabajo de investigación Teorema de Puppus
Integrantes: -José Manuel Gutierrez -Aron González Profesor: -Sergio Urrutia 27 de junio, 2017
Universidad Universida d de Valparaíso Valparaís o Escuela de Ingeniería Civil
Calculo integral y series EIC 121 Teorema de Pappus
Resumen: el trabajo consta de 2 preguntas una de investigación y dos de planteo: Siendo la primera una pequeña reseña del contexto histórico del Teorema Pappus , además de una pequeña interpretación interpretación acompañado de diagramas que ejemplifiquen lo mencionado. La pregunta dos es mas de resolución de problemas aplicando el teorema de diferentes formas: Siendo el ítem a) la aplicación del teorema de una forma más conceptual ya que solos nos entregan los vértices de una figura sin sus respectivas funciones para lo cual se tuvo que tener conocimiento de cómo armar una función y el centroide de un cuadrilátero para poder recurrir al Teorema de Pappus P appus y así conseguir el área y el volumen del solido en revolución, El ítem b) fue más aplicación de fórmulas como la de centroide de una región, distancia entre puntos y distancias entre punto y recta, además de la aplicación del teorema de Pappus para un eje de rotación distinto del eje x e y, y el Teorema de Pappus para área superficial y volumen Ya en el ítem c) fue la aplicación del Teorema de Pappus para áreas superficiales, superficiales, pero de manera más general igualando un área al teorema y despejando la coordenada y del centroide, además de la aplicación de una fórmula para la coordenada x del centroide.
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Listado de Ecuaciones y formulas Integrales:
= ∫ sec = +++ = ∫ sec = + + = ∫ − = :, ; : , = :, : = 0 = | +++| : , ; : , : −− = −− = ∫ ≥ ≤ ≤ = ∫ ≥ ≤ ≤ ∫ ̅ = ∫ − ȳ = − ≥ ≤ ≤ ̅ = ∫− ȳ = ∫ − ≥ ≤ ≤ = ∫ 1 + + ∫ ∫ ̅ = ȳ= ec.1 ec.2 ec.3
Formulas:
Distancia entre dos puntos:
Distancia entre un punto y recta:
Armar función a partir de dos puntos:
Calculo de área de una región:
Calculo de área con densidad
Centroide de una región R y densidad
Si no se tiene la densidad del material
Longitud de una curva
Centroide de una curva
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Indice: Capítulo 1 ........................................................................................................................................................... 5 Introducción: .................................................................................................................................................. 5 Capítulo 2 ........................................................................................................................................................... 6 Desarrollo:...................................................................................................................................................... 6 2.1. pregunta 1 ........................................................................................................................................... 7 2.2-Pregunta 2 ............................................................................................................................................ 9 Capítulo 3 ......................................................................................................................................................... 21 Conclusión: .................................................................................................................................................. 21 Bibliografía: ................................................................................................................................................. 22
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Capítulo 1 Introducción: Uno de los usos que se le atribuyen a la integral definida es el de calcular solidos de revolución de una región plana, tanto su volumen como su área con respecto a un eje o recta de rotación. En este sentido uno de los teoremas más importantes y que simplifican la tarea de calcular sólido y áreas de revolución es el llamado Teorema de Pappus, para el cual basta solo con calcular o conocer el centroide de la región (se debe conocer la densidad de la región), la trayectoria de este centroide y el área de la misma para poder encontrar su solido en revolución con respecto a un eje de rotación Por otra parte, si deseamos conocer el área superficial generada por el sólido en revolución de una región, es necesario conocer las rectas o curvas que delimitan la región, a su vez los centroides de cada recta y su trayectoria, además de su longitud. Estos dos conceptos serán demostrados, explicados y considerados de gran ayuda en los siguientes ejercicios y problemas. Donde serán expuestos y trabajados de distintas formas. Además de estos conceptos sobre Teorema de Pappus se debe tener conocimiento de ciertas ecuaciones y formulas sobre funciones y área de una región.
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Capítulo 2 Desarrollo: En este capítulo daremos solución y desarrollo a cada problema planteado. El cual consta de 2 preguntas de desarrollo, siendo una de investigación y la otra de resolución de problemas de planteo .
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2.1. Pregunta 1 Con base en el teorema de Pappus, haga lo siguiente:
2.1.1.a) Realice una pequeña indagación histórica sobre el contexto en el que se generó este teorema. Pappus de Alejandría (siglos III-IV) fue un matemático griego conocido principalmente por su obra, la Colección Matemática escrita en el año 340, esta obra recopila gran parte de los conocimientos de su época además de ser de gran importancia en la enseñanza de las matemáticas en la ciudad de Alejandría, siendo el libro VII en el cual está contenido su famoso Teorema de Pappus, además de otros conceptos como foco y directriz para la parábola además de generalizar el Teorema de Apolonio. El teorema de Pappus fue de los más avanzados de su época, por el anticipo del cálculo infinitesimal, en el año 1640 fue Re demostrado por el matemático Paul Guldin, sin saber que Pappus ya lo había propuesto, recibiendo un segundo nombre Teorema de Pappus-Guldin
2.1.2. b) Debata con sus compañeros de grupo y entregue por escrito su interpretación del teorema.
Teniendo presente una región R con densidad y su área y su respectivo centroide en función de las curvas que delimitan la región y la densidad , se tiene que como primer teorema de volumen de un sólido en revolución en torno a una recta C es posible pensar que su volumen estará dado por la trayectoria del centroide en torno a la recta C, la cual estará dada siempre como el perímetro de una circunferencia con el radio(r) comprendido entre la distancia del centroide a la recta C definido entonces como : , y a su vez teniendo en cuenta que el área unidades cuadradas, es posible inferir que el volumen estará dado como la trayectoria recorrida por el centroide multiplicada por el área de la región ( ):
= 2
2
Por otra lado sabiendo la curvas que delimitan la región R es posible calcular el área superficial que genera el sólido en revolución en torno a una recta C, teniendo en cuenta las curvas que delimitan la región, la longitud de cada curva (L) y el centroide correspondiente a cada curva, de esta forma el área superficial de la región estará dada por la suma de cada área generada al rotar cada curva en torno a la recta C , donde el área de la curva( es el resultado de la trayectoria del centroide en torno al recta C multiplicada por su longitud( , estableciendo la trayectoria como el perímetro de una circunferencia de radio definido como la distancia del centroide a la curva, se deduce la trayectoria como: , y el área de la curva en revolución como:
2=2 = ⋯ =
Teniendo como área total de la región en revolución la suma de cada área de las curvas:
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2.1.3.c) Trace un diagrama que le permita ilustrarlo. Volumen :
Área superficial:
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2.2-Pregunta 2 Resuelva los siguientes problemas: 2.2.1.a) La región R con vértices: P (−2,0)
Q (0,2)
R (−2,4)
S (−4,2)
Se hace girar alrededor del eje x para generar un sólido. Determine el volumen y el área de la superficie del sólido
Como primer procedimiento debemos graficar los puntos para tener una idea clara de la figura o región la cual trabajáramos
Para poder entender mejor el problema definiremos algunas funciones que pasan por los puntos dados, para ello ocuparemos la fórmula de armar una función a raíz de dos puntos
= 20 = 2020 => = 2 = = 2 = = 6 = = 2 = = 2 = = 2
Análogamente haremos lo mismo con los otros puntos y dos rectas de tipo diagonales a la región resultando:
Rectas de tipo diagonal a la región:
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Luego según muestra el Teorema de Pappus para volumen (teniendo en cuenta que nuestra recta o eje de rotación es y=0):
= 2ȳ
Nos bastara calcular el área de la región (A). y la coordenada y de nuestro centroide para calcular el volumen. De este modo calcularemos el área de la región (verificando que la recta y=-2 divide la región en dos) anteriormente graficada la cual será dada:
2 ≥ 2 2 ≤ ≤ 0 6 ≥ 2 4 ≤ ≤ 2 = −2 2 −− 6 2 = − 2 −−2 8 = 0 2 2 82 4 84 = 44 = 8 ̅,
Con:
Resultando nuestra área de la región igual a 8 unidades cuadradas
Como siguiente paso nos queda calcular el centroide definido como
Para eso ocuparemos nuestras rectas diagonales calculadas anteriormente ya que como la figura es plana es un cuadrilátero su centroide estará dado como la intersección de las rectas diagonales de la región: Al igualar:
= 2 = 2 2,2 = 2πȳA = 2π∗2∗8 = 32π
se puede razonar que nuestro centroide ya está dado por los puntos centroide es igual a 2 .
, donde nuestra coordenada ¨y¨ del
teniendo estos datos en cuenta y recurriendo al Teorema de Pappus para volumen reemplazamos:
π
Resultando como volumen 32 unidades cubicas.
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Luego para calcular el área superficial de la región debemos tener en cuenta que se debe calcular las áreas superficiales por cada tramo y luego sumarlas todas, para eso recurriremos al Teorema de Pappus para áreas superficiales de una curva(teniendo en cuenta que nuestro eje de rotación es y=0)
= 2ȳ
Para lo cual debemos calcular la longitud de la curva(L) y la coordenada “y” del centroide de la curva(ȳ) Sin embargo, teniendo en cuenta l as formulas de la coordenada “ y” del centroide y la longitud de una curva se puede determinar la siguiente formula reducida del Teorema de Pappus:
= 2ȳ 1 ∫ = 2 ∫ 1 ∗ 1 = 2 1 = 2 = 1 = 2− 2√ 1 1 = 2√ 2− 2 ⇒ 2√ 20 2 = 4√ 2 = 2 = 1 = 2−2 √ 11 = 2√ 2 − 2 ⇒2√ 20 6 = 12√ 2 = = 6 = 1 − = 2− 6√ 11 = 2√ 2−− 6 ⇒ 2√ 26 = 12√ 2
De esta forma es posible simplificar el teorema quedando la siguiente formula
Una vez despejada la ecuación basta reemplazar en ecuación tenido en cuenta la función asociada a la curva y su derivada en el tramo solicitado además de tener en cuenta los límites de integración 1-
2-
3-
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4-
= = 2
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− = 2− 2√ 11 − = 2√ 2 − 2 ⇒ 2√ 22 = 4√ 2 = = 4√ 2 12√ 2 12√ 2 4√ 2 = 32√ 2
Una vez obtenidos todas las áreas superficiales de las curvas solo queda sumarlas
Resultando como área superficial de nuestra figura
32√ 2
unidades cuadradas
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2.2.2. b) Determine el área superficial y el sólido de revolución de la región R en el p rimer cuadrante acotada por las curvas: C1: y = 3−x2
C2: y = 1
C3: x = 0
al hacerla girar alrededor de la recta L : y = −x
Al igual que el ejercicio anterior lo primero que debemos hacer es graficar las rectas y curvas para tener una idea del problema, para lo cual debemos ver la interacción de las curvas entre si C1=C2
3 = 1 = 2⇒ = √ 2
Para poder determinar el área superficial de la región en revolución en torno a la recta y=-x debemos separar y verificar las curvas o rectas que delimitan la región para calcular sus áreas por separado y luego sumarlas:
= 3 = √ 1 = 2 2 = t a n √ = 1 2 = sec2 = 12 √ 1tan sec ⇒ 12 √ sec
Para eso primero escogeremos la recta centroide entorno a la recta y=-x
calculando su derivada, longitud y el radio de rotación del
Donde la longitud de la recta estará dada por la siguiente formula (
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⇒ tansec ln2sec tan = 12 1 4 ln√ 1 42 2 √ 02 = 3√ 22 ln32√ 4 2 ≈ 2,5620
Luego para calcular el radio de giro de la curva debemos coseguir el centroide de la curva Donde la coordenada “y” del centroide estará dado por:
1 2 ȳ = ∫√ 3 √ 3 1 2 √ 3 1 2 2 = setcan = 1 √ 3 tan 1 tan sec = 2 2 4 ⇒ 12 √ 3sec 14 tan sec = 12 √ 3sec 14 sec 14 sec 1⇒ 8 √ 13sec sec s t s s 3l sec 13 t a n e c l n s e c a n 2t a n e c 3tan e c n t a n 2 √ = 16 64 0 = 13√ 1 4 ∗ 2 l16n√ 1 4 2 41 4 6√ 1 464 3ln√ 1 4 2 √ 02 = 78√ 213l16n32√ 2 108√ 2 18√ 2643ln32√ 2 ≈ 5,459661471 ȳ = 78√ 213l16n32√ 2 108√ 2 18√ 2643l n 32√ 2 ≈ 2,131 3√ 22 ln324 √ 2 2 ̅ = ∫√ 1
al ya haber calculado la longitud de la curva(L), nos queda calcular la siguiente integral:
Resultando nuestro ȳ:
A su vez la coordenada x del centroide se define como:
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Para ello solo basta calcular la siguiente integral definida
√ = 1 4 [==148 ] 2 √ = 18 √ = 24 = 21 244 = 5244 242 = 163
Teniendo como coordenada x del centroide
13 ̅ = 3√ 22 ln632√ 4 2 ≈ 0,845691 108 2 18 2 3l n 3 2 2 √ √ √ 78 2 13l n 3 2 2 √ √ 13 16 64 6 ̅,ȳ 3√ 22 ln3 42√ 2 , ≈ 0,845;2,131 3 √ 2 2 ln3 42√ 2 = 0 108√ 2 18√ 2 3l n 32√ 2 78√ 2 13l n 3 2√ 2 13 16 64 6 3√ 22 ln3 2√ 4 2 3 2 l n 32 2 √ √ 2 4 == 1 1 √ ≈ 2,104 = 2 78√ 213ln32√ 2 108√ 2 18√ 2 3l n32√ 2
Obteniendo así nuestro centroide:
Una vez obtenido nuestro centroide de la curva debemos calcular su radio de giro en torno a la recta, ocupando la fórmula de distancia de punto a recta: Tomando encuentra nuestro centroide y la recta de la forma general
Ahora que tenemos todos los datos necesarios podremos aplicar el teorema de Pappus para área superficial:
136 l n 2 32√ 3√ 2 2 4 = 2
16 3√ 2 ln32√ 2 64 2 4 √ 1 1
≈ 10,780
∗3√ 22 ln32√ 4 2
Resultando el área de la primera curva 10,780π unidades cuadradas aproximadamente
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Continuando con el área de las otras dos curvas, calcularemos el área superficial de la siguiente recta:
= 1
0,1
√ 2,1
Como vemos que es una recta constante su longitud estará dada por la distancia entre el primer y ultimo punto en donde la recta forma parte de la región, teniendo esto en cuenta el primer punto será ( ) y el ultimo (
√ 2
Resultando como longitud: =
= = √ 2 0 1 1 = √ 2
De la misma forma la otra curva al ser una recta constante su centroide estará dado por el punto medio dela recta tomando el primer y último punto de la recta que forma parte de la región:
= 0,1 = √ 2,1 ̅,ȳ = √ 220 , 1 12 = √ 22 , 1 = 0 = √ , 1 2 √ 1 2 = = √ 1 1 = 1 2√ ≈2 1,2071 = 2 = 212√ 2√ 2 = 2√ 2 2 √ 2 =0 = 0,1 = 0,3 = = 0 0 = 23 1 = √ 4 = 2 ̅,ȳ = 002 , 3 12 = 0,2
Teniendo nuestro centroide basta calcular nuestro radio de giro que es la distancia entre el centroide y la recta: Recta de giro de forma general
Centroide
Reemplazamos en la fórmula de área:
Resultando nuestra segunda área superficial
unidades cuadradas.
Solo nos queda calcular el área superficial de la recta y último punto de la recta que delimita con la región:
.Al igual que el área anterior escogeremos el primer
Siendo la longitud de la recta, la distancia entre
Y el centroide el punto medio de la recta tomando nuevamente
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Al obtener el centroide podemos calcular nuestro radio de giro al igual que el área anterior. Tomando los puntos del centroide y la ecuación general de la recta de giro:
: = 0|0 2| 2 = 0,2 = = √ 1 1 = √ 2 =22 = 2 √ 2 2 = 4√ 2
Teniendo todos los datos podemos aplicar Teorema de Pappus:
Obtenemos así nuestra tercera área superficial de la región, así para obtener el área total solo debemos sumar las 3 áreas encontradas:
= = 10,780 2√ 2 4√ 2 ≈ 19,851 19,851 = 2 3 > 1 0 ≤ ≤ √ 2 √ = 3 1 √ 2 2 √ = 2 ⇒ 2 3 0 = 2√ 2 3 = 4√ 32 √ ̅,ȳ ̅ = ∫√ 3 1 √ 3 1 = √ 2 = √ 2 = 21 = 1 40 Resultando así el área superficial del solido en revolución
unidades cuadradas aproximadamente.
Luego, para obtener el volumen generado por el sólido en revolución debemos calcular el área y el centroide de la región. Para ello recurriremos al Teorema de Pappus para volumen (nuestra recta de giro es distinta a y=0)
El área de la región está dada por: Con:
Donde el área de la región es
unidades cuadradas.
Para poder calcular el radio de giro debemos primero calcular el centroide de la región, definido como ,donde la coordenada x está dada por:
Al ya haber calculado el área nos queda resolver solo la siguiente integral
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Definiendo así nuestra coordenada x como
̅ = 4√ 132 = 4√ 32 ȳ = 12 ∫√ 3 1 12 √ 3 1 = 12 √ 96 1 = 12 √ 86 12 8 2 5 √ 02 = 12 8√ 2 4√ 2 4√ 52 = 12√ 5 2 12√ 2 5 ȳ = 4√ 32 = 95 ̅,ȳ ̅,ȳ = 4√ 32 , 95
Por otra parte, nuestra coordenada y del centroide se define como:
con el area ya calculada solo queda resolver la siguiente integral:
Resultando nuestra coordenada ȳ como:
Obteniendo así nuestro centroide
:
Una vez calculado el centroide calcularemos nuestro radio de giro (R) como la distancia del centroide al eje de rotación: Donde la recta de giro (de forma general) y el centroide estarán dados
: = 0 : 4√ 32 , 95 3 9 5 4√ 2 = = √ 1 1 = 38 5√ 92 = 238 5√ 92 4√ 32 = 254 √ 2 ≈ 6,21421 6,21421
Ya calculados todos los datos necesarios reemplazamos en la fórmula de volumen:
Obteniendo así el volumen del solido en revolución de la región respecto a la recta y=-x , cubicas.
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unidades
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2.2.3.c) Utilice el segundo teorema de Pappus y el hecho de que el área de la superficie de una esfera de radio a es
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, para determinar el centroide de la semicircunferencia
√ = √
Al igual que en ejercicios anteriores graficaremos la semicircunferencia:
Como observamos en el grafico y teniendo internalizado el concepto de solido en revolución, se puede deducir que el sólido generado por la región delimitada por la función y el eje x resulta una esfera d e radio ¨a¨(rotando la región en torno al eje x), tomando esto en cuenta podremos recurrir a teorema de Papus para conocer el centroide de la curva, ya que la curva al hacerla rotar en torno en torno al eje x generara el área superficial de la esfera de radio ¨a¨. Aplicando Teorema de Papus:
= √ = 2ȳ = 0 4 = 2ȳ ȳ = 2 = = 2√ 2 1 2 = 1 = = 1 − 2√ − − − √ = = 1 1 = 2 32 = ¨¨
Sustituyendo:
Despejando:
para lo cual debemos calcular L, la cual la definiremos como la longitud de la curva, dada por la siguiente integral, teniendo en cuneta la función y su derivada:
Tomado en cuenta que el resultado es negativo nosotros lo tomaremos como puede ser negativa
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ya que al ser una longitud no
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Reemplazando la longitud
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ȳ = 2 = 2 = 2
consiguiendo así la coordenada y de nuestro centroide, por otra parte, para calcular la coordenada x del centroide se puede deducir que como es una semicircunferencia centrada en el origen es simétrica con respecto al eje y, por lo tanto su coordenada x será igual a 0 ya que es la mitad del trayecto que recorre la curva al ser simétrica con el eje y. Resultando así nuestro centroide:
̅,ȳ = 0, 2
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Capítulo 3 Conclusión: Como conclusión logramos comprender más acerca de las matemáticas, en este caso el Teorema de Pappus o también llamado Teorema de Pappus-Guldin, un teorema muy usado en la aplicación de las matemáticas, el cual nos permite obtener el centroide de una figura, con el cual podemos jugar y hacer girar una figura tomando ese punto como centro de esta, su historia, como se aplica, conceptos generales y profundos, logrando una comprensión más detallada de sus componentes y de sus diferentes aplicaciones en el uso de calcular áreas superficiales y volumen de una región o distintas aplicaciones que se le pueden atribuir a este teorema.
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Bibliografía: https://books.google.cl/books?id=6hBZBQAAQBAJ&pg=PA224&lpg=PA224&dq=historia+teorema+de+pa ppus&source=bl&ots=jfj2ejcaTc&sig=G6kTMV7qYAtsqM5Z_TMzGFyXz1I&hl=es&sa=X&ved=0ahUKE wiYcqd_dnUAhVIDJAKHXj0DAM4ChDoAQgfMAA#v=onepage&q=historia%20teorema%20de%20pappus&f =false https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_centroide_de_Pappus
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