Teorema de Muestreo de Nyquist

 

Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon

Función de interpolación Función interpolación g(t) para Fs=4410 =44100 0 muestras muestras por segundo segundo (estándar (estándar CD-A CD -Aud udio io). ). Exce Except pto o para para t=0, t=0, el inte interv rval alo o entr entre e paso pasos s por por cero cero (lín (línea eas s verticales verdes) representa el intervalo entre muestras (~22,68 µs para este ejemplo). El teore teorema ma de muestreo muestreo de Nyquist-S Nyquist-Shann hannon on, tam tambié bién n conoci conocido do como como teorem teo rema a de muestr muestreo eo de Whitt Whittake aker-N r-Nyqu yquist ist-Ko -Koteln telniko ikov-S v-Shan hannon non, criterio de Nyquist o teorema de Nyquist, es un teorema fundamental de la teoría de la información información,, de especial interés en las telecomunicaciones. telecomunicaciones. Este teorema fue formulado en forma de conjetura por primera vez por Harry  Harry  Nyquist en 1928 (Ce (Certa rtain in topics topics in telegr telegraph aph transm transmiss ission ion theory theory), ), y fue demostrado formalmente por Claude E. Shannon en 1949 (Communication in the presence of noise). El teorema trata con el muestreo, muestreo, que no debe ser confundido o asociado con la cuantificación, cuantificación, proceso que sigue al de muestreo en la digitalización de una seña señall y que, que, al cont contra rari rio o del del mues muestr treo eo,, no es reve reversi rsibl ble e (se (se pr prod oduc uce e una una pérdida de información en el proceso de cuantificación, incluso en el caso ideal conoci ocida da como como error error o ruido ruido de de   teórico, que se traduce en una distorsión con cuantificación y que establece un límite teórico superior a la relación señalruido). Dicho de otro modo, desde el punto de vista del teorema, las muestras discretas de una señal son valores exactos que aún no han sufrido redondeo o truncamiento alguno sobre una precisión determinada, esto es, aún no han sido cuantificadas. Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica y la señal se muestrea a una tasa

, entonces

es se puede

 

recuperar totalmente a partir de sus muestras mediante la siguiente función de interpolación: interpolación:

Ejemplo de reconstrucción de una señal de 14,7 kHz (línea gris discontinua) con sólo cinco muestras. Cada ciclo se compone de sólo 3 muestras a 44100 muestras por segundo. La reconstrucción teórica resulta de la suma ponderada de la func funció ión n de inte interp rpol olac ació ión n g(t) g(t) y su sus s ve vers rsio ione nes s corr corres espo pond ndie ient ntes es desplazad despl azadas as en el tiempo tiempo g(t-nT) g(t-nT) con , donde donde los coeficient coeficientes es de pond pondera eraci ción ón son son las las muest muestra ras s x(n) x(n).. En esta esta imag imagen en cada cada fu func nció ión n de in inte terp rpol olac ació ión n está está repr repres esen enta tada da con con un colo colorr (e (en n tota total, l, cinc cinco) o) y es está tán n pond po nder erad adas as al valo valorr de su corr corres espo pond ndie ient nte e mues muestr tra a (e (ell máxi máximo mo de cada cada función pasa por un punto azul que representa la muestra). Así,

Donde

se puede expresar como:

son las muestras de

.

Hay que notar que el concepto de ancho de banda no necesariamente es sinónimo del valor de la frecuencia más alta en la señal de interés. A las señales para las cuales esto sí es cierto se les llama señales de banda base, y

 

no todas las señales comparten tal característica (por ejemplo, las ondas de radio en frecuencia modulada).

Errores de interpretación frecuentes en relación con el teorema y el proceso de muestreo Es un error frecuente y extendido creer que, una vez satisfechos los criterios del teorema (criterios Nyquist), la reconstrucción de una señal en toda su banda (lo de que excluye excluyelaelcalidad uso dede técnicas de Noise Shaping para alterar selectivamente la distorsión consecuencia del proceso de cuantificación en señales completamente digitalizadas, esto es, muestreadas y cuantificadas) es función de la tasa de muestreo empleada en el proceso de muestreo. Esto es totalmente falso desde la perspectiva matemática del teorema y un error, una vez consideradas las limitaciones prácticas, en el ámbito práctico de la física o la ingeniería. 1 El proceso de muestreo (que no debe ser confundido con el de cuantificación) cuantificación) es, desde el punto de vista matemático perfectamente reversible, esto es, su reconstrucción es exacta, no aproximada. Dicho de otro modo, desde el punto de vista matemático al que se refiere el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, la reconstrucción de una señal periódica con componentes de hasta 10 kHz es idéntica tanto si se obtiene de una tasa de muestreo de 25000 muestras por segundo como de una de 50000 muestras por segu por segund ndo. o. Mate Matemá máti tica came ment nte, e, no apor aporta ta nada nada in incr crem ement entar ar la ta tasa sa de mues mu estr treo eo una vez vez que que esta esta cump cumple le el cr crit iter erio io de Nyqu Nyquis ist: t: la in info form rmac ació ión n necesa nec esaria ria para para su recons reconstru trucc cción ión total total existe existe desde que la tasa tasa cumple cumple el cr crit iter erio io.. Tamb Tambié ién n so son n erro errore res s frec frecue uent ntes es y exte extend ndid idos os,, rela relaci cion onad ados os dire direct ctam ament ente e con con lo expu expues esto to en este este párr párraf afo, o, creer creer que que los los punt puntos os que que resultan del proceso de muestreo se unen en la reconstrucción mediante rectas (i (int nter erpo pola laci ción ón line lineal al)) form forman ando do di dien ente tes s de si sier erra ra en las las fr frec ecue uenc ncia ias s representadas por pocas muestras o que existe un proceso de cálculo que realiz rea liza a la interp interpola olació ción n de manera manera predic predictiv tiva. a. En resumen resumen,, el teorem teorema a de muestreo demuestra que toda la información de una señal contenida en el intervalo temporal entre dos muestras cualesquiera está descrita por la serie total de muestras siempre que la señal registrada sea de naturaleza periódica  periódica  (como lo es el sonido) y no tenga componentes de frecuencia igual o superior a la mitad de la tasa de muestreo. En la práctica y dado que no existen los filtros analógicos pasa-bajo ideales, se debe dejar un margen entre la frecuencia máxima que se desea registrar y la frecuencia de Nyquist (frecuencia crítica) que resulta de la tasa de muestreo elegida (por ejemplo, para CD-Audio la frecuencia máxima de los componentes a registrar y reproducir es de 20 kHz y la frecuencia crítica de la tasa de 44100 mues mu estr tras as por por segu segund ndo o empl emplea eada da es de 22,0 22,05 5 kHz; kHz; un marg margen en del del 10% 10% aproximadamente para esta aplicación). Pero este margen es una necesidad que resulta de las limitaciones físicas de un filtro de reconstrucción (o filtro antialiasing) real, y no una consideración que contemple (o deba contemplar) antialiasing) el teorema, que pretende pretende establecer establecer el marco teórico teórico (matemático) (matemático) en el que se deben deben fundam fundament entar ar los profes profesion ionale ales s que tratan tratan con con el proces procesami amiento ento digital de señales.

 

Nuevos formatos y su relación con las interpretaciones erróneas sobre el teorema y su utilidad práctica La apar aric ició ión n re rec cient iente e frecuentemen frecu entemente te formatos formatos señales muestreadas con contribuido a extender la

de nuevo uevos s form forma ato tos s de audio udio (den (denom omin ina ados dos de alta resolución) resolución) para usuario final que contienen contienen tasas más elevadas a la empleada en CD-Audio han idea errónea de que la calidad en la reconstrucción

de una señal enmuest toda su (hasta la frecuencia función la ta tasa sa de mue streo reobanda empl emplea eada da.. En to todo do caso caso,,crítica) pare parece ceesevid ev iden ente te directa que que el pote po tenc ncia iall para para regi regist stra rarr y repro reprodu duci cirr ultr ultras ason onid idos os no form forma a part parte e de los los mensajes de mercadotecnia que pretenden promocionar estos en el mercado. Un argumento que suele tener la forma general de "si los nuevos formatos de alta resolución resolución registran registran señales señales con tasas de muestreo más elevadas elevadas para la reconstrucción de señales con el mismo ancho de banda es porque el teorema de muestreo no aplica/no es válido/es erróneo y esta mayor tasa contribuye a una mejora en la calidad". Los nuevos formatos de audio que recientemente han aparecido (aunque con escaso esc aso éxito éxito co comerc mercial ial)) que emplea emplean n Modul Modulació ación n por impul impulsos sos codi codifica ficados dos   (PCM) sin pérdida pérdida por co compr mpresi esión ón co con n tasas tasas de muestr muestreo eo más altas altas a las empl em plea eada das s en el CD-A CD-Aud udio io,, (DVD-Audio DVD-Audio,, por ej ejem emp plo) lo) par ara a re reg gistra strarr y reproducir señales de idéntico ancho de banda se justifican porque permiten el empleo emp leo de filtr filtros os de recons reconstru trucci cción ón más benign benignos, os, sencill sencillos os y económ económico icos s sacrificando un recurso cada vez más económico y de menor trascendencia (la capaci cap acidad dad de almace almacenam namien iento, to, un recurs recurso o crític crítico o en el pasado pasado)) y por porque que,, además, satisfacen simultáneamente las expectativas de un mercado como el audiófilo, caracterizado por dogmas 2 entre los que se encuentra muy extendida la falsa creencia de que esto representa una mejora en la calidad de la señal reconstruida (en particular, de sus componentes de alta frecuencia). La elevada tasa de muestreo de otro formato de audio de reciente aparición, el SACD SA CD o Sup Super er Aud Audio io CD CD,, es una cons consec ecue uenc ncia ia del del uso de una una te tecn cnol olog ogía ía denominada comercialmente Direct Stream Digital™ (DSD) basada en un tipo de codifica codificación ción digital digital denominado denominado Mod Modula ulació ción n por den densid sidad ad de imp impuls ulsos os   (PDM).. Si bien la tasa de muestreo es 64 veces la del CD-Audio, es necesario (PDM) tener presente que se trata de una cuantificación de 1 bit (en lugar de los 16 empleados en el CD-Audio) y basado en técnicas de Noise Shaping (modelado de ruido). No es posible, por tanto, establecer comparaciones superficiales con el PCM de CD-Audio ó DVD-Audio (ambos PCM), ya que en este caso la relación señal-ruido no es constante respecto de la frecuencia 3 (en CD-Audio el ruido de cuan cu anti tifi fica caci ción ón es inde indepe pend ndie iente nte de la fr frec ecue uenc ncia ia y sólo sólo depe depend nde e de los los intervalos de amplitud empleados en el proceso de cuantificación, es decir, es de unos 98,09 dB4 constantes para los 16 bits de este estándar CD-Audio en todo tod o el espect espectro ro útil). útil). Un SACD SACD puede puede regist registrar rar y reprod reproduci ucirr señale señales s con componentes de hasta 33 kHz con una relación señal-ruido equivalente al de un CD-Audio (aunque 33 kHz está casi una octava por encima del máximo audible y, por tanto, una ventaja sobre el CD-Audio de dudosa utilidad práctica) y manten mantener er una relaci relación ón señalseñal-rui ruido do de aproxi aproximad madame amente nte 122 dB para para el espectro audible (un potencial, el equivalente aproximado a 20 bits, también

 

de dudosa utilidad práctica como formato final de usuario considerando los medios y entornos de reproducción de este formato). Se han publicado publicado trabajos trabajos experimenta experimentales les rigurosos rigurosos que concluyen concluyen que no existen diferencias audibles entre los formatos denominados de alta resolución y el tr trad adic icio iona nall sopo soport rte e de audi audio o digi digita tall CD-A CD-Aud udio io (PCM (PCM 16 bits bits;; 4410 44100 0 muestras/s).

TEORIA DE SHANNON Teoría Teor ía cr crea eada da en 1940 1940 por por el por por el in inge geni nier ero o Cl Clau aude de E. Shan Shanno non, n, Los Los pro pr oblem blema as que pla plantea ntea Shan Shanno non, n, tiene ienen n que ver con la cantid ntida ad de in info form rmac ació ión, n, la capa capaci cida dad d del del cana canall de comu comuni nica caci ción ón,, el proc proces eso o de codificación que puede utilizarse para cambiar el mensaje en una señal y los efectos del "ruido". Pero no se refiere a las personas como protagonistas de la comunicación, sino al proceso desde la perspectiva de: • •

•

Sus aspectos medibles. A las condi ndiciones nes idónea neas información entre máquinas.

de

transmisón

de

Al cálculo de la pérdida de información transmitida a través de un canal.

Su teoría se utiliza para medir la información y su contenido. El contenido de la información de un suceso = una función decreciente de la probabilidad de su aparición. Shannon utilizo el algoritmo de la inversa de la probabilidad.

 

 TEORIA DE NYQUIST El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon es un teorema fundamental de la te teor oría ía de la info inform rmac ació ión, n, util utiliz izad ada a en las las te tele leco comun munic icac acio iones nes,, ta tamb mbié ién n conoci con ocida da como como teorem teorema a de muestr muestreo eo de Whitta Whittaker ker-Ny -Nyqui quistst-Kot Kotelni elnikov kov-Shannon, o simplemente criterio de Nyquist. Fue formulado por primera vez por Harry Nyquist en 1928 ("Certain topics in telegraph transmission theory"), y fue probado probado por Claude E. Shannon en 1949 ("Communication in the presence of noise"). Este teorema teorema asegura asegura que cuando cuando se muestrea muestrea una señal, señal, la frecuenci frecuencia a de muestreo debe ser mayo que el doble del ancho de banda de la señal de entrada , para poder reconstruir la señal original. Si B es el ancho de banda de la señal señal y Fm es la frecuencia de muestreo, el teorema puede expresarse del siguiente modo: 2B < Fm  Nos di Nos dice ce que que debe debe exis existi tirr una separ separac ació ión n míni mínima ma entr entre e impu impuls lsos os.. Esta Esta sepa separa raci ción ón míni mínima ma depe depend nde e del del anch ancho o de banda banda.. El crit criteri erio o de Nyqu Nyquis is establece la separación mínima que debe existir entre dos pulsos, de forma que no se produzca la interferencia intersimbolo.