Teorema de Moivre
May 18, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Teorema de Moivre: Demostración y Ejercicios Resueltos Por
Vincenzo Jesús D'Alessio Torres
El teorema de Moivre aplica procesos fundamentales de álgebra, como las potencias y la extracción de raíces en números complejos. El teorema fue enunciado por el reconocido matemático francés Abraham de Moivre (1730), quien asoció los números complejos con la trigonometría. trigonometría. Abraham Moivre realizó esta asociación por medio de las expresiones del seno y coseno. Este matemático generó una especie de fórmula a través de la cual es posible elevar un número complejo z a la la potencia potencia n, que se trata de un número entero positivo mayor o igual 1. 1.
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1 ¿En qué consiste el teorema de Moivre? Moivre?
2 Demostración Demostración inductiva 2.1 Base inductiva inductiva 2.2 Hipótesis inductiva 2.3 Comprobación Comprobación 2.4 Entero negativo negativo 3 Ejercicios resueltos resueltos positivas 3.1 Cálculo de potencias positivas negativas 3.2 Cálculo de potencias negativas 4 Referencias Referencias o
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¿En qué consiste el teorema de Moivre? El teorema de Moivre establece lo siguiente: siguiente: Si se tiene un número complejo en la forma polar z = r , donde r es el módulo del número complejo z, y el ángulo Ɵ es llamado amplitud o argumento de cualquier número complejo con 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, para calcular su n–ésima potencia no será necesario multiplicarlo por sí mismo n-veces; es decir, no es necesario realizar el siguiente producto: producto: Ɵ
Zn = z * z * z*. . .* z = r * r * r *. . .* r n-veces. n-veces. Ɵ
Ɵ
Ɵ
Ɵ
Por el contario, el teorema dice que, al escribir z en su forma trigonométrica, para calcular la n-ésima potencia p otencia se procede de la siguiente forma: forma: Si z = r (cos Ɵ + i * sen Ɵ) entonces zn = rn (cos n*Ɵ + i * sen n*Ɵ). ). Por ejemplo, si n = 2, entonces z2 = r2[cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)]. Si se tiene que n = 3, entonces z3 = z2 * z. Además: Además: z3 = r 2[cos 2(Ɵ) + i sen 2 ( Ɵ)] * r [cos 2(Ɵ) + i sen 2 ( Ɵ)] = r3[cos 3(Ɵ) + i Ɵ
sen 3 ( )]. )].
De esa manera pueden obtenerse las razones trigonométricas del seno y coseno para múltiplos de un ángulo, siempre y cuando las razones trigonométricas del ángulo sean conocidas. conocidas. De igual manera puede ser utilizada para encontrar expresiones más precisas y menos confusas para la n -ésima raíz de un número complejo z, de modo que zn = 1. 1. Para demostrar el teorema de Moivre se usa el principio de inducción matemática: si un número entero «a» tiene una propiedad «P», y si para cualquier número entero «n» mayor que «a» que tenga la propiedad «P» se cumple que n + 1 también tiene la propiedad «P», entonces todos los pr opiedad «P». números enteros mayores o iguales que “a” tienen la propiedad
Demostración De esa forma, la demostración del teorema se hace con los siguientes pasos: pasos:
Base inductiva Primero se comprueba para n = 1. 1. Como z1 = (r(cos Ɵ + i * sen Ɵ))1 = r 1 (cos Ɵ + i * sen Ɵ)1 = r1 [cos (1* Ɵ) + i * sen (1* Ɵ)], se tiene que para n=1 se cumple el teorema. teorema.
Hipótesis inductiva Se supone que la fórmula es cierta para algún entero positivo, es decir, n = k. k. zk = (r (cos Ɵ + i * sen
Comprobación
))k = rk (cos k Ɵ + i * sen k Ɵ). ).
Ɵ
Se prueba que es cierta para n = k + 1. 1. Como zk+1= zk * z, entonces zk+1 = (r(cos Ɵ + i * sen kƟ) * r (cos Ɵ + i* senƟ). ).
))k+1 = rk (cos kƟ + i * sen
Ɵ
Luego se multiplican las expresiones: expresiones: zk+1 = rk+1( (cos kƟ)*(cosƟ) + (cos kƟ)*(i*senƟ) + (i * sen kƟ)*(cosƟ) + (i * sen kƟ)*(i* senƟ)). )). Por un momento se ignora el factor r k+1, y se saca factor común i: i: (cos kƟ)*(cosƟ) + i(cos kƟ)*(senƟ) + i( sen kƟ)*(cosƟ) + i2( sen kƟ)*(senƟ). ). Como i2 = -1, lo sustituimos en la expresión y se obtiene: obtiene: (cos kƟ)*(cosƟ) + i(cos kƟ)*(senƟ) + i( sen kƟ)*(cosƟ) – ( sen kƟ)*(senƟ). ). Ahora se ordena la parte real y la imaginaria: imaginaria: (cos kƟ)*(cosƟ) – ( sen kƟ)*(senƟ) + i[( sen kƟ)*(cosƟ) + (cos kƟ)*(senƟ)]. )]. Para simplificar la expresión se aplican las identidades trigonométricas de suma de ángulos para el coseno c oseno y seno, que son: son: cos (A+B) = cos A * cos B – sen A * sen B. B. sen (A+B) = sen A * cos B – cos A * cos B. B. En este caso, las variables son los ángulos Ɵ y kƟ. Aplicando las identidades trigonométricas, se tiene: tiene: cos kƟ * cosƟ – sen kƟ * senƟ = cos(kƟ + Ɵ)
sen kƟ * cosƟ + cos kƟ * senƟ = sen(kƟ + Ɵ) De esa forma, la expresión queda: queda: zk+1 = rk+1 (cos(kƟ + Ɵ) + i * sen(kƟ + Ɵ)) )) zk+1 = rk+1(cos [(k +1) Ɵ] + i * sen[(k +1) Ɵ]). ]). Así pudo demostrarse que el resultado es verdadero para n = k+1. Por el principio de inducción matemática, se concluye que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos; es decir, n ≥ 1.
Entero negativo El teorema de Moivre también es aplicado cuando n ≤ 0. Consideremos un
entero negativo «n»; entonces «n» puede escribirse como «-m», es decir n=-m, siendo «m» un entero positivo. Por lo tanto: tanto: (cos Ɵ + i * sen
) = (cos Ɵ + i * sen
Ɵ n
)
Ɵ -m
Para obtener el exponente «m» de forma positiva, la expresión se es escribe de forma inversa: inversa: (cos Ɵ + i * sen
Ɵ n
(cos Ɵ + i * sen
Ɵ n
) = 1 ÷ (cos Ɵ + i * sen
Ɵ m
)
) = 1 ÷ (cos mƟ + i * sen mƟ)
Ahora, se utiliza que si z=a+b*i es un número complejo, entonces 1÷z = ab*i. Por lo tanto: tanto: (cos Ɵ + i * sen
) = cos (mƟ) – i * sen (mƟ). ).
Ɵ n
Utilziando que cos(x)=cos(-x) y que -sen(x)=sen(-x), se tiene que: que:
(cos Ɵ + i * sen
Ɵ n
) = [cos (mƟ) – i * sen (mƟ)] )]
(cos Ɵ + i * sen
Ɵ n
(cos Ɵ + i * sen
Ɵ n
) = cos (- mƟ) + i * sen (-mƟ) ) = cos (nƟ) – i * sen (nƟ). ).
De esa forma, se puede decir que el teorema aplica para todos los valores enteros de «n». «n».
Ejercicios resueltos Cálculo de potencias positivas Una de las operaciones con números complejos en su forma polar es la multiplicación entre dos de estos; en ese caso se multiplican los módulos y se suman los argumentos. argumentos. Si se tienen dos número complejos z1 y z2 y se quiere calcular (z1*z2)2, entonces se procede de la siguiente manera: manera: z1z2 = [r1 (cos Ɵ1 + i * sen Ɵ1)] * [r2 (cos Ɵ2 + i * sen Ɵ2)] )]
Se aplica la propiedad distributiva: distributiva: z1z2 = r1 r2 (cos Ɵ1* sen Ɵ2). ).
cos
Ɵ1*
+ i * cos
Ɵ2
Ɵ1*
i * sen
Ɵ2
+ i * sen
Ɵ1*
cos
Ɵ2
+ i2* sen
Se agrupan, sacando el término «i» como factor común c omún de las expresiones: expresiones: z1z2 = r1 r2 [cos Ɵ2]
cos
Ɵ1*
+ i (cos
Ɵ2
Ɵ1*
sen
Ɵ2
+ sen
Ɵ1*
cos
) + i2* sen
Ɵ2
sen
Ɵ1*
Como i2 = -1, se sustituye en la expresión: expresión: z1z2 = r1 r2 [cos Ɵ1* cos Ɵ2 + i (cos Ɵ1* sen Ɵ2 + sen Ɵ1* cos Ɵ2) – sen Ɵ1* sen Ɵ2] Se reagrupan los términos reales con reales, e imaginarios con imaginarios: imaginarios: z1z2 = r1 r2 [(cos Ɵ1* cos Ɵ2 – sen Ɵ1* sen Ɵ2) + i (cos Ɵ1* sen Ɵ2 + sen Ɵ1* cos Ɵ2)] )] Para finalizar, se aplican las propiedades trigonométricas: trigonométricas: z1z2 = r1 r2 [cos (Ɵ1 + Ɵ2) + i sen (Ɵ1 + Ɵ2)]. )]. En conclusión: conclusión: (z1*z2)2=(r1 r2 [cos (Ɵ1 + Ɵ2) + i sen (Ɵ1 + Ɵ2)])2 )]. = r12r22[cos 2*(Ɵ1 + Ɵ2) + i sen 2*(Ɵ1 + Ɵ2)]. Ejercicio 1
Escribir el número complejo en forma polar si z = – 2 -2i. Luego, utilzando el teorema de Moivre, calcular z4. Solución
El número complejo z = -2 -2i está expresado en la forma rectangular z = a +bi, donde: donde: a = -2. -2. b = -2. -2.
Sabiendo que la forma polar es z = r (cos Ɵ + i * sen Ɵ), se necesita determinar el valor del módulo «r» y el valor del argumento « Ɵ». Como r=√ (a²+b²), (a²+b²), se sustituyen los valores dados: dados: r = √(a²+b²) = √((-2)²+(-2)²) -2)²+(-2)²)
= √(4+4) = √(8) = √(4*2) = 2√2.
Luego, para determinar el valor de «Ɵ», se aplica la forma rectangular de este, que es dada por la fórmula: fórmula: tan Ɵ = b ÷ a a tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1. 1. Como la tan(Ɵ)=1 y se tiene que a
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