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Teorema de Kennedy Los centros instantáneos de un mecanismo se pueden localizar por el sistema del teorema de Kennedy. Este teorema establece que los centros instantáneos para cualesquiera tres cuerpos con movimientos coplanarios coincidan a lo largo de una misma línea recta. Se puede demostrar este teorema como contradicción, como sigue: Número de centros instantáneos En cualquier mecanismo que tenga movimiento coplanario, existe un centro instantáneo para cada par de eslabones. El numero de centros instantáneos es, por lo anterior, igual al número de pares de eslabones. Cuando se tienen n eslabones, el número de centros instantáneos es igual al número de combinaciones de n objetos tomados a un tiempo, a saber n(n-1)/2 Centros instantáneos para el mecanismo de corredera biela y manivela Es importante que el estudiante aprenda a reconocer el mecanismo de corredera-biela y manivela en cualquiera de las múltiples formas, ya que su aplicación para usos prácticos es amplia y variada. Se podría describir como una cadena cinemática de cuatro eslabones, en la cual un par de eslabones tiene movimiento rectilíneo con respecto a cada uno de los otros, mientras que el movimiento relativo de cualquier otro par de eslabones adjuntos es el par cerrado. Por consiguiente, el mecanismo tiene tres pares cerrados y un par en deslizamiento. Tabulación de centros instantáneos Cuando un mecanismo tiene seis eslabones, son quince el número de centros instantáneos a localizar. Entonces es aconsejable tener un método sistemático para tabular el progreso y para que ayude en la determinación. Esto se puede complementar por medio de un diagrama circular o por el uso de tablas. Sedan los dos métodos y se ilustran con un ejemplo. a) Diagrama circular. Un diagrama de la forma mostrada en la figura 4.3b, nos es útil para encontrar centros instantáneos, puesto que nos da una visualización del orden en que los centros se pueden localizar por el método del teorema de Kennedy y también, en cualquier estado del procedimiento, muestra que centros faltan por encontrarse. El diagrama circular será útil para encontrar los centros en el mecanismo de seis eslabones de la figura 4.3a. El siguiente procedimiento se emplea para localizarlos. Trazamos un círculo como el de la Fig. 4.3b y marcamos los puntos 1, 2, 3, 4,5 y 6 alrededor de la circunferencia, representando los seis eslabones del

mecanismo. Conforme se van localizando lo centros, trazamos líneas uniendo los puntos de los números correspondientes en este diagrama. De este modo, la línea tendrá línea uniendo todos lo pares de puntos; cuando todos los centros instantáneos hayan sido determinados. Los números en las líneas, indican la secuencia en que fueron trazados, para facilitar su cotejo. En un estado del procedimiento (después de que se han encontrado 10 centros) el diagrama aparecería como lo muestra la Fig. 4.3b. Inspeccionando los diagramas c) notamos que uniendo 4-6 cerramos dos triángulos 4-6-5 y 4-6-1 ya que éste es el caso, localizamos el centro instantáneo O46 en la intersección de O41 O61 y O45 O56. Si en lugar hubiéramos trazado 6-2, solamente un triangulo es decir, el 6-2-1, se habría formado; por esto, el centro O62 no se podría encontrar en este estado; no obstante, su puede encontrar después de que se ha tazado O25 (línea 1-4). Por lo consiguiente, la línea 6-2 se numera 15. El procedimiento es el mismo para los puntos restantes. Si cada línea se puntea primero, mientras se está localizando el centro y después, cuando se ha encontrado, se repasa haciéndola una línea sólida, se evitan lo errores. La Fig. 4.3a muestra la localización de todos lo centros instantáneos y la Fig. 4.3c el diagrama circular terminado. b) Método tabular. El método alternativo para localizar centros instantáneos de uso común es el método tabular. En este procedimiento se establece una tabulación general y se amplia con tabulaciones suplementarias, tal como está ilustrado en la Fig. 4.3d.

En las columnas principales de la tabulación general se enumeran los números de los eslabones en el mecanismo. En la primera columna se apunta el número de la parte superior dela columna, combinando con aquellos números a la derecha del mismo. En la segunda columna se apunta el numero de la parte superior de la columna, combinando con aquellos números a la derecha del mismo. Continuando este procedimiento hasta el final delas tablas, nos da la lista completa de todos los centros que han de encontrarse. Conforme los centros se van localizando en el dibujo, se tachan en la tabla, como queda ilustrado. Comúnmente, aproximadamente la mitad de los centros se encuentran por inspección se tachan inmediatamente. De este modo, en el ejemplo de la Fig. 4.3, ocho de lo centros, el O12 O23 O34 O45 O56 O14 O16 y O35, se encontraron por inspección. El resto tendrían que se localizados empleando el teorema de Kennedy y con la ayuda de las tablas suplementarias. Supóngase ahora que deseamos encontrar el centro O31. Establecemos la tabla suplementaria en la cual los eslabones 1 y 3 se consideran con un tercer eslabón, digamos el 4. Entonces los centros O34O14 y O13 deben de coincidir en una línea recta, según el teorema de Kennedy. El tercer eslabón también bajo el encabezado 13. Refiriéndonos a la tabulación

general, encontramos que los centros O34 O14 O21 y O23 han sido tachados y por lo tanto han sido localizados y están disponibles. Trazando línea a través de ellos localizamos O31.

De la misma manera, por el uso de tablas, se pueden localizar todos los centros. Las tablas suplementarias en la Fig. 4.3d muestran el procedimiento. Frecuentemente se encuentra que el tercer eslabón elegido requiere centros que todavía no han sido localizados. En tales casos se debe probar otro tercer eslabón. Si en los primeros intentos se encuentra que ningún tercer eslabón satisface, se suspende temporalmente la búsqueda para ese centro en particular, hasta que se encuentran más centros. Centrodas o Curvas Polares

Se hizo notar que la ubicación del centro instantáneo esta definido sólo instantáneamente, y que cambiaría conforme el mecanismo se moviera. Si se encuentran las ubicaciones de los centros instantáneos para todas las fases posibles del mecanismo, se verá que describen curvas o lugares geométricos, denominados centrodas o curvas polares.

Las opiniones parecen estar igualmente divididas sobre si los lugares geométricos deben llamarse centrodas o curvas polares. En general, quienes utilizan el nombre centro instantáneo los llaman centrodas y quienes utilizan el vocablo polo los llaman curvas polares o polodas. Aunque también se ha aplicado el nombre de ruletas. Los equivalentes tridimensionales son superficies regladas que se conocen como axodas.

Cuando un cuerpo tiene movimiento relativo rígido hacia otro, obsérvese que, para cualquier posición relativa de los dos cuerpos, las dos trayectorias polares están en contacto en un punto, el cual es el centro instantáneo para esa posición. Continuando el movimiento relativo resulta que las dos trayectorias polares ruedan una sobre otra. Consecuentemente, es posible sustituir un mecanismo dado por un mecanismo equivalente que contenga dos superficies en rodadura y que produzca el mismo movimiento que el eslabón seleccionado original. A continuación daremos un ejemplo de lo anterior.

En la figura. 4.4 se ilustra una forma de un mecanismo doble de Manivela, Biela y Corredera, que consiste de una varilla, eslabón 3, articulada en las correderas 2 y 4 ; estas últimas se deslizan sobre las guías del marco 1.

Los puntos A y B sobre 2 y 4 tienen movimientos lineales sobre XY y XZ respectivamente. Centros Instantáneos El centro instantáneo se puede definir de cualquiera de las siguientes maneras :A) Cuando dos cuerpos tienen movimiento relativo coplanario, el centro instantáneo es un punto en un cuerpo sobre el cual otro gira en el instante considerado. B) Cuando dos cuerpos tiene movimiento relativo coplanario, el cetro instantáneo es el punto en el que los cuerpos están relativamente inmóviles ene instante considerado. A partir de esto se puede ver que un centro instantáneo es:(a) un punto en ambos cuerpos,(b) un punto en el que los dos cuerpos no tienen velocidad relativa y(c) un punto en el que se puede considerar que un cuerpo gira con relación al otro cuerpo en un instante dado. En general, el centro instantáneo entre dos cuerpos no es un punto estacionario, sino que su ubicación cambia en relación con ambos cuerpos, conforme se desarrolla el movimiento, y describe una trayectoria o lugar geométrico sobre cada uno de ellos. Estas trayectorias de los centros instantáneos son llamadas trayectorias polares o centradas y se analizan posteriormente. Localización de centros instantáneos. Los centros instantáneos son sumamente útiles para encontrar las velocidades de los eslabones en los mecanismos. Su uso algunas veces nos permiten sustituir a algún mecanismo por otro que produce el mismo movimiento y mecánicamente es más aprovechable. Los métodos para localizar los centros instantáneos son, por lo tanto, de gran importancia.

Regla de Kennedy Esta regla dice que si 3 objetos están unidos entre sí, deben existir al menos 3 puntos denominados polos que serán los centros de movimiento de dichos objetos yque además de dichos centros de movimiento estarán siempre alineados.

Para conocer los centros instantáneos de un mecanismo por este método utilizamos la siguiente formula

CI= n(n-1)/2 Dónde: CI: centros instantáneos n: número de eslabones

La segunda clausula de esta regla es la más útil. Hay que tomar en cuenta que esta regla no requiere que los tres cuerpos estén conectados de algún modo. Podemos utilizarla, junto con la grafica lineal, para encontrar los centros instantáneos restantes que no son obvios en la inspección.

Se puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que uno de los eslabones es fijo (suelo). En ese caso, el centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3 no puede estar en el punto P de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no tendría la misma velocidad como perteneciente al eslabón 2 (vP2), que la que tendría como perteneciente al eslabón 3 (vP3). Estas dos velocidades sólo pueden ser iguales en un punto Q que esté alineado con los centros instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón fijo. Ya que esta es la única forma de que las direcciones (y sentidos) de vQ2 y vQ3 coincidan. La posición de Q dependerá de las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3 (tanto de su módulo, como de su sentido). En el ejemplo mostrado, es claro planteando el cálculo de la velocidad del punto Q (centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3) como perteneciente al sólido 2 y como perteneciente al sólido 3:

Esta última igualdad sólo es posible si los dos vectores de posición del punto Q (respecto a los centros de rotación O2 y O3) tienen la misma dirección. Y,...