Teorema de Green
July 20, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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INGENIERIA CIVIL E.A.P. ING. CIVIL
TEOREMA DE GREEN I. INTRODUCCION: relación entre una integral de En física y física y matemáticas , el teorema de Green da la relación línea alrededor línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el cientíco británico George Green (1793Green (17931841)) quien 1841 quien relacion relacionóó la región región D con con su borde borde C que la limita y es un caso especial del más general teorema de Stokes. Stokes. El teorema arma: Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C . Si M y N tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D parciales
TEOREMA : Consideremos las funciones M(x,y) y N(x,y) en una región abierta U R 2 .Sea
la región cerrada D U un subconjunto compacto con frontera (el borde
C) seccionalmente regular. Supongamos que el borde de la región D está constituida por “n” curvas regulares que tienen orientación positiva respecto a la región D, entonces:
Mdx Ndy
C
N M dxdy x y D
Ndy con la EL TEOREMA DE GREEN relaciona relaciona la integral integral de línea Mdx C
N M y dxdy x D
doble integral Donde: Ndy es una integral de la función escalar Mdx+Ndy a lo largo del ♦ Mdx borde la región D: D: C C
ANALISIS MATEMATICO III
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Y R
C
X
♦
N M dxdy es x y D
una doble integral de la función escalar
N M x y
sobre la región D
Además: a) La región región D eess un un conj conjunt untoo COMPACTO (cerrado y acotado). acotado). b) C, es el borde o frontera de la región región D. El borde de la región D es la yuxtaposic yuxtaposición ión de “n” caminos regulares regulares de clase 1 C o es la unión de un número nito de curvas cerradas. Cada camino o curva tiene ORIENTACIÓN POSITIVA RESPECTO A LA REGIÓN D. ORIENTACION:
Una curva tiene orientación positiva respecto a la región D, cuando el sentido de la curva es tal que la región D siempre esté a su izquierda.
ANALISIS MATEMATICO III
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Observamos en los siguientes grácos
a
b
REGIÓN DEL TIPO 1 C = 1 * 2 * 3 * 4 (El borde de la región D es la yuxtaposición de los caminos
1, 2, 3 y 4 )
REGIÓN TIPO C 2 C 3 2 C = C 1 DEL (El borde de la región D es la unión de los caminos cerrados C1, C2 y C3. Que tienen orientación positiva respecto a la región D)
♠ La
función
es dife difere renc ncia iabl blee de clase clase 2 pose seen en coordenadas x(u, v); y(u, v); z (u, v) : D R R po continuas de primer orden. 2
r : D R R
3
si sus sus fu func ncio ione ness de deriv rivad adas as pa parc rcia iale less 1
C
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DEMOSTRASTRACION DEMOSTRASTRAC ION DEL TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO
Siendo C una curva cerrada que tiene la propiedad de que toda recta paralela a uno de los ejes coordenados la corta a lo sumo en dos puntos. y Y 1 ( x) e
Sean,
y Y 2 ( x) las
ecuaciones de las curvas AEB y AFB respèctivamente,, que aparecen en la figura. Si D es la región limitada por C. respèctivamente
Y F f R D
A e E
a
M y dA R
b
X
Y ( x ) M dy a yY ( x) y dx b
2
1
M ( x, y) b
x a
Y 21 ( x ) Y 1 ( x )
b
M x, Y ( x) M x, Y ( x) dx 2
1
a b
a
M ( x, Y 1 )dx M ( x, Y 2 )dx a
b
M Mdx y dA C D
Análogame Anál ogamente nte si x X 1 ( y ) e x X 2 ( y ) son las ecuaciones de las curvas EAF y EBF respectivame respectivamente: nte: f
N x X ( y ) N dx dy dxdy x X ( y ) x X R e 2
1
f
N X
, y N X , y dx
N X , y dy N X 2, y dy Ndy ANALISIS MATEMATICO III 2
e
e
f
1
f
1
e
C
N Ndy dA
4
C
D
x
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EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Ejemplo 1 Sea el conjun conjunto to abie abierto rto
, que gráficamente es un círculo de
U x. y x 2 y 2 1
centro en el origen y radio 1. El gráfico es:
M : U R
y
N : U R
Sean las funciones:
Denidas del siguiente modo: 1
M x, y ( xy)
3
1
,
N x, y ( xy) 5
Sus derivadas parciales son: y x y x M N M N , , , 4 4 y x 33 x 2 y 2 33 x 2 y 2 x 55 x 4 y 4 y 55 x y
En este ejemplo se percibe que M y N son continuas en U, pero sus derivadas 1 0,0 U . Esto que prueba que M y N de clase C en parciales no son continuas en U.
ANALISIS MATEMATICO III
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♠ Se dice que el conjunto D es compacto, si es cerrado y acotado. EJEMPLO 2
. E es cerrado y acotado. Es cerrado porque concluye los
E x, y R 2 x y 2
1, 2, las 3 ycuatro 4 . líneas. bordes que son Elónborde región esr la cuatro rectas: La regi región E está esde tá laac acot otad adoo Epo por la lassyuxtaposición cuat cuatro ro re rect ctas asdequ que e se yuxtaponen y se cierran.
. El borde de E es igual a la yuxtaposición de las líneas
1, 2, 3 y
4
E 1* 2 * 3 * 4
El borde C de la región D tiene diversas formas, algunas de ellas son:
C C
C
En estos tres grácos la región D es simplemente conexo.
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C
C
Enestecasola región D es doblemente conexo
Des triplem ente conexo
PROBLEMAS DE TEOREMA DE GREEN EJEMPLOS
1) Aplicación del teorema de Green a un problema físico sobre una región con agujeros. Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros.
Y
C1
a
b
X
C2
SOLUCIÓN: Determinaremos el momento de inercia respecto al diámetro colineal con el eje x. De Física sabemos que: I x
y
2
dA
D
Donde es es la densidad supercial de la arandela, supuesta constante dado que es homogénea. Esta región no es simplemente conexa pero, como se vio en la teoría, se puede extender el teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros, siendo:
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N
x
D
M dA Mdx Ndy Mdx Ndy y C C 1
2
Por lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos integrales. Para ello debemos encontrar funciones P , Q tales que: N M y 2 ; tomamos, por ejemplo : M 0 ; N 13 y 3 x y
Aplicando Green con esta función tenemos: I x
y 2 dA 13 y 3 dx 0dy
C
D
1
3 3 3 1 1 1 0 y dx dy y dx y dx (1) 3 3 3 C C C 2
1
2
Parametrizando Paramet rizando estas curvas tenemos x b cos t dx b sen t C 1 , 0 t 2 y b sen t dy b cos t x a cos t dx a sen t C 2 , 0 t 2 y a sen t dy a cos t
Reemplazando con esto en (1) tendremos: I x
2
0
13 b 3 sen 3 t (b sen t ) dt
0
b a 1 3
4
4
13 b 4 a 4
2
1 4
b
2
2
2
0
2
2
1 3
a 3 sen 3 t ( a sen t )dt 13 b 4 a 4
sen t 1 cos t dt b a
0
1 3
4
4
2
0
2
0
sen 4 tdt
2 sen 2 2t sen t dt 4
1 cos t 1 cos 4t 4 4 dt 14 b a 8 2
1 4
b
2
a 2 b 2 a 2
2
a M
Ésta es la manera estándar de expresar un momento de inercia: como el producto de una longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rígido. 2)
Usando
el
teorema
de
Green
calcular:
I
( y dx xdy) , 2
C
C : r (t ) (2 cos t 2 sen t ) , t : 0 2 3
3) Evaluar ((2 x y
3
3
) dx 3 xydy)
C
’ siendo C el borde de la región limitada por las
circunferencias x 2 y 2 1 y x 2 y 2 9 .
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x 4) Calcular la integral ( xy x y) dx ( xy x y)dy , donde C : C
5) Mediante el Teorema de Green evaluar evaluar C contorno de la región acotada por
y 4 x 2
2
a2 ( x 2 ydx y 2 xdy )
y 2 b2
1
, donde C es el
, y=0 recorrido en sentido antihorario
II.- PARAMETRIZACION DE UNA SUPERFICIE Sean G(x,y,z)=0 la ecuación cartesiana de una supercie s R 3 . A) Si de G(x,y,z)=0 se puede despejar “ z” en función de “x” e “y” se puede obtener dos casos: a) La Funció Funciónn z= g(x g(x,y) ,y) , (x, (x,y) y) D , D R 2
g : D R
( x, y ) z g ( x, y )
b) y la aplicación r : D S R 3
( x, y ) r ( x, y ) ( x, y , g ( x, y ))
Que es la expresión paramétrica canónica de la superficie S. Nota: Si hacemos la sustitución
x u y v Obtendremos las superficies paramétricas de las superficies S.
x u (u, v) D y v z g (u, v) “u”y”v” son los parámetros que denen la aplicación. r : D S R 3
(u , v ) (u , v, g (u , v ))
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Si G(x,y,z)=0 no despejamos ninguna de las 3 variables en función de las otras
dos pero es posible encontrar una relación tal que las variables x,y,z estén en función de los dos parámetros “u” y “v” , entonces:
x x(u, v) y y (u, v) z z (u, v)
(u , v) D R 2
Son las ecuaciones parametricas de las superficies S y de paso, queda bien definida la aplicación. r : D S R 3 (u , v) ( x(u , v ), y (u , v), z (u , v))
Cuyo grafico recubre toda la superficie S. 3.1) DEFINICIÓN DEFINICIÓN Una superficie parametrica es una aplicación 3 r : D S R
(u , v) r (u, v) ( x(u, v), y (u , v ), z (u, v)) 2
Donde D es algún dominio en R V. La superficie S corresponde a la aplicación r S r ( D) es su imagen Si r es diferenciable, llamamos a S superficie diferenciable.
Parametrización Parametrizació n Propia: Es una parametrización propia cuando: i) r es uno a uno (inyectiva) ii) r es diferenciable de clase al menos C2 y tal que la matriz
x (u , v ) u x (u , v ) v
y (u , v ) u y (u , v ) v
z (u , v ) u es de rango 2 z (u , v ) v
3.2) CURVAS COORDENADAS Y VECTORES TANGENTES Sea la aplicación ANALISIS MATEMATICO III
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r : D R 2 S R 3
(u , v) r (u, v) ( x(u, v), y (u , v ), z (u, v))
Si en la aplicación r (u , v ) ( x (u , v ), y (u , v ), z (u , v )) ;
(u , v ) D hacemos dos
cosas: 1º u= u 0 , obtenemos la curva r (u 0 , v) contenida en la superficie S
con parámetro
“v” Que pasa por el punto
r (u 0 , v 0 ) .
x y z , , ) en el punto (u 0 , v0 ) ,es el VECTOR TANGENTE a al v v v curva r (u 0 , v) en el punto r (u 0 , v 0 ) S
Donde
r 0 (
2º v= v0 , obtenemos la curva r (u , v0 ) contenida en la superficie S con
parámetro
“u” que pasa por el punto Donde r 0 (
curva
r (u 0 , v0 ) =P S .
x y z , , ) en el punto (u 0 , v 0 ) , es el VECTOR TANGENTE a al v v v
r (u , v 0 ) .
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Las curvas r (u, v0 ) y r (u 0 , v ) se llaman curvas coordenadas. coordenadas. Donde los vectores tangentes a las curvas sobre S en el punto P= r (u 0 , v0 ) . v 0 ) un plano tangente a la Los vectores r y r 0 = r (u 0 , v determinan el punto P superficie S, donde r * r v = N es el vector normal a la superficie y también al plano tangente. tangente. u
u
3.3) SUPERFICIE SUAVE O REGULAR
Diremos que una superficie es suave en el punto r (u 0 , v0 ) , si r * r v 0 en r (u 0 , v 0 ) D . Una superficie es suave, si es suave en todos los puntos de la superficie. u
3.4) PLANO TAGENTE
Si una superfic superficie ie param parametric etricaa r : D R R es suave en r (u 0 , v0 ) , definimos el plano tangente de la superficie en el punto r (u 0 , v0 ) como el plano generado por los vectores r u ,r v vect ctor or no norm rmal al a la su supe perf rfic icie ie el pu punt ntoo P 0 = r ( x0 , y 0 , z 0 ) Si N = r * r v ve 2
3
u
r (u 0 , v 0 )
Entonces la ecuación del plano tangente es N .(p- P 0 )=0 Ejemplo: Hallar Hall ar la ecua ecuaci ción ón de dell plan planoo tang tangen ente te a la su supe perf rfic icie ie S cu cuya yass ec ecua uaci cion ones es 2 2 punto , u 1 , v 1 paramétricas son: son: x u , y v y z u v ; en el punto 2
2
Solución
La aplicación r de IR 2 es r u, v u 2 , v 2 , u 2 v 2 Se pide hallar la ecuación del Plano Tangente
r 1,1 1, 1,2 P 0
La ecuación del plano es: N . P P 0 0 Necesitamos el el vector normal
N
r u x r v
en el punto (1,1)
Veamos: De r u , v u 2 , v 2 , u 2 v 2
Obtenemos: a)
r u 2u,0,2u
u 1 , En r 2,0,2 v 1
u
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u 1 0,2 ,2 , En r 0,2,2 v 1
b)
r v
v
v
i
j
k
r u xr v 2 0
0 2
2 4, 4,4 2
c)
v
Entonces: N 4, 4,4 Luego la ecuación del Plano Tangente, es:
N . P P 0
=0
4,4,4 . x, y, z 1,1,2 0 x y z 0
Primera Prim era Forma Forma Fundamen Fundamental: tal:
Sea
r : D R
2
R
3
una superficie parametrizada
regular en el punto P.
Sea
, S
t (t ) r ( u (t ), v(t ))
Una curva en la superficie S que pasa por el punto P = (0) . Veamos: 1) Sea T P ( S ) el plano tangente a la superficie S en P que esta generado por los vectores r u ,r v .Esto implica T P ( S ) es un subespacio vectorial del R 3 cuya base esta conformada por los vectores r u ,r v . EJEMPLO Nª1 REPRESENTACION PARAMÉTRICA DE UNA ESFERA Util Utiliz izan ando do las las coor coorde dena nada dass es esfé féri rica cass para para pa para rame metri triza zarr un unaa es esfe fera ra de ra radi dioo a: Observamos que debe tenerse dos parámetros libres.
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S : r (u , v) ( asenu cos v, asenusenv, a cos v )
0 u , 0 v 2 x asenu cos v y asenusenv z a cos v
0 u
0 v 2
La región D en UV es el rectángulo descrito por las desigualdades D : 0 u , 0 v 2
a) El sseg egme ment ntoo ve vert rtic ical al u0 , v de D, 0 v 2 , es transformado en el paralelo r u0 , v correspondiente a la COLATITUD u0 y el cual al hacer variar desde desde u 0 va generando el casquete esférico superior desde el polo norte cubriendo toda una esfera de radio a de arriba hacia abajo ANALISIS MATEMATICO III
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b) El segmento vertical u, v0 de D, 0 u , es transformado en el paralelo r u , v 0 que es la mitad de una circunferencia de radio correspondiente a la LONGITUD v0 y el cual al hacer variar desde v0 0 hasta justo antes de v0 2 va generando la cáscara de una tajada esférica que va cubriendo la superficie esférica en sentido antihorario.
Ejemplo Nª2 PARAMETRIZACIÓN DE UN CONO Sabem Sab emos os que en coo coorde rdenad nadas as esf esféri érica cass la ec ecuac uación ión
,
fij fijo
2
0,
es la
ecuación ecuaci ón de una sup superf erfici iciee cón cónica ica,, y que como no de depen pende de de ni de , estas coordenad coord enadas as toman todo todoss sus valores posibles: posibles: 0 0 2 , lo que equivale a cons consid ider erar arla lass como como dos dos pa pará ráme metro tross libr libres es,, de modo modo qu quee , ha haci cien endo do u , v , obtenemos la parametrización de un cono S con ángulo central :
S : r u , v usen cos v, usen senv, u cos
x usen cos v y usen senv
u 0, 0 v 2
z u cos
En donde x 2 y 2 z 2 u 2 S : r u , v u
De la parametrización de S se verifica que para
0, 2
2 2 2 2 2 2 S : x y u sen tg z
1 z 2 2 x 2 y 2 , z 0, 0, 2 tg
Que es la ecuación implícita de un cono con ángulo central , z
1 2 2 x y 2 , 0, 2 tg
Que es la ecuación implícita del mismo cono
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III. AREA DE UNA SUPERFICIE AREA DE UNA REGION EXPRESADA COMO INTEGRAL DE LINEA
La integral doble que da el área de una región R puede expresarse como N M dxdy x y
Área (R) = dxdy R
Tom oman ando do po porr ejem ejempl ploo
R
P ( x, y ) 1 y, Q( x, y) 1 x 2 2
; y la región R esta
encerrada por una curva simple C, entonces aplicando el teorema de Green se puede expresar Área (R) como 1
xdy ) Área(R) = 2 ( ydx c
Y si se tiene una parametrización de C: Area( R )
r (t ) ( x(t ), y (t )), t : a b,
1
( yd ( t ) x (t ) xd (t ) y (t ))dt 2 '
'
c
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b
1 x(t) y(t) '
dt
'
2 xa (t) y (t)
Ejemplo Nº: Hallar Nº: Hallar el área de la región encerrada por la elipse mediante el Teorema de Greeen.
C : x a y b 1 , 2
2
Solución C : x a cos t , y bsent ; a, b 0, t : 0 2 dx0.asentdt , dy b cos tdt
Área (elipse) Area(elipse)
1
( ydx xdy)
2c 2 1 2 2 absen t ab cos t dt 2 0
1 2
ab(2 ) ab
Ejemplo Nº2: Hallar Nº2: Hallar el área de la región limitada por la curva C 1 : ( x, y ) a(t sent ), a(t cos t ); t : 0 2 ,en el eje x. Solución C : cicloide C 1 C 2 C 2 : x t , y 0, t : 0 2 dx dt, dy 0 1 ydx xdy 0 2 C 2
C 1 : x a (t sent ), y a (t cos t ) dx a (1 cos t ) dt , dy asentdt , t : 2 0
1 ydx xdy 2 C 2
a2 2
0
(tsent 2 cos t dt 2)dt 3 a
2
.
2
1
2 2 Por lo tanto, A(R)= 2 ( ydx xdy) 0 3 a 3 a c
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DEFINICION DEL AREA SE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA r (u , v) Sea r : D R 2 R 3 la parametrización de una superficie S (u, v )
Sea vr v y vr u los vectores tangentes a la superficie en el punto r (u j , v j ) . Esto Estoss vect vector ores es form forman an un para parale lelo logr gram amoo P mu muyy pe pequ queñ eñoo co cont nten enid idoo en la superficie S que casi coincide con el plano tangente a la superficie en el punto r (u j , v j ) ( xij , yij , z ij ) . El área del paralelogramo “infinitésimo “ P es j
j
ij
ij
ur u x vr u j
j
r u j x r u j uv
Al que se le denomina elemento de Área de la superficie S y se le denota por
S r u x r v uv j
j
O también dS r u xr v dudv
Llamado también diferencial de área Lema: Con la notación dS EG F dudv Donde: E r u . r u F r . r F r . r 2
u
v
V
v
Con el resultado de este Lema Podemos hallar una formula para el área de la superficie S.
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DEFINICION:
d S r u xr v dudv
Se llama vector elemento de superficie Dada Da da la para parame metr triz izac ació iónn
r (u , v )
de cl clase C 1 sobr bree un unaa re reggio ionn
D UV
univalente posiblemente para un finito de ,curvas regulares en la son regulares excepto posiblemente region D talexcepto que todos los puntos (u,v) Dnumero para un numero numero finito. Por tanto el área aproximada de la superficie S recubierta de retazos semejantes a n 1 n 1
P ij
An
es
n 1 n 1
A( P ij )
i 0 i 0
r u j x r u j uv
i0 i0
Que es la suma de Riemman Cuando
n
, en el límite obtendremos:
An
r u j x r u j dudv
D
EG F dudv 2
D
Que viene a ser el área de una superficie S parametrizada por región D. Nota: Si S es la unión de de varias superficies superficies de las áreas de estas superficies.
S i
r (u , v ) sobre la
que no se traslapan su área es la suma
EJEMPLO N º1: Hallar el área de la superficie esférica x 2 y 2 z 2 a 2 . SOLUCIÓN La parametrización parametrización de la esfera de radio a y centro el orige origenn es, r (u, v) (asenv cos u , asenusenv, a cos v)
D u , v 0 u 2 , 0 v
Necesitamos hallar: hallar: a) r
u
,
r
v
r ( asenvsenu , asenv cos u,0) u r cos vsenu,asenv) (a cos v cos u, a v E r u .r u b) F r u .r v G r v .r v
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E r u .r u a 2 sen 2 vsen 2 u a 2 sen 2 v cos 2 u a 2 sen 2 v
F r u .r v a 2 senv cos vsenu cos u a 2 senv cos vsenu cos u 0
G r v .r v a 2 cos 2 v cos 2 u a 2 cos 2 vsen 2u asen 2 v a 2 EG F 2 a 4 sen 2 v 0 a 4 sen 2 v
El área de la esfera, es:
A S
a 4 sen2 v dvdu
D
2
a
2
senvdvdu du 4 a senvdv
2
0 0
2 x 2 , que se Ejemplo N°2:Determinar N°2:Determinar el área del paraboloide hiperbólico z y encuentra dentro del cilindro x 2 y 2 1
Solución: Consideramo Consideramoss la parametrización propia de la superficie
3 2 2 : D M IR x, y x, y, y x
Además y
1,0 ,2 x y x x
x
donde D x, y x
2
y 2 1 ,
2 x, x 2 y ,1 0,1, 2 y , así x y y
1 4 x 2 y2
y
ANALISIS MATEMATICO III
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Entonces: A M 1 4 x y 2
1
2
1 y 2
dxdy
1 1 y
D
y rsen
5 5 1 5 5 1 d 0 8 4
2 1
Por tanto,
2
1 4r rdrd 2
0 0
Ejemplo Nº3. Hallar el área de la helicoide S : x r cos , 0 r 2 2 sobre la región R : 0 2 Solución Hacemos
2
Usando coordenadas polares tenemos: x r cos y A
2 2 1 4 x y dxdy
u r
y rsen , z z
v
y
r r (cos , sen ,0)
r rsen , r cos ,1
E r r .r r 1
F r r .r 0 2 .r G r r 1
Area Ar ea( S )
r r r drd drd
D
EG F 2 drd drd D 2 2
2
0
1 r 2 drd drd
0
6 2 ln 2 2 3
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,
INGENIERIA CIVIL E.A.P. ING. CIVIL
BIBLIOGRAFIA ♣ Tópicos de Cálculo III/ Mitac Toro/Editor oro/Editorial ial / Lima-1985 ♣ Cálculo III /M /Mitacc itacc Meza Máximo/ Edi Editorial torial T Thales/ hales/ Perú-1999 ♣ Matemática III/ Mitac Toro/Edito oro/Editorial rial / Lima-1990 ♣ www.construaprende.com ♣ www.rincondelvago.com ♣ www.monografias.com ♣ www.wikipedia.org
2)
Usando
el
teorema
de
Green
calcular:
I
( y dx xdy) , 2
C
C : r (t ) (2 cos t 2 sen t ) , t : 0 2 3
3
ANALISIS MATEMATICO III
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